1、返回返回后页后页前页前页1 函数极限概念一、x趋于时的函数极限二、x趋于x0 时的函数极限三、单侧极限 在本章,我们将讨论函数极限的基本联系,它们之间的纽带就是归结原理.函数极限与数列极限之间有着密切的概念和重要性质.作为数列极限的推广,返回返回返回返回后页后页前页前页一、x趋于时的函数极限设函数定义在极限.f (x)当 x 趋于 时以A为也无限地接近A,我们就称无限远离原点时,函数f (x)上,当 x 沿着 x 轴的正向返回返回后页后页前页前页趋于例如 函数当时,10203040O0.51为极限.以返回返回后页后页前页前页记为或者定数, 若对于任意正数 存在 使得定义1A 为返回返回后页后页
2、前页前页任意给定存在返回返回后页后页前页前页任意给定存在返回返回后页后页前页前页注 数列可视为定义在正整数集上的函数. 请大家所以(由定义1),例1 证明 任给取证与不同点.比较数列极限定义与函数极限定义之间的相同点返回返回后页后页前页前页例2证 任给这就是说返回返回后页后页前页前页定义2记为则称或返回返回后页后页前页前页记为定义3存在 当或返回返回后页后页前页前页证 对于任意正数这就是说例3求证返回返回后页后页前页前页例4 求证所以结论成立.证 对于任意正数 , 可取返回返回后页后页前页前页从定义1、2 、3 不难得到:定理 3.1则由定理 3.1，的充要条件是：例如返回返回后页后页前页前页
3、二、x趋于x0 时的函数极限设函数 f (x) 在点 x0 的某空心邻域 内有定义. 定义4为极限的定义.下面我们直接给出函数 f (x) 时以常数 A返回返回后页后页前页前页或者记为则称例5证明时, 使分析返回返回后页后页前页前页因只要 式就能成立, 故取 即可.证返回返回后页后页前页前页这就证明了返回返回后页后页前页前页例6 证明可以先限制因为此时有故只要所以要使分析返回返回后页后页前页前页这就证明了证 有返回返回后页后页前页前页例7 求证：注 在例5、例6中, 我们将所考虑的式子适当放大, 不是“最佳”的, 但这不影响我们解题的有效性. 其目的就是为了更简洁地求出 , 或许所求出的 返回
4、返回后页后页前页前页证 首先，在右图所示的单位圆内,显然有即故OCDBAyxx返回返回后页后页前页前页返回返回后页后页前页前页同理可证:返回返回后页后页前页前页例7证明：证 因为则这就证明了所需的结论.返回返回后页后页前页前页在上面例题中, 需要注意以下几点：, 我们强调其存在性. 换句话说, 对于固定 1. 对于的不同的方法会得出不同的 , 不存在哪一个更好的问题.数都可以充当这个角色.3. 正数是任意的,一旦给出,它就是确定的常数., 那么比它更小的正是不惟一的, 一旦求出了 返回返回后页后页前页前页有时为了方便,需要让 小于某个正数. 一旦对这为贵”.当然也能满足要求. 所以我们有时戏称
5、 “ 以小样的 能找到相应的 , 那么比它大的 , 这个 返回返回后页后页前页前页平面上以 y =A为中心线, 宽为 的窄带, 可以找到使得曲线段4. 函数极限的几何意义如图, 对于坐标落在窄带内.返回返回后页后页前页前页三、单侧极限x 既可以从 x0 但在某些时定义5 A为常数. 若对于任意正数 ,在定义区间的端点和分段函数的分界点等.候,我们仅需(仅能)在 x0的某一侧来考虑, 比如函数返回返回后页后页前页前页则称 A 为函数 f 当时的右(左)右极限与左极限统称为单侧极限, 为了方便起见，极限,记作有时记返回返回后页后页前页前页 例7 讨论函数解 因为所以返回返回后页后页前页前页由定义3
6、.4和定义3.5，我们不难得到：注试比较定理 3.1 与定理 3.1.定理 3.1不存在.返回返回后页后页前页前页作为本节的结束,我们来介绍两个特殊的函数极限.例9 证明狄利克雷函数证 处处无极限.满足返回返回后页后页前页前页这就证明了结论.则返回返回后页后页前页前页例10 设黎曼函数证 因为在 (0, 1) 中分母小于 N 的有理数至多只有个 , 故可设这些有理数为返回返回后页后页前页前页这就是说，除了这 n 个点外 , 其他点的函数值都对以上两种情形都有这就证明了小于 . 所以返回返回后页后页前页前页我们已经知道，狄利克雷函数在每点都无极限.能注 有兴趣的同学可以证明：复习思考题否构造一个函数，它仅在 处有极限.
