1、【公式总结公式总结】空间解析几何与向量代数空间解析几何与向量代数1 1、二次曲面二次曲面1 1）椭圆锥面：椭圆锥面：22222zbyax2 2）椭 球 面 ：椭 球 面 ：1222222czbyax旋 转 椭 球 面 ：旋 转 椭 球 面 ：1222222czayax3 3）单 叶 双 曲 面 ：单 叶 双 曲 面 ：1222222czbyax双 叶 双 曲 面 ：双 叶 双 曲 面 ：1222222czbyax4 4）椭圆抛物面：椭圆抛物面：zbyax2222双曲抛物面（马鞍面） ：双曲抛物面（马鞍面） ：zbyax22225 5）椭 圆 柱 面 ：椭 圆 柱 面 ：12222byax双 曲
2、 柱 面 ：双 曲 柱 面 ：12222byax6 6）抛物柱面：抛物柱面：ayx 2（二）（二） 平面及其方程平面及其方程1 1、点法式方程：点法式方程：0)()()(000zzCyyBxxA法向量：法向量：),(CBAn ，过点，过点),(000zyx2 2、一般式方程：一般式方程：0DCzByAx截距式方程：截距式方程：1czbyax3 3、两平面的夹角：两平面的夹角：),(1111CBAn ，),(2222CBAn ，222222212121212121cosCBACBACCBBAA210212121CCBBAA；21/212121CCBBAA4 4、点点),(0000zyxP到平面到
3、平面0DCzByAx的距离：的距离：222000CBADCzByAxd（三）（三） 空间直线及其方程空间直线及其方程1 1、一般式方程：一般式方程：0022221111DzCyBxADzCyBxA2 2、对称式（点向式）方程：对称式（点向式）方程：pzznyymxx000方向向量：方向向量：),(pnms ，过点，过点),(000zyx3 3、两直线的夹角：两直线的夹角：),(1111pnms ，),(2222pnms ，222222212121212121cospnmpnmppnnmm21LL0212121ppnnmm；21/LL212121ppnnmm4 4、直线与平面的夹角：直线与它在平
4、面上的投影的夹角，直线与平面的夹角：直线与它在平面上的投影的夹角，222222sinpnmCBACpBnAm/L0CpBnAm；LpCnBmA多元函数微分法及其应用多元函数微分法及其应用1 1、连续：连续：),(),(lim00),(),(00yxfyxfyxyx2 2、偏导数：偏导数：xyxfyxxfyxfxx),(),(lim),(0000000；yyxfyyxfyxfyy),(),(lim),(00000003 3、方向导数：方向导数：coscosyfxflf其中其中,为为l的方向角。的方向角。4 4、梯度：梯度：),(yxfz ，则，则jyxfiyxfyxgradfyx),(),(),
5、(000000。5 5、全微分：设全微分：设),(yxfz ，则，则dddzzzxyxy（一）（一） 性质性质1 1、函数可微，偏导连续，偏导存在，函数连续等概念之间的关系：函数可微，偏导连续，偏导存在，函数连续等概念之间的关系：2 2、微分法微分法1 1）复合函数求导：链式法则复合函数求导：链式法则若若( , ),( , ),( , )zf u v uu x y vv x y，则，则zzuzvxuxvx，zzuzvyuyvy（二）（二） 应用应用1 1）求函数求函数),(yxfz 的极值的极值解方程组解方程组00yxff求出所有驻点，对于每求出所有驻点，对于每一个驻点一个驻点),(00yx，
6、令，令偏导数存在偏导数存在函数可微函数可微函数连续函数连续偏导数连续偏导数连续充分条充分条必要条必要条定定12234),(00yxfAxx，),(00yxfBxy，),(00yxfCyy， 若若02BAC，0A，函数有极小值，函数有极小值，若若02BAC，0A，函数，函数有极大值；有极大值； 若若02BAC，函数没有极值；，函数没有极值； 若若02BAC，不定。，不定。2 2、几何应用几何应用1 1）曲线的切线与法平面曲线的切线与法平面曲线曲线)()()(:tzztyytxx，则，则上一点上一点),(000zyxM（对应参数为（对应参数为0t）处的）处的切线方程为：切线方程为：)()()(00
7、0000tzzztyyytxxx法平面方程为：法平面方程为：0)()()(000000zztzyytyxxtx2 2）曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线曲面曲面0),(:zyxF，则，则上一点上一点),(000zyxM处的切平面方程为：处的切平面方程为：0)(,()(,()(,(000000000000zzzyxFyyzyxFxxzyxFzyx法线方程为：法线方程为：),(),(),(000000000000zyxFzzzyxFyyzyxFxxzyx重积分重积分（一）（一） 二重积分二重积分：几何意义：曲顶柱体的体积：几何意义：曲顶柱体的体积1 1、定义：定义：nkkkkDfyxf10),(
8、limd),(2 2、计算：计算：1 1）直角坐标直角坐标bxaxyxyxD)()(),(21，21( )( )( , )d dd( , )dbxaxDf x yx yxf x yydycyxyyxD)()(),(21，21( )( )( , )d dd( , )ddycyDf x yx yyf x yx2 2）极坐标极坐标)()(),(21D，21( )( )( , )d d( cos , sin )dDf x yx ydf （二）（二） 三重积分三重积分1 1、定义：定义：nkkkkkvfvzyxf10),(limd),(2 2、计算：计算：1 1）直角坐标直角坐标Dyxzyxzzzyxf
9、yxvzyxf),(),(21d),(ddd),(-“先一先一后二后二”ZDbayxzyxfzvzyxfdd),(dd),(-“先二后一先二后一”2 2）柱面坐标柱面坐标zzyxsincos，( , , )d( cos ,sin , ) d d df x y zvfzz 3 3）球面坐标球面坐标cossinsincossinrzryrx2( , , )d( sin cos , sin sin , cos )sin d d df x y zvf rrrrr （三）（三） 应用应用曲面曲面DyxyxfzS),( , ),(:的面积：的面积：yxyzxzADdd)()(122曲线积分与曲面积分曲线积
10、分与曲面积分（一）（一） 对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分1 1、定义：定义：01( , )dlim( ,)niiiLif x ysfs 2 2、计算：计算：设设),(yxf在 曲 线 弧在 曲 线 弧L上 有 定 义 且 连 续 ，上 有 定 义 且 连 续 ，L的 参 数 方 程 为的 参 数 方 程 为)(),(),(ttytx，其中，其中)(),(tt在在,上具有一阶连续导数，且上具有一阶连续导数，且0)()(22tt，则，则22( , )d ( ),( )( )( )d ,()Lf x ysfttttt（二）（二） 对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分1 1、定义：定义： 设设L L为为
11、xoy面内从面内从A A到到B B的一条有向光滑弧， 函数的一条有向光滑弧， 函数),(yxP，),(yxQ在在L L上 有 界 ， 定 义上 有 界 ， 定 义nkkkkLxPxyxP10),(limd),(，nkkkkLyQyyxQ10),(limd),(. .向量形式：向量形式：LLyyxQxyxPrFd),(d),(d2 2、计算：计算：设设),(, ),(yxQyxP在有向光滑弧在有向光滑弧L上有定义且连续上有定义且连续, ,L的参数方程为的参数方程为):(),(),(ttytx，其中，其中)(),(tt在在,上具有一阶连续导数，且上具有一阶连续导数，且0)()(22tt，则，则(
12、, )d( , )d ( ),( ) ( ) ( ),( )( )dLP x yxQ x yyPtttQtttt3 3、两类曲线积分之间的关系：两类曲线积分之间的关系：设平面有向曲线弧为设平面有向曲线弧为)()(tytxL：，L上点上点),(yx处的切向量的方向角为：处的切向量的方向角为：,，)()()(cos22ttt，)()()(cos22ttt，则则dd( coscos )dLLP xQ yPQs. .（三）（三） 格林公式格林公式1 1、格林公式：格林公式：设区域设区域D D是由分段光滑是由分段光滑正向正向曲线曲线L L围成，函数围成，函数),(, ),(yxQyxP在在D D上具有连
13、续一阶偏导数上具有连续一阶偏导数, ,则有则有LDyQxPyxyPxQdddd2 2、G为一个单连通区域，为一个单连通区域，函数函数),(, ),(yxQyxP在在G上具有连续一阶偏导数，上具有连续一阶偏导数，则则yPxQ曲线积分曲线积分ddLP xQ y在在G内与路径无关内与路径无关（四）（四） 对面积的曲面积分对面积的曲面积分1 1、定义：定义：设设为光滑曲面，函数为光滑曲面，函数),(zyxf是定义在是定义在上的一个有界函数，上的一个有界函数，定义定义iiiiniSfSzyxf),(limd),(102 2、计算：计算：“一单二投三代入一单二投三代入”),(:yxzz ，xyDyx),(
14、，则，则yxyxzyxzyxzyxfSzyxfyxDyxdd),(),(1),(,d),(22（五）（五） 对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分1 1、定义：定义：设设为有向光滑曲面， 函数为有向光滑曲面， 函数),(),(),(zyxRzyxQzyxP是定义在是定义在上的有界函上的有界函数，定义数，定义01( , , )d dlim(,)()niiiixyiR x y zx yRS 同理，同理，01( , , )d dlim(,)()niiiiyziP x y zy zPS ；01( , , )d dlim(,)()niiiizxiQ x y zz xRS 2 2、性质：性质：1 1）21，则，
15、则12d dd dd dd dd dd dd dd dd dP y zQ z xR x yP y zQ z xR x yP y zQ z xR x y计算：计算：“一投二代三定号一投二代三定号”),(:yxzz ，xyDyx),(，),(yxzz 在在xyD上具有一阶连续偏导数，上具有一阶连续偏导数，),(zyxR在在上连续，则上连续，则( , , )d d , , ( , )d dx yDR x y zx yR x y z x yx y , ,为上侧取“为上侧取“ + + ” ，” ，为下侧取“为下侧取“ - - ”. .3 3、两类曲面积分之间的关系：两类曲面积分之间的关系：SRQPyxR
16、xzQzyPdcoscoscosdddddd其中其中,为有向曲面为有向曲面在点在点),(zyx处的法向量的方向角。处的法向量的方向角。（六）（六） 高斯公式高斯公式1 1、高斯公式：设空间闭区域高斯公式：设空间闭区域由分片光滑的闭曲面由分片光滑的闭曲面所围成所围成, ,的方向取外的方向取外侧侧, , 函数函数,P Q R在在上有连续的一阶偏导数上有连续的一阶偏导数, , 则有则有yxRxzQzyPzyxzRyQxPddddddddd或或SRQPzyxzRyQxPdcoscoscosddd2 2、通量与散度通量与散度通 量 ： 向 量 场通 量 ： 向 量 场),(RQPA 通 过 曲 面通 过
17、 曲 面指 定 侧 的 通 量 为 ：指 定 侧 的 通 量 为 ：yxRxzQzyPdddddd散度：散度：zRyQxPAdiv（七）（七） 斯托克斯公式斯托克斯公式1 1、斯托克斯公式： 设光滑曲面斯托克斯公式： 设光滑曲面 的边界的边界 是分段光滑曲线是分段光滑曲线, , 的侧与的侧与 的的正向符合右手法则正向符合右手法则, ,),(),(),(zyxRzyxQzyxP在包含在包含 在内的一个空间域内具在内的一个空间域内具有连续一阶偏导数有连续一阶偏导数, , 则有则有zRyQxPyxyPxQxzxRzPzyzQyRddddddddd为便于记忆为便于记忆, , 斯托克斯公式还可写作斯托克
18、斯公式还可写作: :zRyQxPRQPzyxyxxzzyddddddddd2 2、环流量与旋度环流量与旋度环 流 量 ： 向 量 场环 流 量 ： 向 量 场),(RQPA 沿 着 有 向 闭 曲 线沿 着 有 向 闭 曲 线 的 环 流 量 为的 环 流 量 为zRyQxPddd旋度：旋度：yPxQxRzPzQyRArot,【实例解析】和存在是函数在点连续的即非充分又非必要的条件。设 D 是 xoy 面上以为顶点的三角形区域，D1 是 D 中在第一象限的部分，则积分在实数范围内，1 sinyx 为有界函数。),(00yxfx),(00yxfy),(yxf),(00yx) 1, 1(),1,
19、1(),1, 1 (Ddyxyx)sincos(33dyxD1sincos23设( )f x在0 xx处不连续，则( )f x在0 xx处可能可导。当x0时，变量1 sin xx为无穷大量。设函数( ) |f xx，则( )f x在0 x 处的导数(0)f不存在。曲线23xxye的垂直渐近线方程不存在。微分方程 4 0yy的通解是412xyCC e已知数项级数发散，则可能收敛也可能发散微分方程 xy=y的通解为 y=C1x2+C2所示曲面是单叶旋转双曲面二元函数的定义域为若曲面的切平面平行于平面， 则切点坐标为。二重积分的值为。微分方程的通解为。2132222zyx02564zyx)2, 2, 1(dxeydyyx1103)1 (611e2yxyyCyyx设满足方程，且其图形在点(0,1)与曲线相切，则函数。【例题】计算，其中为下半球面的下侧，a 为大于零的常数。解：取为 xoy 面上的圆盘，方向取上侧，则)(xyy xeyyy223 12xxyxexxy)21 ()(2222)(zyxdxdyazaxdydz222yxazxoy222ayx
