1、四 热传导方程2 能量守恒定律和热传导定律1 热学问题：温度u(x,t)是根本量q是单位时间流过单位面积的热量(热流强度）；k为导热率，与材料有关，温度范围不大时，视为常数分析：xx+dxx热流(1) dt时间内小段dx温度升高所需热量dt很小内无热源，二者相等一维热传导方程若杆内有热源，热源密度（单位时间单位体积放热量）为f, 则方程变为(2) dt时间内流入小段dx热量：(1) dt时间内小段dx温度升高所需热量一维热传导方程三维热传导方程五 扩散方程2 扩散定律1 浓度u(x,y,z,t)是根本量q是单位时间流过单位面积的粒子数(扩散流强度）；D为扩散系数。dxdzdyxz可写成分量形式
2、体内浓度的变化取决于穿过它表面的扩散流，单位时间内x方向净流入粒子数：同理，单位时间内y，z方向净流入粒子数分别为：根据粒子数守恒：单位时间内增加的粒子数（浓度*体积对时间的变化率）等于单位时间流入的粒子数输运方程六 泊松方程在充满了介电常数为的电解质，电荷的体密度为(x,y,z) ，研究该区域的静电场。 势函数u(x,y,z)是根本量, 在所研究的区域中，任作一闭合曲面s，围出一空间，由高斯定理：泊松方程若所讨论区域无电荷，则为当时间足够长，达到稳定状态，ut=0泊松方程对于扩散方程拉普拉斯方程浓度的稳定分布方程1)双曲型方程（Hyperbolic Equation）：以波动方程为代表的方程
3、它描绘了各向同性的弹性体中的波动、振动过程，或声波、电磁波的传播规律一 均匀弦的微小横振动二 均匀杆的纵振动三 均匀薄膜的微小横振动四 电磁波方程*小 结 2）抛物型方程（Parabolic Equation）：以热传导方程（或输运方程）为代表的方程它主要描述扩散过程和热传导过程所满足的规律五 扩散方程四 热传导方程双曲型方程和抛物型方程都是随时间变化（或发展）的，有时也称为发展方程3）椭圆型方程（Elliptic Equation）以泊松方程为代表的方程退化为拉普拉斯方程它是描述物理现象中稳定(或平衡状态)）过程规律的偏微分方程，在物理现象中，它很好地描述了重力场、静电场、静磁场、稳恒流的速
4、度势等规律。牛顿（Newton）第二定律胡克（Hooke）定律热传导的傅里叶定律牛顿（Newton）冷却定律扩散定律（斐克（Fick）定律）静电场中的高斯(Gauss)定律F=ma张应力=杨氏模量相对伸长流入小体积元的热量dQ与沿面积元外法线方向的温度变化率u/n成正比单位时间内扩散流过某横截面的杂质量m和浓度梯度u/n成正比单位时间内从周围介质传到边界上单位面积的热量与表面和外界的温度差成正比常用物理定理常用物理定理例1 长为 l 的柔软均质绳索，一端固定在以匀速转动的竖直轴上，由于惯性离心力的作用，这弦的平衡位置应是水平线。试推导此绳相对于水平线的横振动方程。 XYxx+dx解：如图选坐标
5、系，由于惯性离心力的作用，绳内各处受力不同，x处的水平拉力为竖直方向：竖直方向：例2 混凝土浇灌后逐渐放出“水化热”放热速率正比于当时尚存的水化热密度，即 。试推导浇灌后的混凝土内的热传导方程。解：浇灌后混凝土中在初始时刻存储的水化热密度为0，则t 时刻存储的水化热密度为： T时刻放热速率以dv=dxdydz为研究对象，由于混凝土中放出水化热，则在dv中存在热源，即在单位时间内于单位体积内放出的热量为 在单位时间内流入dv中的净热量为：考虑dv中有热源，则在单位时间内dv热量的增加为又由热力学第一定律，在单位时间内在dv内净增加的热量可表示为=例3积分T1T2xa2a1uT1T2xa2a1u7
6、.2 定解条件 一 初始条件 ：1.定义： 是研究系统的物理量在开始计时时刻的初始分布2 初始条件的特征： 偏微分方程对时间导数的阶数对应于初始条件中的数目一阶含时偏微分方程，有一个初始条件二阶含时偏微分方程，有两个初始条件3 注意问题：（1）初始条件给出系统在初始状态下物理量的分布，而不是一点处的情况例子：一根长为l的弦，两端固定于0和l，在距离坐标原点为b的位置将弦沿着横向拉开距离h，如图所示，然后放手任其振动，试写出初始条件x bh解：初始时刻就是放手的那一瞬间，按题意初始速度为零，即有错给出初始位移条件因为h只是b点处的初始位移，其他各点的位移并不是h初始位移如图所示，除两端点固定外，
7、弦上各点均有一定的位移，写出如图所示的直线方程，得到初始位移为（2）初始条件中不含时间，只是坐标的函数或常数x bhx=lx=0 研究具体的物理系统，还必须考虑研究对象所处的特定“环境”，而周围环境的影响常体现为边界上的物理状况，即边界条件常见的线性边界条件分为三类：二 边界条件 ：系统的物理量始终在边界上具有的情况。第二类边界条件，规定了所研究的物理量在边界外法线方向上方向导数的数值；第一类边界条件，直接规定了所研究的物理量在边界上的数值；第三类边界条件，规定了所研究的物理量及其外法向导数的线性组合在边界上的数值.（1）第一类边界条件： 比如：弦的两端固定若弦的两端按固定规律运动直接给出系统边界上物理量u的函数形式（2）第二类边界条件：例1：杆在x=a处绝热x热流规定了系统边界上物理量法向方向上的方向导数的u/n函数形式热传导定律例：热传导的杆在x=a端自由冷却，自由冷却的意思是：界面法向方向上的热流强度与杆端温度和环境的温差成正比（3）第三类边界条件：给出系统在边界上u和u/n的线性关系边界条件概括为：（3）、系统几个边界就有几个边界条件3 注意的问题：（1）、边界条件中不是系统的初始条件（2）、边界条件只是时间的函数
