1、第二章数列2.1数列的概念与简单表示法2.1数列的概念与简单表示法(第2课时)学习目标了解数列的递推公式,明确递推公式与通项公式的异同;会根据数列的递推公式写出数列的前几项;经历数列知识的感受及理解运用的过程;通过本节课的学习,体会数学来源于生活,从而提高学习数学的兴趣.合作学习一、设计问题,创设情境1.回顾复习数列及有关定义,数列既然是按一定顺序排列的一列数,有些数列能够写出一个通项公式an=f(n),那么除了通项公式外还可以怎么表示?2.观察钢管堆放示意图,寻求规律,建立数学模型.自上而下:第1层钢管数为4;第2层钢管数为5;第3层钢管数为6;第4层钢管数为7;第5层钢管数为8;第6层钢管
2、数为9;第7层钢管数为10.若用an表示钢管数,n表示层数,则可得出每一层的钢管数为一数列,且an=n+3(1n7),相邻两层之间有没有关系?即an+1与an有没有关系?3.国际象棋中的每个格子中依次放入1,2,22,23,24,263这样的麦粒数排成一列数,相邻两数之间有没有关系?即an+1与an有没有关系?二、信息交流,揭示规律数列有四种表示法:通项公式法、列表法、图象法和递推公式法.通常用通项公式法表示数列.4.通项公式法如果数列an的第n项an与序号n之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.如数列0,1,2,3,4,的通项公式为;1,1,1,1,的通项公式
3、为;1,的通项公式为.5.图象法从函数的观点看,数列可以看成以正整数集N*(或它的有限子集1,2,3,n)为定义域的函数an=f(n)当自变量按照从小到大的顺序依次取值时对应的一列函数值.而数列的项是函数值,序号就是自变量,数列的通项公式就是相应函数的解析式.其图象是一群孤立的点.我们可以仿照函数图象的画法画数列的图象.具体方法是以项数n为横坐标,相应的项an为纵坐标,即以为坐标在平面直角坐标系中作出点以前面提到的数列1,为例,作出一个数列的图象,所得的数列的图象是一群孤立的点,因为横坐标为正整数,所以这些点都在y轴的右侧,而点的个数取决于数列的项数.从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到
4、大变化而变化的趋势.6.列表法数列可看做特殊的函数,其表示也应与函数的表示法有联系,相对于列表法表示一个函数,数列有这样的表示法:用a1表示第一项,用a2表示第二项,用an表示第n项,依次写出a1,a2,a3,a4,.记为an.7.递推公式法知识都来源于实践,最后还要应用于生活.用其来解决一些实际问题.观察钢管堆放示意图,寻其规律,建立数学模型.模型一:自上而下:第1层钢管数为4,即14=1+3;第2层钢管数为5,即25=2+3;第3层钢管数为6,即36=3+3;第4层钢管数为7,即47=4+3;第5层钢管数为8,即58=5+3;第6层钢管数为9,即69=6+3;第7层钢管数为10,即710=
5、7+3.若用an表示钢管数,n表示层数,则可得出每一层的钢管数为一数列,且an=n+3(1n7).运用每一层的钢筋数与其层数之间的对应规律建立数列模型,运用这一关系,会快捷地求出每一层的钢管数,这会给我们的统计与计算带来很多方便.继续看此图片,是否还有其他规律可循?模型二:上下层之间的关系自上而下每一层的钢管数都比上一层钢管数多1.即a1=4;a2=5=4+1=a1+1;a3=6=5+1=a2+1;依此类推:an=an-1+1(2n7).对于上述所求关系,若知其第1项,即可求出其他项.递推公式:如果已知数列an的第1项(或前几项),且任一项an与它的前一项an-1(或前几项)间的关系可以用一个
6、公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.递推公式也是给出数列的一种方法.如下数列:3,5,8,13,21,34,55,89,递推公式为:a1=3,a2=5,an=an-1+an-2(3n8).8.数列的分类(1)根据数列项数的多少分有穷数列:;无穷数列:.(2)根据数列项的大小分递增数列:;递减数列:;常数数列:;摆动数列:.三、运用规律,解决问题9.设数列an满足an=写出这个数列的前5项.10.已知a1=2,an+1=2an,写出前5项,并猜想an.四、变式训练,深化提高11.根据各个数列的首项和递推公式,写出它的前5项,并归纳出通项公式.(1)a1=0,an+1=an+(2n-
7、1)(nN*);(2)a1=1,an+1=(nN*);(3)a1=3,an+1=3an-2(nN*).五、反思小结,观点提炼参考答案一、设计问题,创设情境3.有关系.an+1=2an二、信息交流,揭示规律4.an=n-1(nN*);an=1(nN*);an=(nN*)5.(n,an)8.(1)项数有限的数列项数无限的数列(2)从第2项起,每一项都大于它的前一项的数列从第2项起,每一项都小于它的前一项的数列各项相等的数列从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列三、运用规律,解决问题9.解:由题意可知,a1=1,a2=1+=2,a3=1+,a4=1+,a5=1+.10.解:a1=2,a2=2a1=22=22,a3=2a2=222=23,a4=2a3=223=24,a5=2a4=224=25,观察可得an=2n.四、变式训练,深化提高11.解:(1)a1=0,a2=1,a3=4,a4=9,a5=16,an=(n-1)2;(2)a1=1,a2=,a3=,a4=,a5=,an=;(3)a1=3=1+230,a2=7=1+231,a3=19=1+232,a4=55=1+233,a5=163=1+234,an=1+23n-1.五、反思小结,观点提炼略
