1、答 案见解析解析证明：不妨，如果，所以矛盾，所以依次讨论，求解即可答 案见解析解析证明： 所以，当，或 ，依次计算，有答 案见解析解析解：(牛顿恒等式) 换元，令，则第二个条件改写为 设 ， ， 是方程的三个根利用牛顿恒等式，有 ， ，利用条件可知，因此有，下面我们只需要找，因此有，即，模块模块1：111例题1x y zz 53z + 1 3.2z3x + 13y + 13z + 1 ()()()3.2 xyz 334xyzz 5例题2f n =( )n 318n +2115n 391 = n 8+()36n 277n + 121 = n 5()33n +2f n 11f n ( )n 8()
2、3f n =( )n 6()3n 7()3n = 2512n 11f n =( )n 6+()37n 175f 1 =( )33例题3x = a + by = az = b7 x + y + z7777xyzf t =( )t +3a t +12a t +2a =30S =33a 32S =42a 22S =55a a 23S =77a a 223a =3xyz7 a 37 a = xy + yz + zx = a + b + ab32(22)3ab = a +2b +2ab = 7 =3a + b()2ab ab 1147 3a + b()2114 + 7319 a + b 21a,b =(
3、)1,18()答 案见解析解析证明：，所以，所以不是 的倍数 所以是 的倍数，不是的倍数矛盾答 案见解析解析证明：，左端只可能是 ， ， ，右端是，矛盾 或者，或 ，所以，但是二者都是 的次方，只能有矛盾答 案见解析解析解：(复数) 令，分别把，带入上式即可答 案见解析解析1111例题4a =1ka =2k + 1a =55k + 54T=2a =i255 k + 54k + 9 109(2)k +254k + 9 109 k 2k + 1 mod5k +254k + 9 1095T2525例题5mod7120213x,y =()dx = day = dbx +3y =3da + ba ab
4、+ b3()(22)a + b,a ab + b=(22)a + b,3ab =()133 a +3b3a + b,a ab + b=(22)12a + b = 1例题6 = e 52i23例题7证明：，答 案见解析解析解答：，显然，所以，严格大于，矛盾，所以，答 案见解析解析解：首先归纳降次证明引理： 若是整值多项式，则其系数都是有理数 (更强的结论：为是整值多项式的充要条件，其中) 假设命题不成立，即存在使得对，为素数，则由引理，的所有系数为有理数，记， 设，的公分母为，取时，有所以，所以有无数个整数解与矛盾答 案见解析解析111a nb =na ba+ + b()(n1n1)b = a
5、+ kpa+p1 + bp1pa+p1 pkamodp2p p 1()p2(2)n = p tkv a b=p(p tkp tk)v a b=p(pkpk)v a b+p(pk1pk1)1 = = v a b +p()k例题8p = 2mod42,1,1()p 3y + 1 = pmLTEv y + 1=p(pp)m + 1x = m + 1y +p1 = pm+1p 1+(m)p1 = pm+1p 5p = 3y +31 = 3y + 3y = 2x = 2例题9f n( )f x =( ) a C i=0nixif x( )a iZC =xi i!x x 1 x i + 1()()f x(
6、 )n N+f n( )f x( )f 1 =( )pa =ipf 1 + kp =() a 1 + kp=i=0ni()i a +i=0ni a C kp=i=1nij=1iij()j a +i=0ni a kp Ci=1nij=1ia0anmM k a k C kpi=1nij=1iij()j1Zp f 1 + kp ()M k f 1 + kp =()pM kf x =( )pdeg f ( )1例题10 取最小的素数，由费马小定理，因此有利用有，若时， 矛盾(注意是量级的)当时，因此 令，有，若，是一组解若，设是最小素因子，则有，因此矛盾(LTE)p b a 1 modpab()ap11 modp()a=b,p1()1 modp ()p a 1LTE2 pv a 1 =p(b)v a 1 +p()v b p( )v b=p(a)av b p( )v a 1 p()a 1 v b ()p( )v np( )log n( )p = 22 b v a 1 =2(b)v a + 1 +2()v a 1 +2()v b 2( )1 av b 2( )v a 1 2(2)a 1()b = 2B2 B2 B 3 1332BB = 1b = 2a = 3B 1pB3=2B1 modp()3p11 modp ()32B,p1()1 modp ()3 21 modp()p = 2
