1、12导数的计算12.1几个常用函数的导数12.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)学习目标1.理解各个公式的证明过程，进一步理解运用定义求导数的方法2掌握常见函数的导数公式(重点)3灵活运用公式求某些函数的导数(难点)学法指导1.利用导数的定义推导简单函数的导数公式，类推一般多项式函数的导数公式，体会由特殊到一般的思想通过定义求导数的过程，培养归纳、探求规律的能力，提高学习兴趣2本节公式是下面几节课的基础，记准公式是学好本章内容的关键记公式时，要注意观察公式之间的联系.1几个常用函数的导数原函数导函数f(x)xf(x)1f(x)x2f(x)2xf(x)f(x)f(x)f(x)2.基本
2、初等函数的导数公式原函数导函数f(x)cf(x)0f(x)x(Q*)f(x)x1f(x)sin xf(x)cos_xf(x)cos xf(x)sin_xf(x)axf(x)axln_af(x)exf(x)exf(x)logaxf(x)f(x)ln xf(x)1判断：(正确的打“”，错误的打“”)(1)(sin )cos .()(2)因(ln x)，则()ln x()(3)指数函数的导数还是同底数的指数函数()答案：(1)(2)(3)2曲线yxn在x2处的导数为12，则n等于()A1 B2C3 D4答案：C3下列各式中正确的是()A(ln x)x B(cos x)sin xC(sin x)cos
3、 x D(x5)x6答案：C4若f(x)，则f(1)等于_答案：运用导数公式求导数求下列函数的导数(1)y1；(2)y；(3)y3x；(4)ylog3x.解(1)y1，y(1)0.(2)yx，y x x.(3)y3x，y3xln 3.(4)ylog3x，y.方法归纳用公式求函数导数的方法(1)若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求解(2)对于不能直接利用公式的类型，关键是合理转化函数的关系式为可以直接应用公式的基本函数的模式，如y可以写成yx4，y可以写成yx等，这样就可以直接使用幂函数的求导公式求导，以免在求导过程中出现指数或系数的运算失误1求下列函数的导数：(1)yx7；(2)y；(3)
4、yln 3；(4)yx.解：由求导公式得(1)y7x6.(2)y(x)x1x.(3)y(ln 3)0.(4)因为yx，所以yx，所以y(x)x1x.用求导公式求切线的斜率(或方程)(1)求过曲线ysin x上一点P(，)且与过这点的切线垂直的直线方程(2)已知点P(1,1)，点Q(2,4)是曲线yx2上的两点，求与直线PQ平行的曲线yx2的切线方程解(1)ysin x，ycos x，曲线在点P(，)处的切线斜率是：y|xcos .过点P且与切线垂直的直线的斜率为，故所求的直线方程为y(x)，即2xy0.(2)y(x2)2x，设切点为M(x0，y0)，则y|xx02x0，又PQ的斜率为k1，而切
5、线平行于PQ，k2x01，即x0，所以切点为M(，)所求的切线方程为yx，即4x4y10.方法归纳解决曲线的切线问题要灵活利用切点的性质：切点在切线上；切点在曲线上；切点处的导数为此点处的切线的斜率2求曲线ylg x在点M(10,1)处的切线的斜率和切线方程解：y(lg x)，y|x10.曲线ylg x在点M(10,1)处的切线的斜率为k.切线方程为y1(x10)，即x(10ln 10)y10(ln 101)0.易错警示未检验点是否在曲线上而致误过点P(1，3)作曲线y的切线，试求此切线方程解设切点为Q(x0，y0)，则y0，由导数定义知y，从而得切线的斜率k，则切线方程为yy0(xx0)，把
6、点P(1，3)代入方程整理得：30，进一步得x0或x01.从而可求出切线方程：y9x6或yx2.错因与防范1.解答本题易错点是不检验点P是否在曲线上，盲目认为点P在曲线上，所求结论是错误的2在求曲线的切线方程时，注意两个“说法”：求曲线在点P处的切线方程和求过点P曲线的切线方程在点P处的切线，一定是以点P为切点，过点P的切线，点P不一定是切点3已知直线ykx是曲线yex的切线，则k的值等于_解析：设切点的坐标为(x0，y0)，因为yex在(x0，y0)处的导数为ex0，所以ex0且y0ex0，解得x01，y0e.所以ke.答案：e名师解题求解点到直线的最短距离求抛物线yx2上的点到直线xy20
7、的最短距离解法一：设切点坐标为(x0，x)，依题意知与直线xy20平行的抛物线yx2的切线的切点到直线xy20的距离最短y(x2)2x，2x01，x0，切点坐标为，所求的最短距离d.法二：设与抛物线yx2相切且与直线xy20平行的直线l的方程为xym0(m2)，由，得x2xm0.直线l与抛物线yx2相切，判别式14m0，m，直线l的方程为xy0，由两平行线间的距离公式得所求的最短距离d.法三：设点(x，x2)是抛物线yx2上任意一点，则该点到直线xy20的距离d|x2x2|2.当x时，d有最小值，即所求的最短距离为.名师点评本题的三种解法利用的知识有所不同，解法一利用的是导数及点到直线的距离公式，解法二用的是两平行线之间的距离公式，解法三是将其转化为二次函数求最小值问题
