1、高考数学高分冲刺名家解读（一）-解析几何考试要求：(1)理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式.掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程.(2)掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直线所成的角和点到直线的距离公式.能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系.(3)了解二元一次不等式表示平面区域.(4)了解线性规划的意义，并会简单的应用.(5)了解解析几何的基本思想，了解坐标法.(6)掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念，理解圆的参数方程.【注意】本部分内容在高考中主要考查两个类型的问题：基本概念和求直线方程；直线与圆的位置关系等综合性试题.求
2、解有时还要用到平几的基本知识和向量的基本方法(1)掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，了解椭圆的参数方程.(2)掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质.(3)掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质.(4)了解圆锥曲线的初步应用.【注意】圆锥曲线是解析几何的重点，也是高中数学的重点内容，高考中主要出现三种类型的试题：考查圆锥曲线的概念与性质；求曲线方程和轨迹；关于直线与圆锥曲线的位置关系的问题.直线1. 定比分点:(1) 有向直线l上的一点P,把l上的有向线段和.和数量的比叫做点P分所成的比,点P叫做的定比分点.=;=.(2) l的变化情况表:分点的位置内分点外分点
3、分点与一端点重合P在P1P2上P在P1P2的延长线上P在P2P1的延长线上P与P1重合P与P2重合图示l0l-1-1l0,表示以()为圆心,半径r=的圆.当D+E-4F=0时,圆退化为点().(3) 以A(x1,y1)B(x2,y2)为直径的圆:(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.(4) 求圆的方程的方法:根据已知条件直接写出标准方程或一般方程;待定系数法;利用轨迹.2. 圆的切线:(1) 过圆x+y=r上一点P(x0,y0)的切线方程为x0x+y0y=r;(2) 过圆(x-a)+(y-b)=r上一点P(x0,y0)的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)
4、=r;(3) 过圆x+y+Dx+Ey+F=0上一点P(x0,y0)的切线方程为x0x+y0y+D+E+F=0;(4) 过圆外一点P(x0,y0)的切线方程的解答方法是:(5) 过点P(x0,y0)引圆的切线,切点为P1,则切线长|PP1|=;(6) 过圆x+y+Dx+Ey+F=0外一点P(x0,y0)引切线,由切点弦方程为x0x+y0y+D+E+F=0.3. 圆系:(1) 已知两圆C1,C2相交于A,B,其中Ci:x+y+Dix+Eiy+Fi=0,i=1,2,则x+y+D1x+E1y+F1+l(x+y+D2x+E2y+F2)=0其中当l=-1时表示两圆的根轴方程或l1(x+y+D1x+E1y+
5、F1)+l2(x+y+D2x+E2y+F2)=0(0,且l1l2)表示过A、B两点的圆系.(2) 同心圆系:(x-x0)+(y-y0)=r.(3) 半径为定值r的圆系:(x-m)+(y-n)=r.4. 几何图形与圆:(1) 点与圆:点P(x0,y0)在圆上(x0-a)+(y0-b)=r;点P(x0,y0)在圆外(x0-a)+(y0-b)r;点P(x0,y0)在圆上(x0-a)+(y0-b)2c轨迹是椭圆;(2)若2ab0)(ab0焦点F(c,0)在x轴上);(ab0焦点F(0,c)在y轴上),a、b、c之间的关系是:a=b+c;线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴.它们的长分别等于2
6、a和2b，椭圆表示中心在点(m,n)上的椭圆.(椭圆的标准方程判别方法：判别焦点在哪个轴只要看分母的大小：如果项的分母大于项的分母，则椭圆的焦点在x轴上，反之，焦点在y轴上.)(2) 参数方程: 椭圆（0）的参数方程为,（为参数）.这里参数叫做椭圆的离心角(几何意义是：对应大圆上的点的圆心角).椭圆上点P的离心角与直线OP的倾斜角不同：；椭圆的参数方程可以由方程与三角恒等式相比较而得到，所以椭圆的参数方程的实质是三角代换.3. 椭圆的性质:(1) 特征三角形,范围,对称性,顶点.(2) 离心率: 0e1.e越接近于1时，椭圆越扁；反之，e越接近于0时，椭圆就越接近于圆.(3) 准线:直线x(y
7、)=.(4) 焦半径:对椭圆上任意一点P(x0,y0),对双曲线上任意一点P(x0,y0),焦半径|PF右|=|ex0-a|=a-ex0;|PF左|=|ex0+a|=ex0+a.焦半径|PF上|=|ey0-a|=a-ey0;|PF下|=|ey0+a|=ey0+a.右焦弦长=|2a-e(x1+x2)|;左焦弦长=|2a+e(x1+x2)|.焦半径成等差数列则横（纵）坐标也成等差数列(5) 通径:椭圆的通径为:;焦准距（焦点到相应准线的距离）为，(6) 共焦点的椭圆系方程:,焦点是F(,0).(7) 短顶点对两焦点所张的角最大. (cosP=-1+或用焦点三角形加以证明arcos(1-2e2),2
8、arcsine)(8) 圆锥曲线的焦半径:|FA|=(p为焦准距,e为离心率,为焦半径与x轴正半轴所成的角;p+|FA|cos=|AM|=)(9) 椭圆的的内外部:点在椭圆的内部(10) 焦点三角形经常利用余弦定理、三角形面积公式将有关线段、2c，有关角结合起来，建立|PF1|+|PF2|、|PF1|PF2|等关系。面积公式：.三、 双曲线:1. 定义:在第一定义|PF1|-|PF2|=2a,|F1F2|=2c中,(1)若2a2c轨迹不存在;(3)若2a=2c轨迹是两条射线.(若没有外层绝对值,由轨迹是双曲线的单支或是一条射线.) 双曲线的第二定义：平面内到定点（焦点）与到定直线（准线）距离的
9、比是一个大于1的常数（离心率）的点的轨迹叫做双曲线.2. 双曲线的方程:(1) 标准方程:(焦点F(c,0)在x轴上);(焦点F(0,c)在y轴上), 实轴长为2a，虚轴长为2b,a、b、c之间的关系是:c=a+b.(实正虚负)实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线;以已知双曲线的虚轴为实轴,实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线;表示中心在点(m,n)上的双曲线.(2) 参数方程:.3. 双曲线的性质:(1) 特征三角形,范围,对称性,顶点.(2) 离心率: 离心率e越大，开口越大.(3) 准线:直线x(y)=.(4) 渐近线:.共渐近线的双曲线系:.若渐近线方程为:y=,则可设双曲线方程
10、为;若渐近线方程为Ax+By+C=0,则首先整理再设.(5) 焦半径:对双曲线上任意一点P(x0,y0),焦半径|PF右|=|ex0-a|=;|PF左|=|ex0+a|=.焦半径|PF上|=|ey0-a|=;|PF下|=|ey0+a|=.右焦弦长=|2a-e(x1+x2)|;左焦弦长=|2a+e(x1+x2)|.焦半径成等差数列则横（纵）坐标也成等差数列(在同一支上)(6) 通径:双曲线的通径为:,焦准距（焦点到相应准线的距离）为.(7) 共焦点的双曲线系方程:,焦点是F(,0).(8) 点与双曲线:若则点P(x0,y0)在双曲线开口之外;若则点P(x0,y0)在双曲线开口之内.(9) 双曲线
11、焦点三角形面积：，高。(10) 过曲线C1:f1(x,y)=0与C2:f2(x,y)=0交点的曲线系方程为:l1f1(x,y)+l2f2(x,y)=0,(0).(11) 过一个已知点与双曲线有且仅有一个公共点的直线的条数:点在开口内有2条;点在开口外(非渐近线)上有4条;点在渐近线(非中心)上有2条;点在双曲线上有3条;点在中心上有0条.例如:直线l:ax+by-3a=0与双曲线-=1只有一个公共点,求直线l的方程.四、 抛物线:1. 定义:平面内与一定点F和一条定直线l(定点不在定直线上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线;当点F在直线l上时,轨迹是以F为端点垂直于l的射线.2. 抛物线的基本性
12、质:方程焦点准线图形焦半径焦点弦长通径y=2px(p0)F(,0)X=-|PF|=+x0|P1P2|=x1+x2+p2py=-2px(p0)F(-,0)X=|PF|=-x0|P1P2|=p-x1-x22px=2py(p0)F(0,)Y=-|PF|=+y0|P1P2|=y1+y2+p2px=-2py(p0)F(0,-)Y=|PF|=-y0|P1P2|=p-y1-y22p3. 抛物线的参数方程:4. 点与抛物线:若2px0,则点P(x0,y0)在抛物线开口之外.5. 抛物线(y-b)=2p(x-a),(p0)表示顶点在(a,b)开口向右,焦点F(a+,b),准线是直线x=a-.6. 焦点弦的一个性
13、质:抛物线y=2px的焦半径|PF|=;焦点弦长|AB|=;过抛物线y=2px的焦点的一条直线和这条抛物线相交,两个交点的坐标为A(x1,y1)、B(x2,y2),则,y1y2=-p;.若弦AB被焦点分成m、n两部分,则.7. 过一个已知点与抛物线有且仅有一个公共点的直线的条数:点在开口内有1条;点在开口外有3条;点在抛物线有2条.8. 已知抛物线y=2px(p0)上两点A(x1,y1)、B(x2,y2),则弦AB过对称轴上一点Q(a,0)(a0)y1y2=-2pa.由A(,y1)、B(,y2)得=(-a,y1),=(-a,y2),则、共线y2(-a)-y1(-a)=0(y1-y2)+a(y1
14、-y2)=0y1y2=-2pa;x1x2=a.9. 抛物线y=2px(p0)的一条弦AB,则OAOB弦AB过定点M(2p,0).=+y1y2=-2ap=0a=2p.五、 直线与二次曲线:(对称问题、中点弦问题、取值问题、轨迹问题、定点与定值问题、圆锥曲线系问题以及圆锥曲线相互间的相关问题等)1. 基本处理方法:由消去y得到关于x的一元二次方程ax+bx+c=0或消去x得到关于y的一元二次方程ax+bx+c=0.(1) a=0或a=0(2) a0或a0,0直线与圆锥曲线相交,有两个公共点;=0直线与圆锥曲线相切,有一个公共点;0直线与圆锥曲线相离,没有公共点.(3) 在研究直线与圆之间的位置关系
15、时,可计算圆心到直线的距离然后与半径进行比较.2. 弦长公式:|AB|=|x1-x2|=|y1-y2|=，其中k是直线AB的斜率,AB两点的坐标分别为A(x1,y1)、B(x2,y2);特别,对在圆中求弦长时,可使用垂径定理.要学会变形使用两点间距离公式，当已知直线的斜率时，公式变形为或；当已知直线的倾斜角时，还可以得到或3. 切线:(1) 过点P(x0,y0)作圆锥曲线f(x,y)=0的切线时,只需用x0x代替x,用y0y代替y,用代替x,用代替y其余不变.当点P(x0,y0)为圆锥曲线上一点时,上述方法写出来的是过P点的切线方程,当点P(x0,y0)为圆锥曲线外一点时,上述方法写出来的方程
16、是过切点弦方程.(2) 过圆锥曲线f(x,y)=0外一点P(x0,y0)的切线方程可设为y-y0=k(x-x0),然后与圆锥曲线联立后消去一个变量让=0可解出k,注意考虑斜率不存在的情况.(3) 过圆f(x,y)=0外一点P(x0,y0)的切线方程的求解方法比较多.4. 中点弦:(1) 设出弦方程,与圆锥曲线方程联立后消去一个变量利用韦达定理可求得中点的横坐标或纵坐标,再代入直线方程可求得中点的另一个坐标.(2) 可设弦AB两端点的坐标分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)代入圆锥曲线方程,两式相减会出现中点的坐标和AB的斜率.椭圆:kABkOM=-,kABkOM=5. 互相垂直的弦:(1)
17、 设其中一个斜率为k,则另一个斜率为-;(2) 若两弦都过点P(x0,y0)(x1-x0)(x2-x0)+(y1-y0)(y2-y0)=0.6. 对称:六、 曲线方程的求法:1. 待定系数法:已知曲线方程的形式,只需待定方程中的系数时,应使用此法.2. 代入法:(又称转移法,相关点法)当曲线上的动点P随某已知曲线上的动点Q的确定而确定,并且能用P点的坐标表示Q点的坐标时,可使用此法.3. 定义法:当曲线上的动点满足的几何条件与某种曲线的定义相同时,可利用该曲线的方程来求.4. 直接法:当曲线上的动点满足的几何条件能写成等式,且能用坐标表示时,可使用此法.这是求曲线方程最基本的方法.5. 参数法
18、:当曲线上的动点坐标之间的直接关系无法找到,但可借助于中间变量(参数)来沟通它们的关系时,可使用此法.参数可以是一个或几个,如果有n个参数,必须建立n+1个独立的关系式.6. 交轨法：例如:求直线l1:y=(x-t-1)和直线l2:y=-(x-+1)交点P的轨迹.7. 复数法:有的曲线方程可利用复数知识来求.七、 解析几何的最值问题:1. 利用圆锥曲线的定义求最值:2. 利用几何性质求最值:3. 利用不等式的性质求最值:4. 在圆锥曲线上求点,使点到已知点的距离取得最大(小)值:5. 在圆锥曲线上求点,使点到已知直线的距离取得最大(小)值:八、 参数方程:1. 定义:在取定的坐标系中,如果曲线
19、上任意一点的坐标x、y都是某个变数t的函数并且对于t的每一个允许值,由上方程组所确定的点M(x,y)都在这条曲线上,那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程,联系x、y这间关系的变数叫做参变数,简称参数.(其中,参数ta,b(也可为开区间),f(t)、j(t)都是a,b上的单值连续函数.如果曲线C与参数方程的解建立如下对应关系:(1)对于每个适合条件at0b的t0,通过方程组确定的点M0(f(t0),j(t0)在曲线C上;(2)对于曲线C上任意点M1(x1,y1),都至少存在一个t1,at1b有,则方程组叫做曲线C在直角坐标系中的参数方程.2. 参数方程化为普通方程:要注意消t的过程中,不能增加
20、也不能减少曲线上的点.如:(tR)y2=x3(x0).3. 普通方程化为参数方程:先确定x=f(t),代入普通方程后求出关系y=j(t),在选定f(t)时,必须注意其值域与普通方程中x的允许值域相一致,其次参数方程中两个函数f(t)、j(t)是单值连续的.4. 常见的参数方程:(1) 直线参数方程的标准形式:过点P0(x0,y0),倾斜角为的直线的参数方程是,t的几何意义是,P0点到直线上参数t所确定的点P的有向线段P0P的数量,如果直线上两点A、B对应的参数分别为t1,t2,那么|AB|=|t1-t2|,线段AB中点所对应的参数值为.直线的一般式参数方程:为标准式a2+b2=1且b0.(2)
21、 圆的参数方程:(x-x0)+(y-y0)=r.(3) 椭圆的参数方程:.(4) 双曲线的参数方程:.(5) 抛物线的参数方程:y=2px.九、 极坐标:1. 定义:极点极轴长度单位角度单位和它的正方向,四者缺一不可.平面内取一个定点O,叫做极点,引一条射线Ox,叫做极轴,再选定一个长度单位和角度的正方向(通常取逆时针方向).对于平面内任意一点M,用表示线段OM的长度,表示从Ox到OM的角度,叫极径,叫做极角,有序数对(,)就叫做点M的极坐标,这样建立的坐标系叫做极坐标系.2. 极坐标的确定:一般按点与极点的距离求极径的数值,并给出下号或负号,然后按照极径的正负及所在直线的位置求出极角.3.
22、建立极坐标系后,给定和,就可以在平面内确定唯一点M;反过来,给定平面内一点,也可以找到它的极坐标(,),但和直角坐标系不同的是,平面内一个点的极坐标可以有无数种表示法,(,)与(-,+)是同一点的坐标,而且一个角加2n(nZ)后都是和原角终边相同的角.4. 椭圆、双曲线、抛物线的统一极坐标方程:=(焦点F为极点,过焦点F作准线的垂线,垂足为K,以焦点F为极点,FK的反向延长线Fx为极轴,建立极坐标系,M(,)是曲线上仍意一点),ep的几何意义:ep的数值等于圆锥曲线的“通径”(或正焦弦)长度的一半.证明,当或时,=ep,由此可知通径的长度为ep.(1) 当0e1时,方程只表示双曲线的右支,定点
23、F是它的右焦点,定直线是它的右准线;5. 极坐标和直角坐标的互化:(1) 互化公式:x=cos,y=sin;=x+y,tan=(x0).(2) 特殊直线方程:=;cos=a;sin=b.(3) 特殊圆的方程:=r;=2rcos;=2rsin.十、 坐标平移:或 (三)双曲线及其标准方程 (四)双曲线的简单几何性质 (五)抛物线抛物线的内外部点在抛物线的内部.(六)直线与圆锥曲线相交1弦长公式抛物线y2=2px(p0)的焦点弦（1）x1+x2+p;（2）y1y2=p2，x1x2=;过椭圆（ab0）左焦点的焦点弦为AB，则，3圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。在
24、椭圆中，以为中点的弦所在直线的斜率k=；在双曲线中，以为中点的弦所在直线的斜率k=；在抛物线中，以为中点的弦所在直线的斜率k=。特别提醒：（1）务必别忘了检验！(2)简便的检验方法：如右图双曲线中点在渐近线和曲线上或它们之间的空隙区域，符合条件的方程都是增解；其它区域内的点为中点的弦的方程都符合题意4椭圆、双曲线的通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）为，焦准距（焦点到相应准线的距离）为，抛物线的通径为，焦准距为；典型例题：例1. 已知椭圆,(ab0),A(-a,0),B(a,b),AB与椭圆交于C,求|AC|:|CB|=_.令其等于,用定比分点坐标公式比较方便,C()在椭圆上.当研究共线线段的积或
25、商时常用此法,作为一个基本方法.例2. 过原点作直线交圆x+y-2x-3y=0于点P,在射线OP上取一点Q,使|OP|OQ|=10,求Q点的轨迹方程.设(0)与连结A(1,1)、B(2,3)两点的线段没有公共点,求a的取值范围.可以构造二次函数或AB在内、外或A在外B在内的补集,a或0a.例7. 椭圆ax+y=a(oa0)的点A和B.进攻队员沿直线AD向安全线跑动,防守队员沿直线BM方向前往拦截.设BM与AD交于M,若在M点,防守队员比进攻队员先到或同时到,则进攻队失败.已知进攻队员速度是防守队员速度的2倍,且他们双方速度不变,问进攻队员的路线AD应为什么方向才能取胜?30.例10. 直线y-
26、ax-1=0与双曲线3x-y=1相交于A、B两点.当a为何值时,A、B在双曲线的同一支上?当a为何值时,A、B分别在双曲线的两支上?(3-a)x-2ax-2=0,(-,)时在两支上.例11. 如果直线l经过双曲线9x-4y=36的中心,且与该双曲线不相交,则l斜率的取值范围是_.|k|3/2.例12. 直线y=x+3与曲线-=1有_个公共点.3例13. 设椭圆的方程+y=1,A(0,-1)为短轴的一个端点,M、N为椭圆上相异两点,若总存在以MN为底边的等腰AMN,则直线MN的斜率k的取值范围是_.(-1,1),2b=1+3k,b1+3k.1. 加法:b三角形法则b平行四边形法则b例：位移、速度
27、、加速度和力的合成2. 数乘:b数与向量的乘积是一个向量，模为数的绝对值与向量的模的乘积，当数大于零时与原向量同方向，当数小于零时与原向量反方向。b例：力与加速度（f=ma）、位移与速度（s=vt）、速度与加速度（v=at）3. 数量积:b两个向量的数量积是一个数，为它们的模与它们的夹角的余弦的乘积。b又称为内积或点积。4. b例：做功（w=fs）5. 向量积:b两个向量的向量积是一个向量，它的模是这两个向量的模与它们的夹角的正弦的乘积，方向与它们都垂直，并且第一个向量、第二个向量和它们的向量积成右手系。b例：力矩（m=rf）b几何意义：两个向量的向量的积模为以这两个向量为边的平行四边形的面积。6. 混合积:b三个向量的混合积是前两个向量的向量积与第三个向量的数量积。b几何意义：混合积的绝对值为以这三个向量为棱的平行六面体的体积。16
