1、第五章 二次型1 二次型及其矩阵表示教学目的:让学生掌握二次型理论中的非退化线性替换;二次型的矩阵;经非退化线性替换后两个矩阵之间是合同的.教学内容:（1） 复习n元m次齐次多项式,仅当m=2的时候f ( x1, x2, xn )称为n元二次型，且规定aij = aji,记为f ( x1, x2, xn )=XAX（2） 由x1, x2, xn 到y1, y2, yn的称为非退化的线性替换,如果系数行列式 0,记为X=CY.（3） f ( x1, x2, xn )= 其中 A=(aij)nn称为二次型f ( x1, x2, xn )的矩阵,自然二次型矩阵都是对称的（4） X=CY是非退化线性替
2、换, f ( x1, x2, xn )经X=CY替换之后得到一个新的二次型g(y1, y2, yn ),则它的二次型矩阵B就有 B=CAC我们称A,B是合同的（5） 由(4) B=CAC,合同关系是等价关系（6） 如果令 Y=C-1X则把得到的二次型还原。布置作业：P232.1.2ch5 2 二次型的标准型数学目的:用非退化的线性替换化简二次型成平方和的形式教学手段:采用初等数学的方法中的配方法施行化简数学内容:对变量个数n作归纳法I理论依据:数域p上任意一个二次型都可以经过非退化的线性替换化变成平方和的型式当n=1时, f ( x1 ) =a11x12,已经是平方和了,假定对n-1元的二次型
3、,定理的结论成立.考虑的n元的情况: 1.aii中至少有一个不为零,不妨设a11 不等于零2.所有的aii=0,但是至少有一个a1j不等于零(j1)不失普遍性.设a12不等于零 3. a11=0,a12=0, ,a1n=0结论成立. II.理论依据:在数域p上,任意一个对称矩阵都合同于一个对角阵.III:理论依据:对于任意一个对称矩阵A都可以找到一个可逆矩阵C使CAC成对角矩阵 布置作业: P233. 3. 4 . 5 ch5 3 唯一性 数学目的:让学生掌握在一般数域内,二次型的标准形不是唯一的,而与所作的非退化线性替换有关. 教学手段: 采用非退化线性替换 教学内容:I.在复数域上来 考虑
4、: f ( x1, x2, xn )= y21+y22 + y2n此式称为复二次型f ( x1, x2, xn )的规范形II . 在复数域上的对称矩阵合同于一个形式 的对角阵,从而有,两个复数对称矩阵合同的充分必要条件是它们的秩相等. III.在实数上来考虑: f ( x1, x2, xn )= y21+y22 + y2p-yp+12-yr2此式称为实二次型f ( x1, x2, xn )的规范形四.惯性定理.任意一个实数域上的二次型,经过一适当的非退化线性替换可以变成规范形,且规范形是唯一的.五.p称为(f x1, x2, xn )的正惯性指数,负平方项的个数r-P称为(f x1, x2,
5、 xn )的负惯性指数,它们的差p-(r-P)=2P-r称为f ( x1, x2, xn )的符号差布置作业:p233. 5. 6.7（1）.8（1）ch5 4 正定二次型数学目的: 正定二次型的特殊意义以及常用的判别方风教学方法 一组不全为零的实数（c1,c2,cn）写成的量形式,以及使用的向量与矩阵的乘积的办法教学内容:I. 实二次型f ( x1, x2, xn )是正定的 有一组不全为零的实数（c1,c2,cn）使f（c1,c2,cn）0. II. 实二次f ( x1, x2, xn )是正定的它的 f ( x1, x2, xn )的正惯性指数等于n III. 实二次f ( x1, x2
6、, xn )是正定的 f ( x1, x2, xn )的规范形为 y21+y22 + y2n IV . 若二次型XAX正定的实对称矩阵A为正定的,那么二次型XAX正定的 V. 正定矩阵的行列式大于零 VI . 若实二次型XAX正定的A的顺序主子式大于零 VII. 若实二次型f ( x1, x2, xn )=XAX, A是实对称的下面的条件是不等价的 （1）f ( x1, x2, xn )是半正定的 （2）它的正惯性指数与秩相等 （3）有可逆矩阵C使CAC=diag（d1d2dn） （4）有实矩阵C使A= CC （5）A所有的主子式皆大于或等于零 布置作业:p233. 8（1.）.9. 10.11.12.13.14.15.16.17 本章小结 任何一个数域P上的二次型f ( x1, x2, xn )经非退化线形替换X=CY化为标准形,由于所用的非退化线形替换的不同,化成的标准形也不一样,故二次型的标准形不是唯一的.但是作了相应的线形替换之后,文字的系数均为1或-1,谓之为二次型的规范形,特别地,若在实数域上,取一组不全为零的实数代入到二次型中相应的文字中去,而二次型的值大于零,这样的二次型称为正定二次型,于是正定二次型 有多个判别条件,尤其是惯性定理成为本章的一个重要定理.5 / 5
