1、18.2 特殊的平行四边形第1课时 矩形及其性质基础训练知识点1 矩形的定义1.如图,四边形ABCD的对角线互相平分,要使它变为矩形,需要添加的条件是()A.AB=CD B.AD=BCC.AOB=45D.ABC=902.如图,小贤为了体验四边形的不稳定性,将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD,B与D两点之间用一根橡皮筋拉直固定,然后向右扭动框架,观察所得四边形的变化,下列判断错误的是()A.四边形ABCD由矩形变为平行四边形B.BD的长度增大C.四边形ABCD的面积不变D.四边形ABCD的周长不变知识点2 矩形的边角性质3.(2016荆门)如图,在矩形ABCD中(ADAB),点E是BC上一
2、点,且DE=DA,AFDE,垂足为点F,在下列结论中,不一定正确的是()A.AFDDCE B.AF=ADC.AB=AF D.BE=AD-DF4.如图,点E是矩形ABCD的边AD延长线上的一点,且AD=DE,连接BE交CD于点O,连接AO,下列结论中不正确的是()21教育网A.AOBBOCB.BOCEODC.AODEODD.AODBOC5.如图,在矩形ABCD中,AB=3,将ABD沿对角线BD折叠,得到EBD,DE与BC交于点F,ADB=30,则EF=()A. B.2 C.3D.3知识点3 矩形的对角线性质6.如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD交于点O, 以下说法错误的是()A.ABC=9
3、0B.AC=BDC.OA=OBD.OA=AD7.(2016菏泽)在ABCD中,AB=3,BC=4,连接AC,BD,当ABCD的面积最大时,下列结论正确的有()21cnjycomAC=5;BAD+BCD=180;ACBD;AC=BD.A.B.C.D.知识点4 直角三角形斜边上中线的性质8.如图,P是矩形ABCD的对角线AC的中点,E是AD的中点.若AB=6,AD=8,则四边形ABPE的周长为()www.21-cn-A.14B.16C.17D.189.如图,在RtABC中,ACB=90,D,E分别为AC,AB边的中点,连接DE,CE.则下列结论中不一定正确的是()【来源：21世纪教育网】A.EDB
4、C B.EDACC.ACE=BCED.AE=CE10.(2016丹东模拟)如图,在矩形ABCD中,O为AC的中点,EF过O点且EFAC分别交DC,AB于点F,E,点G是AE的中点,且AOG=30,则下列结论正确的有()21世纪*教育网DC=3OG;OG=BC;OGE是等边三角形;SAOE=S矩形ABCD.A.1个B.2个C.3个D.4个易错点 对题意理解不透彻导致漏解(分类讨论思想)11.(2016鄂州)如图,AB=6,O是AB的中点,直线l经过点O,1=120,P是直线l上一点,当APB为直角三角时,AP=.提升训练考查角度1 利用矩形对角线性质证线段相等12.如图,在矩形ABCD中,AC与
5、BD交于点O,BEAC,CFBD,垂足分别为E,F.求证:BE=CF. 考查角度2 利用矩形的边角性质求面积13.(2016扬州)如图,AC为矩形ABCD的对角线,将边AB沿AE折叠,使点B落在AC上的点M处,将边CD沿CF折叠,使点D落在AC上的点N处.21cnjy(1)求证:四边形AECF是平行四边形;(2)若AB=6,AC=10,求四边形AECF的面积.探究培优 拔尖角度1 利用矩形的定义探究条件问题(逆向思维法)14.如图所示,以ABC的三边为边在BC的同侧分别作三个等边三角形,即ABD,BCE,ACF,连接DE,EF.请回答下列问题:(1)四边形ADEF是什么四边形?并说明理由.(2
6、)当ABC满足什么条件时,四边形ADEF是矩形?拔尖角度2 利用矩形的性质探究动点的位置问题15.如图,在矩形ABCD中,AB=12 cm,BC=6 cm,点P沿AB边从点A开始向点B以2 cm/s的速度移动,点Q沿DA边从点D开始向点A以1 cm/s的速度移动,如果P,Q同时出发,用t(s)表示移动的时间(0t6).(1)当t为何值时,QAP为等腰三角形?(2)求四边形QAPC的面积,并探索一个与计算结果有关的结论.参考答案1.【答案】D解：因为四边形ABCD的对角线互相平分,所以四边形ABCD为平行四边形,A,B两选项为平行四边形具有的性质,C选项添加后也不一定是矩形,根据矩形的定义知D可
7、以.故选D.www-2-1-cnjy-com2.【答案】C3.【答案】B4.【答案】A解：四边形ABCD是矩形,AD=BC,ADO=EDO=C=90.AD=DE,BC=DE.2-1-c-n-j-y在BOC与EOD中,BOC=DOE,C=EDO=90,BC=DE,BOCEOD.故B选项正确.在AOD和EOD中,AD=DE,ADO=EDO=90,OD=OD,AODEOD.故C选项正确.由B,C知AODBOC,故D选项正确.而A选项中两三角形明显不全等.5.【答案】A6.【答案】D7.【答案】B解：当ABCD的面积最大时,四边形ABCD为矩形,得出BAD=ABC=BCD=90,AC=BD,根据勾股定
8、理求出AC,即可得出结论.8.【答案】D9.【答案】C10.【答案】C解：根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OG=AG=GE=AE,再根据等边对等角可得OAG=30,根据直角三角形两锐角互余求出GEO=60,从而判断出OGE是等边三角形,判断出正确;设AE=2a,则OE=a,利用勾股定理求出AO的长,从而得到AC的长,再求出BC的长,然后利用勾股定理求出AB=3a,从而判断出正确,错误;再根据三角形的面积公式和矩形的面积公式列式判断出正确.11.【答案】3或3或3解：当APB=90时,分两种情况讨论.情况一:如图,O为AB中点,PO=AB,AO=BO.PO=BO.1=120,PBA=
9、30.AP=AB=3;情况二:如图,AO=BO,APB=90,PO=BO.1=120,BOP=60.BOP为等边三角形.BP=AB=3.AP=3.当BAP=90时,如图,1=120,AOP=60,APO=30,PO=2AO=6.AP=3.当ABP=90时,如图,1=120,BOP=60,BPO=30,PO=2BO=6.BP=3.AP=3.12.证明:四边形ABCD为矩形,AC=BD.BO=CO.BEAC于E,CFBD于F,BEO=CFO=90.又BOE=COF,BOECOF.BE=CF.13.(1)证明:由折叠知AM=AB,CN=CD,FNC=D=90,AME=B=90,ANF=90,CME=
10、90.四边形ABCD为矩形,AB=CD,ADBC.FAN=ECM,AM=CN.AM-MN=CN-MN,即AN=CM.在ANF和CME中,ANFCME(ASA).AF=CE.又AFCE,四边形AECF是平行四边形.(2)解:AB=6,AC=10,BC=8.设CE=x,则EM=BE=8-x,CM=10-6=4.在RtCEM中,(8-x)2+42=x2,解得x=5.四边形AECF的面积为CEAB=56=30.14.解:(1)四边形ADEF是平行四边形.理由:ABD,BEC都是等边三角形,BD=AB,BE=BC,DBA=EBC=60.DBE=60-EBA,ABC=60-EBA,DBE=ABC.DBEA
11、BC.DE=AC,又ACF是等边三角形,AC=AF.DE=AF.同理可得ABCFEC,EF=BA=DA.DE=AF,DA=EF,四边形ADEF为平行四边形.(2)若四边形ADEF为矩形,则DAF=90,DAB=FAC=60,BAC=360-DAB-FAC-DAF=360-60-60-90=150.当ABC满足BAC=150时,四边形ADEF是矩形.15.解:(1)由题意得DQ=t cm,AP=2t cm,AQ=(6-t)cm.若QAP为等腰三角形,则只能是AQ=AP,于是6-t=2t,t=2.故当t=2时,QAP为等腰三角形.21世纪教育网版权所有(2)S四边形QAPC=S矩形ABCD-SCDQ-SBPC=126-12t-(12-2t)6=72-6t-36+6t=36(cm2).结论:在点P,Q的移动过程中,四边形QAPC的面积始终不变,为36 cm2.
