1、答 案见解析解析证明：若，是完全平方数若，所以， 同奇偶，设，即把看成是二次方程的一个根，则有另一个根，满足，从而是整数，所以若，则，证毕若，有，不妨，则矛盾所以只能有，答 案见解析解析解答：只有有限个 满足条件 引理：证明：考虑 个颜色的小球排成一排，每个颜色小球有个的排列方法数，所以，所以引理：证明：只需证，归纳，只需所以，模块模块1：整除：整除111例题1m = nk = m2m = n4 m + n()2mnm n = 2tk = 4mt + 12m t()2m 22t + 4ktm +(2)t 2k = 0mmm + m =2t + 4kt2mm =t 2kmk = 4m t + 1
2、 2m t()20m 0m =0k = t2m 0mm =t 2k t2m t m t=()2m m 2t +()t 24t ()n!()2013n! ennnnlnn lnn + + ln1 ()nnln n + 1 ()nlnn 1 (en)2013nn!()20132012n ! ()2012n()2012n (en)20132012n()2012n e201220132012例题3答 案见解析解析证明：记对 归纳，假设对于，均有对， ， 求和，得所以由，知即，其中是整数所以由归纳假设，知道，所以证毕答 案见解析解析证明：采用反证法，假设有，并且，所以有 ， ， ， ，所以，所以，所以，
3、矛盾答 案见解析解析解答：只有，两组满足条件如果，有，所以， 下设，对于，有，所以不是的倍数对于， ， ，单独检验，没有解11S =k rr=1nkkk = 1n n + 12 1 + 2 + + n() ()j c d bab = dc 16n4n a bp = a,c()pqrsa = pqb = rsc = prd = qsa c q ra d p sn pq rs s + 1r + 1 ()()rs = r + s + 1 2 +b1b (2n 1)2a b + n (2n + 1)2ab (2n 1)2(2n + 1)2 16n4例题54,1()11,1()n = 1x + 3x +
4、 3x 3 + 14()()x + 3 14x = 411n 2x 42x nx +nx n2+2nx22x 2 + 1 (n)2 + 1+(n)2x 22+n+1x +n1x 1x + 2 + 1 =()(nn)x+n+12 x +nx x n2 n1 x+n+12+n+11 x x +(nx+n+12+n+11x +n2 +n1x = 123答 案见解析解析证明： 最小为对于 ， ，这个数，显然不满足题设性质对于，这个二元集合，考虑任意一组，分别除以得到的余数，必然有两个，处于上述的同一个二元集合所以或者答 案见解析解析解：当时，取可得 的多种表示方法，以下我们假设 由于，所以 又由于，故
5、，而 设，则 若，则 与矛盾故只能有，此时只有，一个解故都满足要求答 案见解析解析解：显然，设，则 因此存在无穷多个 使得，因此 设，则，所以存在一个实数使得 由于，所以也有，因此111例题6n101001100810090,20171,20161008,10091009a 1a10102017r 1r 1010r ir jr =ir jr ir =j0例题7n = 1x,y =()t,t + 1()nn 2n = xy + 1x + y2y = nx 1x n2nx 1 x n2n,nx 1 =()1nx 1 x n 2nx 1 x n n(2)2nx 1 n x 1(22)nx 1 n 1
6、3n 2 x = 1d = nx 1n 13nx = dn + d 13()n d 1d n + 1nx = +dn 131 n 2x x 21 x 2nd = 1x = n2y = nn 2例题8m nm = n + ka+ma 1 = aa + a 1 k(n2)a 1a+ a 1()(k+1k)aa + a 1 a+ a 1(n2)(k+1k)x + x 1 x+ x 1(n2)(k+1k)f x =( )x +nx 21f 0 f 1 =( )( )1 00 a nk 2a+k+1a ka +na2k + 1 = na =ka2k = 2n = 3m = 5n = 3m = 5 =a
7、+ a 132a + a 15a 2a + 1例题9kk = 1m =1nknm 1m 2m k+11 + =n2 1k+11 + 1 + (m 11)(m k+11)n1n 2n + 1Nm 1m 2m k1 + = 2n+12 1k1 + 1 + (m 11)(m k1)m =k+1n1 + 1 + =(m 11)(m k+11)1 + ( 2n+12 1k)1 + (n1)=1 + (n + 12 2k+1) =nn + 1 =nn + 1 + 2 2k+11 + n2 1k+12n 2nNm 1m 2m k1 + = 2n2 1k1 + 1 + (m 11)(m k1)m =k+12+k+1n 21 + 1 + =(m 11)(m k+11)1 + ( 2n2 1k)1 + (2+ n 2k+11)=1 + (n2 2k+1)1 + (2+ n 2k+11)= n2+ n 2k+1 =2+ n 2k+12+ n 2 + 1k+11 + n2 1k+1
