1、第三章第三章 函数极限函数极限l l l l函数极限概念函数极限概念 l l l l函数极限的性质函数极限的性质及存在条件及存在条件 l l l l两个重要极限两个重要极限 l l l l无穷小量与无穷大量无穷小量与无穷大量 教学要求1 理解函数极限的“-”，“-M”定义及单侧极限概念；2 掌握函数极限的基本性质及两个重要极限；3 理解广义极限、无穷大量及无穷小量等概念。 第三章 函数极限第三章第三章 函数极限函数极限一一 函数极限概念函数极限概念51015202530354045505500.020.040.060.080.10.120.140.160.180.2一、 x趋于时函数的极限 设
2、函数f定义在)+, a上， 类似于数列情形，研究当自变量x趋于+时，对应的函数值能否无限地接近于某个定数 A.例如, 对于函数( )xxf1 我们画出它的 图像当x无限增大时，函数值无 限地接近于0；051015202530354045505500.20.40.60.811.21.41.6而对于函数( )xxgarctan，则当x趋于+时函数值 无限地接近于2p我们称这两个函数当+x时有极限。一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋
3、向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限通过上面演示实验的观察:问题: 如何用数学语言刻划函数f(x)“无限接近”某数A?问题:函数)(xfy 在+x的过程中,对应函数值)(xf无限趋近于确定值A. 一般地,当x趋 于+时函数极限的精确定义如下： 定义1 设f定义 在)+, a上的函数，A为定数.若对任给的0e,存在 数()aM ,使得当Mx时有( )eAxf, 则称函数 f 当 x 趋于 +时以A为极 限,记作 ( )Axfx+lim 或 ( )()+xAxf。在定义1中正数M的作用与数列极限定义中N的相类似,表明x 充分大的程度;但这里所考虑的是比M大的所有 实数x,而不仅仅是
4、正整数 n.因此,当x趋于+时函数f以A 为极限意味着： A的任意小邻域内必含有f 在 +的某邻域内的全部函数值。 正M定 义1的几何意 义 如下图所示， 对任给 的0e,在坐标平面上平行于x 轴的两条直线e+Ay与eAy，围成以直线Ay为 中心 线、 宽为e2 的带 形区域;定义中的“当Mx时有( )eAxf”表示:在直 线Mx的右方,曲 线( ) xfy全部落在这个带形区域之内.A-A+AOxf(x)Mx一般要往右平移;但无论带形区域如何窄,总存在这样的正数M ,使得曲线( ) xfy在直线Mx的右边部分全部落在这更窄的带形区域内。MA-A+AOxf(x)如果正数e给 的小一点,即当带形区
5、域更窄一点,那么直线现设f为定义在 ()U或 ()U上的函数,当x或x时 ,若函数值 ( )xf能无限地接近某定数A ，则称f 当x或x时以A为极限,分别记作( )Axfxlim 或 ( )()xAxf ( )Axfxlim 或 ( )()xAxf 这两种函数极限的精确定义与定义1相仿,只须把定义1中的“Mx ”分别改为“Mx ”或“Mx ”即可。 :情形+x:情形x.)(, 0, 0eeAxfMxM恒有时使当:情形x.)(, 0, 0eeAxfMxM恒有时使当.)(, 0, 0eeAxfMxM恒有时使当定义Me几何解释:xO证证任给0e,由于 而此不等式的左半部分对任何x都成立,所以只要考察
6、其右半部分x的变化范围 。 为此,先限制则有例 证明证故不妨设|x|1，而当|x|1时二、自变量趋于有限值时函数的极限先看一个例子 这个函数虽在x=1处无定义，但从它的图形上可见，当点从1的左侧或右侧无限地接近于1时， f(x)的值无限地接近于4，我们称常数4为f(x)当x1 时f(x)的极限。1xyo4注 定义习惯上称为极限的定义其三个要素：10。正数，20。正数，30。不等式定义中所以x x0时，f(x) 有无极限与 f(x)在x0处的状态并无关系，这是因为我们所关心的是f(x) 在x0附近的变化趋势,即 x x0时f(x) 变化有无终极目标，而不是f(x) 在x0这一孤立点的情况 。 约
7、定x x0但 xx0 e0 0 当 0|xx0| 有|f(x)A|0 0 当 0|xx0| 有|f(x)A|0 0 当 0|xx0| 有|f(x)A|0 e 当0|x1| 时 有 例 e 0 只要|x1|e 要使|f(x)A|0 0 当 0|xx0| 有|f(x)A|0 0 当 0|xx0| 有|f(x)A|0 0 当 0|xx0| 有|f(x)A|0 0 当0|xx0| 时 都有 |f(x)A|cc|0e e0 0 当 0|xx0| 有|f(x)A|0 0 当0|xx0| 时 都有|f(x)A|e 分析 |f(x)A|xx0|e 当0|xx0| 时 有 e 因为e 0 证明 只要|xx0|e
8、 要使|f(x)A|e e 0 例|f(x)A|xx0| e0 0 当 0|xx0| 有|f(x)A|e BD1OCAx 通过以上各例,我们对函数极限的“”定义要把握以下几点:1定义2 中的正数，相当于数列极限Ne定义中的N，它依赖于e， 但不是由所唯一确定,一般来 说，e愈小，也相应地要小一些,而且把取得更小些也无妨.如在例 3 中可取2e或3e等等。 2定义中只要求函数f在0 x某一空心邻域内有定义，而一般不考 虑f在 点0 x处的函数值是否有定义，或者取什 么值。这是因为，对于函数极限我 们所研究的是当x趋于0 x过程中函数值的变化趋势。如在例3 中，函数f在点2x是没有定义的，但当2x
9、时f的函数值趋于一个定数。 3定义2 中的不等式00 xx等价于();00 xUx，而不等式 ( )e Axf等价于( )()e;AUxf。于是，e定义又可写成： 任给0e，存在0，使得对一切();00 xUx有( )()e;AUxf。或更简 单地表为：任给0e，存在0，使得()()()e;00AUxUf。 4e定义的几何意义如图 3-3 所示。 对任给的0e，在坐标平面上画一条以直 线 Ay 为中心线、宽e2为的横带，则必存在以 直线0 xx 为中心线、宽2为的竖带，使函数 ( )xfy 的图象在该竖带中的部分落在横带内， 但点( )()00;xfx可能例外（或无意义）。 单侧极限 有些函数
10、在其定义域上某些点左侧与右侧的解析式不同（如分段函数定义域上的某些点）,或函数在某些点仅在其一侧有定义（如在定义区间端点处），这时函数在那些点上的极限只能单侧地给出定义.例如，函数( )0,0,2xxxxxf5）当0 x而趋于0时,应按( )2xxf来考察函数值的变化趋势当0 x而趋于0时,应按( )xxf又如函数21 x在其定义区间 1, 1 端点1x 处的极限，也只能在点 1x 的右侧和点 1x 的左侧来分别讨论。 来考察.01000 1sgnxxxx 左极限右极限例7 讨论21 x在定义区间端点1处的单侧极限。 解 由于1x，故有 ()()()xxxx+121112 任给0e,则当()212ex时，就有 e21 x（6） 于是取 22e，则当x10 即 11x时，（ 6）式成立。 这就推出 01lim21xx。类似地可得 ( )01lim21+xx。 (1), 自变量趋于有限值时函数的极限; 作业 3.小结 (2), 自变量趋于无穷大时函数的极限; (3), 函数极限的几何意义; (4), 单侧极限的概念; (5), 应用函数极限的定义验证函数极限的方法; P47: 1, (1)(3)(5) 3, 4,
