1、3.3几何概型3.3.1几何概型1.面积为S的ABC,D是BC的中点,向ABC内部投一点,那么点落在ABD内的概率为()A.B.C.D.解析:向ABC内部投一点的结果有无限个,属于几何概型.设点落在ABD内为事件M,则P(M)=.答案:B2.取一根长度为5m的绳子,拉直后在任意位置剪断,那么剪得的两段长度都不小于2m的概率是()A.B.C.D.不能确定解析:如图所示,拉直后的绳子看成线段AB,且C,D是线段AB上的点,AC=2m,BD=2m,由于剪断绳子的位置是等可能的且有无限个位置,属于几何概型.设剪得两段的长度都不小于2m为事件E,设M是事件E的一个剪断点,则MCD,则事件E构成线段CD,
2、则P(E)=.答案:B3.如图,矩形长为6,宽为4,在矩形内随机地撒300颗黄豆,数得落在椭圆外的黄豆数为96颗,以此试验数据为依据可以估计出椭圆的面积约为()A.7.68B.8.68C.16.32D.17.32解析:矩形的面积S=64=24,设椭圆的面积为S1,在矩形内随机地撒黄豆,黄豆落在椭圆内为事件A,则P(A)=,解得S1=16.32.答案:C4.在区间上随机取一个数x,则事件“0sin x1”发生的概率为()A.B.C.D.解析:由于x,若0sin x1,则0x.设“0sin x1”为事件A,则P(A)=.答案:C5.一个正方体的体积为27cm3,在正方体内任取一点,则这点到各面距离
3、都大于1的概率为()A.B.C.D.不确定解析:正方体的体积为27cm3,棱长为3cm.又在正方体内任取一点,则这点到各面的距离都大于1,这点在以正方体的中心为中心,1cm为棱长的小正方体内,P=.答案:A6.某人从甲地去乙地共走了500m,途经一条宽为x m的河流.该人不小心把一件物品丢在了途中,若掉在河里就找不到,否则就能找到,已知该物品能被找到的概率为,则河宽为.解析:由几何概型的概率计算公式得,解得x=100(m).答案:100m7.设A为圆周上一定点,在圆周上等可能地任取一点与A连接,则弦长超过半径的倍的概率为.解析:如图,圆O上一定点A,过圆心O作与OA垂直的直径BC,则|AB|=
4、|AC|=r.要使圆周上的点与点A所连弦长超过半径r的倍,则所取动点范围在上,故弦长超过半径的倍的概率为.答案:8.已知一只蚂蚁在边长为4的正三角形内爬行,则此蚂蚁到三角形三个顶点的距离均超过1的概率为.解析:因为正三角形ABC的边长为4,所以其面积为4.分别以A,B,C为圆心,1为半径在ABC中作扇形,除去三个扇形剩下的部分即表示蚂蚁距三角形三个顶点的距离均超过1的区域,其面积为4-312=4,故所求概率P=1-.答案:1-9.国家安全机关监听录音机记录了两个间谍的谈话,发现30min长的磁带上,从开始30s处起,有10s长的一段内容包含间谍犯罪的信息.后来发现,这段谈话的一部分被某工作人员
5、擦掉了,该工作人员声称他完全是无意中按错了键,使从此处起往后的所有内容都被擦掉了.那么由于按错了键使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉的概率有多大?解:记“按错键使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉”为事件A.则事件A应发生在前40秒内.所以所求事件的概率为P(A)=.10.一海豚在水池中自由游弋,水池为长30m,宽20m的长方形,求此刻海豚嘴尖离岸边不超过2m的概率.解:如图,四边形ABCD是长30m、宽20 m的长方形.图中的阴影部分表示事件A:“海豚嘴尖离岸边不超过2m”.问题可化为求海豚嘴尖出现在阴影部分的概率.S长方形ABCD=3020=600(m2),S长方形ABCD=(30-4)(20-4)=416(m2),S阴影部分=S长方形ABCD-S长方形ABCD=600-416=184(m2),根据几何概型的概率公式,得P(A)=.
