1、13.3函数的最大(小)值与导数学习目标1.了解函数的最大值、最小值的定义2理解函数最值与导数的关系(难点)3能利用导数求函数的最值(重点)学法指导弄清极值与最值的区别是学好本节的关键函数的最值是一个整体性的概念函数极值是在局部上对函数值的比较，具有相对性；而函数的最值则是表示函数在整个定义域上的情况，是对整个区间上的函数值的比较.学生用书P241函数yf(x)在闭区间a，b上的最值(1)能够取得最值的前提条件：在区间a，b上函数yf(x)的图象是一条连续不断的曲线(2)函数的最值必在极值点或端点处取得2求函数yf(x)在a，b上的最值的步骤(1)求函数yf(x)在(a，b)内的极值；(2)将
2、函数yf(x)的极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值1判断：(正确的打“”，错误的打“”)(1)函数的极大值一定是函数的最大值()(2)开区间上的单调连续函数无最值()(3)函数f(x)在区间1,1上有最值()答案：(1)(2)(3)2函数f(x)x23x(|x|1)()A有最大值，但无最小值B有最大值，也有最小值C无最大值，但有最小值D既无最大值，也无最小值答案：B3函数yx33x3在区间3,3上的最小值为()A1 B5C12 D15答案：D4函数f(x)的最大值为_答案：求已知函数的最值求下列各函数的最值：(1)f(x)x34x4，x0,3
3、(2)f(x)sin 2xx(x，)(链接教材P30例5)解(1)因f(x)x34x4，则f(x)x24(x2)(x2)令f(x)0，得x2或x2(舍去)当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(0,2)2(2,3)f(x)0f(x)所以当x2时，f(x)x34x4有极小值，并且极小值为f(2).又由于f(0)4，f(3)1，因此，函数f(x)x34x4在0,3上的最大值是4，最小值是.(2)f(x)2cos 2x1.令f(x)2cos 2x10，解得x1，x2.当x变化时，f(x)与f(x)的变化情况如下表：x(，)(，)(，)f(x)00f(x)由上表可知f(x)的最大值是，最小
4、值是.方法归纳(1)求函数最值时，若函数f(x)的定义域是闭区间，则需比较极值点处函数值与端点处函数值的大小才能确定函数的最值；(2)若f(x)的定义域是开区间且只有一个极值点，则该极值点就是最值点1求下列函数的最值：(1)f(x)x32x24x5，x3,1；(2)f(x)ex(3x2)，x2,5解：(1)f(x)x32x24x5，f(x)3x24x4.令f(x)0，得x12，x2.f(2)13，f()，f(3)8，f(1)4，函数f(x)在区间3,1上的最大值为13，最小值为.(2)f(x)3exexx2，f(x)3ex(exx22exx)ex(x22x3)ex(x3)(x1)，在区间2,5
5、上，f(x)ex(x3)(x1)0，即函数f(x)在区间2,5上单调递减，x2时，函数f(x)取得最大值f(2)e2；x5时，函数f(x)取得最小值f(5)22e5.由函数的最值求参数已知函数f(x)x33x29xa.(1)求f(x)的单调递减区间；(2)若f(x)在区间2,2上的最大值为20，求它在该区间上的最小值解(1)f(x)3x26x9.令f(x)0，解得x1或x3，函数f(x)的单调递减区间为(，1)，(3，)(2)f(2)81218a2a，f(2)81218a22a.f(2)f(2)于是有22a20，a2.f(x)x33x29x2.在(1,3)上f(x)0，f(x)在1,2上单调递
6、增又由于f(x)在2，1上单调递减，f(2)和f(1)分别是f(x)在区间2,2上的最大值和最小值f(1)13927.f(x)在区间2,2上的最小值为7.方法归纳已知函数最值求参数，可先求出函数在给定区间上的极值及函数在区间端点处的函数值，通过比较它们的大小，判断出哪个是最大值，哪个是最小值，结合已知求出参数，进而使问题得以解决2设f(x)ax33ax2b(a0)在区间1,1上的最大值为3，最小值为1，求a，b的值解：f(x)3ax26ax3ax(x2)，令f(x)0，得x0或x2，则函数f(x)在1,1上的单调性及极值情况如下表所示：x1(1,0)0(0,1)1f(x)0f(x)b4a极大值
7、b2af(0)b3，又f(1)b4a，f(1)b2af(1)，f(1)b4a1，a1.a，b的值分别为1,3.与最值有关的恒成立问题设函数f(x)2x33ax23bx8c在x1及x2时取得极值(1)求a，b的值；(2)若对于任意的x0,3，都有f(x)c2成立，求c的取值范围解(1)f(x)6x26ax3b，因为函数f(x)在x1及x2时取得极值，所以f(1)0，f(2)0，即解得(2)由(1)可知，f(x)2x39x212x8c，f(x)6x218x126(x1)(x2)当x(0,1)时，f(x)0；当x(1,2)时，f(x)0；当x(2,3)时，f(x)0.所以，当x1时，f(x)取极大值
8、f(1)58c，又f(0)8c，f(3)98C所以当x0,3时，f(x)的最大值为f(3)98C因为对于任意的x0,3，有f(x)c2恒成立，所以98cc2，解得c1或c9.因此c的取值范围为(，1)(9，)方法归纳不等式恒成立问题常用的解题方法3已知f(x)x3x22x5，当x1,2时f(x)a恒成立，求实数a的取值范围解：f(x)x3x22x5，f(x)3x2x2.令f(x)0，即3x2x20，x1或x.当x变化时，f(x)及f(x)的变化情况如下表：x1，)(，1)1(1,2f(x)00f(x)当x时，f(x)取得极大值f()；当x1时，f(x)取得极小值f(1)，又f(1)，f(2)7
9、.f(x)在x1,2上的最小值为f(1).要使f(x)a恒成立，需f(x)mina，即a.所求实数a的取值范围是(，)学生用书P26数学思想分类讨论思想求解含参数函数的最值a为常数，求函数f(x)x33ax(0x1)的最大值解f(x)3x23a3(x2a)若a0，则f(x)0，函数f(x)单调递减，所以当x0时，有最大值f(0)0.若a0，则令f(x)0，解得x.因为x0,1，所以只需考虑x的情况(1)01，即0a1时，当x时，f(x)有最大值f()2a.(如下表所示)x(0，)(，1)f(x)0f(x)2a(2)1，即a1时，f(x)0，函数f(x)在0,1上单调递增，当x1时，f(x)有最
10、大值，f(1)3a1.综上可知，当a0，x0时，f(x)有最大值0.当0a1，x时，f(x)有最大值2a.当a1，x1时，f(x)有最大值3a1.感悟提高对于含参数函数的最值问题，由于参数的取值范围不同，会导致函数在所给区间上的单调性的变化，从而导致最值的变化所以解决这类问题常需要分类讨论，分类时一般从导函数值为零时自变量的大小或通过比较函数值的大小等方面进行参数分界的确定名师解题导数在证明不等式中的应用设函数f(x)xax2bln x，曲线yf(x)过P(1,0)，且在P点处的切线斜率为2.(1)求a，b的值；(2)证明：f(x)2x2.教你审题(1)(2)解(1)f(x)12ax.由已知得
11、，得解得a1，b3.(2)证明：f(x)的定义域为(0，)，由(1)知f(x)xx23ln x.设g(x)f(x)(2x2)2xx23ln x，则g(x)12x.令g(x)0，得x1或x(舍去)当0x1时，g(x)0，当x1时，g(x)0.g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减g(x)maxg(1)0，f(x)(2x2)0.f(x)2x2.名师点评解答本题利用函数的最值，证明不等式的基本步骤是：(1)将不等式构造成f(x)0(或0)的形式；(2)利用导数将函数yf(x)在所给区间上的最小值(或最大值)求出；(3)证明函数yf(x)的最小值(或最大值)大于零(或小于零)即可证得原不等式成立
