1、定价：10.88元义务教育教科书 （五四学制） 数学 七年级 上册价格批准文号：鲁发改价格核（2021）607008举报电话：12345绿 色 印 刷 产 品YIWU JIAOYU JIAOKESHU （WUSI XUEZHI）SHUXUEQI NIANJI SHANG CE义务教育教科书（五四学制）数学七年级 上册*山东出版传媒股份有限公司山东教育出版社出版（济南市市中区二环南路2066号4区1号）山东新华书店集团有限公司发行莱芜凤城印务有限公司印装*开本：787毫米1092毫米 1/16印张：11.75 字数：235千定价：10.88元（上光）ISBN978-7-5328-7777-520
2、13年7月第1版 2021年7月第9次印刷著 作 权 所 有 请 勿 擅 用 本 书 制 作 各 类 出 版 物 违 者 必 究山东出版传媒股份有限公司教材中心售后服务电话:（0531 ）82098188亲爱的同学:欢迎你步入七年级！六年级的数学学习，使你切实感受到生活中处处都有数学的身影：生活充满了数学，数学伴随着生活。一年来，你学习了许多新知识：有理数及其运算、整式及其加减、一元一次方程它们给你带来惊喜不断，使你在知识与能力上接受了挑战。六年级，你收获多多！在本册教科书中，你将要认识许多新的图形，探索三角形全等的条件和轴对称的性质，并运用这些知识解决实际的问题，设计精美的图案。不能过河又没
3、有任何测量工具，两位同学却算出了河宽，你是否感觉到异常奇妙！“对称”在你身边无处不闪现着她的倩影，给你带来艺术享受的同时，也装点着我们的生活空间。勾股定理是一个古老的定理，对它的探索，你会领略到前人的奇思妙想及折射出的智慧火花。你会经历一次“数的扩张”从有理数到实数，从中你将认识“数”这一家族中的新成员。从“数” “形”两个角度认识一次函数，掌握确定位置的基本方法上述知识你感到新奇吗？走进数学新天地，探索其中的奥秘吧！学习中面对新的问题情境，先动脑想一想，动手做一做，尝试找出解决问题的方案，再与同伴议一议。改善学习方式，养成良好学习习惯，你会终生受益。让数学伴随着你一同成长！ 2 15 19
4、30 33 35 35 40 43 46 55 58 58 62第二章 轴对称1 轴对称现象2 探索轴对称的性质3 简单的轴对称图形4 利用轴对称进行设计回顾与思考复习题综合与实践七巧板MULU目 录第一章 三角形1 认识三角形2 图形的全等3 探索三角形全等的条件4 三角形的尺规作图5 利用三角形全等测距离回顾与思考复习题第三章 勾股定理1 探索勾股定理2 一定是直角三角形吗3 勾股定理的应用举例回顾与思考复习题 86 90 95 98 101 103 108 108 111第四章 实数1 无理数2 平方根3 立方根4 估算5 用计算器开方6 实数回顾与思考复习题综合与实践计算器运用与功能探
5、索 66 73 77 81 81第五章 位置与坐标1 确定位置2 平面直角坐标系3 轴对称与坐标变化回顾与思考复习题 144 148 152 159 161 168 169 174第六章 一次函数1 函数2 一次函数3 一次函数的图象4 确定一次函数的表达式5 一次函数的应用回顾与思考复习题总复习题 114 118 132 139 1391认识三角形11 1 1认识三角形认识三角形1学习目 标 认识三角形 探索三角形全等的条件，并体会分类思想 利用尺规作三角形 运用三角形全等解决一些实际问题，感受数学与生活实际的密切联系 进一步积累活动经验，发展推理能力第一章 三角形院子的栅栏门，为什么钉上一
6、根木条就结实、稳定了呢？在不能过河测量又没有任何测量工具的条件下，两位同学测出了河宽，你想知道这两位同学是怎样测量的吗？本章我们将学习三角形的基本性质，探索三角形全等的条件，并利用这些结果解决一些实际问题.2第一章三角形观察下面的屋顶框架图：（1）从图 1-1 中找出 4 个三角形.（2）这些三角形有什么共同的特点？横梁斜梁斜梁 图 1-2图 1-3 由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形（triangle） . 三角形有三条边、三个内角和三个顶点.“三角形”可以用符号“”表示，如图 1-2 中顶点是 A，B，C 的三角形，记作 “ABC” . ABC的三边有时也用 a，
7、b，c 来表示. 如图 1-3 中，顶点 A 所对的边 BC 用 a 表示，边 AC、边 AB 分别用 b，c 来表示.1认识三角形图 1-1做一做我们知道，将一个三角形的三个角撕下来，拼在一起，可以得到三角形的内角和为 180 .AAGCCEDBBcbaF1认识三角形3（2）将1 撕下，按图 1-5 所示进行摆放，其中1 的顶点与2 的顶点重合，1 的一条边与2 的一条边重合.此时1 的另一条边 b 与3 的一条边 a 平行吗？为什么？（3）如图 1-6 所示，将3 与2 的公共边延长，它与 b 所夹的角为4. 3 与4 的大小有什么关系？为什么？图 1-4图 1-5三角形三个内角的和等于
8、180 .例 1 如图 1-7，在ABC 中，B = 3A，C = 5A，求A，B，C 的度数 .解：因为三角形三个内角的和等于 180 ，所以A + B + C = 180 .所以A + 3A + 5A = 180 ，即 9A = 180 .所以A = 20 ，B = 320 = 60 ，C = 520 = 100 .现在，你得到这个三角形的内角和了吗？自己剪一个三角形纸片，重复上面的过程，你得到同样的结论了吗？与同伴进行交流.小明只撕下三角形的一个角，也得到了上面的结论，他是这样做的：（1）剪一个三角形纸片，它的三个内角分别为1，2 和3（如图 1-4） .图 1-7132132ba图 1
9、-6214ba34第一章三角形在ABC 中：（1）如果A +B = C，那么C 等于多少度？（2）如果A +B = 2C，那么C 等于多少度？习题 1.1知识技能1. 在 ABC 中，A = 70 ，B =C. 求C 的度数 .2. 如图，已知 AD 与 BC 相交于点 O，E 为 CD 延长线上的一点， B = 35 ， AOB = 85 ，ODE = 120 . AB 与 CD 是否平行？为什么？1. 如图，求 ABC 各内角的度数 .随堂练习2. 如图，AD 与 BC 相交于点 O . （1）如果A = C，那么B 等于D 吗？为什么？ （2）如果A = B，C = D，那么 AB 与
10、CD 平行吗？为什么？（第 2 题）（第 2 题）（第 1 题）23做一做3. 如图，点 P 是 ABC 内一点，ABC = 80 ，1 =2 . 求P 的度数 .数学理解（第 3 题）211认识三角形54. 如图，在 ABC 中，BACBC = 3 11，AD，AE 将BAC 三等分，点 D，E 在 BC 上 . （1）求 ADE 的度数； （2）写出图中所有有两个内角相等的三角形 .（1）图 1-8（1）中小明所拿三角形被遮住的两个内角是什么角？小颖的呢？试着说明理由.（2）图 1-8（2）中三角形被遮住的两个内角可能是什么角？将所得结果与（1）的结果进行比较.（第 4 题）我们可以按三角
11、形内角的大小把三角形分为三类：议一议通常，我们用符号“RtABC”表示“直角三角形 ABC” . 如图1-9，把直角所对的边称为直角三角形的斜边（hypotenuse） ，夹直角的两条边称为直角边（leg） .直角三角形锐角三角形钝角三角形图 1-9（1）（2）图 1-86第一章三角形那么，直角三角形两个锐角之间有什么关系呢？如果一个三角形有两个角互余，这个三角形是直角三角形吗？想一想直角三角形的两个锐角互余.例 2 如图 1-10，在 ABC 中，D 为 BC 上的一点， ADB = 90 ， 1 = B.若按角分类，ABC 是什么形状的三角形？为什么？解：ABC 是直角三角形. 理由如下：
12、因为ADB = 90 ，所以ADB 是直角三角形.所以B + 2= 90 .又因为1 = B，所以BAC = 1 + 2 = B + 2 = 90 .所以ABC 是直角三角形.B1. 观察下面的三角形，并把它们的标号填入相应的圈内.（第 1 题）随堂练习 ADC21图 1-10锐角三角形直角三角形钝角三角形1认识三角形72. 一个三角形两个内角的度数分别如下，这个三角形是什么三角形？ （1）30 和 60 ； （2）40 和 70 ； （3）50 和 20 .习题 1.2知识技能4. 如图，一艘轮船按箭头所示方向行驶，C 处有一灯塔，轮船行驶到哪一点时距离灯塔最近？当轮船从 A 点行驶到 B
13、点时，ACB 的度数是多少？当轮船行驶到距离灯塔的最近点时呢？（第 4 题）问题解决观察图 1-11 中的三角形，你能发现它们各自的边长之间有什么关系吗？三角形的三边有的各不相等，有的两边相等，有的三边都相等.图 1-111. 在下面的空白处， 分别填入 “锐角” “钝角” 或 “直角” ： （1）如果三角形的三个内角都相等，那么这个三角形是 三角形； （2）如果三角形的一个内角等于另外两个内角之和，那么这个三角形是 三角形； （3）如果三角形的两个内角都小于 45 ，那么这个三角形是 三角形.2. 在直角三角形中，有一个锐角是另一个锐角的 2 倍，求这个锐角的度数.3. 如图，已知ACB =
14、 90 ，CDAB，垂足是 D.（1）图中有几个直角三角形？是哪几个？分别说 出它们的直角边和斜边；（2）1 和A 有什么关系？2 和A 呢？7030（第 3 题）21CADB8第一章三角形三角形任意两边之差小于第三边.做一做分别量出下面三个三角形的三边长度，并填入空格内.（1）a = _， （2）a = _， （3）a = _， b = _， b = _， b = _， c = _； c = _； c = _.计算每个三角形的任意两边之差，并与第三边比较，你能得到什么结论？再画一些三角形试一试.aaacccbbb（1）（2）图 1-14（3）有两边相等的三角形叫做等腰三角形，如图1-12.三
15、边都相等的三角形叫做等边三角形，也叫做正三角形 . 两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形.议一议图 1-13（1）元宵节的晚上，房梁上亮起了彩灯（如图 1-13） ，装有黄色彩灯的电线与装有红色彩灯的电线哪根长呢？说明你的理由. （2）在一个三角形中，任意两边之和与第三边的长度有怎样的关系？为什么？三角形任意两边之和大于第三边.图 1-121认识三角形9例 3 有两根长度分别为 5 cm 和 8 cm 的木棒，用长度为 2 cm 的木棒与它们能摆成三角形吗？为什么？用长度为 13 cm 的木棒呢？解：取长度为 2 cm 的木棒时，由于 2 + 5 = 7 n） ，2mn，m2 - n2
16、 和 m2 + n2 这三个数就是一组勾股数. 例如，取 m = 5，n = 2，则 m2 + n2 = 29，m2 - n2 = 21，2mn = 20，20，21，29 就是一组勾股数. 你能解释其中的道理吗？ 17 世纪的法国数学家费马（Pierre de Fermat，1601-1665）也研究了勾股数的问题，并且在这个问题的启发下，想到了一个更一般的问题. 1637 年，他提出了数学史上的一个著名猜想，即当 n 2 时，找不到任何的正整数组，使等式 xn + yn = zn 成立费马的猜想公布以后，引起了各国优秀数学家的关注，他们围绕着这个猜想顽强地探索着，试图来证明它1995 年，
17、英籍数学家维尔斯（Andrew Wiles，1953- ）终于证明了费马猜想，解开了这个困惑世间无数智者 300 多年的谜费马猜想就成了著名的费马大定理.2一定是直角三角形吗75知识技能习题 3.3数学理解问题解决1. 如果三条线段 a，b，c 满足 a2 = c2 - b2，这三条线段组成的三角形是直角三角形吗？为什么？2.（1）下表中第一列每组数都是勾股数，补全下表，这些勾股数的 2 倍、3 倍、4 倍、10 倍还是勾股数吗？说说你的理由.2 倍3 倍4 倍10 倍3，4，5 6，8，10 _，_，_，_，_，_，_5，12，13_，_，_15，36，39_，_，_，_，_8，15，17_
18、，_，_，_，_ 32，60，68_，_，_7，24，25_，_，_，_，_，_，_70，240，250 （2）如果将直角三角形的三条边长同时扩大一个相同的倍数，得到的三角形还 是直角三角形吗？3. 如图，哪些三角形是直角三角形，哪些不是？说说你的理由.4. 给你一根长绳子， 没有其他工具，你能方便地得到一个直角吗？（第 3 题）76第三章勾股定理b1193 3674 60112 709653192 2917994814 961451 6791611 77156联系拓广a1203 4564 80013 500723602 7009606006 480602 4002402 70090c1694
19、 8256 64918 541974813 5411 2497698 161752 9292893 2291065. 美国哥伦比亚大学收藏了一块古巴比伦时期的泥板（如图） 经科学家研究发现，这块泥板上的三列文字实际上是三列数字（如下表） 你知道这些数字间的关系吗？借助计算器进行探索.3勾股定理的应用举例77AABBAB图 3-13图 3-143勾股定理的应用举例李叔叔想要检测雕塑（如图 3-15）底座正面的边 AD 和边 BC 是否分别垂直于底边 AB，但他随身只带了卷尺（1）你能替他想办法完成任务吗？（2）李叔叔量得边 AD 长是 30 cm，边 AB 长是 40 cm，点 B，D 之间的距
20、离是 50 cm边 AD 垂直于边 AB 吗？（3）小明随身只有一个长度为 20 cm 的刻度尺，他能有办法检验边 AD 是否垂直于边 AB 吗？边 BC 与边 AB 呢？如图 3-13 所示，有一个圆柱，它的高等于 12 cm，底面上圆的周长等于 18 cm在圆柱下底面的点 A 处有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点 A 相对的点 B 处的食物，沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？（1）自己做一个圆柱，尝试从点 A 到点 B 沿圆柱侧面画出几条路线，你觉得哪条路线最短呢？（2）如图 3-14 所示，将圆柱侧面剪开展成一个长方形，从点 A 到点 B 的最短路线是什么？你画对了吗？（3） 蚂蚁从点 A
21、出发， 想吃到点 B 处的食物，它沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？做一做ADBC（4）若蚂蚁先从点 A 直接向上爬到点 C，然后再从点 C 沿底面直径爬到点 B ，这样爬的总路程与沿圆柱侧面爬行的最短路程比较，哪一条更短些？ 图 3-15C78第三章勾股定理知识技能问题解决习题 3.41. 如图，阴影部分的长方形面积是多少？15 cm3 cm8 cm2. 如图，为得到湖两岸 A 点和 B 点间的距离，一个观测者在 C 点设桩，使 ABC 为直角三角形，并测得 AC 长 100 m，BC 长 80 m. A，B 两点间的距离是多少？3. 一个无盖的长方体形盒子的长、宽、高分别为 8 cm，8 c
22、m，12 cm，一只蚂蚁想从盒底的点 A 爬到盒顶的点 B，你能帮蚂蚁设计一条最短的线路吗？蚂蚁要爬行的最短行程是多少？4. 借助勾股定理，利用升旗的绳子、卷尺，请你设计一个方案，测算出旗杆的高度.AB12 cm8 cm8 cm（第 1 题）（第 2 题）（第 3 题）1. 将一个边长为 4 的正方形截去一个角，剩下的四边形如图. 求这个四边形的周长.2. 甲、乙两位探险者到沙漠进行探险某日早晨 8： 00 甲先出发，他以 6 km/h 的速度向正东方向行走1 h 后乙出发，他以 5 km/h 的速度向正北方向行走上午 10： 00，甲、乙二人相距多远？ADBCE144（第 1 题）随堂练习A
23、BC例1 在我国古代数学著作九章算术中记载了一个有趣的问题，这个问题的意思是：如图 3-16，有一个水池，水面是一个边长为 10 尺的正方形. 在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面 1 尺. 如果把这根芦苇沿与一边3勾股定理的应用举例79垂直的方向拉向岸边，那么它的顶端恰好到达岸边的水面. 这个水池的水深和这根芦苇的长度各是多少？ 解：设水深 OA 为 x 尺，则芦苇长 OB = OC = x + 1（尺） . 又水池水面 BD 长为 10 尺，所以 AB = BD2 = 5（尺） . 在 RtOAB 中，根据勾股定理，有 OA2 + AB2 = OB2，即 x2 + 52 =（x + 1
24、）2.整理得 2x = 52 - 1.解得 x = 12.又 12 + 1 = 13（尺）. 所以，水池的水深 12 尺，芦苇长 13 尺.例2 如图 3-17，某隧道的截面是一个半径为 4.2 m 的半圆形，一辆高 3.6 m、宽 3 m 的卡车能通过该隧道吗？ 分析：图 3-18 是卡车从隧道的正中间通过时，截面的示意图. 长方形 ABCD 表示卡车，车宽 AB = 3 m，车高 BC = 3.6 m，AB 的中点恰好是隧道截面半圆的圆心. 如果 OC 的长（或OC2）小于半圆的半径 r（或 r2） ，则卡车能通过该隧道，否则不能通过.解：图 3-18 中的长方形 ABCD 是卡车横截面的
25、示意图，AB 的中点 O 是隧道的截面半圆的圆心. OB = 32 = 1.5（m） ，BC = 3.6（m） ，B = 90 .在 RtOBC 中，根据勾股定理，有 OC2 = OB2 + BC2，即 OC2 = 1.52 + 3.62 = 15.21.隧道的截面半径 r = 4.2 m，4.22 = 17.64 15.21.所以卡车可以沿着隧道中间顺利通过.图 3-18ADBOC图 3-174.2 mCADBO图 3-1680第三章勾股定理2. 如图，一座城墙高 11.7 m，墙外有一条宽为 9 m 的护城河，那么一个长为 15 m 的云梯能否到达城墙的顶端？1. 小英想用一条 36 cm
26、 米长的绳子围成一个直角三角形，其中一条边的长度为 12 cm，求另外两条边的长度.2. 如图，一架梯子若靠墙直立时比窗户的下沿高 1 m. 若斜靠在墙上，当梯子的下端离墙 4 m 时，梯子的上端恰好与窗户的下沿对齐. 求梯子的长度.随堂练习知识技能问题解决习题 3.51. 如图， 在四边形 ABCD 中 ， A = 90，AB = 4 cm， AD = 2 cm， BC = CD，E 是 AB 上的一点. 若沿 CE 折叠， 则 B， D 两点重合， 求 AED 的面积.（第 2 题）（第 1 题）3. 九章算术中记载了一道“折竹抵地”的数学问题，这个问题的意思是：有一根竹子原来高 1 丈，
27、竹梢部分折断，尖端落在地上，竹尖与竹根距离 3 尺，问折断处离地多高. 你能解答此问题吗？（1丈 = 10尺）（第 3 题）15 m11.7 m9 mAEBDCAEBD（B）C（第 2 题）4 m1 m？10尺3尺复习题811. 蚂蚁沿图中所示的折线由点 A 爬到了点 D，蚂蚁一共爬行了多少厘米？ （图中小方格的边长代表 1 cm）回顾与思考1. 直角三角形的边、角之间分别存在着什么关系？2. 举例说明，如何判断一个三角形是否为直角三角形3. 请你举一个生活中的实例，并运用勾股定理解决它4. 你了解勾股定理的历史吗？与同伴进行交流.5. 用适当的方式梳理本章的知识，并与同伴进行交流.复习题知识
28、技能（第 1 题）1510505 10 15 20ABCD2. 判断下列几组数能否作为直角三角形的三边长（1）8，15，17； （2）7，12，15；（3）12，15，20； （4）7，24，25.3. 一艘帆船由于风向的原因先向正东方向航行了 1 6 0 km，然后向正北方向航行了 120 km，这时它离出发点有多远？82第三章勾股定理4. 如图，BC 长为 3 cm，AB 长为 4 cm，AF 长为 12 cm求正方形 CDEF 的面积.5. 小明从家出发向正北方向走了 150 m，接着向正东方向走到离家 250 m 远的地方小明向正东方向走了多远？6. 如图，直角三角形三边上的半圆面积之
29、间有什么关系？7. 据传当年毕达哥拉斯借助如图所示的两个图验证了勾股定理，你能说说其中的道理吗？8. 据说古埃及人曾用下面的方法得到直角：如图所示，他们用 13 个等距的结把一根绳子分成等长的 12 段，一个工匠同时握住绳子的第 1 个结和第 13 个结，两个助手分别握住第 4 个结和第 8 个结，拉紧绳子，就会得到一个直角三角形，其直角在第 4 个结处. 你能说说其中的道理吗？ABFCDEAB数学理解（第 4 题）（第 6 题）（第 7 题）（第 8 题）（第 9 题）abcaaabbbbbaa9. 如图，方格纸上每个小正方形的面积为 1 个单位.（1）在方格纸上，以线段 AB 为边画正方形
30、并计算所画正方形的面积，解释你的计算方法；（2）你能在图上画出面积依次为 5 个单位、10 个单位、13 个单位的正方形吗？复习题8310. 如图 ，直角三角形的两个锐角分别是 40 和 50 ，其三边上分别有一个正方形. 执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作锐角为 40 和 50 的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形图 是一次操作后的图形.（1）试画出 2 次操作后的图形；（2）如果原来直角三角形斜边长为 1 cm，写出 2 次操作后的图形中所有正方形的面积和；bacbac问题解决（3）如果一直画下去，你能想象出它的样子吗？（4）图是重复上述步骤若干次后得到的图
31、形，人们把它称为“毕达哥拉斯树” 如果最初的直角三角形是等腰直角三角形，你能想象出此时“毕达哥拉斯树”的形状吗？（第 10 题）11. 一架云梯长 25 m，如图斜靠在一面墙上，梯子底端离墙 7 m （1）这个梯子的顶端距地面有多高？（2）如果梯子的顶端下滑了 4 m，那么梯子的底部在水平方向也滑动了 4 m 吗？（第 11 题）（第 12 题）ABC2010155（第 10 题）12. 如图，长方体的长为 15，宽为 10，高为 20，点 B 到点 C 的距离是 5. 一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点 A 爬到点 B，需要爬行的最短距离是多少？84第三章勾股定理14.（1）大家知道 3，4
32、，5；5，12，13；8，15，17 等都是勾股数，有人说它们中 好像一定有一个是偶数，你认为他的观点正确吗？说明你的理由.（2）除此之外，你还能发现勾股数具有哪些规律？与同伴进行交流.联系拓广13. 装修工人购买了一根装饰用的木条，乘电梯到小明家安装如果电梯的长、宽、高分别是 1.5 m、1.5 m、2.2 m，那么，能放入电梯内的木条的最大长度大约是多少米？你能估计出装修工人买的木条至少是多少米吗？糟糕，太长了，放不进去.（第 13 题）1.5 m1.5 m2.2 m1无理数85古希腊的毕达哥拉斯学派认为所有的数量都可以用整数或整数之比来表示这个断言正确吗？你能求出面积为 2 的正方形的边
33、长吗？你知道圆周率 的精确值吗？它们能用整数或分数（即有理数）来表示吗？随着人类对数的认识的不断加深和发展，人们发现，现实世界中确实存在不同于有理数的数本章我们将学习无理数、实数、平方根、立方根等概念，学习利用估算或借助计算器求出一个无理数的近似值，并解决有关实际问题学 习 目 标 感受学习无理数的必要性 在学习实数的有关概念和运算法则时，感受类比的思想 能进行实数运算，解决简单的问题 根据实际要求选择恰当的方法，估计实数的大小第四章 实 数86第四章实数图 4-1 中，有两个边长为 1 的小正方形，剪一剪，拼一拼，设法得到一个大的正方形（1）设大正方形的边长为 a，a 满足什么条件？（2）a
34、 可能是整数吗？说说你的理由（3）a 可能是以 2 为分母的分数吗？可能是以 3 为分母的分数吗？说说你的理由（4）a 可能是分数吗？说说你的理由，并与同伴进行交流事实上，在等式 a2 = 2 中，a 既不是整数， 也不是分数，所以 a 不是有理数1无理数做一做随堂练习（1）图 4-2 中，以直角三角形的斜边为边的正方形的面积是多少？（2）设该正方形的边长为 b，b 满足什么条件？（3）b 是有理数吗？如图，正三角形 ABC 的边长为 2，高为 h，h 可能是整数吗？可能是分数吗？图 4-21111122ABCh在上面的两个问题中，数 a，b 确实存在，但都不是有理数图 4-11无理数87知识
35、技能问题解决联系拓广习题 4.11. 长、宽分别是 3，2 的长方形，它的对角线的长可能是整数吗？可能是分数吗？2. 右图是由 16 个边长为 1 的小正方形拼成的，任意连接这些小正方形的若干个顶点，可得到一些线段试分别找出两条长度是有理数的线段和两条长度不是有理数的线段3. 请你在如图所示的方格纸上按照如下要求设计直角三角形：（1）使它的三边中有一边边长不是有理数；（2）使它的三边中有两边边长不是有理数；（3）使它的三边边长都不是有理数.面积为 2 的正方形的边长 a 究竟是多少呢？（1）如图 4-3，3 个正方形的边长之间有怎样的大小关系？说说你的理由（2）边长 a 的整数部分是几？十分位
36、是几？百分位呢？千分位呢？借助计算器进行探索（3）小明根据他的探索过程整理出如下的表格，你的结果呢？边长 a 面积 S1 a 2 1 S 41.4 a 1.5 1.96 S 2.251.41 a 1.421.988 1 S 2.016 41.414 a 1.415 1.999 396 S 2.002 2251.414 2 a 1.414 3 1.999 961 64 S 2.000 244 491122aa面积为 2（第 3 题）（第 2 题）图 4-34. 正方形的边长和对角线的长可能都为整数吗？88第四章实数还可以继续算下去吗？a 可能是有限小数吗？事实上，a = 1.414 213 56
37、，它是一个无限不循环小数（1）估计面积为 5 的正方形的边长 b 的值（结果精确到十分位），并用计算器验证你的估计（2）如果结果精确到百分位呢？事实上，b = 2.236 067 978，它是一个无限不循环小数同样，对于体积为 2 的正方体，借助计算器，可以得到它的棱长 c = 1.259 921 05，它也是一个无限不循环小数做一做把下列各数表示成小数，你发现了什么？ 3，45，59，-845，211事实上，有理数总可以用有限小数或无限循环小数表示反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数无限不循环小数称为无理数（irrational number） 除了像上面的数 a，b，c 是无理数
38、外，我们十分熟悉的圆周率 = 3.141 592 65也是一个无限不循环小数，因此它也是一个无理数再如 0.585 885 888 588 885（相邻两个 5 之间 8 的个数逐次加 1） ，也是无理数议一议想一想你能找到其他的无理数吗？例 下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？3.14， -43， 0.574 4， 0.101 000 100 000 1 （相邻两个 1 之间 0 的个数逐次加 2） c图 4-41无理数89读一读解：有理数有：3.14， -43， 0.574 4无理数有：0.101 000 100 000 1（相邻两个 1 之间 0 的个数逐次加 2） 无理数的发现毕达
39、哥拉斯学派是以古希腊哲学家、数学家、天文学家毕达哥拉斯（Pythagoras，约前 580-约前 500）为代表人物的一个学派毕达哥拉斯学派发现了无理数，这是数学史上的一件大事，它导致了第一次数学危机毕达哥拉斯学派有一个信条： “万物皆数！ ”即“宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比” ，也就是一切现象都可以用有理数去描述公元前 5 世纪，毕达哥拉斯学派的一个成员希伯索斯（Hippasus）发现边长为 1 的正方形的对角线的长不能用整数或整数之比来表示这个发现动摇了毕达哥拉斯学派的信条，引起了信徒们的恐慌据说，希伯索斯为此被投入了大海，他为发现真理而献出了宝贵的生命但真理是不可战胜的假设边
40、长为 1 的正方形的对角线的长可写成两个整数 p，q 的比 pq（p，q 互质） ，于是有（pq）2 = 2，p2 = 2 q2因此，p2 是偶数，p 是偶数于是可设 p = 2 m，那么 p2 = 4 m2 = 2 q2，q2 = 2 m2这就是说，q2 是偶数，q 也是偶数这与“p，q 是互质的两个整数”的假设矛盾从无理数的发现可以看出无理数并不“无理” ，它和有理数一样，都是现实世界中客观存在的量的反映随堂练习下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？ 0.458 3，3.74， - ， - 17，1890第四章实数已知正方形的边长，我们会计算它的面积. 反之，如果已知正方形的面积，你会求
41、它的边长吗？2平方根图 4-5（1）若一个正方形的面积为 9，它的边长为多少？若一个正方形的面积为 2536，它的边长是多少？（2）根据图 4-5 填空：x2 = _，想一想知识技能数学理解习题 4.23. 你能举出 3 个有关无理数的实例吗？4. 判断下列说法是否正确：（1）所有无限小数都是无理数； （ ）（2）所有无理数都是无限小数； （ ）（3）有理数都是有限小数； （ ）（4）不是有限小数的不是有理数. （ ）1. 下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？-559180，3.974，- 234.101 010 10（相邻两个 1 之间有 1 个 0） ， 0.123 456 789 1
42、01 112 13（小数部分由相继的正整数组成） 2. （1）设面积为 10 的正方形的边长为 x，x 是有理数吗？说说你的理由；（2）估计 x 的值（结果精确到十分位） ，并用计算器验证你的估计；（3）如果结果精确到百分位呢？2平方根91y2 = _，z2 = _，w2 = _x，y，z，w 四个数中哪些是有理数？哪些是无理数？你能表示它们吗？一般地，如果一个正数 x 的平方等于 a，即 x2 = a，那么这个正数 x 就叫做 a 的算术平方根（arithmetic square root） ，记为“a” ，读作“根号 a” 特别地，我们规定 0 的算术平方根是 0，即 0 = 0例 1 求
43、下列各数的算术平方根：（1）900；（2）1；（3）4964；（4）14解：（1）因为 302 = 900，所以 900 的算术平方根是 30，即 900= 30；（2）因为 12 = 1，所以 1 的算术平方根是 1，即 1 = 1；（3）因为（78）2 = 4964，所以 4964 的算术平方根是 78，即4964= 78；（4）14 的算术平方根是 141. 求下列各数的算术平方根： 36， 916，17，0.81，10-42. 如图，从帐篷支撑竿 AB 的顶部 A 向地面拉一根绳子 AC 固定帐篷若绳子的长度为 随堂练习（第 2 题）例 2 自由下落物体下落的距离 s（m）与下落时间
44、t（s）的关系为 s = 4.9 t2有一铁球从 19.6 m 高的建筑物上自由下落，到达地面需要多长时间？解：将 s = 19.6 代入公式 s = 4.9 t2，得 t2 = 4，所以 t =4= 2（s） 即铁球到达地面需要 2 sABC92第四章实数想一想（1）9 的算术平方根是 3，也就是说，3 的平方是 9还有其他的数，它的平方也是 9 吗？（2）平方等于 425 的数有几个？平方等于 0.64 的数呢？一般地，如果一个数 x 的平方等于 a，即 x2 = a，那么这个数 x 就叫做 a 的平方根（square root，也叫做二次方根） 知识技能联系拓广问题解决习题 4.31.
45、求下列各数的算术平方根： 121，925，1.96，1062. 求下列各式的值：（1）100； （2）144； （3）25121；（4）-0.01； （5）-225； （6）-4981.3. 小明房间的面积为 10.8 m2，房间地面恰由 120 块相同的正方形地砖铺成，每块地砖的边长是多少？4. 一个正方形的面积变为原来的 4 倍，它的边长变为原来的多少倍？面积变为原来的 9 倍，它的边长变为原来的多少倍？面积变为原来的 100 倍呢？面积变为原来的 n 倍呢？5.5 m，地面固定点 C 到帐篷支撑竿底部 B 的距离是 4.5 m，则帐篷支撑竿的高是多少？ （精确到 0.1 m） 2平方根9
46、3（1）一个正数有几个平方根？ （2）0 有几个平方根？ （3）负数呢？一个正数有两个平方根；0 只有一个平方根，它是 0 本身；负数没有平方根正数 a 有两个平方根，一个是 a 的算术平方根“a” ， 另一个是 “-a” ， 它们互为相反数这两个平方根合起来可以记作“a” ， 读作 “正、 负根号 a ” 求一个数 a 的平方根的运算叫做开平方（extraction of square root） ，a 叫做被开方数例 3 求下列各数的平方根：（1）64； （2）49121； （3）0.000 4； （4） （- 25）2； （5）11解：（1）因为（ 8）2 = 64，所以 64 的平方根
47、是 8，即 64 =8；（2）因为（ 711）2 = 49121， 所以 49121 的平方根是711， 即49121=711；（3）因为 （ 0.02）2 = 0.000 4， 所以 0.000 4 的平方根是 0.02， 即0.000 4= 0.02；（ 4 ）因为（ 25）2 = （ -25）2，所以 （ -25）2 的平方根是 25，即（ -25）2 = 25；（5）11 的平方根是 11想一想议一议（1） （ 64）2 等于多少？（49121）2 等于多少？（2） （ 7.2）2 等于多少？（3）对于正数 a， （ a）2 等于多少？94第四章实数1. 求下列各数的平方根： 1.44
48、，0，8，10049 ，441，196，10-42. 填空：（1）25 的平方根是 _；（2）（-5）2 = _；（3）（ 5）2 = _3. 当 a = 5，b = 12 时，求 a2 + b2 的值随堂练习知识技能联系拓广习题 4.41. 求下列各数的平方根： 169，10-6，1649，94，182. （1）一个正数的平方等于 361，求这个正数；（2）一个负数的平方等于 121，求这个负数；（3）一个数的平方等于 196，求这个数3. 求满足下列各式的未知数 x：（1）x2 = 2581； （2）x2= 64. 求下列各式的值：（1）42； （2）（ -4）2 ； （3）（0.8）25
49、. 当 c = 25，b = 24 时，求 （ c + b ） （ c-b ）的值6. 已知 x 是 16 的算术平方根，y 是 9 的平方根，求 x2 + y2 + x + 2 的值.7. 对于任意数 a，一定等于 a 吗？3立方根95已知正方体的棱长，我们会计算它的体积. 反之，如果已知正方体的体积，你会求它的棱长吗？（1）一个容积为 8 m3 的正方体水箱，它的棱长为多少？（2）某化工厂使用半径为 1 m 的一种球形储气罐储藏气体. 现在要造一个新的球形储气罐，如果它的体积 是原来的 8 倍，那么它的半径是原储气罐半径的多少倍？如果储气罐的体积是原来的 4 倍呢？（3）如果一个数的立方等
50、于 -827，这个数是多少？与同伴进行交流？一般地，如果一个数 x 的立方等于 a，即 x3 = a，那么这个数 x 就叫做 a 的立方根（cube root，也叫做三次方根） 如 2 是 8 的立方根， -23 是 -827 的立方根，0 是 0 的立方根3立方根做一做（1）2 的立方等于多少？是否有其他的数，它的立方也是 8 ？（2）-3 的立方等于多少？是否有其他的数，它的立方也是 -27 ？议一议（1）正数有几个立方根？（2）0 有几个立方根？（3）负数呢？ 球的体积公式为V = 43r3，r 为球的半径.96第四章实数求一个数 a 的立方根的运算叫做开立方（extraction of
