1、第二章数列2.4等比数列2.4等比数列(第1课时)学习目标1.体会等比数列是用来刻画一类离散现象的重要数学模型,理解等比数列的概念.2.能根据定义判断一个数列是不是等比数列,明确一个数列是等比数列的限定条件;能够运用类比的思想方法得到等比数列的定义,会推导等比数列的通项公式.合作学习一、设计问题,创设情境1.复习等差数列的相关内容:定义:通项公式:an=a1+(n-1)d,(nN*).前n项和公式:Sn=na1+d,(nN*).问题:等差数列只是数列的其中一种形式,现在来看这三个数列1,2,4,8,;1,;-1,1,-1,1,思考:这三个数列是等差数列吗?各个数列的各项之间有什么关系?二、信息
2、交流,揭示规律与等差数列的概念相类比,可以给出这种数列的概念吗?是什么?1.定义:如果一个数列从第2项起,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母q表示(q0).2.数学表达式:.从等比数列的定义及其数学表达式中,可以看出什么?也就是这个公式在什么条件下成立?结论:等比数列各项均不为零,公比q0.3.通项公式:等比数列an的首项为a1,公比为q,a2=a1q,a3=a2q=a1q2,a4=a3q=a2q2=a1q3,以此类推,可以得到an用a1和q表示的数学表达式吗?归纳猜测得到:.三、运用规律,解决问题【例1】判断下列数列是否为等比数列:(1)1,1,1,1,1;
3、(2)0,1,2,4,8;(3)1,-,-,.【例2】某种放射性物质不断变化为其他物质,每经过一年剩留的这种物质是原来的84%.这种物质的半衰期为多长(精确到1年)?【例3】(1)一个等比数列的第3项和第4项分别是12和18,求它的第1项和第2项;(2)一个等比数列的第9项是,公比是-,求它的第1项.四、变式训练,深化提高变式训练1:已知等比数列an中an+1an,且a3+a7=3,a2a8=2,则等于()A.B.C.D.2变式训练2:已知等比数列an的公比为正数,且a3a9=2,a2=1,则a1等于()A.B.C.D.2变式训练3:在等比数列an中,a5=-16,a8=8,则a11等于()A
4、.-4B.4C.-2D.2五、反思小结,观点提炼参考答案一、设计问题,创设情境1.一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示.二、信息交流,揭示规律1.每一项与它的前一项的比等于同一常数2.=q(nN*)3.an=a1qn-1三、运用规律,解决问题【例1】解:(1)数列的首项为1,公比为1,所以是等比数列;(2)因为等比数列中的各项均不为零,所以不是等比数列;(3)数列的首项为1,公比为-,所以是等比数列.【例2】解:设这种物质最初的质量是1,经过n年,剩留量是an,那么:经过1年,剩留量为
5、a1=10.84=0.84,经过2年,剩留量为a2=0.84a1=0.840.84=0.842,经过3年,剩留量为a3=0.84a2=0.840.842=0.843,经过n年,剩留量为an=0.84an-1.因此an构成一个等比数列an,其中a1=0.84,q=0.84.设an=0.5,则0.84n=0.5两边取对数,得lg0.84n=lg0.5,于是nlg0.84=lg0.5,n=用计算器算得n4.答:这种物质的半衰期大约为4年.【例3】解:(1)设这个等比数列的第1项是a1,公比是q,那么两式相比得q=,代入其中一个方程,得a1=,因此,a2=a1q=8.(2)设这个等比数列的第1项是a1,公比是q,那么a9=a1q8,即=a1,解得a1=2916.四、变式训练,深化提高变式训练1:分析:在做这种题的时候,可以根据等比数列的定义,列出一个或多个等式来求解.由a2a8=a3a7,得解得因此=2.选D.答案:D变式训练2:分析:设等比数列an的公比为q,由已知得a1q2a1q8=2(a1q4)2,即q2=2,又因为等比数列an的公比为正数,所以q=,故a1=,选B.答案:B变式训练3:分析:设等比数列an的公比为q,由已知得a8=a5q3,即8=(-16)q3,q3=-,所以a11=a8q3=8=-4.选A.答案:A五、反思小结,观点提炼略
