1、线性代数综合试题线性代数综合试题一、填空题： 1.设，则 。 2.设A 为3阶方阵，且=（用A 表示）。3.若 则X = 。 4.设，则当a满足条件 时，A 可逆；当a= 时，。 5.秩相等是两个同维向量组等价的 条件。二、选择题： 1.设n 阶方阵A 是奇异阵，则A 中 A 。 （A）必有一列元素为0 ； （B）必有两列元素对应成比例； （C）必有一列向量是其余列向量的线性组合； （D）任意一列向量是其余列向量的线性组合。 2.设A 和B都是n 阶可逆阵，若，则= C 。 （A） （B） （C） （D）3.若n 阶矩阵A 的秩为n-3（），则A 的伴随矩阵的秩为 B 。（A）n-2 （B）0
2、 （C）1 （D）不确定 4.设是非齐次方程组的一个解， 是 的基础解系，则 C 。(A) 线性相关。 （B）线性无关。 （C）的线性组合是的解。 （D）的线性组合是的解。5. n 阶方阵A 与对角矩阵相似的充要条件是 C 。（A） 矩阵A 有n 个特征值。（B）矩阵A的行列式。 （C）矩阵A 有n 个线性无关的特征向量。 （D）矩阵A的秩为n 。三、设A 和B 都是3阶方阵，E为单位阵，其中， 求。 四、设线性方程组 （1）为何值时，方程组有唯一解、无解； （2）为何值时，方程组有无穷多解？并求出其通解。五、设向量的线性无关，非零向量与都正交，证明：与线性无关。 六、设 ，求。 七、设，（1
3、）求A的特征值；（2）求其特征值所对应的特征向量。八、化二次型为标准形 九、设 是欧氏空间的标准正交基,证明:也是的标准正交基 参考答案一、填空（） （）（）（），（）必要二、选择题（）A（）C（）B（）C（）C三、解：由恒等变形得： 存在四、解：该方程组是非齐次线性方程组，其增广矩阵为。 现对其增广矩阵做初等行变换:由上可以看出：（1） 当时，其系数矩阵的秩与增广矩阵的秩不相等，此时原方程组无解。（2） 当时，其系数矩阵的秩与增广矩阵的秩相等，且都为2，故此时方程有无穷多个解。此时增广矩阵为得,令，则得全不解为：。（3） 当时，系数矩阵跟增广矩阵秩都等与3，故方程有唯一解。五、证明：假设存在数使得下面等式成立：，因为非零向量与都正交，所以，所以有由向量的线性无关性可知：所以与线性无关。六、 解：，其中七、（1）由得A的特征值为。（2）当时，解方程。由，得基础解系为：，故所对应的特征向量为：.当时，解方程。由，得基础解系为，故所对应的特征向量为：.当时，解方程。由，得其基础解系为，故故所对应的特征向量为：.八、解：配方得：其中九、证：因为，类似可得：所以正交。同时 所以是V的标准正交基。6 / 6
