1、上 海 教 育 出 版 社选择性必修第一册普通高中教科书S H U X U ES H U X U E上 海 教 育 出 版 社选择性必修第一册普通高中教科书 声明 按照中华人民共和国著作权法第二十五条有关规定， 我们已尽量寻找著作权人支付报酬.著作权人如有关于支付报酬事宜可及时与出版社联系.版权所有未经许可不得采用任何方式擅自复制或使用本产品任何部分违者必究如发现内容质量问题，请拨打 021-64319241如发现印、装质量问题，影响阅读，请与上海教育出版社有限公司联系. 电话021-64373213全国物价举报电话：12315主 编 李大潜 王建磐副 主 编 应坚刚 鲍建生本册编写人员 曾国
2、光 虞 涛 李 英 王 华 施洪亮 叶莎莎 许亚善责任编辑 周明旭装帧设计 陆 弦 王 捷 周 吉本册教材图片提供 图虫网（P1一幅图，P31一幅图，P39四幅图，P123一幅图）；壹图网（封面一幅图， P45三幅图，P49一幅图，P59一幅图， P61两幅图， P75一幅图， P151一幅图，封底一幅图）插图绘制 肖征波 周 吉 朱泽宇普通高中教科书 数学 选择性必修 第一册上海市中小学（幼儿园）课程改革委员会组织编写出版上海教育出版社有限公司（上海市闵行区号景路159弄C座）发行上海新华书店印刷上海中华印刷有限公司版次2021年12月第1版印次2021年12月第1次开本8901240 1/
3、16印张11字数250 千字书号978-7-5720-0186-4/G0143定价13.60 元书 书 书前言 前言数学应该是绝大多数人一生中学得最多的一门功课认真学习数学，努力学好数学，不仅可以牢固地打好数学的知识基础，掌握一种科学的语言，为走进科学的大门提供有力的工具和坚实的后盾；更重要地，通过认真而严格的数学学习和训练，可以领会到数学的思想方法和精神实质，造就一些特有而重要的素质和能力，形成自己的数学素养，让人变得更加聪明，更有智慧，更有竞争力，终身受用不尽从这个意义上，可以毫不夸张地说，数学教育看起来似乎只是一种知识教育，但本质上是一种素质教育，其意义是十分深远的中学阶段的数学学习，应
4、该为学生今后的成长和发展奠定坚实的基础，编写教材也要力求遵循这一根本宗旨那种以种种名义，将一些“高级”或“时髦”的东西，不顾实际情况地下放进中学的教材，和数学的基础训练“抢跑道”的做法，是不可取的同时，数学学科是一个有机联系的整体，一定要避免知识的碎片化，从根本上改变单纯根据“知识点”来安排教学的做法人为地将知识链条打断，或将一些关键内容以“减负”的名义删去，只会造成学生思维的混乱，影响学生对有关知识的认识与理解，实际上反而会加重学生学习的负担，是不值得效法的在任何情况下，都要基于课程标准，贯彻“少而精” “简而明”的原则，精心选择与组织教材内容，抓住本质，返璞归真，尽可能给学生以明快、清新的
5、感受，使学生能更深入地领会数学的真谛，让数学成为广大学生喜闻乐见的一门课程怎么才算“学好了数学”呢？对这个问题是需要一个正确的认识的作为一门重思考与理解的学科，数学学习要强调理解深入、运作熟练和表达明晰这三个方面这儿所说的“运作”泛指运算、推理及解题等环节三者的关键是深入的理解，只有不仅知其然、而且知其所以然，才能掌握数学的精髓，更好地实现另外两方面的要求如果只满足于会解题，甚至以“刷题”多与快为荣，但不求甚解，就难以和数学真正结缘，是不值得鼓励与提倡的表达能力的培养也要引起足够的重视要使表述简明清晰并不是一件容易的事，别前言 人三言两语就说清楚了的，自己却颠三倒四、不得要领，能够说真正弄懂了
6、数学吗？ ！为了帮助学生学好数学，也为了帮助教师教好数学，本教材秉承上述理念，在编写上做了认真的探索与实践，希望能成为广大师生的良师益友，更好地发挥引路和示范的作用书中各章的章首语，虽只有不到一页的篇幅，但却是该章入门的一个宏观向导，务请认真注意各章末的内容提要，简明扼要地列出了该章的核心内容，希望对复习能起到较好的帮助各章的主体内容，包括正文、练习及复习题以及边注，更是字斟句酌、精心编写的希望广大同学养成认真阅读及钻研教材的习惯，这样就一定会发现，学习中所碰到的种种问题，原则上都可以从教材中找到答案，大家的学习方法和自学能力也一定会得到极大的提升，从而牢牢掌握住学习数学的主动权本套教材涵盖普
7、通高中数学课程标准（ 年版 年修订） 所规定的必修课程和选择性必修课程的内容，共分七册，包括必修四册、选择性必修三册，其中必修第四册和选择性必修第三册是数学建模的内容必修前三册和选择性必修前两册共同构建了高中数学的知识体系和逻辑结构；数学建模内容与数学知识的逻辑结构没有直接的关系，不依附于特定知识性内容的教学，而在于强调数学知识在解决实际问题中的应用，强调它的活动性、探索性和综合性因此，两册数学建模教材不是前三册或前两册教材的后继，而且都包含比教学课时数要求更多的内容，供各个年段灵活地、有选择地使用，以实现数学建模的教学目标 年月书 书 书目录 第章平面直角坐标系中的直线 直线的倾斜角与斜率
8、直线的方程 两条直线的位置关系 点到直线的距离 内容提要 复习题 第章圆锥曲线 圆 椭圆 双曲线 抛物线 曲线与方程 内容提要 复习题 第章空间向量及其应用 空间向量及其运算 目录 空间向量基本定理 空间向量的坐标表示 空间向量在立体几何中的应用 内容提要 复习题 第章数列 等差数列 等比数列 数列 数学归纳法 用迭代序列求 的近似值 内容提要 复习题 书 书 书第章平面直角坐标系中的直线在本册教材的这一章和下一章中，我们将学习解析几何的初步知识与方法解析几何的研究思路是通过引进坐标系，建立“点”与“数”之间的一一对应，从而用代数的观点与方法解决几何问题几何中，与直线相关的问题主要包括：点与直
9、线、直线与直线之间的位置关系，以及由直线组成的平面图形的性质与度量虽然其中的许多问题我们并不陌生，用以往学过的平面几何的方法也能解决，但本章所采取的是一种新的思路和方法，它具有一般性和普适性通过学习，可以帮助我们理解解析几何的一些基本特点平面直角坐标系中的直线 直线的倾斜角与斜率设平面直角坐标系中有一条直线犾，我们如何确定该直线在坐标系中的位置并把它描述出来呢？在平面直角坐标系中，已经有了两条互相垂直的直线，即两条坐标轴，我们只要能确定直线犾与其中一条坐标轴的相对位置，就能描述出该直线在坐标系中的位置不妨先设直线犾与狓轴相交于点犃，如图所示将狓轴绕点犃沿逆时针方向旋转到与犾重合时所转过的最小正
10、角叫做直线犾的倾斜角（ ）显然，当直线犾与狓轴平行或重合时，规定倾斜角为，这样，直线犾的倾斜角的取值范围就可扩大为，即，）特别地，当倾斜角时，直线犾与狓轴垂直如果知道了直线犾的倾斜角以及它经过的一个确定的点，那么就准确地给出了直线犾在坐标系中的位置由于倾斜角难以直接用坐标表示出来，而倾斜角的三角函数与坐标的关系更为密切为此，我们引进一个新的概念：当直线犾的倾斜角时，定义 为直线犾的斜率（ ） ，常用字母犽表示，即犽 ；当，即犾与狓轴垂直时，我们说直线犾的斜率不存在我们来看如何用坐标表示一条直线的斜率设直线犾经过不同的两点犃（狓，狔） 、犅（狓，狔）当狓狓时，直线犾与狓轴垂直（图） ，此时，直线
11、犾的倾斜角，斜率不存在图图图图 直线的倾斜角与斜率 当狓狓时，不妨设狓狓，有以下种情况：（）若狔狔，则犾的倾斜角为锐角如图，作直角三角形犃犅犆，可得犽狔狔狓狓（）若狔狔，则直线犾与狓轴平行或重合，所以犾的倾斜角，斜率也等于，这就是（）结果中令狔狔所得的值（）若狔狔，则直线犾的倾斜角为钝角如图，同样作直角三角形犃犅犆，则犃犅犆在直角三角形犃犅犆中，因为 犃犅犆犆犃犆犅狔狔狓狓，所以 （）狔狔狓狓，由此得 狔狔狓狓，即犽狔狔狓狓，这与（）中的结果相同综上所述，可以得到：在平面直角坐标系中，经过不同的两点犃（狓，狔） 、犅（狓，狔） （狓狓）的直线犾的斜率为犽狔狔狓狓例已知直线犾经过点犃（，） 、犅
12、（，） ，求它的斜率与倾斜角解设直线犾的斜率为犽，倾斜角为，则犽 （）（），从而 例求一次函数狔犽 狓犫（犽）所表示直线的斜率解设一次函数狔犽 狓犫（犽）的图像是直线犾在函数表达式中，狓的值分别取狓及狓，得狔犫及狔犽犫所以，犃（，犫）与犅（，犽犫）是直线犾上的两点依据斜率公式，得直线犾的斜率为狔狔狓狓（犽犫）犫犽例已知三点犃（，） 、犅（，） 、犆（狓，狔）共线，求点犆的坐标狓与狔所满足的关系式解因为犃、犅两点的横坐标不同，所以直线犃犅的斜率是犽（）一次函数狔犽 狓犫（犽）的一次项系数犽就是其对应直线的斜率平面直角坐标系中的直线 又由题设知，点犆在直线犃犅上，即犃犅与犃犆是同一条直线当点犆与点
13、犃不重合时，用犃、犆两点的坐标表示斜率得犽狔狓（）狔狓，此时狓与狔要满足的关系式是狔狓，变形得狔（狓）当点犆与点犃重合时，点犆的坐标也满足上式所以，狓与狔满足的关系式是狔（狓）练习 求经过下列两点的直线的斜率和倾斜角：（）犘（，） 、犙（，） ；（）犘（，槡 ） 、犙（，槡 ）在平面直角坐标系中有一个边长为的正方形犗犃犅犆，其中犗为坐标原点，点犃、犆分别在狓轴和狔轴上，点犅在第一象限求直线犗犅和犃犆的斜率证明：在平面直角坐标系中，如果两条直线平行，那么它们的倾斜角相等习题 犃组（第题）如图，在平面直角坐标系中，直线犾与犾垂直，垂足为犃，犾、犾与狓轴的交点分别为犅、犆，犃犅犆试分别求直线犾、犾的
14、倾斜角和斜率求经过下列两点的直线的斜率与倾斜角：（）犘（，） 、犙（，） ；（）犕（，） 、犖（犪，） ，其中实数犪是常数根据下列直线犾的倾斜角的取值范围，计算斜率犽的取值范围： 直线的倾斜角与斜率 （），；（第题）（）（， ）已知三个不同的点犃（，犪） 、犅（犪，犪） 、犆（，犪）在同一条直线上，求实数犪的值及该直线的斜率如图，已知点犃（，） 、犅（，） 、犆（，） ，过点犅的直线犾与线段犃犆相交求直线犾的斜率犽的取值范围犅组已知常数，） ，试用表示经过犘（，） 、犙（ ， ）两点的直线犾的倾斜角设直线犾、犾的倾斜角分别为、，求证：犾犾的充要条件是已知直线犾在平面直角坐标系中的斜率是犽，向量
15、珗犪在直线犾上求向量珗犪在狓轴上的投影向量平面直角坐标系中的直线 直线的方程几种特殊形式的直线方程本章 节的例中我们证明了与点犃（，） 、犅（，）共线的点犆（狓，狔）的坐标一定满足关系式狔（狓）反过来，也容易验证：如果点犆（狓，狔）的坐标满足关系式狔（狓） ，那么点犆（狓，狔）一定与点犃（，） 、犅（，）共线这就是说，经过点犃（，） 、犅（，）的直线犃犅上的点正好是以方程狔（狓）的解作为坐标的点在这种情况下，我们说“直线犃犅的方程是狔（狓） ” ，或者说“方程狔（狓）表示了直线犃犅”可见，直线犃犅的方程是一个关于狓与狔的二元一次方程本节中我们将看到，任何直线的方程都是关于狓与狔的二元一次方程，
16、反过来，任何关于狓与狔的二元一次方程都表示一条直线而且，这个方程实质上是唯一的，即同一直线的不同方程通过简单变形可以互化然而，不同形式的直线方程关注直线的不同几何要素，在解决具体问题时也会有各自不同的作用（）直线的点斜式方程现在我们讨论，在平面直角坐标系中，当直线的斜率存在时，如何通过直线上的一个点犕和直线的斜率犽来求直线的方程如图，在平面直角坐标系中，设犘（狓，狔）是过点犕（狓，狔） 、斜率为犽的直线犾上的任意一点当点犘（狓，狔）与点犕不重合时，由犽狔狔狓狓，可得狔狔犽（狓狓）图 直线的方程 当点犘（狓，狔）与点犕重合时，点犘的坐标就是（狓，狔） ，同样满足方程这样，直线犾上任意一点的坐标（
17、狓，狔）都满足方程反之，可以证明以方程的解为坐标的点一定在这条直线犾上：若点犙的坐标（狓 ，狔 ）满足方程，即狔 狔犽（狓 狓）成立当狓 狓时，直线犕犙经过点犕且斜率犽犕犙狔 狔狓 狓犽，于是直线犕犙与犾重合，从而点犙在犾上；当狓 狓时，有狔 狔，点犙与点犕重合，点犙也在犾上这就证明了方程是经过定点犕（狓，狔）且斜率为犽的直线的方程这种形式的直线方程叫做直线的点斜式方程在点斜式方程中，如果把定点选成直线与狔轴的交点（，犫） ，那么方程改写为狔犽 狓犫其中，数值犫称为该直线在狔轴上的截距（图）当然，直线在狔轴上的截距本质上是确定了直线上的一点（，犫） ，所以给定直线的斜率和在狔轴的截距，就唯一地
18、确定了这条直线方程称为直线的斜截式方程当犽时，它表示狔是狓的一次函数，这个函数图像也就是我们所讨论的直线当犽时，该直线与狓轴平行或重合，其方程为狔犫我们也可以定义直线在狓轴上的截距，它就是直线与狓轴交点（犪，）的横坐标犪（图）如果直线与狔轴平行或重合，它的斜率与在狔轴上的截距都不存在，但此时直线与狓轴垂直，设垂足为（犪，） ，那么该直线在狓轴上的截距为犪，且直线上所有点的横坐标都是犪，从而直线的方程是狓犪例求倾斜角是 且在狓轴上的截距是的直线犾的点斜式方程解因为犾在狓轴上的截距是，所以犾经过点犃（，）因为犾的斜率犽 槡 ，所以犾的点斜式方程是狔槡 （狓）例已知直线犾在狓轴、狔轴上的截距分别为、
19、，求直线犾的方程，并判断点犃（，）是否在直线犾上本章 节中例得到的方程就是一个点斜式方程图平面直角坐标系中的直线 解因为犾在狔轴上的截距是且斜率犽存在，所以可设犾的方程为狔犽 狓又因为犾经过点（，） ，所以犽，解得犽所以，犾的方程为狔狓因为，所以点犃（，）不在直线犾上练习 （）求经过点犘（，）且斜率为的直线犾的点斜式方程求倾斜角是 且在狓轴上的截距为的直线犾的点斜式方程求经过点犃（，）且垂直于狓轴的直线犾的方程已知直线犾经过点犕（，）且在狓轴、狔轴上截距相等，求犾的方程（）直线的两点式方程两点确定一条直线，因此，只要给定平面上两个点的坐标，就可以写出过这两点的直线的方程如果两点的横坐标或纵坐标
20、相同，那么这条直线与某条坐标轴平行或重合，这种情况前面已经讨论过了现在考虑经过两点犕（狓，狔） 、犖（狓，狔） ，并且不与任一坐标轴平行或重合的直线犾，可知狓狓，且狔狔，直线犾的斜率是犽狔狔狓狓，于是该直线的点斜式方程为狔狔狔狔狓狓（狓狓） ，整理成关于两个坐标对称的形式，得狔狔狔狔狓狓狓狓方程称为直线的两点式方程例已知直线犾经过点犃（，） 、犅（，） ，求犾的方程解直接把点犃、犅的坐标代入直线的两点式方程，得狔狓，化简，犾的方程可写为狔狓例如图，犃犅犆三个顶点的坐标分别为犃（，） 、犅（，） 、犆（，）分别求边犃犆所在直线的方这就是本章 节中例的解题过程直线的两点式方程也可以写成（狓狓） （
21、狔狔）（狔狔） （狓狓）它对直线平行或重合于坐标轴的情形也适用图 直线的方程 程与边犃犅上的中线犆犇所在直线的方程解因为点犃与点犆的横坐标相等，所以犃犆所在直线与狓轴垂直，从而边犃犆所在直线的方程为狓设点犇的坐标为（狓，狔） ，则狓，狔烅烄烆所以，点犇的坐标为（，）又因为点犆的坐标为（，） ，所以犆犇所在直线的两点式方程是狔狓，化简，得狔狓所以，犃犅犆中边犃犅上的中线犆犇所在直线的方程为狔狓例已知直线犾与狓轴、狔轴分别交于犃、犅两个不同的点且犗犃犗犅，其中犗是坐标原点；又点犆（，）在直线犾上求直线犾的方程解设犃、犅两点的坐标分别为（犪，） 、（，犫）因为犗犃犗犅，所以犫犪且犪当犫犪时，直线犾的
22、方程为狔犪狓犪犪，即狔（狓犪）因为点犆（，）在直线犾上，所以（犪） ，得犪所以，直线犾的方程为狔狓同理，当犫犪时，可得直线犾的方程为狔狓所以，直线犾的方程为狔狓或狔狓练习 （）求经过点犃（，） 、犅（，）的直线犾的两点式方程已知三个不同的点犃（，） 、犅（犪，） 、犆（犪，犪）都在一条直线犾上，求实数犪的值和直线犾的方程在平面直角坐标系中，犗是坐标原点已知犃、犅两点的坐标分别为（，） 、（，） ，分别求犃犅犗的三条边上的中线所在直线的方程平面直角坐标系中的直线 直线的一般式方程由前面的讨论可以看到，不管哪种形式的直线方程都是关于狓、狔的二元一次方程，因此都可以化为如下二元一次方程的一般形式犪
23、狓犫 狔犮（犪、犫不同时为零）反过来，二元一次方程是否都表示一条直线呢？若犫，方程化为狔犪犫狓犮犫，它表示斜率为犪犫，在狔轴上的截距为犮犫的直线；若犫，则犪，方程化为狓犮犪，它表示过点（犮犪，）且与狓轴垂直的直线可见，只要犪、犫不同时为零，方程都表示平面直角坐标系中的一条直线我们把方程称为直线的一般式方程例在平面直角坐标系中，根据所给直线方程，作出相应图形，并求出该直线的斜率和在狔轴上的截距：（）犾：狔；（）犾：狓狔解（）因为犾：狔，所以该直线过点犅（，）且平行于狓轴（图）所以，犾的斜率为且在狔轴上的截距是（）在方程狓狔中，令狔，得狓；令狓，得狔这就得到直线犾上两个不同的点犃（，） 、犅（，）
24、，连接犃、犅两点的直线即为直线犾（图）因为方程狓狔可化为狔狓，所以直线犾的斜率是，在狔轴上的截距是例已知直线犾的方程为犪 狓狔犪（犪犚） ，求证：无论犪取何值时，直线犾都经过一个定点，并写出该定点的坐标图 直线的方程 解由犪 狓狔犪，变形得狔犪（狓）这是直线犾的点斜式方程，犪是犾的斜率，点（，）是犾经过的定点所以，无论犪取何值时，直线犾都经过一个定点，该定点的坐标为（，）例如图，直线犾：（犿）狓犿狔犿经过平面直角坐标系的第一、第二与第四象限求实数犿的取值范围解当犿时，直线犾的方程为狓，它只经过第二、第三象限，不符题意，所以犿于是，直线犾的方程可化为狔犿犿狓犿犿因为直线犾经过第一、第二与第四象限
25、，所以其斜率小于，且在狔轴上的截距大于，则犿犿，犿犿，烅烄烆解得犿或犿所以，实数犿的取值范围是（，）（，）练习 （）求下列方程所表示直线的斜率与倾斜角：（）狓；（）狓狔；（）狓狔；（）狔求证：无论实数犿取何值，直线犾：狓（犿）狔都经过一个定点已知直线犾：犽 狓狔犽经过平面直角坐标系的第二、第三与第四象限，求实数犽的取值范围例已知点犃（狓，狔）与犅（狓，狔）是直线犾：犪 狓犫 狔犮（犪、犫不同时为零）上任意两点，且向量珗狀（犪，犫）求证：向量珗狀与犃犅 垂直证明因为点犃（狓，狔）与犅（狓，狔）在直线犾上，所以犪 狓犫 狔犮且犪 狓犫 狔犮两式相减，得犪（狓狓）犫（狔狔），即珗狀犃犅 ，所以向量珗
26、狀与犃犅 垂直例中的向量珗狀（犪，犫）与直线犾上的任意一个向量都垂直一般地，与直线上任意一个向量都垂直的非零向量叫做该直线的法向量（ ）于是，例可以总结为如下结论：图平面直角坐标系中的直线 以直线犾的一般式方程犪 狓犫 狔犮（犪、犫不同时为零）的一次项系数为坐标的向量珗狀（犪，犫）是犾的一个法向量如果知道了直线犾上的一个点犕（狓，狔）和犾的一个法向量珗狀（犪，犫） ，那么平面上一点犘（狓，狔）在直线犾上的充要条件是珗狀犕犘 ，或用向量数量积写成珗狀犕犘 因为向量犕犘 （狓狓，狔狔） ，所以平面上一点犘（狓，狔）在直线犾上的充要条件变成了犪（狓狓）犫（狔狔）这又给出了直线犾的一个方程，这个方程称
27、为直线的点法式方程，它是一个几何意义明确、没有任何附加限制条件的直线方程只要令犮犪 狓犫 狔，直线的点法式方程就化归为一般式方程了例 已知犃犅犆的三个顶点的坐标分别是犃（，） 、犅（，）与犆（，） ，求边犅犆上的高犃犇所在直线的方程解因为犃犇犅犆，所以向量犅犆 （，）是犃犇所在直线的一个法向量；又因为直线犃犇经过点犃（，） ，所以犃犇所在直线的点法式方程是（狓）（狔）化简，得犃犅犆的高犃犇所在直线的方程为狓狔 例 已知直线犾经过点犘（，） ，且珗狀（犿，犿）是它的一个法向量若犾与坐标轴围成的三角形的面积是，求实数犿的值解根据条件写出直线犾的点法式方程犿（狓）（犿） （狔）化简为犿狓（犿）狔犿如
28、果犿或犿，直线犾与狓轴或狔轴平行，这样的直线无法与坐标轴围成三角形，所以犿且犿在上述方程中分别令狔与狓等于零，求得直线犾在狓轴与狔轴上的截距分别是犿犿与犿犿所以，犾与坐标轴围成的三角形的面积为犿犿犿犿，解得犿槡 或犿槡 如果珗狀（犪，犫）是直线犾的一个法向量，那么，只要犽是非零实数，犽珗狀（犽 犪，犽 犫）也是犾的法向量 直线的方程 练习 （）写出下列直线的一个法向量：（）狓狔；（）狓狔；（）狓；（）狔狓已知直线犾的方程是（犪）狓（犪）狔，它的一个法向量是珗狀（，）求实数犪的值根据下列条件，求直线犾的方程：（）犾在狓轴上的截距为，且犾的一个法向量是珗狀（，） ；（）犾经过点（，） ，且犾上的任
29、何向量都与向量珗犪（，）平行习题 犃组已知直线犾经过点犘（，） ，倾斜角为且 求直线犾的点斜式方程已知直线犾在狔轴上的截距为，倾斜角为且 求直线犾的斜截式方程求下列直线的斜率与在狓、狔两坐标轴上的截距：（）犾：狔槡 （狓） ；（）犾：狔狓槡 已知直线犾：狔犽 狓经过点（，）（）求犾的倾斜角的大小；（）求犾在狓轴上的截距直线犾经过点犘（，） ，在狓轴、狔轴上的截距分别为犪、犫已知犪犫，求直线犾的方程根据给定条件，求下列直线的两点式方程：（）直线犾经过点犃（，） 、犅（，） ；（）直线犾与坐标轴的交点分别为（，） 、（，）已知犃犅犆的三个顶点的坐标分别为犃（，） 、犅（，） 、犆（，）（）求边犅犆
30、所在直线的方程；（）求边犅犆上的中线所在直线的方程设直线犾在狓轴与狔轴上的截距分别是犪与犫，且犪与犫均不为零求证：直线犾平面直角坐标系中的直线 的方程可以写成狓犪狔犫一个弹簧在弹性限度内挂 的物体时弹簧长度为 ，挂 物体时弹簧长度为 已知在弹性限度内所挂物体的质量狓（单位： ）与弹簧长度狔（单位：）的关系可以用直线的方程表示，求该直线的方程，并求弹簧自身的长度 在平面直角坐标系中，作出下列直线，并求它们的斜率与倾斜角（）犾：狓狔；（）犾：狓狔 设直线犾的方程是犪 狓犫 狔犮，在下列条件下，求实数犪、犫、犮满足的条件：（）犾与狓轴、狔轴均相交；（）犾经过第二、第三、第四象限 已知直线犾：犪 狓（
31、犪）狔，根据下列条件，求实数犪的值：（）犾经过点（，） ；（）犾在两个坐标轴上的截距相等 已知犃（，） 、犅（，）两点，求线段犃犅的垂直平分线的点法式方程 已知直线犾：犽 狓（犽）狔，直线犾：犽 狓（犽）狔若这两条直线的法向量互相垂直，求犽的值犅组已知平行四边形犃犅犆犇中，三个顶点的坐标分别为犃（，） 、犅（，） 、犆（，）分别求边犃犇、犆犇所在直线的方程已知直线犾经过点犘（，） ，与狓轴、狔轴分别交于犃、犅两点若犘犃 犘犅 ，求直线犾的方程直线犾：狔犽 狓犫（犽、犫犚）与线段犃犅相交，其中点犃为（，） ，点犅为（，）（）当犫时，求犽的取值范围；（）当犽时，求犫的取值范围已知犃犅犆中，两个顶点
32、的坐标分别为犃（，） 、犅（，） ，点犌（，）是此三角形的重心求边犅犆、犃犆所在直线的方程（第题）若狓狔，狓狔，且狓狓求经过两点犃（狓，狔） 、犅（狓，狔）的直线犾的方程如图是一个形的霓虹灯（灯管宽度忽略不计） ，每边长都是，每相邻两边相交所成的锐角都是 试建立适当的平面直角坐标系，写出此霓虹灯的每条边所在直线在这个坐标系中的方程证明：直线狓（ ）狔 （犚且不是的整数倍）和两坐标轴围成图形的面积是定值已知直线犾：（犪）狓（犪）狔犪（）若直线的斜率犽， ，求实数犪的取值范围；（）求证：对任意实数犪，直线犾都经过一个定点 直线的方程 已知向量珗狀（，）是直线犾的一个法向量，在下列条件下求直线犾的方
33、程：（）在狓轴、狔轴上的截距之和为；（）与狓轴、狔轴围成的三角形面积为 已知珗狀（犪，犫） （其中犪 犫）是直线犾的一个法向量，试用犪、犫表示直线犾的倾斜角 我们把与直线上任意两点构成的向量均平行的非零向量称为该直线的方向向量求经过点犘（狓，狔）且以珝犱（狌，狏）为方向向量的直线的方程平面直角坐标系中的直线 两条直线的位置关系两条直线的相交、平行与重合在平面几何中，可依据公共点的个数判定两条直线的三种位置关系：如果两条直线无公共点，那么这两条直线平行；如果两条直线有且只有一个公共点，那么这两条直线相交；如果两条直线至少有两个不同的公共点，那么这两条直线重合为一条直线，即有无穷多个公共点但用平面
34、几何方法来判断两条直线是否有公共点、有多少个公共点，有时候并不是一件容易的事在解析几何中，我们可以将上述几何问题转化为代数问题来解决，一般性的方法如下：在平面直角坐标系中，已知两条直线：犾：犪狓犫狔犮（犪、犫不同时为零） ，犾：犪狓犫狔犮（犪、犫不同时为零）如果这两条直线有公共点犕（狓，狔） ，那么点犕（狓，狔）的坐标要同时满足这两条直线的方程，即狓狓，狔狔烅烄烆是方程组犪狓犫狔犮，犪狓犫狔犮烅烄烆的解；反过来，以方程组的解为坐标的点也必是犾与犾的公共点这样，我们可以通过讨论方程组的解的情况来判断两条直线的位置关系方程组的解可分种情况讨论：（）若存在犚，使得犪 犪，犫 犫且犮 犮，则方程组的两
35、个方程表示的是同一条直线，也就是说，直线犾与犾重合（此时方程组有无数组解） ；（）若存在犚，使得犪 犪，犫 犫但犮 犮，把第二个方程两边同乘后减去第一个方程，得到 犮犮，这个等式不可能成立，则方程组无解，即直线犾与犾无公共点，从而犾犾；（）若不存在犚，使得犪 犪，犫 犫，这个条件等 两条直线的位置关系 价于犪犫犪犫，此时可以求得方程组的唯一解狓犮犫犮犫犪犫犪犫，狔犮犪犮犪犪犫犪犫，烅烄烆说明直线犾与犾有唯一的公共点，即犾与犾相交总结一下：给定两条直线犾：犪狓犫狔犮（犪、犫不同时为零） ，犾：犪狓犫狔犮（犪、犫不同时为零） ，那么：犾与犾重合存在犚，使得犪 犪，犫 犫，且犮 犮；犾犾存在犚，使得
36、犪 犪，犫 犫，但犮 犮；犾与犾相交犪犫犪犫如果犾的方程中三个系数犪、犫与犮均不为零，那么上述的充要条件可以写成更易于记忆的形式：犾与犾重合犪犪犫犫犮犮；犾犾犪犪犫犫犮犮；犾与犾相交犪犪犫犫还有其他一些量可以简单地刻画两条直线相交与否：因为珬狀（犪，犫）与珬狀（犪，犫）分别是犾与犾的法向量，所以上述第三个充要条件表明，犾与犾相交的充要条件是它们的法向量不平行，从而犾与犾平行或重合的充要条件是它们的法向量平行（这个结论也可以从另外两个充要条件得出）如果犫与犫均不为零，那么容易求出犾与犾的斜率分别是犽犪犫与犽犪犫，上述第三个充要条件又可以表明，犾与犾相交的充要条件是它们的斜率不相等，从而犾与犾平行
37、或重合的充要条件是它们的斜率相等（这也可以从另外两个充要条件得出）用法向量或斜率表述的充要条件从几何上看也很直观平面直角坐标系中的直线 例判断下列两条直线的位置关系若相交，求交点坐标（）犾： 狓狔，犾：狓狔；（）犾：狔狓，犾：狔狓解（）因为 ，所以犾犾（）因为犾与犾的斜率分别为犽，犽，则犽犽，所以两条直线相交解方程组狔狓，狔狓，烅烄烆得狓，狔烅烄烆所以，两条直线的交点坐标为（，）例已知直线犾：犿狓狔，犾：狓（犿）狔，求实数犿的取值范围，使得：（）犾与犾相交；（）犾犾；（）犾与犾重合解因为犾与犾相交的充要条件是犿（犿） （） ，所以先解方程犿（犿） （） ，得犿或犿于是有：（）当犿且犿时，犾与犾
38、相交（）当犿时，因为犿（犿），所以犾犾（）当犿时，因为犿（犿），所以犾与犾重合练习 （）判断下列两条直线的位置关系若相交，求交点坐标（）犾：狓狔，犾：狓；（）犾：狓狔，犾：狔狓已知直线犾：（犪）狓狔犪，犾：狓（犪）狔若犾犾，求实数犪的值求经过直线犾：狓狔与犾：狓狔的交点，且与直线犾：狓狔平行的直线犾的方程 两条直线的位置关系 两条直线垂直的判定与夹角的求法我们已经知道，平面上两条相交直线交得的锐角或直角叫做这两条直线的夹角当两条直线的夹角为直角时，称这两条直线垂直在平面直角坐标系中，给定两条相交的直线犾：犪狓犫狔犮（犪、犫不同时为零） ，犾：犪狓犫狔犮（犪、犫不同时为零）如何根据方程判定两条直
39、线是否垂直呢？我们知道，珬狀（犪，犫）与珬狀（犪，犫）分别是直线犾与犾的法向量由于直线与其法向量所在直线垂直（图） ，因此犾犾珬狀珬狀，再由必修课程 节的向量垂直的充要条件珬狀珬狀犪犪犫犫，我们得到犾犾犪犪犫犫特别地，当犫犫时，直线犾与犾的斜率都存在，分别为犽犪犫与犽犪犫，条件犪犪犫犫可以改写为犪犫犪犫，即犽犽于是犾犾犽犽例已知直线犾：狓犿狔与犾：（犿）狓犿狔犿互相垂直，求实数犿的值解由两条直线互相垂直的充要条件，得（犿）犿，解得犿或犿例求经过点（，）且与直线犾：狔狓垂直的直线犾 的方程解因为犾的斜率犽，且犾犾 ，所以犾 的斜率犽 图平面直角坐标系中的直线 因为犾 经过点（，） ，所以犾 的点
40、斜式方程是狔（狓） ，化简为狓狔例已知直角三角形犃犅犆的斜边犅犆在狓轴上，且长度为，直角顶点犃的坐标是（，）求直角边犃犅所在直线的方程解根据条件可知，直角边犃犅斜率存在且不为零不妨设此斜率为犽，则犃犆所在直线的斜率为犽所以犃犅与犃犆所在的直线方程分别为狔犽（狓）与狔犽（狓）令狔，得点犅与点犆的横坐标分别为犽与犽由犅犆，得犽犽，解得犽或犽所以，直角边犃犅所在直线的方程为狔狓或狔狓练习 （）已知直线犾：（犪）狓犪 狔与犾：（犪）狓（犪）狔互相垂直，求实数犪的值求过点（，）且分别与下列直线垂直的直线方程：（）狔；（）狔狓；（）狓狔；（）狓 狔 ，为给定的实数如果犾：犪狓犫狔犮与犾：犪狓犫狔犮是给定的
41、两条相交直线，我们该如何求出它们的夹角呢？根据必修课程 节的向量夹角的余弦公式，我们立即可以得到犾与犾的法向量珬狀（犪，犫）与珬狀（犪，犫）的夹角的余弦 犪犪犫犫犪犫槡犪犫槡因此，只要理清角与角的关系，就能得出角的余弦公式如图，设两条直线（实线所示）的夹角为，不妨从夹 两条直线的位置关系 角内部的一点分别作两条直线的一个法向量，法向量夹角为两个法向量所在直线（虚线所示）和原来的两条直线围成了一个四边形，其中一组对角均是直角，另外一组对角是与或者与由此可见或者（），推出或者这样， 因为， ，所以 （）（）图把这个一般的讨论用于直线犾与犾的情况，则犾：犪狓犫狔犮与犾：犪狓犫狔犮的夹角的余弦公式为
42、犪犪犫犫犪犫槡犪犫槡例求直线犾：狓狔与犾：狔狓的夹角的大小解直线犾的一般式方程可写成狓狔，因此直线犾与直线犾的夹角的余弦值为 槡 槡 槡 ，于是 槡 例已知直线犾 经过点犘（，） ，与直线犾：狓狔夹角为 槡 求直线犾 的方程解设直线犾 的一个法向量为（犪，犫） ，其中犪、犫不同时为零，则犾 的点法式方程为犪（狓）犫（狔）根据夹角的余弦公式，得平面直角坐标系中的直线 犪犫犪犫槡槡槡 ，化简为犫犪 犫所以犫或犫犪，此时犪把犫或犫犪代入直线犾 的方程，得狓或（狓）（狔）所以直线犾 的方程有两个，一个是狓，另一个是狓狔练习 （）根据下列方程，求直线犾与犾的夹角的大小：（）犾：狓狔与犾：狓狔；（）犾：狔
43、狓与犾：狔狓已知直线犾：槡 狓狔与直线犾：狔犽 狓的夹角为，求实数犽的值求经过点犃（，）且与直线犾：狓狔的夹角为的直线犾 的方程习题 犃组根据下列方程，判定直线犾与犾的位置关系：（）犾：狓狔，犾：狓狔；（）犾：狔狓，犾：狓狔；（）犾：（槡 ）狓狔，犾：狓（槡 ）狔已知直线犾：狓（狋）狔，直线犾：（狋）狓（狋）狔 根据下列条件，求实数狋的取值范围：（）犾与犾相交；（）犾犾；（）犾与犾重合已知两条直线犾：（狋）狓狔狋和犾：狓狋 狔狋，且犾犾求实数狋的值 两条直线的位置关系 已知平行四边形犃犅犆犇中，一组对边犃犅、犆犇所在直线的方程分别为犪 狓狔犪，狓犪 狔犪求实数犪的值已知四边形犃犅犆犇的四个顶点
44、的坐标分别为犃（，） 、犅（，） 、犆（，） 、犇（，） ，求证：四边形犃犅犆犇是梯形已知直线犾：（犽）狓（犽）狔与直线犾：（犽）狓狔（犽）互相垂直，求实数犽的值已知直线犾垂直于直线犾 ：狓狔，根据下列条件求犾的方程：（）犾经过点（，） ；（）犾与坐标轴围成的三角形的面积是已知等腰直角三角形犃犅犆的斜边犃犅所在直线的方程为狓狔，直角顶点为犆（，）求两条直角边所在直线的方程根据下列方程，求直线犾与犾的夹角的大小：（）犾：狓狔，犾：狓狔；（）犾：狓狔，犾：狓狔；（）犾：狓狔，犾：狓 若直线狓犿狔与直线狓狔的夹角为，求实数犿的值 已知等腰直角三角形犃犅犆的直角边犅犆所在直线的方程为狓狔，顶点犃的坐标
45、为（，）分别求直角边犃犆、斜边犃犅所在直线的方程犅组给定直线犾：狔犪 狓犫，直线犾：狔犫 狓犪已知直线犾的倾斜角为 ，且它与直线犾的交点落在直线犾：狓狔上求实数犫的值求证：不论实数取何值，直线犾：狓狔（狓狔）经过同一个点，并求所有这些直线的公共点已知集合犃 （狓，狔） 狓（犪）狔 ，犅 （狓，狔）犪 狓狔 ，且犃犅求实数犪的值分别求经过直线犾：狓狔和犾：狓狔的交点，且与直线狓狔垂直、平行的直线的方程已知犃犅犆的一个顶点为犃（，） ，有两条高所在直线的方程分别是狓狔与狓狔求犃犅犆三条边所在直线的方程求直线犾：狓狔与直线犾：狓狔夹角平分线的方程一束光线经过点（，） ，由直线犾：狔狓反射后，经过点（
46、，）射出求反射光线所在直线的方程平面直角坐标系中的直线 点到直线的距离我们首先讨论直线犾：犪 狓犫 狔犮（犪、犫不同时为零）外一点犘（狓，狔）到这条直线的距离根据点到直线距离的定义，如图，过点犘作直线犾的垂线，设垂足是犙（狓犙，狔犙） ，则线段犘犙的长度就是点犘到直线犾的距离犱因此，只要求出犘犙所在直线的方程，然后与犾的方程联立得到一个二元一次方程组，解这个方程组就可以得到点犙的坐标，进而利用两点间的距离公式求出犘犙的长度这种方法的思路很清晰，但运算量比较大为了简便计算，我们介绍另外一种方法由直线犾的一般式方程知，珗狀（犪，犫）是犾的一个法向量，所以犘犙 珗狀，即 犘犙 ，珗狀，从而犱犘犙 犘
47、犙 珗狀珗狀犪（狓犙狓）犫（狔犙狔）犪犫槡（犪 狓犙犫 狔犙）（犪 狓犫 狔）犪犫槡因为点犙在犾上，所以犪 狓犙犫 狔犙犮，即犪 狓犙犫 狔犙犮所以，犱犮（犪 狓犫 狔）犪犫槡，从而得到点犘（狓，狔）到直线犾：犪 狓犫 狔犮的距离公式犱犪 狓犫 狔犮犪犫槡当点犘在直线犾上时，上述公式仍然成立，此时犱例根据下列条件，求点犘到直线犾的距离犱：（）犘（，） ，犾：狓狔；（）犘（槡 ，） ，犾：狔槡 狓解（）由点到直线的距离公式，得犱 槡槡 图 点到直线的距离 （）将直线犾的方程化为槡 狓狔，所以由点到直线的距离公式，得犱槡 （槡 ）（） （槡 ）（）槡例求平行直线犾：槡 狓狔与犾：槡 狓狔之间的距离
48、解两条平行线之间的距离就是其中一条直线上的一点到另一条直线的距离为方便计算，我们在直线犾上取一个特殊点犘（，） ，点犘到直线犾：槡 狓狔的距离为犱槡 （） 槡 槡 所以，直线犾与犾之间的距离为槡 如图，对于两条平行线犾：犪 狓犫 狔犮与犾：犪 狓犫 狔犮（犪、犫不同时为零） ，我们可以采取同样的方法求它们之间的距离取犾上一点犘（狓，狔） ，则犪 狓犫 狔犮点犘到犾的距离犱犪 狓犫 狔犮犪犫槡由犪 狓犫 狔犮，得犪 狓犫 狔犮，所以犱犮犮犪犫槡也就是说：平行线犾：犪 狓犫 狔犮与犾：犪 狓犫 狔犮的距离为犱犮犮犪犫槡例已知直线犾：狔槡 狓，直线犾与犾平行，且与犾的距离为求直线犾的方程解由题意，可
49、设犾的方程为狔槡 狓犫（犫犚且犫）直线犾与犾的一般式方程为犾：槡 狓狔与犾：槡 狓狔犫由两条平行直线之间的距离公式，得 犫（槡 ）槡解得犫槡 或犫槡 所以，直线犾的方程为狔槡 狓槡 或狔槡 狓槡 图平面直角坐标系中的直线 练习 根据下列条件，求点犕（，）到直线犾的距离犱：（）犾：狓；（）犾：狔；（）犾：狓狔；（）犾：狔狓在直角三角形犃犅犆中，犃，犃犅，犃犆求三角形的重心犌到斜边犅犆所在直线的距离习题 犃组求点犘（，）到直线犾的距离：（）犾：狓狔 ；（）犾：狔狓已知点犃（犪，）到直线狓狔的距离等于，求实数犪的值求下列两条平行线之间的距离：（）犾：狓狔，犾：狓狔；（）犾：狔槡 狓，犾：槡 狓狔已知
50、直线犾：狓狔犪与直线犾：狓狔的距离为槡 ，求实数犪的值犅组已知点犃（，） 、犅（，）若点犃与点犅到直线犾的距离都为，求直线犾的方程已知点犘是直线狓狔上任意一点，求点犘与点犃（，）之间距离的最小值已知直线犾经过点犘（，）且与直线犾：狔槡 狓和犾：狔槡 狓分别交于点犃和点犅若犃犅槡 ，求直线犾的方程 点到直线的距离 课后阅读解析几何的诞生文艺复兴以来，生产力的发展对科学技术提出了全新的要求到 世纪，对运动与变化的研究已成为自然科学的中心问题这迫切需要一种新的数学工具，从而诞生了解析几何有别于传统的纯几何方法，解析几何将数与形有机地结合起来，形成一门新的学科它的基本思想是在平面上引进“坐标”的概念，
