1、【沪科版】九年级上册数学 第22章 相似形 单元检测一、选一选 1. 如果a=3，b=2，且b是a和c的比例中项，那么c=（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【详解】根据题意，可知，即，当a3，b2时，解得故选C2. 已知两个相似三角形的对应边长分别为9cm和11cm，它们的周长相差20cm，则这两个三角形的周长分别为（）A. 45cm，65cmB. 90cm，110cmC. 45cm，55cmD. 70cm，90cm【答案】B【解析】【详解】试题解析：两个相似三角形的对应边长分别为9cm和11cm，两个相似三角形的相似比为9：11，两个相似三角形的周长比为9：11，设两个相似三角形
2、的周长分别为9x、11x，由题意得，11x9x=20，解得，x=10，则这两个三角形的周长分别为90cm，110cm，故选B点睛：两个相似三角形的周长比等于相似比.3. 如图，三个正六边形全等，其中成位似图形关系的有（）A. 0对B. 1对C. 2对D. 3对【答案】D【解析】【分析】将任意两个正六边形的对应顶点连接都相交于它们的交点，得到三个正六边形彼此位似，所以可知成位似图形关系的有3对【详解】将任意两个正六边形的对应顶点连接都相交于它们的交点三个正六边形彼此位似成位似图形关系的有3对故选D【点睛】考查了位似的相关知识，位似是相似的形式，位似图形的对应顶点的连线相交于一点4. 如图，没有能
3、判定AOB和DOC相似条件是（ ）A. AOCO=BODOB. C. A=DD. B=C【答案】B【解析】【详解】选项A、能判定利用两边成比例夹角相等选项B、没有能判定选项C、能判定利用两角对应相等的两个三角形相似选项D、能判定利用两角对应相等的两个三角形相似故选B点睛：相似常形（1）称为“平行线型”的相似三角形（如图,有“A型”与“X型”图） （2）如图：其中1=2，则ADEABC称为“斜交型”的相似三角形，有“反A共角型”、“反A共角共边型”、 “蝶型”，如下图：5. 如果两个相似多边形的面积比为16：9，那么这两个相似多边形的相似比为（）A. 16：9B. 4：3C. 2：3D. 256
4、：81【答案】B【解析】【详解】试题分析：根据相似多边形的面积比等于相似比的平方，可得相似比为4:3，故本题选B考点：相似多边形的性质6. 如图所示，给出下列条件：；，其中单独能够判定的个数为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由已知ABC与ABD中A为公共角，所以只要再找一组角相等，或一组对应边成比例即可解答.【详解】解：，A为公共角，；，A为公共角，；虽然，但A没有是已知的比例线段的夹角，所以两个三角形没有相似；，又A为公共角，综上，单独能够判定的个数有3个，故选B.【点睛】本题考查了相似三角形的判定，属于基础题目，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键.7. 两个相
5、似多边形的面积之比是1：4，则这两个相似多边形的周长之比是（）A. 1：2B. 1：4C. 1：8D. 1：16【答案】A【解析】【分析】根据相似多边形的面积之比等于相似比的平方，周长之比等于相似比可得【详解】解：两个相似多边形面积比为1：4，周长之比为 =1：2故选A【点睛】相似多边形的性质，相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方8. 如图，在中，分别交，于点，若，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【详解】试题解析：DEBC，故选B考点：平行线分线段成比例9. 某一时刻，一根4米长的旗杆的影子长6米，同一时刻一座建筑物的影子长36米，则这座
6、建筑物的高度为（）米A. 22B. 20C. 26D. 24【答案】D【解析】【分析】要求出建筑物的高，利用在同一时刻同一地点任何物体的高与其影子长的比值相同，可得答案.【详解】解：设建筑物高为x，根据在同一时刻同一地点任何物体的高与其影子长的比值相同得，解得x=24，即可知建筑物的高为24米，故选D【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题关键是了解在同一时刻同一地点任何物体的高与其影子长的比值相同10. 如图，线段AB的两个端点坐标分别为A（1，1），B（2，1），以原点O为位似，将线段AB放大后得到线段CD.若CD=2，则端点C的坐标为（） A. （2，2）B. （2，4）C. （3，2）
7、D. （4，2）【答案】A【解析】【详解】线段AB的两个端点坐标分别为A（1，1），B（2，1），AB1以原点O为位似，将线段AB放大后得到线段CD，CD2，两图形的位似比为12，端点C的坐标为（2，2）故选A11. 如图，在ABCD中，E是AB的中点，EC交BD于点F，则BEF与DCF的面积比为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【详解】试题解析：四边形ABCD为平行四边形，ABCD，AB=CD，E是AB的中点，BE=AB=CD；BECD，BEFDCF，故选C考点：平行四边形的性质.12. 如图，RtABC中，B=90 ， BC=12，tanC= 如果一质点P开始时在AB边的P0
8、处，BP0=3P步从P0跳到AC边的P1（第1次落点）处，且；第二步从P1跳到BC边的P2（第2次落点）处，且；第三步从P2跳到AB边的P3（第3次落点）处，且；质点P按照上述规则一直跳下去，第n次落点为Pn（n为正整数），则点P2014与点P2015之间的距离为（ ）A. 6B. 5C. 4D. 3【答案】A【解析】【分析】根据题意，观察循环规律，由易到难，由到一般，找到点P2014以及点P2015的位置，进而得出答案【详解】如图所示：在RtABC中，BC=12，tanC=，B=90，AB=9，AC=15， 由题意：BP0=P0P3=P3A=3，AP4=P4P1=P1C=5，CP2=P2P5
9、=P5B=4，P6与P0重合，从P6开始出现循环，20146的余数是4，P2014与P4重合，P2014P2015=P4P5，P4P5BA， P4P5=6P2014P2015=P4P5=6故选A【点睛】考查了图形变化规律、平行线分线段成比例定理，通过列举几个落点之间的距离，寻找一般规律是解题关键二、填 空 题 13. 在一张由复印机通过放大复印出来的纸上，一个面积为2cm2图案的一条边由原来的1cm变成3cm，则这次复印出来的图案的面积是_cm2 【答案】18【解析】【分析】复印前后的图案按照比例放大或缩小，因此它们是相似图形，按照相似图形的面积比等于相似比的平方求解即可【详解】解：在一张由复
10、印机通过放大复印出来的纸上，一个面积为2cm2图案的一条边由原来的1cm变成3cm，相似比=1：3，面积比=（1：3）2=1：9，这次复印出来的图案的面积=29=18（cm2）故答案是：18【点睛】考查了相似图形，掌握相似图形面积之比等于相似比的平方是解题的关键14. 如果两个相似三角形周长的比是2:3，那么它们面积的比是_【答案】4:9.【解析】【详解】试题分析：相似三角形的周长比等于相似比，而面积比等于相似比的平方，由此得解两个相似三角形周长的比是2：3，它们的相似比是2：3；它们的面积比为4：9考点：相似三角形的性质15. 在一张复印出来的纸上，一个多边形的一条边由原图中的2cm变成了6
11、cm，这次复印的放缩比例是_【答案】1：3【解析】【详解】由题意可知，相似多边形的边长之比=相似比=2：6=1：3，故答案为1：3.【点睛】本题考查相似多边形的性质相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比在本题中，要注意放缩前后两个多边形是相似多边形，然后根据相似多边形的性质求解即可.16. 如图，ABC中，AB=5，BC=3，CA=4，D为AB中点，过点D的直线与BC交于点E，若直线DE截ABC所得的三角形与ABC相似，则DE=_【答案】2或【解析】【分析】分两种情况讨论：DEAC， DEAB，根据比例关系求DE.【详解】ABC中，AB=5，BC=3，CA=4，ABC直角三角形，当DE/AC
12、时，BDEBAC，如图，点D是AB的中点，DE是三角形的中位线，DE=AC=2，所以DE=2当DEAB时，ADFACB，如图，B=B，ACB=EDB=90，ACBEDB综上，若直线DE截ABC所得的三角形与ABC相似，则DE=2或.考点：1相似三角形的判定与性质；2三角形的中位线17. 在同一时刻，身高1.6米的小强在阳光下的影长为0.8米，一棵大树的影长为4.8米，则树的高度为_.【答案】9.6【解析】【详解】试题分析：设树的高度为x米，根据在同一时刻物高与影长成比例，即可列出比例式求解.设树的高度为x米，由题意得解得则树的高度为9.6米考点：本题考查的是比例式的应用点评：解答本题的关键是读
13、懂题意，准确理解在同一时刻物高与影长成比例，正确列出比例式.18. 宽与长的比是黄金比的矩形，称为黄金矩形.从外形看，它美感.现在想要制作一张“黄金矩形”的贺卡，如果较长的一条边的长为20cm，那么与其相邻的一条边的长为_cm（结果保留根号）.【答案】【解析】【分析】由宽与长的比为计算即可【详解】解：设与长边相邻的一条边的长为cm，矩形的长为20cm，解得：，故填：【点睛】本题考查黄金比的数值，牢记黄金分割比，列比例式时注意是短边与长边之比19. 两个相似多边形的一组对应边边长分别为3cm和4.5cm，那么它们的相似比为_【答案】 【解析】【分析】根据题意求出两个相似多边形的一组对应边的比，根
14、据相似多边形的性质得到答案【详解】由题意得，两个相似多边形的一组对应边的比为3：4.5=，它们的相似比为，故答案是：【点睛】考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形对应边的比叫做相似比是解题的关键20. 在ABC中，点D、E分别在AB、AC上，AED=B，若AE=2，ADE的面积为4，四边形BCED的面积为5，则边AB的长为_ 【答案】3【解析】【分析】由AED=B，A是公共角，根据有两角对应相等的两个三角形相似，即可证得ADEACB，又由相似三角形面积的比等于相似比的平方，可得，然后由AE=2，ADE的面积为4，四边形BCDE的面积为5，即可求得AB的长【详解】AED=B，A是公共角，ADE
15、ACB，ADE的面积为4，四边形BCED的面积为5，ABC的面积为9，AE=2，解得：AB=3故答案为3【点睛】本题考查相似三角形的判定性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键21. 如图，把ABC沿AB边平移到ABC的位置，它们的重叠部分（即图中的阴影部分）的面积是ABC的面积的一半，若AB=， 则此三角形移动的距离AA=_【答案】-1【解析】【详解】ABC沿AB边平移到ABC的位置，ACAC，ABCABG，AB:AB=:1，AB=，AB=1，AA=1.22. 如图所示，n+1个直角边长为1的等腰直角三角形，斜边在同一直线上，设B2D1C1的面积为S1 ， B3D2C2的面积
16、为S2 ， ，Bn+1DnCn的面积为Sn ， 则S1=_，Sn=_（用含n的式子表示） 【答案】 . . 【解析】【详解】试题解析：n+1个边长为1的等腰三角形有一条边在同一直线上，SAB1C1=11=，连接B1、B2、B3、B4、B5点，显然它们共线且平行于AC1B1C1B2=90A1B1B2C1B1C1B2是等腰直角三角形，且边长=1，B1B2D1C1AD1，B1D1：D1C1=1：1，S1=，同理：B2B3：AC2=1：2，B2D2：D2C2=1：2，S2=，同理：B3B4：AC3=1：3，B3D3：D3C3=1：3，S3=，S4=，Sn=考点：1.相似三角形的判定与性质；2.三角形的
17、面积；3.等腰直角三角形.三、解 答 题 23. 如图，在由边长为1的单位正方形组成的网格中，按要求画出坐标系及A1B1C1及A2B2C2；（1）若点A、C的坐标分别为（-3，0）、（-2，3），请画出平面直角坐标系并指出点B的坐标；（2）画出ABC关于y轴对称再向上平移1个单位后的图形A1B1C1；（3）以图中的点D为位似，将A1B1C1作位似变换且把边长放大到原来的两倍，得到A2B2C2【答案】（1）画图见解析，B（4，2）；（2）画图见解析；（3）画图见解析【解析】【分析】（1）根据A，C点坐标作出直角坐标系，进而求出B点坐标；（2）根据轴对称性质平移的性质得出答案；（3）利用位似图形的
18、性质得出对应点位置进而得出答案【详解】解：（1）如图所示，B（-4，2）；（2）如图所示：A1B1C1即为所求；（3）如图所示：A2B2C2即为所求【点睛】本题主要考查了位似变换、轴对称变换和平移变换，根据题意建立正确的坐标系是解题关键24. 如图，直角梯形ABCD中，AD=3，AB=11，BC=6，ABBC，动点P在线段AB上运动，如果满足ADP和BCP相似，计算此时线段AP的长度【答案】AP=2或9或.【解析】【详解】试题分析：分ADPDPC和ADPBCP两种情况进行讨论，利用相似三角形的对应边的比相等即可求解试题解析：解：当ADPDPC时，有，解得：AP=2或9；当ADPBCP时，解得：
19、综上知：AP=2或9或点睛：本题考查了相似三角形的性质，相似三角形的对应边的比相等，分两种情况进行讨论是关键25. 已知RtABC中，C=90，CHAB于点H，AC=3，CH=2，求BC的长【答案】BC=.【解析】【分析】根据勾股定理求得AB的长度，然后利用射影定理来求得BH、BC的长度【详解】如图所示：RtABC中，C=90，CHAB于点H，AC=3，CH=2，AH2=AC2CH2=5AH=又CH2=AHBH，BH= BC2=BHAB=，则BC=【点睛】考查了射影定理：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项26. 如图，
20、在RtABC中，ACB=90，AC=6cm，BC=8cm，动点P从点B出发，在BA边上以5cm/s速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以4cm/s的速度向点B匀速运动，运动时间为t s（0t2），连接PQ （1）若BPQ和ABC相似，求t的值；（2）连接AQ，CP，若AQCP，求t的值【答案】（1）t的值为1s或s；（2）t的值为s【解析】【分析】（1）根据勾股定理即可得到结论；分两种情况：当BPQBAC时，当BPQBCA时，根据相似三角形的性质，把BP=5t，QC=4t，AB=10cm，BC=8cm，代入计算即可；（2）过P作PMBC于点M，AQ，CP交于点N，则有PB=5t
21、，PM=3t，MC=8-4t，根据ACQCMP，得出AC：CM=CQ：MP，代入计算即可【详解】解：（1）ACB=90，AC=6cm，BC=8cm，AB=10（cm），分两种情况讨论：当BPQBAC时，BP=5t，QC=4t，AB=10，BC=8， ，解得，t=1，当BPQBCA时，解得，t=，t=1s或s时，BPQBCA； （2）过P作PMBC于点M，AQ，CP交于点N，如图所示，则PB=5t，MC=8-4t，PMBC，ACB=90，PMAC，BPMBAC，即，PM=3t，BM=4t，MC=8-4t，NAC+NCA=90，PCM+NCA=90，NAC=PCM，ACQ=PMC，ACQCMP，解
22、得t=【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质，由三角形相似得出对应边成比例是解题的关键27. 已知：如图，在梯形ABCD中，ABCD，D90，ADCD2，点E在边AD上（没有与点A、D重合），CEB45，EB与对角线AC相交于点F，设DEx（1）用含x的代数式表示线段CF的长；（2）如果把CAE的周长记作CCAE，BAF的周长记作CBAF，设y，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域；（3）当ABE的正切值是 时，求AB的长【答案】（1）CF=；（2）y=（0x2）；（3）AB=2.5.【解析】【详解】试题分析：（1）根据等腰直角三角形的性质，求得DAC=ACD
23、=45，进而根据两角对应相等的两三角形相似，可得CEFCAE，然后根据相似三角形的性质和勾股定理可求解；（2）根据相似三角形的判定与性质，由三角形的周长比可求解；（3）由（2）中的相似三角形的对应边成比例，可求出AB的关系，然后可由ABE的正切值求解.试题解析：（1）AD=CDDAC=ACD=45，CEB=45，DAC=CEB，ECA=ECA，CEFCAE，在RtCDE中，根据勾股定理得，CE= ，CA=，CF=；（2）CFE=BFA，CEB=CAB，ECA=180CEBCFE=180CABBFA，ABF=180CABAFB，ECA=ABF，CAE=ABF=45，CEABFA，（0x2），（3
24、）由（2）知，CEABFA，AB=x+2，ABE的正切值是，tanABE=，x=，AB=x+2=28. 已知四边形ABCD中，EF分别是AB、AD边上的点，DE与CF交于点G （1）如图1，若四边形ABCD正方形，且DECF，求证：DE=CF；（2）如图2，若四边形ABCD是矩形，且DECF，求证：；（3）如图3，若四边形ABCD是平行四边形，当B=EGF时，第（2）问的结论是否成立？若成立给予证明；若没有成立，请说明理由【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）当B=EGF时，成立，证明见解析.【解析】【分析】（1）由四边形ABCD为正方形，利用正方形的性质得到一对角为直角，相等，且
25、AD=DC，利用同角的余角相等得到一对角相等，利用AAS得到三角形ADE与三角形DCF全等，利用全等三角形对应边相等即可得证；（2）由四边形ABCD为矩形，得到一对直角相等，利用同角的余角相等得到一对角相等，利用两对角相等的三角形相似得到三角形ADE与三角形DCF相似，利用相似三角形对应边成比例即可得证；（3）当B=EGF时，成立，理由为：如图3，在AD的延长线上取点M，使CM=CF，利用平行线的性质，以及同角的补角相等得到三角形ADE与三角形DCM相似，利用相似三角形对应边成比例即可得证【详解】（1）四边形ABCD是正方形，A=ADC=90，AD=DC，ADE+AED=90，DECF，ADE
26、+CFD=90，AED=CFD，ADEDCF，DE=CF（2）四边形ABCD是矩形，A=ADC=90，DECF，ADE+CFD=90，DCF+CFD=90，ADE=DCF，ADEDCF，（3）解：当B=EGF时， 成立，证明：如图3，在AD的延长线上取点M，使CM=CF，则CMF=CFM，ABCD，A=CDM，ADBC，B+A=180，B=EGF，EGF+A=180，AED=CFM=CMF，ADEDCM， ，即 .【点睛】相似形综合题，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，以及平行线的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键第23页/总23页
