1、课程名称：数学分析-1英文名称：Mathematical Analysis-I总学时：90学 分：5开课学期：1第一章 第一章 函数 第一节 第一节 实数域，绝对值，区间，邻域（2）第二节 第二节 函数的概念：定义，表示法，几何特性（单调性、周期性、奇偶性、有界性）（2）第三节 第三节 复合函数与反函数（2）第四节 第四节 初等函数（2）习题课（2）教学目的和学习要求：本章的内容大多数在中学已接触过，学生应对实数的稠密性、绝对值不等式加深理解。要深入理解函数的概念、分段函数的几何特性（尤其是函数有界、无界的分析定义），对基本初等函数和初等函数要熟练掌握其运算、几何形状，对以前没有接触过的Dir
2、ichlet函数，符号函数，Gauss函数等要熟悉。第二章 第二章 极限初论第一节 第一节 数列极限的定义（2）第二节 第二节 数列极限的性质：保号性，唯一性，有界性，两边夹法则（2）第三节 第三节 数列极限的运算：四则运算，单调有界数列，数e（2）第四节 第四节 无穷大量，无穷大量与无穷小量的关系(2)习题课 （2）第五节 第五节 函数极限：定义及性质（2）第六节 第六节 进一步的函数极限：各式情形（2）第七节 第七节 数列极限与函数极限的关系，两个重要极限（2）第八节 第八节 无穷大量与无穷小量阶的比较（2）习题课（2） 教学目的和学习要求：极限论是本课程最重要的基础知识。学习的难点是数列
3、极限和函数几极限的分析定义，这些定义与中学阶段所学的完全不同，初学者一定要在形式上严格按照格式去叙述，逐步去深入理解“-N语言”和“-语言”中严密的逻辑关系。对各种函数极限要能够准确地写出其分析定义。在用定义证明极限时，要充分利用放缩法，使求出的N或形式上尽量简单，并要特别注意逻辑关系。通过本章的学习，逻辑思维能力要有较大的提高。要注意区分无界变量和无穷大量，并熟悉指数函数、幂函数、对数函数阶的比较。在极限运算时，如要用等价量替换，要领会替换的实质。第三章 第三章 极限续论第一节 第一节 关于实数的基本定理：子列，上、下确界，确界原理，单调有界数列必有极限，区间套定理（2）第二节 第二节 致密
4、性定理，Cauchy收敛原理，有限覆盖定理（2）习题课（2）第三节 第三节 连续函数的概念，间断点分类（2）第四节 第四节 连续函数的性质：运算性质，复合函数的连续性（2）第五节 第五节 一致连续性与反函数的连续性（2）习题课（2）第六节 第六节 闭区间上连续函数的性质（2）第七节 第七节 初等函数的连续性（2）习题课（2）教学目的和学习要求：本章的内容是本课程的难点，尤其是关于实数的基本定理和闭区间上的连续函数的性质两部分，逻辑性强，所用的技巧和方法也是学生以前从未接触过的。一致连续的概念是本课程最难理解的概念之一。学生可以通过对实数的基本定理之间的相互推导的练习来加深理解和强化逻辑训练。对
5、连续函数的理解可以借助几何直观。闭区间上连续函数的性质是以后常用的结论，要深入理解和掌握。第四章 第四章 导数与微分第一节 第一节 引例及导数的定义（2）第二节 第二节 求导的四则运算法则（2）第三节 第三节 复合函数的求导法则和反函数的导数（2）第四节 第四节 初等函数的导数（2）习题课 （2）第五节 第五节 隐函数和参数方程求导，不可导的例子（2）第六节 第六节 微分及其应用（2）第七节 第七节 高阶微分与高阶导数（2）习题课（2）教学目的和学习要求：要深入理解导数作为函数的变化率的含义，通过导数的几何意义和物理意义，能够举一反三地应用导数去处理实际当中其他有关变化率的问题。求导法则和求导
6、公式要熟练掌握，复合函数求导法则是本章的难点。要深入理解微分的定义，掌握如何利用微分来作近似计算，并领会在一点的局部用切线代替曲线的思想。通过做大量的求导和求微分的练习题，提高运算能力。第五章 第五章 微分中值定理及其应用第一节 第一节 中值定理及其几何意义（2）第二节 第二节 Taylor 公式（2）习题课（2）第三节 第三节 函数的单调性与极值（2）第四节 第四节 应用：不等式的证明和最值问题（2）第五节 第五节 函数的凸性与拐点（2）第六节 第六节 渐近线与函数作图（2）习题课（2）第七节 第七节 洛必达法则（2）教学目的和学习要求：微分中值定理是微分学中最重要的定理，这些定理起到了函数
7、值与导数之间的一个桥梁作用。正因为有了这些定理，才可以用导数来研究函数，尤其是函数的单调性、凸性等几何性状。学生应熟练掌握这些定理的条件和结论，通过举缺少条件的反例来加深理解，熟练掌握三个定理之间的关系以及几何上的一致性。熟练掌握Taylor公式，并理解Taylor公式作为Lagrange定理的推广在多项式逼近中将起的作用。对中值定理和Taylor公式的应用，可以通过多做一些课外题来提高应用能力。课程号：20101550课程名称：数学分析-II英文名称：Mathematical Analysis-II总学时：108学 分：5开课学期：2第一章 不定积分第一节 原函数与不定积分的概念，积分公式（
8、2）第二节 换元法：凑微分与变量替换（2）第三节 分部积分公式（2）习题课（2）第四节 有理函数积分法（2）第五节 三角函数及无理函数的积分法（2）习题课（2）教学目的和学习要求：不定积分是作为求导运算的逆运算引进的，学习的重点是各类函数的积分的计算。凑微分法本身是一种积分法，它在分部积分公式中也是很有用的。对两种不同类型的函数乘积的积分，通常采用分部积分公式。学生要熟练掌握积分公式表，通过大量做题来提高运算能力。第二章 定积分第一节 面积及定积分的概念（2）第二节 可积性条件（2）第三节 可积函数类（2）第四节 定积分的性质（包括第一、二中值公式）（2）习题课（2）第五节 定积分计算：微积分
9、基本定理与Newton-Leibniz公式（2）第六节 定积分的换元法、分部积分法（2）习题课（2）教学目的与学习要求：定积分的概念反映了数学中一种非常重要的思想，这种局部地以直线代替曲线，以常数代替变数的思想有很强的应用背景，学生可以从平面区域的面积、路程问题、变力作功几个引例中体会这种思想。定积分作为Riemann和的极限，这种极限与以前学过的数列极限和函数极限都不同，学生应清楚这一点，并从积分的分析定义中理解这个极限。可积性条件是一个难点。学生可以从可积性条件中去推测可积的函数“基本上”应是连续函数。定积分的概念与不定积分是完全不同的，但通过微积分基本公式（这是一元函数微积分学中最重要的
10、公式），可以将定积分的计算化为不定积分的计算，从而定积分在实际生活中才有强大的生命力。定积分的换元法是计算定积分中常用的方法，要牢记“换元必须换限”这一口诀。第三章 定积分的应用第一节 平面图形的面积与曲线弧长（2）第二节 体积和旋转曲面的面积（2）第三节 在物理中的应用（2）习题课（2）教学目的和学习要求：根据定积分的概念，本章介绍的是在几何图形的度量（长度、面积、体积）和物理中两方面的应用。学生通过学习，要掌握这种“微元法”的思想，并能举一反三地用这种思想解决其他问题。各类计算公式要通过训练熟练掌握。第四章 数项级数第一节 上极限、下极限（2）第二节 级数的收敛性及其性质（2）第三节 正项
11、级数（2）习题课（2）第四节 绝对收敛与条件收敛级数的性质（2）第五节 任意级数：交错级数的Leipinz判别法，Abel判别法和Dirichlet判别法（2）第六节 无穷乘积习题课（2）教学目的和学习要求：数项级数是借助数列极限，将有限和推广到无限和，因此与数列极限有密切联系，学习本章时应时时加以比较。比较判别法是正项级数的所有收敛性判别法的基础，学生应掌握一些常见的级数的敛散性，以便比较。要注意比较判别法只适合于判别正项级数是否收敛或级数是否绝对收敛。Abel变换是估计乘积项之和a1b1+anbn的重要方法，它与分部积分公式、积分第二中值定理都有联系，学生应加以比较并灵活应用。证明一个级数
12、发散是本章的难点，学生应掌握如下常用的方法：证明一般项不趋近于零；Cauchy收敛原理；加括号；对正项级数，证明部分和无界；利用正项级数判别法；把通项分解为一个收敛级数的通项与一个发散级数的通项之和。第五章 广义积分第一节 无穷限的广义积分及其性质（2）第二节 收敛性判别法（2）第三节 无界函数的广义积分及其收敛性判别法（2）习题课（2）教学目的与学习要求：广义积分与第一章数项级数有密切联系，其收敛性判别法也非常相似。学生应熟记及 的收敛性，并用之判别积分是否绝对收敛，即熟练掌握Cauchy判别法。对于一般情形，Abel判别法和Dirichlet 判别法是有效的，学生要比较这两个判别法的条件。
13、很多情况下，广义积分比数项级数要简单。因为计算一个积分比计算一个部分和要容易。第六章 函数序列与函数项级数第一节 函数项级数及一致收敛的概念（2）第二节 一致收敛级数的性质（2）第三节 一致收敛性判别法（2）习题课（2）教学目的和学习要求：函数项级数的收敛性是逐点讨论的，这就是数项级数的收敛性。唯有一致收敛性不同。一致收敛性的概念是本课程最难理解的概念之一。初学者要熟悉“一致性”的叙述，并记住一些反例，要能体会“一致性”在将通项函数的性质传递给和函数时的重要性。在判别法方面，优级数判别法是一个首选的判别法，在不能由此法判别的时候，才考虑用Abel判别法或Dirichlet判别法或Cauchy收
14、敛原理。和函数的连续性和可导性其实是个局部性质，在证明此类问题时学生要掌握将函数限制在包含一点的某个闭区间内这一技巧。和函数的分析性质也是求级数的重要方法，应用时经常用先积分后求导或先求导后积分的手段。第七章 幂级数第一节 幂级数的收敛半径与收敛区间（2）第二节 幂级数展开（2）第三节 逼近定理（2）习题课（2）教学目的和学习要求：幂级数是一种特殊的函数项级数，因此前一章关于函数项级数的讨论，对幂级数都适用。在学习中，要熟悉求收敛半径的公式和几类常见初等函数的展开式，并加强对间接展开法、重要级数求和等方面的能力训练。幂级数求和是本章的难点，经常要用到逐项求导法或逐项积分法。第八章 Fourie
15、r级数和Fourier变换第一节 Fourier级数和Dirichlet积分（2）第二节 Riemann引理和局部性定理（2）第三节 收敛性判别法（2）习题课（2）第四节 函数的Fourier级数展开（2）第五节 Fourier级数的逐项求积和逐项求导（2）第六节 Fourier变换（2）习题课（2）教学目的和学习要求：Fourier级数与幂级数是两类最重要的函数项级数。一个函数要能够展开成幂级数，对函数的可导性要求很强，但展开成Fourier级数，对函数的要求则很低，与幂级数相比，Fourier级数不一定一致收敛，也不一定收敛到函数本身。但仍可以逐项积分和逐项求导，且有最佳均方逼近性质，因此
16、Fourier级数是比幂级数更优美，应用更广泛的一类级数。本章的重点是收敛性定理，学生既要能熟练求出Fourier系数，还要能够讨论其收敛性。课程号20101650课程名称：数学分析-III英文名称：Mathematical Analysis-总学时：108学 分：5开课学期：3第一章 多元函数的极限与连续第一节 Rn中的距离及收敛性（2）第二节 开集、闭集（2）第三节 Rn中的基本定理第四节 多元函数的极限：重极限和累次极限（2）第五节 连续函数及其性质，一致连续性（2）习题课（2）教学目的及学习要求：Rn中的距离是R中两个实数之间的距离（两数差的绝对值）的推广。正是有了距离，我们才能象在R
17、上一样讨论点列的极限，以及函数的连续性。这一章的内容基本上是R上有关内容的平行推广，学习时可作比较。Rn中的点集的若干概念较抽象，学习时可参照平面上的几何图形进行直观思维。开集、闭集等是拓扑中的概念，将来进一步学习有关课程中会重新遇到。第二章 多元函数的微分学第一节 偏导数和方向导数（2）第二节 全微分（2）第三节 链式法则（2）第四节 高阶偏导数和高阶微分（2）习题课（2）第五节 隐函数求导法（2）第六节 微分在几何中的应用（2）第七节 梯度向量，Taylor公式（2）习题课（2）教学目的和学习要求：多元函数的偏导数，事实上是让一个变量变化，其余变量固定，对这样的一元函数求导，因此，求偏导数
18、没有新的困难。正是因为偏导数是这样给出的，因此它只反映函数在某个坐标轴方向的变化率，而与其他方向的变化情况毫无关系，这就是为什么多元函数的偏导数存在，不一定在一点连续（与一元函数的差别！），学习时应特别注意这一点。本章较困难的是对于抽象的函数给出的方程的隐函数求导，但只要在计算过程中，特别注意到链式法则的应用，这一困难是可以克服的。可微、偏导数存在、连续三者之间的关系要非常熟悉，并能举出各种反例，尤其是偏导数连续仅仅是可微的充分条件，要牢记这一点并能举出相反结论不成立的例子。微分学在曲线论、曲面论中应用，是将来学习微分几何的基础，在多元函数的积分学中也有重要应用，应熟练掌握这一部分知识。第三章
19、 多元函数的极值第一节 极值（2）第二节 最小二乘法（2）第三节 条件极值，Lagrange乘数法（2）习题课（2）教学目的和学习要求：多元函数的极值问题是微分学的另一个应用，内容本身并不复杂。但很多其他的问题，例如距离问题、面积问题、一些不等式的证明都利用求极值的方法，尤其是求条件极值的方法解决。求解驻点的过程中，要特别注意方程组的特点，否则很难求出。有些求条件极值的时候，并不需要求出驻点，只要将参数或某种量求出即可得到问题的解，这种技巧要特别注意。最小二乘法是统计学中的一种方法，将来在学习这门课程时会用到。第四章 隐函数存在定理第一节 由一个方程确定的隐函数存在定理（2）第二节 由方程组确
20、定的隐函数存在定理（2）第三节 Jacobi矩阵和Jacobi行列式（2）习题课（2）教学目的和学习要求：隐函数存在性的证明比较难。学生应清楚隐函数存在性只是一个局部的存在性定理。所谓局部，不光是指自变量在一点的邻域变化，同时，函数值也只能限制在一点的附近取。证明的思路是充分利用连续函数的性质：在一点大于0，则在一点附近大于0。将一点的性质逐渐地扩散到一点周围。关键是吃透一个方程给出的隐函数的存在性的证明，余者类推。关于方程组的隐函数求偏导，容易出错，学生要清楚哪些是自变量，哪些是函数？这个环节很重要。求二阶以上的导数时，极易漏项，应重视。第五章 含参变量的积分第一节 含参变量的常义积分（2）
21、第二节 含参变量广义积分的一致收敛性及M-判别法（2）第三节 Dirichlet判别法和Abel判别法（2）第四节 一致收敛积分的性质（2）第五节 Euler积分（2）习题课（2）教学目的和学习要求：含参变量积分是又一种新的函数表达方法。对于它的分析性质的研究，如连续性，可微分和可积性等，涉及积分运算和其他分析运算的运算次序的交换性。常义的含参积分，这种交换问题较容易解决。广义的含参积分，则必须由一致收敛性保证运算次序的可交换。含参变量积分的一致收敛性判别法，与函数项级数的一致收敛性判别法很相似，学习时可以比较。一般情况下，首选M-判别法，此法失效时，才考虑用Cauchy收敛原理或Abel判别
22、法或Dirichlet判别法。有时候，为了计算一个广义积分，可以引进一个参数，把这个积分作为含参积分的特例。然后利用积分与求导交换、积分与积分交换的技巧求此含参积分，这种技巧和思想非常重要，学生应认真体会。第六章 重积分第一节 重积分的概念及性质（2）第二节 化二重积分为二次积分（2）第三节 二重积分的换元法（2）习题课（2）第四节 化三重积分为三次积分（2）第五节 球面坐标变换和柱面坐标变换（2）第六节 重积分在物理中的应用，广义重积分（2）习题课（2）教学目的和学习要求：重积分的定义仍然是Rlemann积分的思想，也即是局部地以常数代替变数，通过分划、求和、取极限三个步骤给出。重积分的计算
23、方法主要是两种，一是化为累次积分，二是坐标变换。将二重积分化为二次积分时，关键是要知道区域是哪种形状（X型还是Y型）？然后才好分配积分限。将三重积分化为累次积分时，可先将其化为先一次积分后二重积分，或先二重积分后一次积分去计算。坐标变换中，二重积分最重要的是极坐标变换，三重积分则有球面坐标变换和柱面坐标变换两种。在三重积分的计算中有一个难点，即几何图形不易观察和画出，从而积分限不好确定。要通过多练习提高解题能力。第七章 曲线积分和曲面积分第一节 第一类曲线积分及其计算（2）第二节 第一类曲面积分及其计算（2）习题课（2）第三节 第二类曲线积分（2）第四节 第二类曲面积分（2）习题课（2）第五节
24、 Green公式（2）第六节 Gauss公式（2）第七节Stokes公式（2）第八节 曲线积分与路径无关（2）习题课（2）教学目的和学习要求：曲线积分与曲面积分是本课程的又一难点，也是研究生入学考试中常考的内容。这一章的积分按定义的方式分类，可分为第一类积分和第二类积分，两种定义方式是完全不同的。第一类的曲线积分和曲面积分是Riemann积分的思想，第二类积分则完全不同于以往所学的积分类型，这种积分要考虑曲线和曲面的定向，与方向有关。但两类积分通过切向或法向的方向余弦联系。第一类曲线积分的计算主要是记住公式，尤其是弧长元素，各种方式给出的曲线都按此公式计算。第一类曲面积分的计算关键是面积元素在
25、直角坐标系或参数方程给出的曲面下的公式，由此将第一类曲面积分化为二重积分计算。第二类曲线积分的计算只有一个在参数方程表示的曲线下的计算公式，特别应注意是在公式的应用时，积分的上、下限要根据曲线的方向确定，而不管上、下限的大小。第一类曲线积分与第二类曲线积分之间由曲线的切方向的方向余弦联系。第二类曲面积分的计算是一个难点。由显函数给出的曲面容易确定公式前面的正负号。由参数方程确定的曲面，我们推荐“一点定正负”的方法，学生要熟练掌握这一方法。Green公式、Gauss公式和Stokes 公式是非常重要的公式；它们与Newton-Leibniz公式一样，都建立了图形内部的积分与边界积分之间的联系。在
26、应用公式时要特别注意两点：一是边界必须是封闭的（封闭曲线或封闭曲面），如果不封闭，则应添加使之封闭,二是函数在内部必须有连续偏导数，如果有某些点不满足，则应将这些点“挖”去。第八章 向量值函数的微分及场论初步第一节 向量值函数的导数（2）第二节 场论初步（2）习题课（2）教学目的和学习要求：向量值函数的导数充分利用代数的观点和方法，尤其是矩阵的运算，学习时应加以联系。学习场论时不光要熟练掌握概念、公式，也应清楚这些概念的物理意义。参 考 书 目1， 1，数学分析（上、下），复旦大学数学系，陈传璋等编，高等教育出版社，第二版，1983年2， 2，数学分析（上、下），陈纪修等编，高等教育出版社，第
27、一版，1999年3， 3，数学分析（一、二、三），周民强编著，上海科学技术出版社，第一版，2002年4， 4，数学分析简明教程（上、下），邓东皋、尹小玲编著，高等教育出版社，第一版，1999年5， 5，数学分析新讲（一、二、三），张筑生编著，北京大学出版社，第一版，1990年6， 6，数学分析（上、下），黄玉民、李成章编，科学出版社，第一版，1999年7， 7，数学分析（上、下），欧阳光中、姚允龙编著，复旦大学出版社，第一版，1993年8， 8，数学分析（上、中、下），吉林大学数学系编，人民教育出版社，第一版，1978年9， 9，数学分析（上、中、下），华东师范大学数学系编，高等教育出版社，第三版，2001年10，数学分析习题集，吉米多维奇11，微积分学教程（三卷八册），菲赫金哥尔茨12，数学分析中的问题和定理，波利亚、舍贵著，上海科学技术出版社，第一版，1981年13，数学分析原理（上、下），W.Rudin著，人民教育出版社，第一版，1979年14，数学分析习题精解（单变量部分），吴良森等编著，科学出版社，第一版，2002年15，数学分析习题精解（多变量部分），吴良森等编著，科学出版社，第一版，2003年10 / 10
