1、第9课时空间几何中的平行和垂直的综合应用1.综合应用直线与平面的平行和垂直的判定定理、性质定理解决空间几何中的平行与垂直问题.2.培养学生的空间识图能力和空间想象能力,会根据题意构造辅助线将问题进行转化,提高学生的逻辑推理能力和计算能力.重点: 线与平面的平行和垂直的判定定理、性质定理的综合应用.难点:构造辅助线将问题分解.通过前面几节课的学习,我们认识了空间中的点、线、面的位置关系,学习了空间几何中的线面平行和垂直的判定定理和性质定理、面面平行和垂直的判定定理和性质定理,了解了直线与平面所成的角、二面角的概念,并能进行一些简单的线面角和二面角的计算,这节课我们将探究空间中平行和垂直的综合性问
2、题,提高空间几何的想象能力和解决综合性问题的方法技巧.问题1:平行综合问题的转化方法和技巧(1)利用线面平行的判定定理可以把线面平行问题转化为线线平行问题,利用面面平行的判定定理可以把面面平行问题转化为线面平行问题;(2)利用线面平行的性质定理可以利用线面平行推导线线平行,利用面面平行的性质定理可以利用面面平行推导线面平行;(3)线线平行是把立体几何中的平行问题转化为平面几何中的平行问题的中转站,在平面几何中证明线线平行的常用方法有:定义法(即平面中没有公共点的两条直线是平行线)、三角形中位线定理、三角形分线段成比例定理、特殊四边形的性质.问题2:垂直综合问题的转化方法和技巧(1)利用线面垂直
3、的判定定理可以把线面垂直问题转化为线线垂直问题,利用面面垂直的判定定理可以把面面垂直问题转化为线面垂直问题;(2)利用线面垂直的性质定理可以利用线面垂直推导线线垂直,利用面面垂直的性质定理可以利用面面垂直推导线面垂直;(3)线线垂直是把立体几何中的垂直问题转化为平面几何中的垂直问题的中转站,在平面几何中证明线线垂直的常用方法有:勾股定理、等腰三角形三线合一定理、特殊四边形的性质.问题3:平行问题与垂直问题的相互转化(1)垂直同一平面的两条直线平行,即a,bab; (2)与平面的垂线平行的直线也垂直这个平面,即a,abb;(3)垂直同一直线的两个平面平行,即a,a; (4)与平面的垂线平行的平面
4、也垂直这个平面,即a,a;(5) 与平面的垂直平面平行的平面也垂直这个平面,即a,a.问题4:垂直问题与平行问题的常见错误命题归类(1)垂直同一平面的两个平面平行,即,; (2)垂直同一平面的两个平面垂直,即,;(3)平行同一直线的两个平面平行,即a,a; (4)平行同一平面的两个直线平行,即a,bb. 人们引进平面的法线(即与平面垂直的直线)来描述平面的方向,于是空间中的平行问题和垂直问题归根结底是方向问题,在平面几何中我们通常用平面向量探究平面中的方向问题,所以在立体几何中我们引进空间向量,利用空间向量研究立体中平行问题和垂直问题,比较简洁明了,尤其是在处理立体几何中的角度计算、距离计算更
5、能体现向量法的优越性,同学们,是不是很向往向量法呢?我们在选修2系列课程中将会接触到空间向量,到时一起体会吧.1.如果一条直线l与平面的一条垂线垂直,那么直线l与平面的位置关系是().A.lB.lC.lD.l或l【解析】 通过画图分析可得.【答案】D2.已知a,b,c是直线,是平面,下列条件中,能得出直线a平面的是().A.ac,ab,其中b,cB.ab,bC.,aD.ab,b【解析】 A中没强调a,b是相交直线,C、D明显错误,B正确.【答案】B3.在正方体中,与正方体的一条对角线垂直的各面上的对角线的条数是.【解析】 通过画图分析可得,每个面都有一条面对角线与该对角线垂直,所以有6条.【答
6、案】64.已知直线l平面,垂足为A,直线APl.求证:AP在内.【解析】 假设AP与l确定的平面为,如果AP不在内,则可设与相交于直线AM,l,lAM,又APl,在平面内,过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直,假设错误,AP一定在内.棱柱中的平行问题与垂直问题已知,正方体ABCD-A1B1C1D1,E,M,F分别是AD,CD,CC1的中点,求证:(1)EM平面BFD1;(2)A1E平面ABF.【方法指导】正方体模型中,要善于利用正方体具有的各种性质,把问题进行转化.【解析】 (1) 连接AC、BD交于点O,取BD1中点为O,连接OF、OO,因为E,M分别是AD,CD的中点,所以EMAC,
7、又因为OODD1CC1,且OO=DD1=CC1=CF,所以四边形OOFC是平行四边形,所以OFOC,所以EMOF且OF平面BFD1,所以EM平面BFD1.(2)取BC中点为G,连接B1G,易得A1EB1G,在正方形BB1C1C中,因为G,F分别是BC,CC1的中点,易证B1GBF,所以A1EBF,又因为AB平面AA1D1D,A1E平面AA1D1D,所以ABA1E,ABBF=B,所以A1E平面ABF.【小结】棱柱中具有很多平行和垂直关系,在分析的时候要考虑利用它们的性质进行逻辑推导.正方体是特殊的棱柱,棱、对角线都具有很多特殊的性质,是历届高考的热门模型.棱锥中的平行问题与垂直问题已知四棱锥P-
8、ABCD中,侧面PAD底面ABCD,ABCD,CD=2AB,ADCD,BC=PB,E为PD的中点.求证:(1)AE平面PBC;(2)AE平面PCD.【方法指导】在棱锥中要结合已知条件分析线面间的平行和垂直关系.【解析】 (1)取PC的中点为F,连接EF,BF,则EFCD,ABCD,所以EFAB,所以四边形AEFB是平行四边形,所以AEBF且BF平面PBC,所以AE平面PBC.(2)因为BC=PB,F是PC的中点,所以BFPC且AEBF,所以AEPC,侧面PAD底面ABCD且ADCD,所以CD平面PAD且AE平面PAD,所以AECD且C
9、DPC=C,所以AE平面PCD.【小结】棱锥由于各个侧面都是三角形,所以将三角形的性质与平行问题和垂直问题结合也是考试热点问题,图形简单,内容丰富.其他几何体中的平行问题与垂直问题如图,正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直,EFAC,AB=,CE=EF=1.(1)求证:AF平面BDE;(2)求证:CF平面BDE.【方法指导】本题突破点在EFAC,由线线平行达到线面平行,其次底面是正方形,其对角线互相垂直,从而破解了线面垂直问题.【解析】(1)设AC与BD交于点G.因为EFAG,且EF=1,AG=AC=1,所以四边形AGEF为平行四边形,所以AFEG.因为EG平面BDE,AF平面BD
10、E,所以AF平面BDE.(2)连接FG.因为EFCG,EF=CG=1,且CE=1,所以四边形CEFG为菱形,所以CFEG.因为四边形ABCD为正方形,所以BDAC,又因为平面ACEF平面ABCD,且平面ACEF平面ABCD=AC,所以BD平面ACEF,所以CFBD,又BDEG=G,所以CF平面BDE.【小结】从一般几何体的图形入手,常采用切割法或者是补形法转化为柱体或椎体中的平行和垂直问题.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱垂直于底面,点D在BC上,ADC1D.(1)求证:AD面BCC1B1;(2)如果AB=AC,点E是B1C1的中点,求证:A1E平面ADC1.【解析】(1)在三棱柱A
11、BC-A1B1C1中,CC1平面ABC.AD平面ABC,CC1AD.ADC1D,C1D平面BCC1B1,CC1C1D=C1,AD面BCC1B1.(2)连接ED.AD平面BCC1B1,BC平面BCC1B1,ADBC.AB=AC,D是BC的中点.E是B1C1的中点,B1C1BC,B1C1=BC,B1E=BD,B1EBD.四边形BDEB1为平行四边形,B1B=ED,B1BED.B1B=A1A,B1BA1A,EDA1A,ED=A1A.四边形ADEA1为平行四边形,A1EAD.A1E平面ADC1,AD平面ADC1,A1E平面ADC1.如图,四边形ABCD为矩形,AD平面ABE,EB=BC,F为CE上的点
12、,且BF平面ACE.(1)求证:AE平面BCE;(2)求证:AE平面BFD.【解析】(1)AD平面ABE,ADBC,BC平面ABE,则AEBC.又BF平面ACE,则AEBF,AE平面BCE.(2)设ACBD=G,可知G是AC中点.BF平面ACE,则CEBF.而BC=BE,F是EC中点.连接GF,在AEC中,FGAE,又AE平面BFD,FG平面BFD,AE平面BFD.如图,四边形ABCD是圆柱的一个轴截面,E是下底面圆上除去A,B以外的一点,AFCE,垂足为F.求证:(1)AF平面BCE;(2)若BCDF,AB=4,求棱柱的体积. 【解析】 (1)因为AB是直径,所以AEBE,又AC底面ABE,
13、所以ACBE且AFAE=A,所以BE平面ACE,AF平面ACE,所以AFBE,又AFCE,CEBE=E,所以AF平面BCE.(2)由(1)知AF平面BCE,BC平面BCE,所以AFBC,若BCDF,则显然有BC平面ADF,于是BCAD且轴截面ABCD是一个矩形,所以四边形ABCD是正方形,即AC=AB=4,所以V圆柱=224=16.1.已知m是平面的一条斜线,点A,l为过点A的一条动直线,那么下列情形可能出现的是().A.lm,lB.lm,lC.lm,lD.lm,l【解析】 对于A,由lm,l,则m,与已知矛盾;对于B,由lm,l,可知m或m,与已知矛盾;对于D,由lm,l可知m或m,与已知矛
14、盾.由此排除A,B,D,故选C.【答案】C2.已知如图,六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形,PA平面ABC.则下列结论不正确的是().A.CD平面PAFB.DF平面PAFC.CF平面PABD.CF平面PAD【解析】 A中,CDAF,AF面PAF,CD面PAF,CD平面PAF成立;B中,ABCDEF为正六边形,DFAF.又PA面ABCDEF,DF平面PAF成立;C中,CFAB,AB平面PAB,CF平面PAB,CF平面PAB;而D中CF与AD不垂直,故选D.【答案】D3.若l为一条直线,为三个互不重合的平面,给出下面三个命题:,;,;l,l.其中正确的命题有.【解析】 对于,与可能平行、相交或
15、垂直,故错;正确.【答案】4.如图,四边形ABCD为矩形,PA平面ABCD,M、N分别为AB、PC的中点.(1)证明:ABMN;(2)若PA=AD,连接AC,取AC的中点O,证明:平面MNO平面PDC.【解析】(1)因为N为PC的中点,所以ONPA.而PA平面ABCD,所以ON平面ABCD,所以ONAB.又四边形ABCD为矩形,M为AB的中点,所以OMAB,所以AB平面OMN,所以ABMN.(2)因为PA平面ABCD,ADDC,所以PDDC.因为PA=AD=BC,连接MC,由RtBCMRtAPM知,MC=MP,所以MNPC.因为ABMN,所以MNCD,又PCCD=C,所以MN平面PCD,所以平
16、面MNO平面PCD.(2013年江苏卷)如图,在三棱锥S-ABC中,平面SAB平面SBC,ABBC,AS=AB,过A作AFSB,垂足为F,点E,G分别是棱SA,SC的中点.求证:(1)平面EFG平面ABC;(2)BCSA.【解析】(1)因为AS=AB,AFSB,垂足为F,所以F是SB的中点.又因为E是SA的中点,所以EFAB.因为EF平面ABC,AB平面ABC,所以EF平面ABC.同理EG平面ABC.又EFEG=E,所以平面EFG平面ABC.(2)因为平面SAB平面SBC,且交线为SB,又AF平面SAB,AFSB,所以AF平面SBC.因为BC平面SBC,所以AFBC.又因为ABBC,AFAB=A,AF,AB平面SAB,所以BC平面SAB.因为SA平面SAB,所以BCSA.
