1、12.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)学习目标1.能利用导数的四则运算法则求解导函数(重点)2能运用复合函数的求导法则进行复合函数的求导(难点)学法指导应用导数的四则运算法则和已学过的常用函数的导数公式可迅速解决一类简单函数的求导问题要透彻理解函数求导法则的结构内涵，注意挖掘知识的内在联系及其规律复合函数的求导将复杂的问题简单化，体现了转化思想；学习中要通过中间变量的引入理解函数的复合过程.学生用书P141导数的运算法则设两个函数分别为f(x)和g(x)两个函数的和的导数f(x)g(x)f(x)g(x)两个函数的差的导数f(x)g(x)f(x)g(x)两个函数的积的导数f(x)g
2、(x)f(x)g(x)f(x)g(x)两个函数的商的导数(g(x)0)2.复合函数复合函数的概念一般地，对于两个函数yf(u)和ug(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数yf(u)和ug(x)的复合函数，记作yf(g(x)复合函数的求导法则复合函数yf(g(x)的导数和函数yf(u)，ug(x)的导数间的关系为yxyuux.即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积1判断：(正确的打“”，错误的打“”)(1)(excos )ex()(2)函数f(x)sin(x)的导数为f(x)cos x()(3)ycos 3x由函数ycos u，u3x复合而成()答案：(1
3、)(2)(3)2已知函数f(x)xln x，则f(1)f(1)()A0 B1C2 D3答案：D3函数y(3x2)2的导数为()A2(3x2) B6xC6x(3x2) D6(3x2)答案：D4设yln xcos x，则y_.答案：cos xln xsin x利用导数的运算法则求导数求下列函数的导数：(1)y3x2xcos x；(2)ylg x；(3)y(x23)(exln x)；(4)yx2tan x；(5)ysin4cos4.(链接教材P15例2)解(1)y6xcos xx(cos x)6xcos xxsin x.(2)y(lg x)(x2).(3)y(x23)(exln x)(x23)(ex
4、ln x)2x(exln x)(x23)ex(x22x3)2xln xx.(4)yx2，y(x2)()2x2x.(5)y(sin2cos2)22sin2cos21sin21cos x，ysin x.方法归纳解决函数的求导问题，应先分析所给函数的结构特点，选择正确的公式和法则，对较为复杂的求导运算，一般综合了和、差、积、商几种运算，在求导之前一般应先将函数化简，然后求导，以减少运算量1求下列函数的导数：(1)ycos xln x；(2)y；(3)yex(x43x25x6)；(4)yxsincos.解：(1)y(cos xln x)(cos x)ln xcos x(ln x)sin xln x.(
5、2)y.(3)y(ex)(x43x25x6)ex(x43x25x6)ex(x43x25x6)ex(4x36x5)ex(x44x33x211x1)(4)yxsin x，y1cos x.求复合函数的导数求下列函数的导数：(1)y(2x3)2；(2)ye0.05x1；(3)ysin(x)(其中，均为常数)(链接教材P17例4)解(1)函数y(2x3)2可以看作函数yu2和u2x3的复合函数根据复合函数求导法则有yxyuux(u2)(2x3)4u8x12.(2)函数ye0.05x1可以看作函数yeu和u0.05x1的复合函数根据复合函数求导法则有yxyuux(eu)(0.05x1)0.05eu0.05
6、e0.05x1.(3)函数ysin(x)可以看作函数ysin u和ux的复合函数，根据复合函数求导法则有yxyuux(sin u)(x)cos ucos(x)方法归纳求复合函数的导数五个环节：中间变量的选择应是基本函数的结构；关键是正确分析函数的复合层次；一般是从最外层开始，由外及里，一层层地求导；善于把一部分表达式作为一个整体；最后要把中间变量换成自变量的函数2求下列函数的导数：(1)ycos(3x)；(2)ylog2(4x7)；(3)y2x23x1.解：(1)令u3x，则ycos u，y(sin u)33sin(3x)(2)令u4x7，则ylog2u，y(4x7).(3)令ux23x1，则
7、y2u，y2u ln 2(x23x1)(2x3)ln 22x23x1.导数的实际应用日常生活中的饮用水通常是经过净化的随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加已知将1吨水净化到纯净度为x%时所需费用(单位：元)为c(x)(80x100)求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率：(1)90%；(2)98%.(链接教材P15例3)解净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数c(x)().(1)因为c(90)52.84，所以，纯净度为90%时，净化费用的瞬时变化率是52.84元/吨(2)因为c(98)1 321，所以，纯净度为98%时，净化费用的瞬时变化率是1 321元/吨方法归纳本题利用函数
8、的运算强化导数的物理意义和几何意义，明确求导后导数所表示的意义如：瞬时速度是位移函数s(t)对时间t的导数，即vs|tt0.3已知某运动着的物体的运动方程为s(t)2t2(位移单位：m，时间单位：s)，求t3 s时物体的瞬时速度解：s(t)2t22t22t2，s(t)24t，vs|t312，即物体在t3 s时的瞬时速度为 m/s.易错警示复合函数求导中层次不明致误函数yxe12x的导数为_解析ye12xx(e12x)e12xxe12x(12x)e12xxe12x(2)(12x)e12x.答案y(12x)e12x错因与防范1.本题易发生对e12x的求导不按照复合函数的求导法则进行，导致求导不完全
9、，得出ye12xx(e12x)e12xxe12x(1x)e12x的错误结论2求复合函数的导数，要学会对复合函数的层次划分，不可机械地套用公式，应深刻理解复合函数的求导法则4函数yln 在x0处的导数为_解析：yln ln exln(1ex)xln(1ex)，则y1.当x0时，y1.答案：规范解答求曲线的切线方程(本题满分12分)已知函数f(x)x3x16.(1)求曲线yf(x)在点(2，6)处的切线方程；(2)直线l为曲线yf(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标解(1)由f(x)x3x16，可得f(x)3x21，所以曲线在点(2，6)处的切线的斜率为kf(2)13.2分切线方程为
10、y613(x2)，即y13x32.4分(2)设切点为P(x0，y0)，则直线l的斜率为f(x0)3x1，直线l的方程为yy0(3x1)(xx0)，即y(3x1)(xx0)xx016.6分又因直线l过点(0,0)，所以(3x1)(0x0)xx0160，解得x02.8分代入f(x)x3x16中可得y026，斜率为3x113.所以直线l的方程为y13x，切点坐标为(2，26).12分规范与警示(1)解答本例的两个关键步骤及易误点：确定点(2，6)是曲线上的点是求切线方程的关键；第(2)问中，由于切点没给出，故应先设出切点(x0，y0)，由x0表示切线斜率，从而可得出关于x0的方程是本题的难点解答第(2)问时，误认为原点为切点，从而所求的方程为yx；再设出切点坐标后，不会列出关于x0的方程，导致无法求出结果(2)求解该类问题的一般方法：注意已知点是否为切点若切点没有给出，一般先把切点设出来，并求出切点，再求切线方程
