1、 【北师大版】九年级上册数学 第1章 的平行四边形 单元检测一、选一选(每小题3分，总计30分。请将正确答案的字母填写在表格内)1. 如图，菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6和8，则这个菱形的周长是（）A. 20B. 24C. 40D. 48【答案】A【解析】【分析】由菱形对角线的性质，相互垂直平分即可得出菱形的边长，菱形四边相等即可得出周长【详解】由菱形对角线性质知，AO=AC=3，BO=BD=4，且AOBO，则AB=5，故这个菱形的周长L=4AB=20故选A【点睛】本题考查了菱形面积的计算，考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了菱形各边长相等的性质，本题中根据勾股定理计算AB的
2、长是解题的关键，难度一般2. 已知一个菱形的周长是20cm，两条对角线的比是4：3，则这个菱形的面积是（ ）A. 12cm2B. 24cm2C. 48cm2D. 96cm2【答案】B【解析】【分析】设菱形的对角线分别为8x和6x，首先求出菱形的边长，然后根据勾股定理求出x的值，根据菱形的面积公式求出面积的值【详解】解：设菱形的对角线分别为8x和6x，已知菱形的周长为20cm，故菱形的边长为5cm，根据菱形的性质可知，菱形的对角线互相垂直平分，即可知（4x）2+（3x）2=25，解得x=1，故菱形的对角线分别为8cm和6cm，所以菱形的面积=86=24cm2，故选B【点睛】本题主要考查菱形的性质
3、的知识点，解答本题的关键是掌握菱形的对角线互相垂直平分，此题比较简单3. 如图，在ABCD中，AM，CN分别是BAD和BCD的平分线，添加一个条件，仍无法判断四边形AMCN为菱形的是（）A. AM=ANB. MNACC. MN是AMC的平分线D. BAD=120【答案】D【解析】【分析】【详解】解：如图，四边形ABCD平行四边形，B=D，DAB=DCB，AB=CD，AD=BC，AM，CN分别是BAD和BCD的平分线，DCN=DCB，BAM=BAD，BAM=DCN，在ABM和CDN中，ABMCDN（ASA），AM=CN，BM=DN，AD=BC，AN=CM，四边形AMCN是平行四边形，A、四边形A
4、MCN是平行四边形，AM=AN，平行四边形AMCN是菱形，故本选项错误；B、MNAC，四边形AMCN是平行四边形，平行四边形AMCN是菱形，故本选项错误；C、四边形是平行四边形，平分，四边形是平行四边形，四边形是菱形，故本选项错误；D、根据BAD=120和平行四边形AMCN没有能推出四边形是菱形，故本选项正确；故选D4. 如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，CD上的点，AE=CF，连接EF，BF，EF与对角线AC交于点O，且BE=BF，BEF=2BAC，FC=2，则AB的长为（）A. 8B. 8C. 4D. 6【答案】D【解析】【分析】连接OB，根据等腰三角形三线合一的性质可得BOEF
5、，再根据矩形的性质可得OA=OB，根据等边对等角的性质可得BAC=ABO，再根据三角形的内角和定理列式求出ABO=30，即BAC=30，根据直角三角形30角所对的直角边等于斜边的一半求出AC，再利用勾股定理列式计算即可求出AB【详解】解：如图，连接OB，BE=BF，OE=OF，BOEF，在RtBEO中，BEF+ABO=90，由直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半可知：OA=OB=OC，BAC=ABO，又BEF=2BAC，即2BAC+BAC=90，解得BAC=30，FCA=30，FBC=30，FC=2，BC=2，AC=2BC=4，AB=6，故选D【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与
6、性质，等腰三角形三线合一的性质，直角三角形30角所对的直角边等于斜边的一半，综合题，但难度没有大，（2）作辅助线并求出BAC=30是解题的关键5. 下列说确的是（ ）A. 对角线相等的四边形是矩形B. 对角线互相垂直的四边形是菱形C. 对角线相等的平行四边形是矩形D. 对角线互相平分的四边形是菱形【答案】C【解析】【分析】根据一般平行四边形和平行四边形的性质解答【详解】A选项：对角线相等的四边形没有一定是矩形，还可能是等腰梯形，故A错误；B选项：对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，故B错误；C选项：对角线相等的平行四边形是矩形，故C正确；D选项：对角线互相平分的四边形是平行四边形，故D错误故选
7、C【点睛】本题考查平行四边形的性质，熟练掌握一般平行四边形和平行四边形的性质是解题关键 6. 如图，在任意四边形ABCD中，AC，BD是对角线，E、F、G、H分别是线段BD、BC、AC、AD上的点，对于四边形EFGH的形状，某班的学生在数学课中，通过动手实践，探索出如下结论，其中错误的是（ ）A. 当E，F，G，H是各条线段的中点时，四边形EFGH为平行四边形B. 当E，F，G，H是各条线段的中点，且ACBD时，四边形EFGH为矩形C. 当E，F，G，H是各条线段的中点，且AB=CD时，四边形EFGH为菱形D. 当E，F，G，H没有是各条线段的中点时，四边形EFGH可以为平行四边形【答案】B【
8、解析】【分析】A.用三角形的中位线定理判断四边形EFGH的形状；B.判断四边形EFGH的内角能否为直角；C.根据菱形的定义判断；D.当AD3DH，BD3DE，AC3CG，BC3CF时判断四边形EFGH是平行四边形.【详解】解：如图1，E，F，G，H分别是线段BD，BC，AC，AD的中点，EFCD，FGAB，GHCD，HEAB，EFGH，FGHE，四边形EFGH为平行四边形.则A正确；如图2，当ACBD时，190，12EHG，四边形EHGF没有可能是矩形，则B错误；ABCD，EFFGGHHE，四边形EFGHB是菱形.则C正确；如图3，当E，F，H，G是相应线段的三等分点时，四边形EFGH是平行四
9、边形.E，F，H，G是相应线段三等分点，EHDBAD，CFGCBA，EHFG，又EHAB，FGAB，EHFG，四边形EFGH是平行四边形，则D正确.故选B.【点睛】判定两个三角形相似的方法有：平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似；三边成比例的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；有两个角相等的三角形相似7. 平行四边形、矩形、菱形、正方形共有的性质是（ ）A. 对角线互相平分B. 对角线相等C. 对角线互相垂直D. 对角形互相垂直平分【答案】A【解析】【分析】根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质，对各个选项逐个分析，即可得到答
10、案【详解】平行四边形、矩形、菱形、正方形的对角线互相平分选项A正确；菱形的对角线没有相等选项B错误；矩形的对角线没有相互垂直选项C和D错误；故选：A【点睛】本题考查了平行四边形、矩形、菱形、正方形的知识；解题的关键是熟练掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质，从而完成求解8. 夹在两条平行线间的正方形ABCD、等边三角形DEF如图所示，顶点A、F分别在两条平行线上若A、D、F在一条直线上，则1与2的数量关系是（）A. 1+2=60B. 21=30C. 1=22D. 1+22=90【答案】B【解析】【分析】如图，由AM/FN，可得1+BAD=DFE+2，再根据正方形的性质、等边三角形的性质可得
11、BAD=90，DFE=60，由此即可得1、2的关系.【详解】如图，AM/FN，MAF=AFN，即1+BAD=DFE+2，四边形ABCD是正方形，三角形DEF是等边三角形，BAD=90，DFE=60，1+90=60+2，2-1=30，故选B.【点睛】本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质、平行线的性质，熟练掌握各相关性质是解题的关键.9. 已知四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，ADBC，下列判断中错误的是（）A. 如果AB=CD，AC=BD，那么四边形ABCD是矩形B. 如果ABCD，AC=BD，那么四边形ABCD是矩形C. 如果AD=BC，ACBD，那么四边形ABCD是菱形D.
12、如果OA=OC，ACBD，那么四边形ABCD是菱形【答案】A【解析】【分析】根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定方法逐项进行分析判定即可得答案【详解】解：A、如果AB=CD，AC=BD，那么四边形ABCD是等腰梯形，没有一定是矩形也就没有一定是平行四边形，故A选项错误，符合题意；B、如果ADBC，ABCD，则四边形ABCD是平行四边形，又AC=BD，那么四边形ABCD是矩形，故B选项正确，没有符合题意；C、如果ADBC，AD=BC，则四边形ABCD是平行四边形，又ACBD，那么四边形ABCD是菱形，故C选项正确，没有符合题意；D、如果ADBC，OA=OC，则可以证得四边形ABCD是平行四边
13、形，又AC垂直平分BD，那么四边形ABCD是正方形，故D选项正确，没有符合题意，故选A【点睛】本题考查了平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定，熟练掌握各图形的判定方法是解题的关键10. 如图，AD是ABC的角平分线，DE，DF分别是ABD和ACD的高得到下面四个结论：OA=OD；ADEF；当A=90时，四边形AEDF是正方形；上述结论中正确的是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【详解】只要证明ADEADF，推出AE=EF，DE=DF，推出AD垂直平分线段EF，即可判定正确，利用勾股定理即可判定正确，没有一定成立故错误解：AD是ABC的角平分线，DAE=DAF，又AED=AFD=9
14、0，AD=AD，ADEADF，AE=AF，DE=DF，AD垂直平分EF，故正确，AED=AFD=90，当EAF=90时,四边形AEDF是矩形，AE=AF，四边形AEDF是正方形，故正确，AE2+DF2=EO2+AO2+OD2+OF2，DE2+AF2=OE2+OD2+OA2+OF2，AE2+DF2=AF2+DE2，故正确，AD垂直平分EF，而EF没有一定垂直平分AD，故错误，故选D.点睛：本题考查了全等三角形的判定和性质、正方形的判定、垂直平分线的判定和性质、勾股定理等知识. 根据图形综合运用所学知识进行推理是解题的关键.二、 填 空 题(每题4分，总计20分)11. 如图，两张等宽的纸条交叉叠
15、放在一起，若重合部分构成的四边形中，则的长为_【答案】【解析】【分析】首先由对边分别平行可判断四边形ABCD为平行四边形，连接AC和BD，过A点分别作DC和BC的垂线，垂足分别为F和E，通过证明ADFABC来证明四边形ABCD为菱形，从而得到AC与BD相互垂直平分，再利用勾股定理求得BD长度【详解】解：连接AC和BD，其交点为O，过A点分别作DC和BC的垂线，垂足分别为E和F，ABCD，ADBC，四边形ABCD为平行四边形，ADF=ABE两纸条宽度相同，AF=AE在ADF和ABE中，ADFABE(AAS)，AD=AB，四边形ABCD为菱形，AC与BD相互垂直平分，BD=答案为：【点睛】本题考查
16、了菱形的相关性质，综合运用了三角形全等和勾股定理，注意辅助线的构造一定要从相关条件以及可运用的证明工具入手，没有要盲目作辅助线12. 如图,矩形ABCD中,E、F分别为AD、AB上一点,且EF=EC,EFEC,若DE=2,矩形周长为16,则矩形ABCD的面积为_ 【答案】15【解析】【详解】因为EFEC，所以FEC=90，所以AEF+DEC=90，因为AEF+AFE=90，所以AFE=DEC，因为A=D，EF=CE，所以AEFDCE，所以AE=CD，AF=DE，设AB=CD=x，则AD=AE+DE=CD+DE=x+2，所以2（x+x+2）=16，解得x=3，所以ABBC=3（3+2）=15，故
17、答案为1513. 如图，MON=90，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM、ON上，当B在边ON上运动时，A随之在OM上运动，矩形ABCD的形状保持没有变，其中AB=4，BC=2.运动过程中点D到点O的距离是_【答案】+2【解析】【分析】取AB的中点E，连接OE、DE、OD，根据三角形的任意两边之和大于第三边可知当O、D、E三点共线时，点D到点O的距离，再根据勾股定理列式求出DE的长，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出OE的长，两者相加即可得解【详解】如图，取AB的中点E，连接OE、DE、OD，ODOE+DE，当O、D、E三点共线时，点D到点O的距离，此时，AB=4，BC=2，OE=
18、AE=AB=2，DE=，OD的值为：+2，故答案为+2.【点睛】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，三角形的三边关系，矩形的性质，勾股定理，根据三角形的三边关系判断出点O、E、D三点共线时，点D到点O的距离是解题的关键14. 如图，将正方形OEFG放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点E的坐标为（2，3），则点F的坐标为_【答案】（1，5）【解析】【详解】【分析】全等三角形的性质可以求得点G的坐标，再由正方形的对称的性质求得点F的坐标【详解】如图，过点E作x轴的垂线EH，垂足为H过点G作x轴的垂线GM，垂足为M，连接GE、FO交于点O，四边形OEFG是正方形，OG=EO，GOM+EOH=90G
19、OM=OEH，OGM=EOH，在OGM与EOH中， ，OGMEOH（ASA），GM=OH=2，OM=EH=3，G（3，2），O（，），点F与点O关于点O对称，点F的坐标为 （1，5），故答案是：（1，5）【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、中点坐标公式等，正确添加辅助线以及熟练掌握和运用相关内容是解题的关键.15. 如图，正方形CEGF的顶点E、F在正方形ABCD的边BC、CD上，且AB=5，CE=3，连接BG、DG，则图中阴影部分的面积是_【答案】8【解析】【详解】分析：图中阴影部分的面积=三角形ABG的面积+三角形DFG的面积，根据正方形的性质和线段的和差关系分别得到两
20、个阴影三角形的底和高，再根据三角形面积公式求解即可详解：阴影部分的面积=三角形ABG的面积+三角形DFG的面积=5（5-3）2+3（5-3）2=5+3=8故答案为8点睛：考查了正方形的性质，三角形的面积计算，关键是求出两个阴影三角形的底和高三解 答 题（共5小题50分）16. 如图，在四边形中，.是四边形内一点，且.求证：（1）；（2）四边形是菱形.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【详解】分析：(1)先证点、共圆,从而得到,又,即可得出结论;(2) 连接,证得到又由于，,可得BO=BC, 从而四边形是菱形.详解：（1）.点、在以点为圆心，为半径的圆上.又，.（2）证明：如图
21、，连接.，.，.，又.，.又，四边形是菱形.点睛：本题考查圆周角定理、全等三角形的判定和性质、菱形的判定等知识，解题的关键是灵活应用圆周角定理，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型17. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O过点C作BD的平行线，过点D作AC的平行线，两直线相交于点E（1）求证：四边形OCED是矩形；（2）若CE=1，DE=2，ABCD的面积是 【答案】（1）证明见解析；（2）4【解析】【分析】（1）欲证明四边形OCED是矩形，只需推知四边形OCED是平行四边形，且有一内角为90度即可；（2）由菱形的对角线互相垂直平分和菱形的面积公式解答【详解】（1）四边形ABCD
22、是菱形，ACBD，COD=90CEOD，DEOC，四边形OCED是平行四边形，又COD=90，平行四边形OCED是矩形；（2）由（1）知，平行四边形OCED是矩形，则CE=OD=1，DE=OC=2四边形ABCD是菱形，AC=2OC=4，BD=2OD=2，菱形ABCD的面积为：ACBD=42=4，故答案为：4【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，菱形的性质，熟练掌握矩形的判定及性质、菱形的性质是解题的关键18. 如图，已知ABCD，延长AB到E使BE=AB，连接BD，ED，EC，若ED=AD（1）求证：四边形BECD是矩形；（2）连接AC，若AD=4，CD= 2，求AC的长【答案】（1）证明见解析
23、；（2）【解析】【详解】分析：（1）由已知条件易得四边形BECD是平行四边形及AD=BC，ED=AD可得BC=ED，由此可得平行四边形BECD是矩形；（2）如下图，连接AC，由已知条件和（1）中结论易得BC=AD=4，BE=CD=AB=2，AEC=90，由此在RtBCE中，可得CE=，这样在RtACE中，由勾股定理可得AC=.详解：（1）四边形ABCD是平行四边形， ABCD，AB=CD BE=AB， BE=CD 四边形BECD是平行四边形 AD=BC，AD =DE， BC=DE 平行四边形BECD是矩形（2）如下图，连接AC，AD=4，CD=2，四边形ABCD是平行四边形，四边形BECD是矩
24、形，AB=BE=CD=2,BC=AD=4，AEC=90，AE=AB+BE=4，在RtBCE中，CE=，在RtACE中，AC=.点睛：熟悉“平行四边形的性质与判定和矩形的判定方法”是正确解答本题的关键.19. 已知矩形ABCD中，E是AD边上的一个动点，点F，G，H分别是BC，BE，CE的中点（1）求证：BGFFHC；（2）设AD=a，当四边形EGFH是正方形时，求矩形ABCD的面积【答案】见解析（2）【解析】【分析】（1）根据三角形中位线定理和全等三角形的判定证明即可；（2）利用正方形的性质和矩形的面积公式解答即可【详解】（1）连接EF，点F，G，H分别是BC，BE，CE的中点，FH/BE，F
25、H=BE，FH=BG，CFH=CBG，BF=CF，BGFFHC，（2）当四边形EGFH是正方形时，连接GH，可得：EFGH且EF=GH，在BEC中，点G，H分别是BE，CE的中点，且GH/BC，EFBC，AD/BC，ABBC，AB=EF=GH=a，矩形ABCD的面积=【点睛】此题考查正方形的性质，关键是根据全等三角形的判定和正方形的性质解答20. 如图，在中，过点的直线，为边上一点，过点作，交直线于，垂足为，连接、（1）当在中点时，四边形是什么四边形?说明你的理由；（2）当为中点时，等于 度时，四边形正方形【答案】（1）四边形是菱形，理由见解析；（2）【解析】【分析】（1）先证明，得出四边形是平行四边形，再“根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”证出，得出四边形是菱形；（2）先求出，再根据菱形的性质求出，即可证出结论【详解】解：当点是的中点时，四边形是菱形；理由如下：，即，四边形是平行四边形，；为中点，四边形是平行四边形，为中点，四边形是菱形；（2）当时，四边形正方形；理由如下：，四边形是菱形，四边形是正方形故答案为：【点睛】本题考查了平行四边形的判定、正方形的判定以及直角三角形的性质；根据题意证明线段相等和直角是解决问题的关键第21页/总21页
