1、重点难点第一篇 复变函数论本篇重点：解析函数、复变函数的积分与留数定理.本篇特色：通过一典型环路积分，将各章节有机联系起来，使复变函数理论成为一个系统的有机整体，并加强了各部分内容之间的相互联系.注重培养创新思维、计算机仿真和解决实际问题的能力. 第一章复数与复变函数本章重点：复数的基本知识和复变函数区域的基本概念及其判断方法； 复变函数连续和极限的概念； 区域概念及其判断；复变函数的极限和连续。 本章难点：涉及到计算机编程实践, 以培养读者的计算机仿真能力. 读者可以利用Matlab ,Mathcad,Mathmatic 等数学工具软件直接进行复数及复变函数的基本运算, 详细参考第四篇：计算
2、机仿真编程实践部分本章知识点摘要：1.复数的概念定义形如的数为复数，记作.其中、分别称为复数的实部、虚部，记作，称为虚数单位，它满足.与实数不同，两个复数之间一般不能比较大小.2.复数的表示法（1）几何表示：对于复数可以用平面上起点在，终点在的矢量（或向量）表示；（2）代数表示：对于平面上的点可用代数形式表示复数，这种表示法称为代数表示，也可称为直角坐标表示；（3）三角表示：当时，复数可用三角函数形式表示.其中称为复数的模；（取整数）称为的辐角.当时，对应于辐角的主值，在本书中规定为；3.复数的运算（1）复数满足常规的四则运算规律.（2）若，则 （3）方根：设，则 关于复数的模和辐角有以下运算
3、公式；4.区域和平面曲线本章我们给出了系统的有关区域和平面曲线的概念.（1）区域：严格的定义是指同时满足下列两个条件的点集D：(i) 全由内点组成；(ii)具有连通性: 即点集中的任意两点都可以用一条折线连接起来，且折线上的点全都属于该点集；满足这两个条件的点集D称为区域.连通的开集称为区域，区域与它的边界一起构成的点集称为闭区域.区域可分为有界区域和无界区域，区域还有单连通区域与复连通区域之分.（2）简单曲线:没有重点的连续曲线,称为简单曲线.简单闭曲线: 如果简单曲线的两个端点重合，则称为简单闭曲线.5.复变函数极限与连续函数的极限等价于两个二元实函数和的极限.函数在点处的连续性等价于两个
4、二元实函数和在该点的连续性.解题思路:例 研究什么原像通过映射后变为相互垂直的直线.【解】 由，可以视为从xy平面到平面的映射，即为从z平面(原像)到平面（像）的映射，易得 我们具体考察在平面的像为相互垂直的直线,原像应该是什么？由题得到 即有 显然原像为双曲线，如图1.11(a)实线所示；即有 显然原像为双曲线，如图1.11(a)虚线所示.另外我们还可以进一步观察双曲线对应的变化关系.特别地，当原像点在如图1.11(a)的双曲线右分支实线上时，由且，得到，.因此双曲线的右分支的像可以表示为参数形式： 很明显，当点沿着右分支实线向上运动时，它的像如图1.11(b)沿直线向上运动.同样，双曲线左
5、分支的像的参数形式表示为 当左分支上的点沿曲线向下运动时，它的像也沿直线向上运动.同样地可以分析：另一双曲线 映像到直线.变化趋势如图1.11(a),(b)虚线所示，读者可自行分析.重点难点第二章 解析函数重点：复变函数导数的定义、求导法则及可微性概念； 解析函数的概念； 保角映射的概念； 常用的初等解析函数； 解析函数与调和函数的关系难点：多值函数产生多值性的原因；如何找出支点以及在什么样的区域内多值函数可以划分为单值的解析分支；从几何意义上描述解析函数的特征.特色：（Matlab，Mathcad，Mathmatic）编程计算简单的复数方程本章知识点摘要：1.复变函数的导数与微分复变函数的导
6、数定义在形式上和一元实函数的导数定义是类似的：微分的定义和高等数学里面一元实函数的微分定义也相似，而且可导和可微是等价的，.2.解析函数的概念解析函数是复变函数中一个十分重要的概念，它是用复变函数的可导性来定义的，若在及其一个邻域内处处可导，则称在解析.函数在某一点可导，在这点未必解析，而在某一点解析，在这点一定可导.函数在一个区域内的可导性和解析性是等价的.3.柯西黎曼条件方程 复函数的解析性除了要求其实部和虚部的可微性外，还要求其实部和虚部满足柯西黎曼方程（即C-R方程）. 函数在区域D内解析在D内可微，且满足C-R条件：. 4.关于解析函数的求导方法(1) 利用导数的定义求导数(2) 若
7、已知导数存在，可以利用公式 求导.5初等复变函数初等复变函数的解析性：初等函数解析性的讨论是以指数函数的解析性为基础的，因此在研究初等解析函数的性质时，都可归结到指数函数来研究.6解析函数与调和函数的关系区域D内的解析函数的实部和虚部都是D内的调和函数.要想使得在区域D内解析，和还必须满足C-R条件. 因此若己知一调和函数，可由它构成某解析函数的实部（或虚部），并可相应地求出该解析函数的虚部（或实部），从而求出该解析函数. 平面稳定场求复势就是其典型应用，也是解析函数物理意义的体现.解题思路例 已知 等势线的方程为，求复势. 【解】若设 ，则，故不是调和函数.因而不能构建为复势的实部（或虚部）
8、.若令 ，采用极坐标有，故把极坐标系中的拉普拉斯方程 简化为，即为根据极坐标C-R条件的得到 ，故复势为 我们可以总结出，当具有的函数形式时，一般采用极坐标运算较为方便.重点难点第三章 复变函数的积分重点：复变函数积分的概念、性质及计算方法；解析函数积分的基本定理柯西积分定理；推广得到的复合闭路定理，闭路变形定理； 由柯西积分定理推导出一个基本公式柯西积分公式.难点：理解分别以有界单连通域、有界复连通域、无界区域对柯西积分公式进行的证明；理解复变函数积分理论既是解析函数的应用推广特色：尝试计算机仿真计算积分的值。本章知识点摘要1本章所涉及的典型实例类型总结第一类典型实例：给出了不同于常规教材的
9、重要典型实例，即计算环路积分，它可以分别用复变函数论中的理论进行求解由此读者能应用柯西积分定理、柯西积分公式、以及即将学习的级数展开法、留数定理以及留数和定理进行求解. 由此加强各章节之间的有机联系, 使读者充分理解各定理的区别和联系第二类典型实例：复变函数模的积分（如）的计算方法，取模后该积分与二元实函数的环路积分类似，故为高等数学中的环路实积分提供了新的计算方法第三类典型实例：若要使闭合环路积分中换元法仍然有效，则必须考虑积分变换后辐角的改变. 2本章系统知识概述1）复变函数的积分复变函数积分的概念是这一章的主要概念，它是定积分在复数域中的自然推广，和定积分在形式上也是相似的只是把定积分的
10、被积函数换成了复函数，积分区间换成了平面上的一条有向曲线复积分实际上是复平面上的线积分，它们的许多性质是相似的如果，则即复变函数的积分可以化为两个二元函数的曲线积分2）柯西定理与柯西公式（1）柯西定理 如果函数在单连通域内处处解析，那么函数沿内任意一条闭曲线的积分值为零，即推论 如果函数在单连通域内处处解析，则积分与连结起点与终点的路径无关（2）牛顿莱布尼兹公式 若在单连通域内处处解析，为的一个原函数，那么 其中、为中任意两点（3）复合闭路定理 设为复连通域内的一条简单闭曲线，是在内的简单闭曲线，且中的每一个都在其余的外部，以为边界的区域全含于如果在内解析，那么有(i) ，其中为由L以及（）所
11、组成的复合闭路正方向(ii)，其中L及所有的都取逆时针正方向（4）闭路变形原理 在区域内的一个解析函数沿闭曲线的积分，不因闭曲线在内作连续变形而改变积分的值，只要在变形过程中曲线不经过函数不解析的点3）.柯西积分公式的几个重要推论（1）高阶导数公式 解析函数的导数仍为解析函数，它的阶导数为:其中为的解析区域内包含在其内部的任意一条正向简单闭曲线，且内部全属于； （2）解析函数的平均值公式; (3) 柯西不等式; (4）刘维尔定理; （5）莫勒纳定理; 解题思路 例 试根据复变函数环路积分讨论公式的物理意义【解】设在点有电量为的点电荷, 在复平面上形成二维静电场（向量场） ,我们知道在点处的场强
12、为：其中分别代表径向,方向的单位矢量于是电场强度的分量为：我们注意到函数 易见向量场（电场）正好与这个函数的共轭相对应，因此上式中矢量含义与复变函数环路积分物理意义中的含义相同。其物理意义【7】：由场论知电场是无旋的场，则电场强度沿着的环量另外，如果包含点，则通量 ；如果不包含点，则通量 .重点难点第四章 解析函数的幂级数表示重点：复级数的基本概念及其性质；如何将解析函数展开成泰勒级数及罗朗级数；解析函数的重要性质。难点：理解一个函数的解析性与一个函数能否展为幂级数是等价的. 特色：尝试用计算机仿真编程方法(Matlab，Mathematic ，Mathcad)进行级数展开。本章知识点摘要：1
13、.复数项级数数列和级数的收敛定义与实数域内数列和级数的收敛定义类似.数列收敛的充要条件是实数列和同时收敛.级数收敛的充要条件是实级数和同时收敛.是级数收敛的必要条件.2.函数项级数 幂级数函数项级数中的各项如果是幂函数或，那么就得到幂级数或.幂级数的收敛域为一圆域，其边界称为收敛圆. 在圆的内部幂级数绝对收敛；在圆的外部幂级数发散，在圆周上幂级数可能处处收敛，也可能处处发散，或在某些点收敛，在另一些点发散.收敛圆的半径称为幂级数的收敛半径，求幂级数或的收敛半径的公式有比值法或根值法或 3.泰勒级数形如的幂级数称为泰勒级数，若，则为麦克劳林级数.定理 若函数在圆域内解析，则在此圆域内，可展开成泰
14、勒级数.且展开式是唯一的.但需要特别说明的是： 尽管上式右端的幂级数可能在收敛圆周上处处收敛，也可能处处发散，或在某些点收敛，在另一些点发散. 但幂级数的和函数在收敛圆周上至少有一个奇点. 4.罗朗级数形如的级数称为罗朗级数，它是一个双边幂级数.定理 若函数在圆环域内解析，则在此圆环域内，可展开成罗朗级数，其中，L为圆环域内绕的任一正向简单闭曲线.5.本章主要题型及解题方法(1)讨论复数列的敛、散性可通过讨论它的实部数列和虚部数列的敛、散性进行判断.(2)讨论复级数的敛散性可通过讨论它的实部数列和虚部数列的敛、散性进行判断.对于有些级数，若当时，通项不趋于零，则级数发散.通过讨论的敛散性来获得
15、的敛散性.(3)求幂级数的收敛半径及在收敛域内的和函数解题思路：例 函数在平面上有两个奇点：与. 平面可以被分成如下三个互不相交的的解析区域：(1)圆；(2)圆环；(3)圆环，试分别在此三个区域内求的展开式.【解】 首先将分解成部分分式(1) (1) 在圆域内，因为，故，于是有为在圆域内的泰勒展开式.(2) (2) 在圆环域内，有，故(3)在圆环域内，这时，故另外，对函数还可以求它在奇点2的去心邻域的罗朗展开式这是同一个函数在不同的圆环域中的罗朗展开式. 显然在不同的展开区域有不同的展开式，这与罗朗展开式的唯一性并不矛盾.重点难点第五章 留数定理重点：利用留数定理转化为留数计算问题.难点：选好
16、复变量积分的被积函数和积分围线；确定积分区域和奇点。特色：利用计算机仿真计算留数积分。本章知识点摘要：1孤立奇点概念及其类型若函数在处不解析，但在的某一去心邻域内处处解析，则称为的一个孤立奇点.孤立奇点可按函数在解析邻域内的罗朗展开式中是否含有的负幂项及含有负幂项的多少分为三类如果展开式中不含、或只含有限项、或含无穷多个的负幂项，则分别称为的可去奇点、极点、本性奇点.孤立奇点类型的极限判别法：1） 1） 若（为有限值），则为的可去奇点；2） 2） 若，则为的极点。进一步判断，若（为有限值且不为0），则为的阶极点；2留数的定义、计算方法留数定义：设为函数的孤立奇点，那么在处的留数其中为去心邻域内
17、任意一条绕的正向简单闭曲线.有限远点留数的计算方法：（1）用定义计算留数. 即求出罗朗展开式中负幂项的系数或计算积分.这是求留数的基本方法.（2）若为函数的可去奇点，则.（3）若为的一阶极点，则 .无限远点的留数计算方法 定理 若，则3留数定理、留数和定理及其应用留数定理 设函数在区域内除有限个孤立奇点外处处解析，为内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线，则 .留数和定理 设函数在扩充复平面上除了以及以外处处解析，则计算三种类型的实变量积分：（i）；（ii），分母比分子至少高两阶；（iii），分式多项式，即分母比分子至少高一阶. 解题思路：例： 计算积分（为正整数）.【解】 以为一阶极点，故得于是由
18、留数定理得2：求的值.【解】 令，由于，因此设 在积分区域内函数有二个极点，其中为二阶极点，为一阶极点，而 因此重点难点第六章 保角映射重点：复习导数解析函数的几何意义，了解保角映射的概念；掌握分式线性映射的保角性、保圆周性和保对称性；熟练掌握利用分式线性映射求一些简单区域（半平面、圆、二圆弧所围区域、角形域）之间的保角映射掌握幂函数、指数函数以及它们的复合函数所构成的映射；掌握给定三对对应点决定分式线性映射的方法难点：学会利用复变函数（特别是解析函数）所构成的映射来实现复杂区域的简单化特色：计算机仿真绘出等值线图形和其他曲线图形本章知识点摘要：1保角映射保角映射：具有保角性且伸缩率不变性的映
19、射定理若函数在区域内解析，且对任意的，有，则必是内的一个保角映射2分式线性映射（1）形如的映射统称为分式线性映射它可以看成是由下列各映射复合而成：(i），这是一个旋转伸缩平移映射，也称为整式线性映射；(ii），称为倒数映射或反演映射由于他们在扩充的复平面上都是一一对应，且具有保角性、保圆周性与保对称性，因此，分式线性映射也具有保角性、保圆周性与保对称性（2）平面和平面上的三对点可唯一确定一个分式线性映射即设平面上的三个相异点对应于平面上的三个相异点，则唯一确定一个分式线性映射：（3）三类典型的分式线性映射 (i）把上半平面映射成上半平面的映射为：，其中a,b,c,d都是实数，且（ii）把上半平
20、面映射为单位圆内部的映射为 (iii）把单位圆内部映射成单位圆内部的映射为3几个初等函数所构成的映射(1）幂函数这一映射的特点是：把以原点为顶点的角形域映射为角形区域（包括半平面及全平面），其张角的大小变成了原来的倍(2）指数函数这一映射的特点是：把水平的带形域映射成角形域（时，此角形域为上半平面）把这两个函数构成的映射与分式线性映射联合起来可以进一步解决某些区域之间的变化问题 4. 本章主要题型（1）判别一个映射，是否是保角映射（2）已知映射及一个区域，求像区域（3）已知两个区域，求映射以上（2），（3）题目较为灵活故必须熟练掌握各种基本映射（整式线性映射、幂函数映射、指数函数映射等）的特点
21、及一些基本区域之间的映射（或变换）例 求一个保角映射，将平面上的弓形域，映射成的上半平面【解】如图6.14，经计算交点为，其中处圆弧的方向角为可考虑先将平面上的弓形域映射成平面（注意图中未画出平面）的角形域，再将角形域映射成平面的上半平面设分式线性映射将映射成平面上的点0. 而映射成平面上的，于是该映射可写为当时；当时，所以映射将弓形域映射成角形域：即为平面上的顶点在原点，且以射线和为两边的角形域（读者可自行验证)再对施以旋转变换，它将平面上的角形域顺时针旋转而成为平面上的角形域最后，再令，它将平面上的角形域映射成平面上的上半平面复合映射，便得到即映射把平面上的弓形域映射成平面上的上半平面 重
22、点难点第七章 傅里叶变换重点：复数形式的傅里叶级数；傅里叶变换的性质；相关函数难点：灵活运用傅里叶变换的性质进行傅里叶变换特色：学习用Matlab提供的现成函数和直接积分的方法分别求解傅氏变换本章知识点摘要：1.傅里叶级数（1）周期函数的傅里叶展开 若函数以为周期的光滑或分段光滑函数，且定义域为，则式称为周期函数的傅里叶级数展开式，其中的展开系数称为傅里叶系数（2）复数形式的傅里叶级数以为周期的函数，则在的连续点处可将它展开成复指数形式（即复数形式）的傅里叶级数 ，其中.2傅里叶变换的定义傅里叶变换 若 满足傅氏积分定理条件，称表达式 为的傅里叶变换式,记作 傅里叶逆变换 如果 则上式为的傅里
23、叶逆变换式，记为 3傅里叶变换的性质性质1 线性定理 函数的线性组合的傅氏变换等于函数的傅氏变换的线性组合即是说，如果为任意常数，则对函数有 性质2 对称定理 若已知 ，则有 这反映出傅氏变换具有一定程度的对称性，若采用第一种定义，则完全对称 性质 3 位移定理 若已知 ，则有 性质4坐标缩放定理设是不等于零的实常数，若，则有性质5 卷积定理和频谱卷积定理 （1）卷积概念：已知函数 则积分称为函数与的卷积，记作 ，即有(2)卷积定理 设 ，则 成立这个定理说明了两个函数卷积的傅氏变换等于这两个函数傅氏变换的乘积 性质6 乘积定理设 则 其中 为的实函数，而代表对应函数的共轭4相关函数（1）互相
24、关函数对于两个不同的函数 和积分称为两个函数和的互相关函数，用记号表示互相关函数满足性质：（2）自相关函数当 时，积分称为函数的自相关函数（简称相关函数），用记号表示，即为易见，自相关函数是偶函数，即解题思路：例 求三角脉冲函数的傅氏变换及其傅氏积分表达式，其中本题的目的在于比较傅氏变换和傅氏积分表达式，及其综合应用【解】 根据傅氏变换的定义，且注意到三角脉冲函数是偶函数，所以这就是三角脉冲函数的傅氏变换下面我们通过其傅氏变换来求三角脉冲函数的积分表达式 根据傅氏逆变换的定义，并利用奇、偶函数的积分性质，可得重点难点第八章 拉普拉斯变换重点：了解怎样从傅里叶变换的定义出发，导出拉普拉斯变换的定
25、义； 拉普拉斯变换的一些基本性质； 其逆变换的积分表达式复反演积分公式； 像原函数的求法难点：拉普拉斯变换的灵活应用特色：试用计算机仿真求解其拉氏变换，并对结果进行反演变换，验证是否能变换为原函数本章知识点摘要：1拉氏变换的概念(1)定义 设函数当时有定义，而且积分（是一个复参量）在的某一区域内收敛，则将函数称为的拉氏变换（像函数），记为.（2）一些常用的函数的拉氏变换 ； ； ； （为正整数） ； ； .2 .拉氏逆变换概念若满足式：，我们称为的拉普拉斯逆变换，简称拉氏逆变换（或称为原函数），记为 .3.拉氏变换的性质性质1 线性定理 若为任意常数，且，则 性质2 延迟定理若设为非负实数，又
26、当时，则 性质3 位移定理 若，则有性质4 相似定理 设，对于大于零的常数，则有性质5 微分定理 设，设存在且分段连续，则 性质6 像函数的微分定理 4 拉普拉斯变换的反演求拉普拉斯变换的反演即已知像函数求原函数（即为求反演积分）。按下述方法求得：（1） 有理分式反演法 若像函数是有理分式，只要把有理分式分解为分项分式之和，然后利用拉氏变换的基本公式，就能得到相应的原函数.（2） 查表法许多函数的拉普拉斯变换都制成了表格，可直接从表中查找。 (3) 黎曼梅林反演公式 若函数满足拉氏变换存在定理中的条件， 如果为的连续点，则该式即为黎曼梅林反演公式5拉氏变换的应用拉氏变换的应用非常广泛，本章主要
27、讨论了拉氏变换求积分，以及求解线性常微分方程.的方法. 解题思路例 求 的拉氏逆变换.【解】 和分别是的三阶和二阶极点，故用留数的计算方法得于是有当是有理函数时，还可以采用部分分式分解的方法把分解为若干个拉氏变换附表中的简单函数之和，逐个求得逆变换重点难点第九章 数学建模-数学物理定解问题重点：掌握掌握常用的定解条件分类及其求法；三类典型数学物理方程；定解问题的提法。难点：掌握数学建模的基本思想；本章知识点提要：1主要讨论的物理模型包括：（1）描述波动方程的建立（波动方程类型 ）1). 弦的微小横振动 ；2).均匀杆的纵振动；（2）热传导方程的建立 （热传导方程类型 ）(3) 稳定场方程的建立
28、 （泊松方程 或拉普拉斯方程）2 .定解条件包括初始条件和边界条件。（1）初始条件：说明物理现象初始状态的条件；（2）边界条件: 说明边界上的约束状况的条件常见的线性边界条件分为三类： 第一类 ;第二类，第三类除上述三类常见的边界条件外，还有自然边界条件，衔接条件，周期性条件等。3定解问题的提法：初值问题 、 边值问题 、 混合问题。4定解问题的主要解法概括如下：1.行波法：先求出满足定解问题的通解，再根据定解条件确定其特解.行波解是通解法中的一种特殊情形,行波法又称为达朗贝尔解法.2.分离变量法：先求出满足一定条件（如边界条件）的特解，然后再用线性组合的办法（组合成级数或含参数的积分）构成通
29、解，最后求出满足定解条件的解.3.幂级数解法：就是在某个任选点的邻域上，把待求的解表示为系数待定的级数，代入方程以逐个确定系数勒让德多项式、贝塞尔函数就是通过幂级数解法求得其解的.4.格林函数法：又称为点源影响函数法，把产生某种现象或过程的分布干扰分解为一系列离散的点干扰的影响，再利用线性叠加原理把这些点干扰影响叠加起来，从而获得整个过程的分布干扰所产生的影响.5.积分变换法：（包括傅里叶积分变换法和拉普拉斯积分变换法）把偏微分方程化为像空间上的常微分方程，然后求逆变换即得所求的解.6.保角变换法：利用解析函数将边界形状复杂的区域变换到某些边界形状简单的区域，从而使后一区域上的拉普拉斯边值问题
30、易于求解.解题思路设有一长为的理想传输线，远端开路. 先把传输线充电到电位为，然后把近端短路，试写出其定解问题. 【解】 （1）泛定方程：由于理想传输线仍然满足波动方程（数学物理方程）类型.（2）边值条件：至于边界条件，远端开路，即意味着端电流为零，即，根据(9.1.13)公式得到 且注意到理想传输线，故，代入条件有 而近端短路，即意味着端电压为零，即（3）初始条件：而开始时传输线被充电到电位为，故有初始条件，且此时的电流，根据(9.1.14)公式， 且注意到理想传输线，故 ，因而有综上所述，故其定解问题为 重点难点第十章二阶线性偏微分方程的分类重点：二阶线性偏微分方程的基本概念；分类方法和偏
31、微分方程的标准化.难点：常系数的二阶线性偏微分方程的化简方法；偏微分方程求解 。本章知识点提要：1本章主要描述了二阶线性偏微分方程的分类方法.从理论上证明了，对于二阶线性偏微分方程 若设判别式为 ，则二阶线性偏微分方程分为三类：当 时，方程称为双曲型;当 时，方程称为抛物型;当 时，方程称为椭圆型; 2二阶线性偏微分方程的标准化通过自变量变换使得二阶线性偏微分方程转化为标准类型. 其变换对应于特征线方程： 该常微分方程的特征曲线族分别对应于（1）两个实函数族；（2）一个实函数族；（3）一对共轭复函数族 （1）双曲型偏微分方程 因为双曲型方程对应的判别式，所以特征曲线是两族不同的实函数曲线，通过
32、自变量变换，则原偏微分方程变为下列形式 称为双曲型偏微分方程的第一种标准形式. （2）抛物型偏微分方程：判别式，特征曲线是一族实函数曲线通过自变量变换，则原偏微分方程变为 上式称为抛物型偏微分方程的标准形式（3）椭圆型偏微分方程椭圆型偏微分方程的判别式，特征曲线是一组共轭复变函数族通过自变量变换，则偏微分方程变为 称为椭圆型偏微分方程的标准形式3.二阶线性常系数偏微分方程的进一步化简 (1)双曲型 (2)抛物型 (3)椭圆型 解题思路求方程的通解【解】此方程是双曲型的第二标准形，我们可将其化成第一标准形的形式，由特征方程求特征线于是： 即 有 由复合函数求导法则 所以方程可以化简为，从而解得
33、，其中为任意函数。原方程的通解为 重点难点第十一章 行波法与达朗贝尔公式重点：二阶线性偏微分方程的行波解法；达朗贝尔公式的应用难点：理解定解问题适定性； 非齐次偏微分方程的求解本章知识点提要：1 1 求二阶线性偏微分方程的通解.2 2 二阶线性偏微分方程的行波解法(行波解法是通解法中的一种特殊的情形，行波法又称为特征线法). (1) 简单的含实系数的二阶线性偏微分方程的求解 (2) 更为一般的含实常系数的偏微分方程的求解 3 达朗贝尔公式（1） 达朗贝尔公式无界弦自由振动问题其解为称解的这种表达式为达朗贝尔(D.Alembert)公式.（2）达朗贝尔公式的物理意义 由任意初始扰动引起的自由振动
34、弦总是以行波的形式向正、反两个方向传播出去，传播的速度恰好等于泛定方程中的常数a，这就是达朗贝尔公式的物理意义4非齐次偏微分方程的求解 (i ) 纯强迫振动的解 由冲量原理法求解 根据冲量原理，对于纯强迫力所引起振动的定解问题：其解为(ii) 一般的强迫振动根据叠加原理得到其解为注： 这是求解无界区域强迫振动问题的一种比较简单的方法5 定解问题的适定性验证 对无界振动定解问题的达朗贝尔解进行解的适定性验证.解题思路例 求解半无界弦的强迫振动问题【解】 前面我们介绍了冲量原理法求解强迫振动，下面我们以另一特征线法求解. 作特征变换，则方程化为分别对积分，并代入原变量，求得通解 （11.6.7）由
35、初值条件得 （11.6.8） （11.6.9）由（11.6.9）式得 （11.6.10）联立（11.6.8）式和（11.6.10）式解得 （11.6.11） （11.6.12）为了利用通解（11.6.7），还必须求出在时的表达式为此，利用边界条件，有即所以 （11.6.13）把（11.6.11），（11.6.12），（11.6.13）代入通解（11.6.7），得所求定解问题的解为重点难点第十二章 分离变量法重点：（1）掌握分离变量法的适用范围及解题步骤（2）掌握齐次一维波动方程与热传导方程在各类齐次边界条件下对应的本征值问题、本征值、本征函数系及形式解的结构（以第一、二类边界条件为主）（3）掌
36、握圆域、圆环域、扇形域、部分圆环域及矩形区域上拉普拉斯方程边值问题的本征值问题、本征值、本征函数系及形式解结构难点：理解分离变量法的基本思想；学习用计算机仿真方法将结果以图形表示出来.本章知识点摘要：1. 分离变量理论(1)定解问题实施变量分离的条件 对于常系数二阶偏微分方程，总是能实施变量分离的但对于变系数的二阶偏微分方程则需要满足一定的条件，即必须找到适当的函数，才能实施变量分离边界条件可实施变量分离的条件:进行分离变量时，需适当根据边界情况选择直角坐标系（二、三维）、极坐标系（二维）、柱坐标系（三维）、球坐标系（三维）等2分离变量解法: 分离变量法(傅里叶级数法)的实质即为将时间变量(在
37、稳恒方程中为部分空间变量)视为参变量、将解展为空间变量（稳恒方程中为某一空间变量）的傅里叶级数，或者说将解按本征函数系展开，展示中每项为变量分离形式；3. 直角坐标系中的分离变量法常规的分离变量法步骤：第一步：分离变量;第二步：求解本征值（或称为固有值）问题;第三步：求特解，并进一步叠加求出一般解;第四步: 利用本征函数的正交归一性确定待定系数.4. 二维极坐标系下拉普拉斯方程分离变量 5. 球坐标系下分离变量 与时间无关的拉普拉斯方程的变量分离分解为欧拉型方程: ，球函数方程: 6. 柱坐标系下的分离变量(1).与时间无关的拉普拉斯方程在柱坐标系下的变量分离，对于方程下面区分，和三种情况（i
38、）该方程是欧拉型方程（ii）对于方程，令，方程化为，叫作阶贝塞尔方程（iii）以代入，令，则方程化为,叫作虚宗量贝塞尔方程 (2)亥姆霍兹方程的变量分离7非齐次偏微分方程与非齐次边界条件对于更一般的非齐次方程和非齐次边界条件的解法是首先通过变量代换将边界条件转化为齐次的，然后再对非齐次方程求解目前已经介绍的方法有冲量法、特解法和傅里叶级数法. 但需注意稳定场问题，不能用冲量法，因为它与时间变化无关. 解题思路例 求解三维静电场的边值问题： 【解】 设，将变量分离，并由边界条件（19.8.20），得： 相应的本征值和本征函数系为 和 这里，且 于是，得到满足泛定方程和边界条件的特解：把各特解叠加
39、，得级数解：再由边界条件（12.8.21），又得 及 把这两个式子的两端分别乘以，并在矩形，内积分，注意到函数系和的正交性，比较两边的系数，可以得到：这里，解出和，代入级数解，得所求解为：重点难点第十三章 幂级数解法 本征值问题重点：二阶常微分方程的幂级数解法难点：深入理解幂级数解法理论及其普适性；认识复数的本征函数族并练习仿真其正交性。本章知识点摘要:1常点邻域上的幂级数解法：具体以阶勒让德方程：的级数解法进行了讨论，给出了勒让德方程的解具体描述为: （1）当不是整数时，勒让德方程在区间上无有界的解（2）当为整数时，勒让德方程的通解为，其中称为第一类勒让德函数（即勒让德多项式），称为第二类勒
40、让德函数. 2奇点邻域的级数解法 ：阶贝塞尔方程： 的通解综述：（1）当，即不取整数时，通解可表示为 （2）不论是否为整数，通解都可表示为,其中为任意常数，为任意实数其中称为阶第一类贝塞尔函数，定义为. 定义第二类贝塞尔函数（又称为诺依曼函数）为 3. 施图姆刘维尔本征值问题（1）施图姆刘维尔型方程: （2）施图姆刘维尔本征值问题的性质（3）广义傅里叶级数 广义傅里叶系数对于，称右边的级数为广义傅里叶级数，系数叫作的广义傅里叶系数函数族叫作这级数展开的基广义傅里叶系数的计算公式：解题思路例 将勒让德方程化成施刘型方程【解】由施刘型方程的标准形式令， ，即可将勒让德方程转化为施刘型方程. 重点难
41、点第十四章 格林函数法重点：理解格林函数的基本原理；掌握各区域内格林函数的构建方法难点：圆形区域第一边值问题的格林函数构建本章知识点摘要1. 格林公式 第一格林公式： 第二格林公式： 2. 泊松方程方程的格林函数法 （1）定解问题 泊松方程 边值条件 （2）格林函数的引入及其物理意义（3）互易定理： （4）泊松方程的基本积分公式 3.无界空间的格林函数 二维轴对称情形的格林函数可选为： 三维无界球对称情形的格林函数可选为： 4. 用电像法确定格林函数电像法： 基于静电学的镜像原理来构建格林函数，故称这种构建方法为电像法（也称为镜像法）（1）上半平面区域第一边值问题的格林函数构建格林函数为即或(2)半空间内求解拉普拉斯方程的第
