1、上 海 教 育 出 版 社必修第三册普通高中教科书S H U X U E普通高中教科书S H U X U E上 海 教 育 出 版 社必修第三册 声明 按照中华人民共和国著作权法第二十五条有关规定， 我们已尽量寻找著作权人支付报酬.著作权人如有关于支付报酬事宜可及时与出版社联系.版权所有未经许可不得采用任何方式擅自复制或使用本产品任何部分违者必究如发现内容质量问题，请拨打 021-64319241如发现印、装质量问题，影响阅读，请与上海教育出版社有限公司联系. 电话021-64377165全国物价举报电话：12315主 编 李大潜 王建磐副 主 编 应坚刚 鲍建生本册编写人员 阮晓明 杨家政
2、黄 坪 应坚刚 田万国 陈月兰 汪家录责任编辑 蒋徐巍 缴 麟 曲春蕊装帧设计 陆 弦 王 捷 周 吉本册教材图片提供 图虫网（封面一幅图，P15两幅图，P26一幅图，P29一幅图，P36一幅图，P74两幅图，P78一幅图，P89一幅图，P123一幅图）；壹图网（P2两幅图，P8一幅图，P12一幅图，P18一幅图，P58一幅图，P62三幅图，P78两幅图，P90一幅图，P128一幅图，P162一幅图，封底一幅图） ； 全景网（P1一幅图）； 上海教育出版社有限公司（P57一幅图， P92一幅图）；教材编写组（P12一幅图）插图绘制 肖征波 周 吉 朱泽宇普通高中教科书 数学 必修 第三册上海市
3、中小学（幼儿园）课程改革委员会组织编写出版上海教育出版社有限公司（上海市永福路123号）发行上海新华书店印刷上海中华印刷有限公司版次2021年7月第1版印次2021年7月第1次开本8901240 1/16印张11.5字数260 千字书号978-7-5720-0185-7/G0142定价14.20 元书 书 书前言 前言数学应该是绝大多数人一生中学得最多的一门功课认真学习数学，努力学好数学，不仅可以牢固地打好数学的知识基础，掌握一种科学的语言，为走进科学的大门提供有力的工具和坚实的后盾；更重要地，通过认真而严格的数学学习和训练，可以领会到数学的思想方法和精神实质，造就一些特有而重要的素质和能力，
4、形成自己的数学素养，让人变得更加聪明，更有智慧，更有竞争力，终身受用不尽从这个意义上，可以毫不夸张地说，数学教育看起来似乎只是一种知识教育，但本质上是一种素质教育，其意义是十分深远的中学阶段的数学学习，应该为学生今后的成长和发展奠定坚实的基础，编写教材也要力求遵循这一根本宗旨那种以种种名义，将一些“高级”或“时髦”的东西，不顾实际情况地下放进中学的教材，和数学的基础训练“抢跑道”的做法，是不可取的同时，数学学科是一个有机联系的整体，一定要避免知识的碎片化，从根本上改变单纯根据“知识点”来安排教学的做法人为地将知识链条打断，或将一些关键内容以“减负”的名义删去，只会造成学生思维的混乱，影响学生对
5、有关知识的认识与理解，实际上反而会加重学生学习的负担，是不值得效法的在任何情况下，都要基于课程标准，贯彻“少而精” “简而明”的原则，精心选择与组织教材内容，抓住本质，返璞归真，尽可能给学生以明快、清新的感受，使学生能更深入地领会数学的真谛，让数学成为广大学生喜闻乐见的一门课程怎么才算“学好了数学”呢？对这个问题是需要一个正确的认识的作为一门重思考与理解的学科，数学学习要强调理解深入、运作熟练和表达明晰这三个方面这儿所说的“运作”泛指运算、推理及解题等环节三者的关键是深入的理解，只有不仅知其然、而且知其所以然，才能掌握数学的精髓，更好地实现另外两方面的要求如果只满足于会解题，甚至以“刷题”多与
6、快为荣，但不求甚解，就难以和数学真正结缘，是不值得鼓励与提倡的表达能力的培养也要引起足够的重视要使表述简明清晰并不是一件容易的事，别前言 人三言两语就说清楚了的，自己却颠三倒四、不得要领，能够说真正弄懂了数学吗？ ！为了帮助学生学好数学，也为了帮助教师教好数学，本教材秉承上述理念，在编写上做了认真的探索与实践，希望能成为广大师生的良师益友，更好地发挥引路和示范的作用书中各章的章首语，虽只有不到一页的篇幅，但却是该章入门的一个宏观向导，务请认真注意各章末的内容提要，简明扼要地列出了该章的核心内容，希望对复习能起到较好的帮助各章的主体内容，包括正文、练习及复习题以及边注，更是字斟句酌、精心编写的希
7、望广大同学养成认真阅读及钻研教材的习惯，这样就一定会发现，学习中所碰到的种种问题，原则上都可以从教材中找到答案，大家的学习方法和自学能力也一定会得到极大的提升，从而牢牢掌握住学习数学的主动权本套教材涵盖普通高中数学课程标准（ 年版） 所规定的必修课程和选择性必修课程的内容，共分七册，包括必修四册、选择性必修三册，其中必修第四册和选择性必修第三册是数学建模的内容必修前三册和选择性必修前两册共同构建了高中数学的知识体系和逻辑结构；数学建模内容与数学知识的逻辑结构没有直接的关系，不依附于特定知识性内容的教学，而在于强调数学知识在解决实际问题中的应用，强调它的活动性、探索性和综合性因此，两册数学建模教
8、材不是前三册或前两册教材的后继，而且都包含比教学课时数要求更多的内容，供各个年段灵活地、有选择地使用，以实现数学建模的教学目标 年月书 书 书目录 第 章空间直线与平面 平面及其基本性质 直线与直线的位置关系 直线与平面的位置关系 平面与平面的位置关系 异面直线间的距离 内容提要 复习题 第 章简单几何体 柱体 锥体 多面体与旋转体 球 内容提要 复习题 第 章概率初步 随机现象与样本空间 古典概率 频率与概率 随机事件的独立性 内容提要 复习题 目录 第 章统计 总体与样本 数据的获取 抽样方法 统计图表 统计估计 统计活动 内容提要 复习题 附录 书 书 书第章空间直线与平面初中学习的平面
9、几何，研究的是平面上一些简单图形及其几何性质从本章开始，我们将把视野从二维的平面拓展到三维的空间在三维空间中的图形统称为空间图形或立体图形立体几何所研究的就是一些简单的空间图形及其几何性质从平面几何到立体几何，我们要注意借鉴平面几何中已有的一些概念、方法和结论，更要特别注意立体几何和平面几何之间的区别以本章学习的空间直线与平面为例，我们不仅要研究平面这类典型的空间图形，而且要对“直线”有更为深刻的认识比如，空间两条直线之间的位置关系，除了平行与相交，还有既不相交、也不平行的情况，从而出现了异面直线这种更为复杂的研究对象这些都与平面几何情况大不相同，也使立体几何的内涵变得格外丰富多彩我们生活在一
10、个三维世界中，立体几何的学习有助于我们从几何的角度更好地理解现实的世界，并且锻炼我们的几何直观想象能力因此，在学习中，要着重注意几何的直观和内涵，不要仅仅停留在表面上的严格推导和论证，还要多画一些示意图来帮助理解，这样才能更好地掌握几何的实质，逐步培养自己的立体感和空间想象能力 空间直线与平面 平面及其基本性质空间的点、直线与平面与平面几何中的点（ ）与直线（ ）一样，平面（ ）也是一个从实际生活中抽象出来的数学概念如图 ，平静的水面、平整的墙面、太阳能反射板等都给了我们平面的形象图 图 平面通常用一个小写希腊字母表示，如图 中的平面、等，有时也可以用一个或多个大写英文字母表示，如平面犕、平面
11、犃犅犆犇等在平面几何中我们已经知道，点是没有大小的，直线是没有粗细并且可以无限延伸的；类似地，我们说，平面是没有厚薄并且可以无限延展的由于平面无边无界，因此我们不可能将一个平面完整地画在纸上，只能画其示意图习惯上，我们用一个平行四边形来表示平面当平面是水平放置时，通常把这个平行四边形的锐角画成 左右，且横边长约为邻边长的倍如果一个平面被另一个平面遮挡住，应将被遮挡的部分画成虚线，以增强立体感，如图 所示平面是立体几何中的一个基本图形长方体的每个面都是某个平面的一部分图 中，长方体犃犅犆犇犃犅犆犇就可以看作是由六个平面所围成的空间图形图 平面及其基本性质 下面，我们来讨论点、直线与平面之间的位置
12、关系我们把空间的直线和平面都看成是由点所组成的集合，这样就可以借用集合的语言和符号来表示点、直线与平面之间的关系为了叙述方便，我们一般用大写的英文字母犃、犅、犆等表示点，用小写的英文字母犪、犫、犮等表示直线，用小写的希腊字母、等表示平面在空间，点与直线、点与平面的位置关系如下：位置关系符号表示图形表示点与直线点犃在直线犾上，也称直线犾经过点犃犃犾点犅不在直线犾上，也称直线犾不经过点犅犅犾点与平面点犃在平面上，也称平面经过点犃犃点犅不在平面上，也称平面不经过点犅犅在图 的长方体犃犅犆犇犃犅犆犇中，犃直线犃犅，犃直线犃犅，犅平面犅犅犆犆，犃平面犅犅犆犆等我们还可以发现，直线犃犅在平面犃犅犆犇上（即
13、直线犃犅上的所有点都在平面犃犅犆犇上） ，但直线犃犅不在平面犅犅犆犆上在平面几何中，我们已经知道两点确定一条直线由此是否可以推测：如果一条直线上有两个点在一个平面上，那么整条直线都在这个平面上？其实，这正是人们经过长期的观察与实践总结出来的一个基本事实，我们把它当作一个公理公理如果一条直线上有两点在一个平面上，那么这条直线上所有的点都在这个平面上这时，我们说这条直线在这个平面上，或者说此平面经过该直线如图 ，公理可用符号语言表述为：若点犃，点犅，则直线犃犅公理可以用来判断一条直线是否在某个平面上由公理知，不在平面上的直线与这个平面最多只有一个公共点如果直线犾与平面只有一个公共点犃，就称直线犾与
14、平面如无特别说明，本章中所说的两个点、两条直线、两个平面等均指它们不相重合的情形图 空间直线与平面 相交于点犃，或称犃是直线犾与平面的交点，记作犾犃（图 （） ）如果直线犾与平面没有公共点，就称直线犾与平面平行，记作犾或犾（图 （） ）（）（）图 画图时，若直线犾在平面上时，应将直线犾画在表示平面的平行四边形的内部，如图 所示图 例已知三角形犃犅犆的三个顶点犃、犅、犆都在平面上，求证：该三角形的重心犌也在平面上证明如图 ，记线段犃犅的中点为犕因为犃，犅，由公理可知，直线犃犅，而犕犃犅，从而犕又因为犆，仍由公理知，犆犕由于重心犌是线段犆犕的一个三等分点，因此犌练习 （）如图，用集合语言描述下列图
15、形中的点、直线、平面之间的位置关系（）（）（第题）证明：若四边形有三条边在一个平面上，则它的第四条边也在这个平面上我们知道两点确定一条直线，那么在空间要确定一个平面需要几个点呢？生活中我们都有这样的经验：三脚架在不平的地面上也可以稳固地支撑一部照相机；两个轮子的自行车在停止运动后要加上图 平面及其基本性质 一个支撑脚才能稳定；一扇门尽管有两个合页固定在门框上，但仍然可以转动，只有锁上后才可以固定下来这些例子都说明了一个事实，那就是不在同一直线上的三点才能确定一个平面由此，我们得到下面的公理公理不在同一直线上的三点确定一个平面这里，“确定一个平面”意指“ （经过这三个点）有且只有一个平面”或“存
16、在唯一的平面” ，如图 所示公理可以具体表述为：若犃、犅、犆三点不在同一直线上，则存在唯一的平面，使得犃、犅、犆三点均在此平面上图 根据公理可以得到下面的三个推论：推论一条直线和这条直线外的一点确定一个平面推论两条相交直线确定一个平面推论两条平行直线确定一个平面图 给出了上述三个推论的直观表示这些推论也可以用符号语言来表述，如推论可以表述为：若犃犾，则存在唯一的平面，使得犃，犾（）（）（）图 公理是进一步推理的基础，是不证自明的事实，但公理的推论是需要证明的下面，我们仅给出推论的证明推论的证明可以仿照推论进行，推论的证明要借助于公理，我们分别把它们放在本节和下一节的习题中留给同学们完成证明设犃
17、是直线犾外的一点，在直线犾上任取犅和犆两点（图 （） ）由公理可知，犃、犅和犆三点能确定一个平面因为点犅、犆，由公理可知，犅、犆所在的直线犾，从而平面是由直线犾和点犃确定的平面公理及其三个推论可以用来构造一个平面或者判断点与直 空间直线与平面 线是不是在同一个平面上如果可以判定某个空间图形在同一个平面上，那么它实际上就是一个平面图形，从而可以用平面几何的知识和方法来处理相应的问题例已知三条直线犾、犾和犾两两相交，且不交于同一点求证：直线犾、犾和犾在同一平面上证明因为直线犾、犾和犾两两相交，设犾犾犃，犾犾犅，犾犾犆，如图 所示图 由推论可知，相交的直线犾与犾可确定一个平面，即有犾，犾因为犅犾，犆
18、犾，所以犅、犆，且犅、犆不重合由公理可知，点犅、犆所在的直线犾，从而直线犾、犾和犾都在平面上练习 （）（第题）已知犪、犫、犮是空间的三条直线，犪犫，且犮与犪、犫都相交求证：直线犪、犫、犮在同一平面上如图，在长方体犃犅犆犇犃犅犆犇中，画出犃犅与犃、犅、犆所确定的平面的交点，并说明理由如何用绳子检查桌椅的四个脚是否立于同一平面上？给出方案并说明理由相交平面观察教室里的墙面，可以看到：相邻的两个墙面都有一条交线在一般的情况下，我们有下面的公理公理如果两个不同的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线公理可具体表述为：若两平面及有一个公共点犃，则它们有唯一的公共直线犾，且公共点犃在犾上，
19、如图 所示根据公理，两个平面和间的位置关系只有两种：相交图 平面及其基本性质 于一条公共直线犾或者没有公共点前者称为相交，记作犾；后者称为平行，记作或画两个相交平面时，通常要画出它们的交线，如图 所示；画两个平行平面时，要使表示这两个平面的相应平行四边形的对应边平行，如图 所示注意，在画图时，凡被一个平面遮住的所有线条要画成虚线图 例如图 ，在长方体犃犅犆犇犃犅犆犇中，找出下列各对平面的交线：（）平面犃犅犆犇与平面犃犃犅犅；（）平面犃犅犇与平面犆犅犇；（）平面犃犆犆犃与平面犅犇犇犅；（）平面犃犅犆犇与平面犅犅犇解（）因为犃及犅是平面犃犅犆犇与平面犃犃犅犅的公共点，所以这两个平面的交线是棱犃犅所
20、在的直线（）因为犅及犇是平面犃犅犇与平面犆犅犇的公共点，所以这两个平面的交线是长方体底面对角线犅犇所在的直线（）如图 ，连接犃犆与犅犇，其交点为犗，连接犃犆与犅犇，其交点为犗因为点犃及犆都在平面犃犆犆犃上，所以直线犃犆在平面犃犆犆犃上又犗犃犆，所以犗在平面犃犆犆犃上同理可得，犗在平面犅犇犇犅上于是，点犗是平面犃犆犆犃与平面犅犇犇犅的公共点同理可知，点犗也是平面犃犆犆犃与平面犅犇犇犅的公共点这样，由公理，犗犗所在的直线是平面犃犆犆犃与平面犅犇犇犅的交线（）因为犅犅犇犇，由公理的推论可知，这两条平行线犅犅与犇犇确定一个平面，从而犇平面犅犅犇这样，犅及犇是平面犃犅犆犇与平面犅犅犇的公共点，从而直线犅
21、犇是这两个平面的交线练习 （）画三个平面，使其中的两个平面互相平行，而第三个平面与这两个平面都相交用硬纸板作为平面的模型，摆出三个平面两两相交各种不同的情况图 图 空间直线与平面 （第题）如图，在长方体犃犅犆犇犃犅犆犇中，（）设犃犆与犅犇的交点为犗，犗必为平面与平面的公共点（答案不唯一） ；（）画出平面犃犅犆犇与平面犅犅犇犇的交线空间图形的平面直观图的画法我们知道，立体几何的研究对象是空间图形要将空间图形在一个平面上体现出来，就需要在平面内画出具有立体感的空间图形的直观图为了把空间图形画得既富有立体感，又能表达出图形各主要部分的位置关系和度量关系，我们通常采用斜二测画法画空间图形的直观图下面，
22、我们通过两个例子来体会用斜二测画法画空间图形直观图的方法与步骤例用斜二测画法画一个水平放置的正六边形的直观图画法（）如图 （） ，在已知正六边形犃犅犆犇犈犉中，取犃犇所在直线为狓轴，取线段犃犇的对称轴犕犖为狔轴，两轴相交于点犗在图 （）中，画相应的狓 轴和狔 轴，两轴相交于点犗 ，且使狓 犗 狔 （）在图 （）中，以犗 为中点，在狓 轴上取犃 犇 犃犇，在狔 轴上取犕犖 ，使犕 犗 犖 犗 犕犗以犕为中点画犈 犉 平行于狓 轴，并使犈 犉 犈犉；类似地，再以犖 为中点画犅 犆 平行于狓 轴，并使犅 犆 犅犆（）顺次连接犃 、犅 、犆 、犇 、犈 、犉 、犃 ，所得到的六边形犃 犅 犆 犇 犈
23、犉 就是水平放置的正六边形犃犅犆犇犈犉的直观图画好图后，要擦去辅助线，如图 （）所示（）（）（）图 平面及其基本性质 例用斜二测画法画长、宽、高分别为、的长方体的直观图画法（）画底面：画犗犃犅犆，使得犗犃，犗犆，犃犗犆 ，如图 （）所示（）画侧棱：过犗、犃、犅、犆各点分别作犗犃和犅犆的垂线，在这些垂线上分别截取长为的线段犗犗 、犃犃 、犅犅 、犆犆 ，如图 （）所示（）成图：顺次连接犗 、犃 、犅 、犆 ，并擦去辅助线，将被遮挡的部分改为虚线，得长方体的直观图，如图 （）所示（）（）（）图 练习 （）（第题）在水平放置的平面上有一个边长为的正三角形，请画出其直观图画出如图水平放置的直角梯形犗犃
24、犅犆的直观图习题 犃组（第题）如图，观察长方体犃犅犆犇犃犅犆犇中的点、线、面，用适当的符号或字母填空：（）点犅直线犅犆；（）点犃直线犅犆；（）点犇平面犃犅犆犇；（）点犃平面犃犅犆犇；（）直线犃犅直线犅犆；（）直线犃犅平面犃犅犆犇； 空间直线与平面 （）直线犅犆平面犅犅犆犆（第题）用集合符号表述下列语句，并将语句所描述的图形画在右图中：（）点犃在平面上：；（）平面经过直线犃犆：；（）点犅不在平面上：；（）直线犅犆平行于平面：下列图形一定是平面图形吗？请说明理由（）三角形；（）梯形；（）四边形；（）菱形判断下列命题的真假：（）若空间四点共面，则其中必有三点共线；（）若空间四点中有三点共线，则此四点
25、必共面；（）若空间四点中任何三点不共线，则此四点不共面；（）若空间四点不共面，则其中任意三点不共线证明公理的推论平面与平面相交于直线犾，点犃、犅在平面上，点犆在平面上但不在直线犾上，直线犃犅与直线犾相交于点犚设犃、犅、犆三点确定的平面为，则与的交线是（）直线犃犆；直线犅犆；直线犆犚；以上均不正确（第题）（第题）如图，已知直线犾与平面相交于点犗，犃、犅犾，犆、犇，且犃犆犅犇求证：犗、犆、犇三点共线画出棱长为的正方体的直观图犅组 个平面把空间分成部分，个平面把空间分成或部分，个平面把空间分成几部分？若平面与平面、都相交，则这三个平面的交线可能有几条？ 条或条； 条或条； 条或条； 条或条或条 平面
26、及其基本性质 如图，在正方体犃犅犆犇犃犅犆犇中，已知犗是犇犅的中点，且直线犃犆交平面犆犅犇于点犕，点犆、犕、犗的位置关系是（第题）（第题）如图，已知犃犾，犅犾，犆犾，犗犾求证：犗犃、犗犅、犗犆在同一平面上如图，已知犇及犈是犃犅犆的边犃犆及犅犆上的点，平面经过犇、犈两点，直线犃犅与平面交于点犘求证：点犘在直线犇犈上（第题）（第题）如图，已知犈、犉、犌、犎分别是正方体犃犅犆犇犃犅犆犇的棱犃犅、犅犆、犆犆、犆犇的中点，且犈犉与犎犌相交于点犙求证：点犙在直线犇犆上 空间直线与平面 直线与直线的位置关系空间的平行直线在平面几何里我们知道平行关系具有传递性，即在同一平面上，如果两条直线都和第三条直线平行，
27、那么这两条直线也互相平行对于空间的直线，这种传递性是否还存在？仔细观察下面的两种实际情景：当打开一本书时，每一页的外边界看上去都是相互平行的（图 ） ；而围栏的每一根竖条，从不同的角度看，也都是相互平行的（图 ）（）（）图 （）（）图 正是基于这种经验，我们有下面的公理公理平行于同一条直线的两条直线互相平行这条公理用符号语言可以表述为：若犪犫，且犪犮，则犫犮 直线与直线的位置关系 公理表明，直线的平行关系在空间同样具有传递性有了公理，我们就可以解释前面的两种实际情景例如，在图 的情景中，因为书的每一页都是矩形，所以每一页的外边界所在的直线都平行于书脊所在的直线，从而由平行关系的传递性知，每一页
28、的外边界所在的直线都是相互平行的例如图 ，在正方体犃犅犆犇犃犅犆犇中，（）找出与犃犅平行的所有棱，并解释你的结论；（）求证：犃犆犃犆；（）求证：犅犃犆犅犃犆解（）与犃犅平行的棱有犆犇、犃犅和犆犇因为正方体的每个面都是正方形，所以犃犅犆犇，犃犅犃犅，犆犇犆犇，从而由公理，知犃犅犆犇（）证明：因为犃犅犆犇 犃犅犆犇是一个正方体，所以犅犅犃犃，犅犅犆犆由公理，可得犃犃犆犆此外，显然有犃犃犆犆，从而犃犃犆犆是一个平行四边形，所以犃犆犃犆（）证明：因为正方体的每个面都是正方形，所以犅犃犆和犅犃犆都是等腰直角三角形，从而犅犃犆犅犃犆 例中犅犃犆与犅犃犆的位置关系比较特殊，它们的两边分别平行且方向相同空间中
29、具有这种位置关系的两个角是否一定相等呢？我们可以证明以下定理等角定理如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等如图 ，已知犅犃犆与犅 犃 犆 的边犃犅犃 犅 ，犃犆犃 犆 ，并且方向相同求证：犅犃犆犅 犃 犆 证明因为犃犅犃 犅 ，犃犆犃 犆 ，由公理推论可知，犃犅、犃 犅 确定一个平面，记为；犃犆、犃 犆 也确定一个平面，记为在直线犃犅、犃犆上分别取点犇、犈，在直线犃 犅 、犃 犆 上分别取点犇 、犈 ，使得犃犇犃 犇 ，犃犈犃 犈 因为在平面上，犃犇犃 犇 ，犃犇犃 犇 ，所以犃 犇 犇犃是一个平行四边形，从而犃犃 犇犇 ，且犃犃 犇犇 同理，犃犃 犈犈 ，且犃
30、犃 犈犈 这样就有犇犇 犈犈 ，且犇犇 犈犈 ，即犇 犈 犈犇是一个平行四边形于是，犈犇犈 犇 ，从而犃犇犈围栏的情景请同学们自己依据公理给出合理的解释图 图 这里我们用到了不同平面上两个全等三角形的判定与性质之所以可以推广这种性质到空间的情形，是因为三角形的全等与相似都具有运动的不变性 空间直线与平面 犃 犇 犈 ，即得犅犃犆犅 犃 犆 由上述定理，我们容易得出下面两个推论推论如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或者互补推论如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等例如图 ，犃犅犆是一张三角形的纸片，犇是边犃犆上的一点我们将此三角形
31、纸片沿犅犇折成一个空间四边形犃犅犆犇在这个空间四边形犃犅犆犇中，犈、犉、犌、犎分别为边犃犅、犅犆、犆犇、犇犃的中点求证：犈犉犌犎是平行四边形图 证明因为犈犎是犃犅犇的一条中位线，所以犈犎犅犇，且犈犎犅犇同理，犉犌是犆犅犇的一条中位线，有犉犌犅犇，且犉犌犅犇由公理，知犈犎犉犌，且犈犎犉犌，从而犈犉犌犎是平行四边形练习 （）如图，在长方体犃犅犆犇犃犅犆犇中，直线犃犆与犅犇相交吗？为什么？（第题）（第题）由空间四点首尾相接所成的四边形叫做空间四边形（）将空间四边形犃犅犆犇还原到原来的位置，那么所得到的四边形犈犉犌犎还是平行四边形吗？（）若犈、犉、犌、犎不是所在边的中点，犈犉犌犎是否仍可能是平行四边形
32、？ 直线与直线的位置关系 （第题）在如图所示的长方体犃犅犆犇犃犅犆犇中，平面犃犅犆犇上有一条直线犕犖，而平面犃犅犆犇上有一点犘试过点犘作一条直线犾，使得犾犕犖如图，在两个相交平面、的交线上任意取两点犗与犗在平面上，过犗与犗分别作射线犗犃与犗犃垂直于犗犗；在平面上，过犗与犗分别作射线犗犅与犗犅垂直于犗犗求证：犃犗犅犃犗犅异面直线我们知道，在同一平面上的两条直线只有平行或相交两种位置关系空间的两条直线，除了平行和相交这两种位置关系，是否还有其他的位置关系呢？观察下面的两幅实景图在图 （）中，如果把远方的高楼看作是一条直线，将马路看作是另外一条直线，这两条直线看起来既不平行，也不相交类似地，在图 （
33、）中，如果把高铁轨道和其下的高速公路分别看作是两条直线，那么它们看起来不会在同一个平面上我们用图 直观地分别表示这两种实际的情景（）（）图 （）（）图 像上述这种不在同一个平面上，既不相交也不平行的两条直线是空间中特有的一种两直线位置关系相应地，我们给出下面的定义 空间直线与平面 定义不同在任何一个平面上的两条直线叫做异面直线（ ）这里，“不同在任何一个平面上的两条直线”是指不存在一个平面，使得这两条直线都在这个平面上例如，观察图 中长方体犃犅犆犇犃犅犆犇的棱所在的直线，可以发现，直线犃犃与犆犆虽然不在这个长方体的同一个表面上，但是可以找到一个平面（即平面犃犃犆犆） ，使得它们都在这个平面上，
34、所以犃犃与犆犆不是异面直线但直线犃犅与犆犆则不是这种情况假设存在一个平面同时包含直线犃犅与犆犆，那么不共线的三点犃、犅、犆就在这个平面上，从而由公理可知，平面就应是长方体的下底面犃犅犆犇，从而直线犆犆就应在长方体的下底面上，但这是不可能的，所以这样的平面是不存在的也就是说，直线犃犅与犆犆是异面直线这样，空间的两条直线就有三种不同的位置关系，可以用下表来分类：位置关系是否共面是否有公共点相交是是平行是否异面否否画两条异面直线时，通常需要用一个或两个平面来衬托，如图 所示（）（）（）图 为了判断两条直线是否为异面直线，由定义，就要判断两条直线是否“不同在任何一个平面上” ，这显然不太方便，一般只能
35、用反证法来进行论证为了便于判断两条直线是否异面，我们给出下面的定理异面直线判定定理过平面外一点与平面上一点的直线，和此平面上不经过该点的任何一条直线都是异面直线图 直线与直线的位置关系 已知：如图 ，直线犪在平面上，点犃不在平面上，直线犃犅与平面交于点犅，点犅在平面上但不在直线犪上求证：直线犃犅和犪是异面直线证明假设存在一个平面，使得直线犃犅与犪均在平面上，那么平面一定经过点犃、犅和直线犪因为犅犪，由公理推论，经过点犅与直线犪只能有一个平面，它就是，从而平面与是同一个平面这样，点犃就应在平面上，与假设犃矛盾所以，直线犃犅和犪必为异面直线例如图 ，在长方体犃犅犆犇 犃犅犆犇中，哪些棱所在的直线与
36、直线犅犃是异面直线？解长方体共有 条棱过顶点犅和犃的棱各有条，这条棱所在的直线都与直线犅犃相交，必定与其共面对于棱犆犆，它落在平面犅犆犆犅上，而犅犃是过此平面上点犅及此平面外点犃的直线，由上述定理知，棱犆犆所在的直线与直线犅犃是异面直线同理，棱犇犇、犇犆、犇犆、犃犇及犅犆所在的直线均分别与直线犅犃是异面直线例给定不共面的点，作过其中个点的平面，所有个这样的平面围成的几何体称为四面体（图 ）预先给定的个点称为四面体的顶点，个顶点的连线称为四面体的棱，个顶点所确定的三角形称为四面体的面求证：四面体中任何一对不共顶点的棱所在的直线一定是异面直线证明一条棱上有个顶点，两条不共顶点的棱上一共有个不同的顶
37、点，也就是说，两条不共顶点的棱上有全部预先给定的个点了如果这两条棱共面，那么个顶点也共面，这与已知的点不共面条件矛盾由此可见，任何一对不共顶点的棱所在的直线一定是异面直线练习 （）在教室里找出几对异面直线的例子如果一条直线和两条异面直线中的一条平行，那么它和另一条直线的位置关系是下页左图是一个正方体的平面展开图，请在下页右图的正方体中画出对应的线段，并指出正方体中的线段犆犖、犃犉、犅犕、犕犈中，哪些线段所在的直线与犇犖所在的直线是异面直线图 图 图 本例可以运用异面直线判定定理证明吗？ 空间直线与平面 （第题）两条异面直线所成的角几何学除了要讨论几何图形之间的相互位置关系，还要更精确地以定量的
38、方法判断图形的位置与形状在平面几何中，我们已分别通过夹角或距离来确定两条相交或平行的直线之间的相对位置空间中的两条相交或平行直线，本质上可以看成某一平面上的两条相交或平行直线，也可以用类似方法处理那么，我们该如何确定两条异面直线的相对位置呢？生活中经常可以看到图 （）所示的道路指示牌这些指示牌看上去形成了不同的角度，指明了不同的方向我们把左边的实景图抽象为 （）中的示意图，用犪、犫等分别表示道路指示牌依据异面直线判定定理可知，它们两两都是异面直线现在的问题是：我们是否可以定义并确定这些异面直线之间的角度呢？（）（）（）（）图 一个自然的想法是将两条异面直线转化为相交直线，然后观察它们所成的角例
39、如，在图 （）中，在平面内，把直线犫平移到直线犪上的点犘处，记为犫 这样，直线犪与犫 就在点犘处相交，它们之间可以用平面几何的方法来度量夹角的大小由于这样将直线平移的方法可以有很多，需要考虑的是：这样通过平移所形成的角的大小是唯一确定的吗？例如，在图 直线与直线的位置关系 （）中，我们也可在平面内，把直线犪平移到直线犫上的点犙处，同样得到两条相交直线犪 和犫，它们所成夹角的大小与犪、犫 所成夹角的大小相等吗？由等角定理的推论可知，这两组相交直线所成的锐角（或直角）的确是相等的事实上，我们可以有下面更为一般的结论：如图 ，设犪、犫是两条异面直线，在空间任取一点犘，过点犘分别作犪、犫的平行线犪 、
40、犫 ，那么相交直线犪 、犫 所成锐角（或直角）的大小是唯一确定的图 这样，就可以给出下面的定义定义两条异面直线平移到相交位置时所得到的锐角或直角，称为这两条异面直线所成的角由上述定义知，两条异面直线所成角的范围是 ，在弧度制下是（，特别地，如果两条异面直线犪、犫所成的角是直角，就说这两条异面直线互相垂直，记作犪犫由上述定义容易推出：如果犪犫，犫犮，那么犪犮例如图 （） ，在正方体犃犅犆犇犃犅犆犇中，（）求异面直线犃犅与犇犆所成的角的大小；（）求异面直线犃犅与犃犆所成的角的大小；（）求证：犇犇犃犅（）（）图 解（）因为犇犆犃犅，所以犃犅犃就是异面直线犃犅与犇犆所成的角或其补角因为正方形犃犅犅犃中
41、，犃犅犃过空间一点，可以作几条直线与已知直线平行？垂直呢？求两条异面直线所成角时，一般通过平移将所求角置于某个三角形中，利用三角形的边角关系来求出这个角的大小 空间直线与平面 ，所以异面直线犃犅与犇犆所成的角为 （）如图 （） ，连接犃犆由犃犃犆犆是平行四边形，知犃犆犃犆连接犅犆在犅犃犆中，因为犅犃犃犆犅犆槡 犃犅，所以犅犃犆是一个等边三角形，从而犅犃犆 因为犃犆犃犆，所以犅犃犆就是异面直线犃犅与犃犆所成的角所以，异面直线犃犅与犃犆所成的角为 （）证明：因为犇犇犃犃，且犃犃犃犅，所以犇犇犃犅练习 （）（第题）在长方体犃犅犆犇犃犅犆犇中，与棱犃犃所在直线异面且垂直的棱有几条？在如图所示的正方体犃
42、犅犆犇犃犅犆犇中，设犘、犙分别是棱犅犅、犅犆的中点请画出异面直线犅犇与犘犙所成的角习题 犃组证明公理的推论空间两条互相平行的直线指的是（）在空间没有公共点的两条直线；分别在两个平面上的两条直线；在两个不同的平面上且没有公共点的两条直线；在同一平面上且没有公共点的两条直线如图，在正方体犃犅犆犇犃犅犆犇中，犕、犖分别为犆犇、犃犇的中点求证：犕犖犃犆如图是一个正方体的平面展开图，在这个正方体中，下列说法中正确的序号是直线犃犉与直线犇犈相交；直线犆犖与直线犇犈平行；直线犅犕与直线犇犈是异面直线；直线犆犖与直线犅犕成 角 直线与直线的位置关系 （第题）（第题）（第题）如图，在正方体犃犅犆犇犃犅犆犇中，犕
43、、犖分别是棱犆犇、犆犆的中点判断下列结论是否成立，并说明理由：（）直线犃犕与犆犆是相交直线；（第题）（）直线犃犕与犅犖是平行直线；（）直线犃犕与犇犇是异面直线已知犃、犅、犆、犇是空间四个点，且直线犃犅与犆犇是两条异面直线求证：直线犃犆与犅犇也是异面直线如图，在四面体犃犅犆犇中，犃犅犆犇，犃犅犆犇，犈、犉分别为犅犆、犃犇的中点求直线犈犉和犃犅所成角的大小犅组如果两个三角形不在同一平面上，它们的边两两对应平行，那么这两个三角形（）全等；相似；相似但不全等；不相似如图，在正方体犃犅犆犇犃犅犆犇中，犈、犉、犌分别是犃犅、犅犅、犅犆的中点求证：犈犉犌犆犇犃（第题）（第题）如图，在长方体犃犅犆犇犃犅犆犇中
44、，判断下列直线的位置关系：（）直线犃犅与直线犇犆的位置关系是；（）直线犃犅与直线犅犆的位置关系是；（）直线犇犇与直线犇犆的位置关系是；（）直线犃犅与直线犅犆的位置关系是 空间直线与平面 如图，已知不在同一平面上的三条直线犪、犫、犮相交于点犗，犕、犘是直线犪上的两点，犖、犙分别是直线犫、犮上与点犗不重合的点求证：犕犖和犘犙是异面直线如图，在四面体犃犅犆犇中，犃犆，犅犇，犕、犖分别为犃犅、犆犇的中点，并且异面直线犃犆与犅犇所成的角为 求犕犖的长（第题）（第题）（第题）如图，在空间四边形犃犅犆犇中，犈、犉、犌、犎分别是边犃犅、犅犆、犆犇、犇犃的中点当对角线犃犆和犅犇满足什么条件时，犈犉犌犎分别是矩形
45、、菱形、正方形？ 直线与平面的位置关系 直线与平面的位置关系一条直线和一个平面的位置关系有且只有以下三种：直线在平面上 有无数个公共点；直线和平面相交 只有一个公共点；直线和平面平行 没有公共点直线与平面平行上面我们已按照直线与平面的公共点的个数来划分了空间直线与平面的位置关系，其中，当直线与平面没有公共点时，我们说直线与平面平行，并沿用平面几何中的平行符号来表示，如犾但是，因为直线与平面都是无限延伸的，要直接判断直线与平面是否有公共点往往是比较困难的，所以我们需要一个简便的直线与平面平行的判定定理观察房门的转动情景可以看到，房门开启后，无论门转到什么位置，房门外沿所在的直线始终都是和门框所在
46、的平面平行的这是因为房门的外沿与内沿是平行的，而在房门的转动过程中，内沿始终都在门框所在的平面上由此可以引出下面的直线与平面平行的判定定理：直线与平面平行的判定定理如果不在平面上的一条直线与这个平面上的一条直线平行，那么该直线与这个平面平行下面，用反证法来证明这个定理已知：如图 ，直线犪不在平面上，直线犫在平面上，且犪犫求证：直线犪平面证明假设直线犪不平行于平面，则直线犪与平面有公共点，设为点犘在平面上，过点犘作已知直线犫的平行线犪 因为犪不在上，所以犪 与犪不重合另一方面，因为犪犫，犪 犫，所以犪 犪，这和犪与犪 交于点犘矛盾所以原假设图 空间直线与平面 不成立，从而犪依据上述判定定理，要判
47、定不在平面上的一条直线与这个平面平行，只要在此平面上找到此直线的一条平行线即可例在长方体犃犅犆犇犃犅犆犇中，证明直线犅犇平行于平面犃犅犇证明如图 ，因为棱犅犅平行且等于棱犇犇，所以犅犅犇犇是平行四边形，从而犅犇犅犇因为直线犅犇在平面犃犅犇上，而直线犅犇不在平面犃犅犇上，由上述判定定理，得到直线犅犇平面犃犅犇例证明：空间四边形相邻两边中点的连线，必平行于经过另外两边的平面已知：如图 ，在空间四边形犃犅犆犇中，设犈、犉分别是两边犃犅、犃犇的中点求证：犈犉平面犅犆犇证明连接犅犇在犃犅犇中，中位线犈犉必平行于边犅犇因为犅犇在平面犅犆犇上，而犈犉不在平面犅犆犇上，由上述判定定理，得到犈犉平面犅犆犇练习
48、（）（第题）如图，在长方体犃犅犆犇犃犅犆犇的个面中，（）与犃犅平行的平面是；（）与犃犇平行的平面是判断下列命题的真假，并说明理由：（）若直线犪上有无数个点不在平面上，则犪；（）若直线犪与平面上的一条直线平行，则犪与平面上的任意一条直线都平行；（）若两条平行直线中的一条平行于一个平面，则另一条直线也平行于这个平面；（）设直线犪在平面上，直线犫不在平面上，并且犪犫，则犫若直线犾不平行于平面，且犾不在平面上，判断下列结论是否成立，并说明理由：（）平面上的所有直线都与犾异面；（）平面上不存在与犾平行的直线；（）平面上存在唯一的一条直线与犾平行；（）平面上的直线都与犾相交图 图 直线与平面的位置关系 如
49、果一条直线和一个平面平行，那么这个平面上是否一定可以找到与这条直线平行的直线呢？有下面的定理直线与平面平行的性质定理如果一条直线与一个平面平行，过这条直线的一个平面与此平面相交，那么其交线必与该直线平行如图 ，已知直线犪与平面平行，过直线犪的一个平面与平面相交于直线犫求证：犪犫证明由犪，故犪和没有公共点又因为犫，所以犪和犫没有公共点因为犪和犫同在平面上，且没有公共点，所以犪犫例在如图 所示的一块木料中，棱犅犆平行于平面犃 犅 犆 犇 （）要经过平面犃 犅 犆 犇 内的一点犘和棱犅犆将木料锯开，应怎样画线？（）所画的线与平面犃犅犆犇是什么位置关系？解（）因为犅犆平行于平面犃 犅 犆 犇 ，平面犅
50、犆犆 犅 经过犅犆并与平面犃 犅 犆 犇 交于犅 犆 ，由上述定理，得犅犆犅 犆 在平面犃 犅 犆 犇 上，过点犘作直线犈犉，使犈犉犅 犆 ，犈犉分别交棱犃 犅 、犆 犇 于点犈、犉连接犅犈、犆犉，则犈犉、犅犈及犆犉就是应画的线，如图 所示（）所画的线中，犅犈、犆犉显然都与平面犃犅犆犇相交又因为犈犉犅 犆 ，从而犈犉犅犆因此，由前述的判定定理，有犈犉平面犃犅犆犇练习 （）判断下列命题的真假，并说明理由：（）若两直线犪、犫互相平行，则犪平行于经过犫的任何平面；（）若直线犪与平面平行，则犪平行于内的任何直线；（）若两直线犪、犫都与平面平行，则犪犫；（）若直线犪平行于平面，直线犫在平面上，则犪犫或者
