1、4.4 4.4 动量方程、动量矩方程及其应用动量方程、动量矩方程及其应用 4.4.1 4.4.1 动量方程动量方程 时刻t，任取一流体系统，体积V(t)、边界面S(t)，外法向量n 。VSnP动量定理：动量定理：系统内动量的变化率等于作用在系统上的合外力( ）。 Bernoulli方程： 速度分布 压力分布压力分布动量方程：动量方程： 动量变化 合力合力。 系统内流体动量: 系统所受合外力：（系统）（系统） 流出动量流出动量 CSCS 流入动量流入动量 CSCS = = 合外力合外力 CV+CSCV+CS 定常流动：定常流动：（控制体）（控制体） 动量方程反映了物体与流体间的相互作用，是积分形
2、式的方程，对理想和粘性流体都适用。 CV内流体动量的变化与单位时间内（净）流出CS的动量之和等于外界作用在CV和CS上的合力。 （控制体）（控制体） VSnP输运公式输运公式常用假设常用假设：（1）壁面无摩擦（理想流体）：（2）忽略质量力：f = 0;（3）进出口流动均匀: V=const.求解步骤求解步骤： （1）取坐标系； （2）假定力:如设F为外界给流体的力，则物体受力F = - F； （3）取控制体：速度和压力为已知的面；物面或流面。物面或流面上 而物面往往就是要求的受力面。（4）列动量分量方程；（5）基本方程的联合使用;（6）表压力求解方便。4.4.2 4.4.2 动量矩方程动量矩方
3、程动量矩定理：动量矩定理：cv内关于某一点动量矩的变化率与单位时间内流出cs的动量矩之和等于外界作用在cv上的力关于同一点的矩: 外力矩： 定常流动：定常流动： 流出动量矩CS 流入动量矩CS = 合外力矩CV+CS 直角坐标系中: Example Example 4-54-5 大气中二元流冲击平大气中二元流冲击平板板GivenGiven：b0、V0，a，p0，不计粘性。FindFind：流体对平板的作用力。4.4.3 4.4.3 动量、动量矩方程应动量、动量矩方程应用用 （4）Bernoulli方程： （5）连续方程： Solution:Solution:（1）取坐标系oxy及控制体：端面足
4、够远；（2）设P为流体对平板的冲击力方向如图；（3）列动量方程(表压力)： 得得 就是流体对平板的冲击力，就是流体对平板的冲击力，方向方向与图示方向相同与图示方向相同，指向平板。，指向平板。（“”表示 f 在 x 轴正方向） （6）求冲击力P 的作用点 f 的位置 e ： 对坐标原点 o 取矩： 4.5 4.5 旋涡运动基本定理旋涡运动基本定理 4.5.1 4.5.1 开尔文（开尔文（KelvinKelvin）定理定理旋涡强度的保持性定理旋涡强度的保持性定理流体线：由确定的流体质点所组成的线。定理定理1 1 如果流体理想、正压、质量力有势，则沿封闭流体线的速度环量不随时间变化。又称为Thoms
5、on定理。证明：证明： 可证得 若理想流体、正压、质量力有势(Kelvin condition)：速度环量导数加速度环量KelvinKelvin定理的几个推论：定理的几个推论： 4.5.2 Lagrange 4.5.2 Lagrange 定理定理 - - 涡量保持性（不生不灭）定理涡量保持性（不生不灭）定理定理定理2 2：如果流体理想、正压、质量力有势，若某一时刻流场无旋，如果流体理想、正压、质量力有势，若某一时刻流场无旋，则以则以 后的流动始终无旋。后的流动始终无旋。旋涡起因：旋涡起因：(1)(1) 粘性：粘性：无旋均匀流体经过物体边界层时运动变为有旋；无旋均匀流体经过物体边界层时运动变为有
6、旋；(2)(2) 非正压流场：非正压流场：大气和海洋中的密度分层形成旋涡；大气和海洋中的密度分层形成旋涡；(3)(3) 非有势力场：非有势力场：地球哥氏力使气流生成旋涡（旋风）；地球哥氏力使气流生成旋涡（旋风）；(4)(4) 流场的间断（非连续）：流场的间断（非连续）：曲面激波后形成有旋流动。曲面激波后形成有旋流动。 4.5.3 4.5.3 HelmholtzHelmholtz定理定理 - - 涡线和涡管保持定理涡线和涡管保持定理定理定理3 3 如果流体理想、正压、质量力有势，则组成涡线的流体质点永远组成此涡线。定理定理4 4 如果流体理想、正压、质量力有势，则组成涡管的流体质点始终组成此涡管
7、，且涡管的强度不随时间而变。 综上所述，Kelvin、Lagrange及Helmholtz定理全面地描述了理想正压流体在有势场中运动时涡量演化的规律：若流体理想、正压、质量力有势，无旋运动永远无旋，有旋运动永远有旋；涡线、涡面、涡管及涡管强度具有保持性。若不满足Kelvin任一条件，则运动过程中会产生新的旋涡，无旋变成有旋；不具备保持性。kelvin_helm_rollupbullet_shadowgraph:Shock Wavevortex_bearbae_146wingbound vortextrailing vortextrailing vortex Sir William Thomps
8、onSir William Thompson (Lord Kelvin), born in Belfast, Contributed (Lord Kelvin), born in Belfast, Contributed significantly to the field of hydrodynamics as is evidenced by his 661 significantly to the field of hydrodynamics as is evidenced by his 661 papers and 56 patents.papers and 56 patents. Wh
9、en 11When 11 years old, he entered the the University of Glasgow, leaving in years old, he entered the the University of Glasgow, leaving in 1841 to enter 1841 to enter PerterhousePerterhouse, Cambridge University, to further his , Cambridge University, to further his education.education. To meet To
10、 meet BiotBiot in Paris. in Paris. In 1846In 1846 he became Professor of Natural Philosophy at Glasgow, a post he he became Professor of Natural Philosophy at Glasgow, a post he held for 53 years.held for 53 years. Contributions:Contributions: Long waves, heat conduction, thermodynamics, submarine L
11、ong waves, heat conduction, thermodynamics, submarine cables.cables. Philosophy:Philosophy: “There cannot be a greater mistake than that of looking “There cannot be a greater mistake than that of looking superciliously upon practical applications of science”.superciliously upon practical application
12、s of science”. Buried: in Westminster Abbey. Lord KELVINLord KELVIN (1824 1907):(1824 1907):英国及欧盟国家4.5.4 4.5.4 BiotBiotSavartSavart定理定理 涡线的诱导速度涡线的诱导速度电流在磁场中会诱导磁场强度 旋涡在流场中会诱导流体速度。 对应关系对应关系： 电磁场电磁场 流场流场 方程方程 磁场强度 H v 流体速度 磁场势 V 速度势 电流面密度 涡量 电流强度 i 速度环量 水电比拟水电比拟 物理现象不同，但满足相同的数学方程，其数学解相同。Biot-SavartBiot
13、-Savart定理：定理： 直涡线直涡线L L在在MM点处诱导速度的点处诱导速度的大小大小诱导速度诱导速度方向方向指向纸里。指向纸里。电流诱导磁场强度电流诱导磁场强度旋涡诱导流体速度旋涡诱导流体速度ML iLMR 半无限长直涡线，半无限长直涡线，a a 2 2 = 0 = 0 ，a a 1 1 = = p p / / 2 2 ： 无限长直涡线，无限长直涡线，a a 2 2 = 0 = 0 ，a a 1 1 = = 0 0： 平面点涡诱导速度场：平面点涡诱导速度场： 诱导速度场除点 r=0 外处处无旋v=0。尽管涡线本身是有旋的，它诱导的速度场是无旋的。平面点涡诱导速度场的速度势和流函数：平面点涡诱导速度场的速度势和流函数： MR
