1、9.2两条直线的位置关系最新考纲考情考向分析1.能按照两条直线的歪率判定这两条直线平行或垂直.2.能用解方程组的办法求两条订交直线的交点坐标.3.操纵两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.以调查两条直线的位置关系、两点间的距离、点到直线的距离、两条直线的交点坐标为主，偶尔也会与圆、椭圆、双曲线、抛物线交汇调查.题型要紧以选择、填空题为主，恳求相对较低，但内容特别要紧，特不是距离公式，是高考调查的重点.1.两条直线的位置关系(1)两条直线平行与垂直两条直线平行：()关于两条不重合的直线l1，l2，假设其歪率分不为k1，k2，那么有l1l2k1k2.()当直线l1，l2不
2、重合且歪率都不存在时，l1l2.两条直线垂直：()假设两条直线l1，l2的歪率存在，设为k1，k2，那么有l1l2k1k21.()当其中一条直线的歪率不存在，而另一条的歪率为0时，l1l2.(2)两条直线的交点直线l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20，那么l1与l2的交点坐标的确是方程组的解.2.几多种距离(1)两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离|P1P2|.(2)点P0(x0，y0)到直线l：AxByC0的距离d.(3)两条平行线AxByC10与AxByC20(其中C1C2)间的距离d.不雅念办法微考虑1.假设两条直线l1与l2垂直，那么它们的歪率有什么关系？
3、提示当两条直线l1与l2的歪率都存在时，1；当两条直线中一条直线的歪率为0，另一条直线的歪率不存在时，l1与l2也垂直.2.运用点到直线的距离公式跟两平行线间的距离公式时应留心什么？提示(1)将方程化为最简的一般办法.(2)运用两平行线之间的距离公式时，应使两平行线方程中x，y的系数分错误应相当.题组一考虑辨析1.揣摸以下结论能否精确(请在括号中打“或“)(1)当直线l1跟l2歪率都存在时，肯定有k1k2l1l2.()(2)已经清楚直线l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20(A1，B1，C1，A2，B2，C2为常数)，假设直线l1l2，那么A1A2B1B20.()(3)点P(x0，
4、y0)到直线ykxb的距离为.()(4)直线外一点与直线上一点的距离的最小值的确是点到直线的距离.()(5)假设点A，B关于直线l：ykxb(k0)对称，那么直线AB的歪率等于，且线段AB的中点在直线l上.()题组二讲义改编2.已经清楚点(a,2)(a0)到直线l：xy30的距离为1，那么a等于()A.B.2C.1D.1答案C分析由题意得1.解得a1或a1.a0，a1.3.已经清楚P(2，m)，Q(m,4)，且直线PQ垂直于直线xy10，那么m_.答案1分析由题意知1，因此m42m，因此m1.4.假设三条直线y2x，xy3，mx2y50订交于一致点，那么m的值为_.答案9分析由得因此点(1,2
5、)称心方程mx2y50，即m12250，因此m9.题组三易错自纠5.直线2x(m1)y40与直线mx3y20平行，那么m等于()A.2B.3C.2或3D.2或3答案C分析直线2x(m1)y40与直线mx3y20平行，那么有，故m2或3.应选C.6.直线2x2y10，xy20之间的距离是_.答案分析先将2x2y10化为xy0，那么两平行线间的距离为d.7.假设直线(3a2)x(14a)y80与(5a2)x(a4)y70垂直，那么a_.答案0或1分析由两直线垂直的充要条件，得(3a2)(5a2)(14a)(a4)0，解得a0或a1.题型一两条直线的平行与垂直例1(2018满洲里调研)已经清楚直线l
6、1：ax2y60跟直线l2：x(a1)ya210.(1)试揣摸l1与l2能否平行；(2)当l1l2时，求a的值.解(1)办法一当a1时，l1：x2y60，l2：x0，l1不平行于l2；当a0时，l1：y3，l2：xy10，l1不平行于l2；当a1且a0时，两直线可化为l1：yx3，l2：yx(a1)，l1l2解得a1，综上可知，当a1时，l1l2，a1时，l1与l2不平行.办法二由A1B2A2B10，得a(a1)120，由A1C2A2C10，得a(a21)160，l1l2可得a1，故当a1时，l1l2.当a1时，l1与l2不平行.(2)办法一当a1时，l1：x2y60，l2：x0，l1与l2不
7、垂直，故a1不成破；当a0时，l1：y3，l2：xy10，l1不垂直于l2，故a0不成破；当a1且a0时，l1：yx3，l2：yx(a1)，由1，得a.办法二由A1A2B1B20，得a2(a1)0，可得a.思维升华(1)当直线方程中存在字母参数时，不仅需考虑到歪率存在的一般情况，也要考虑到歪率不存在的专门情况.同时还要留心x，y的系数不克不迭同时为零这一隐含条件.(2)在揣摸两直线平行、垂直时，也可开门见山运用直线方程的系数间的关系得出结论.跟踪训练1(1)已经清楚直线l1：x2ay10，l2：(a1)xay0，假设l1l2，那么实数a的值为()A.B.0C.或0D.2答案C分析假设a0，那么
8、由l1l2，故2a21，即a；假设a0，l1l2，应选C.(2)已经清楚直线l1：2x(m1)y40与直线l2：mx3y20垂直，那么m的值为()A.2或3B.2C.D.答案C分析由l1l2得2m(m1)30，拾掇得5m30.解得m.题型二两直线的交点与距离征询题1.(2018葫芦岛调研)假设直线l与两直线y1，xy70分不交于M，N两点，且MN的中点是P(1，1)，那么直线l的歪率是()A.B.C.D.答案A分析由题意，设直线l的方程为yk(x1)1，分不与y1，xy70联破解得M，N.又由于MN的中点是P(1，1)，因此由中点坐标公式得k.2.假设P，Q分不为直线3x4y120与6x8y5
9、0上任意一点，那么|PQ|的最小值为()A.B.C.D.答案C分析由于，因此两直线平行，将直线3x4y120化为6x8y240，由题意可知|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离，即，因此|PQ|的最小值为.3.已经清楚直线ykx2k1与直线yx2的交点位于第一象限，那么实数k的取值范围是_.答案分析办法一由方程组解得(假设2k10，即k，那么两直线平行)交点坐标为.又交点位于第一象限，解得k.办法二如图，已经清楚直线yx2与x轴、y轴分不交于点A(4,0)，B(0,2).而直线方程ykx2k1可变形为y1k(x2)，表示这是一条过定点P(2,1)，歪率为k的动直线.两直线的交点在第一象限，两
10、直线的交点必在线段AB上(不包括端点)，动直线的歪率k需称心kPAkkPB.kPA，kPB.k.4.已经清楚A(4，3)，B(2，1)跟直线l：4x3y20，假设在坐标破体内存在一点P，使|PA|PB|，且点P到直线l的距离为2，那么P点坐标为_.答案或分析设点P的坐标为(a，b).A(4，3)，B(2，1)，线段AB的中点M的坐标为(3，2).而AB的歪率kAB1，线段AB的垂直平分线方程为y2x3，即xy50.点P(a，b)在直线xy50上，ab50.又点P(a，b)到直线l：4x3y20的距离为2，2，即4a3b210，由联破解得或所求点P的坐标为(1，4)或.思维升华(1)求过两直线交
11、点的直线方程的办法先求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程.(2)运用距离公式应留心：点P(x0，y0)到直线xa的距离d|x0a|，到直线yb的距离d|y0b|；两平行线间的距离公式要把两直线方程中x，y的系数化为相当.题型三对称征询题命题点1点关于点中心对称例2过点P(0,1)作直线l，使它被直线l1：2xy80跟l2：x3y100截得的线段被点P平分，那么直线l的方程为_.答案x4y40分析设l1与l的交点为A(a,82a)，那么由题意知，点A关于点P的对称点B(a,2a6)在l2上，代入l2的方程得a3(2a6)100，解得a4，即点A(4,0)在直线l上，因此直线l的方程为
12、x4y40.命题点2点关于直线对称例3如图，已经清楚A(4,0)，B(0,4)，从点P(2,0)射出的光辉经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，那么光辉所经过的行程是()A.3B.6C.2D.2答案C分析直线AB的方程为xy4，点P(2,0)关于直线AB的对称点为D(4,2)，关于y轴的对称点为C(2,0)，那么光辉经过的行程为|CD|2.命题点3直线关于直线的对称征询题例4直线2xy30关于直线xy20对称的直线方程是_.答案x2y30分析设所求直线上任意一点P(x，y)，那么P关于xy20的对称点为P(x0，y0)，由得由点P(x0，y0)在直线2xy30上，2
13、(y2)(x2)30，即x2y30.思维升华处置对称征询题的办法(1)中心对称点P(x，y)关于Q(a，b)的对称点P(x，y)称心直线关于点的对称可转化为点关于点的对称征询题来处置.(2)轴对称点A(a，b)关于直线AxByC0(B0)的对称点A(m，n)，那么有直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称征询题来处置.跟踪训练2已经清楚直线l：3xy30，求：(1)点P(4,5)关于l的对称点；(2)直线xy20关于直线l对称的直线方程；(3)直线l关于(1,2)的对称直线.解(1)设P(x，y)关于直线l：3xy30的对称点为P(x，y)，kPPkl1，即31.又PP的中点在直线3xy30
14、上，330.由得把x4，y5代入得x2，y7，点P(4,5)关于直线l的对称点P的坐标为(2,7).(2)用分不代换xy20中的x，y，得关于l对称的直线方程为20，化简得7xy220.(3)在直线l：3xy30上取点M(0,3)，关于(1,2)的对称点M(x，y)，1，x2，2，y1，M(2,1).l关于(1,2)的对称直线平行于l，k3，对称直线方程为y13(x2)，即3xy50.妙用直线系求直线方程在求解直线方程的题目中，可采用设直线系方程的办法简化运算，稀有的直线系有平行直线系，垂直直线系跟过直线交点的直线系.一、平行直线系例1求与直线3x4y10平行且过点(1,2)的直线l的方程.解
15、由题意，设所求直线方程为3x4yc0(c1)，又由于直线过点(1,2)，因此3142c0，解得c11.因此，所求直线方程为3x4y110.二、垂直直线系例2求经过A(2,1)，且与直线2xy100垂直的直线l的方程.解由于所求直线与直线2xy100垂直，因此设该直线方程为x2yC0，又直线过点A(2,1)，因此有221C0，解得C0，即所求直线方程为x2y0.三、过直线交点的直线系例3求经过两直线l1：x2y40跟l2：xy20的交点P，且与直线l3：3x4y50垂直的直线l的方程.解办法一解方程组得P(0,2).l3的歪率为，且ll3，直线l的歪率为，由歪截式可知l的方程为yx2，即4x3y
16、60.办法二设直线l的方程为x2y4(xy2)0，即(1)x(2)y420.又ll3，3(1)(4)(2)0，解得11.直线l的方程为4x3y60.1.直线2xym0跟x2yn0的位置关系是()A.平行B.垂直C.订交但不垂直D.不克不迭判定答案C分析直线2xym0的歪率k12，直线x2yn0的歪率k2，那么k1k2，且k1k21.应选C.2.已经清楚直线l1：xmy70跟l2：(m2)x3y2m0互相平行，那么实数m等于()A.1或3B.1C.3D.1或3答案A分析当m0时，显然不符合题意；当m0时，由题意得，解得m1或m3，应选A.3.已经清楚过点A(2，m)跟B(m,4)的直线为l1，直
17、线2xy10为l2，直线xny10为l3.假设l1l2，l2l3，那么实数mn的值为()A.10B.2C.0D.8答案A分析由于l1l2，因此kAB2.解得m8.又由于l2l3，因此(2)1，解得n2，因此mn10.4.过点M(3,2)，且与直线x2y90平行的直线方程是()A.2xy80B.x2y70C.x2y40D.x2y10答案D分析办法一由于直线x2y90的歪率为，因此与直线x2y90平行的直线的歪率为，又所求直线过M(3,2)，因此所求直线的点歪式方程为y2(x3)，化为一般式得x2y10.应选D.办法二由题意，设所求直线方程为x2yc0，将M(3，2)代入，解得c1，因此所求直线为
18、x2y10.应选D.5.(2018盘锦模拟)假设直线l1：xay60与l2：(a2)x3y2a0平行，那么l1与l2之间的距离为()A.B.4C.D.2答案C分析l1l2，a2且a0，解得a1，l1与l2的方程分不为l1：xy60，l2：xy0，l1与l2的距离d.6.已经清楚直线l1：y2x3，直线l2与l1关于直线yx对称，那么直线l2的歪率为()A.B.C.2D.2答案A分析直线y2x3与yx的交点为A(1,1)，而直线y2x3上的点(0,3)关于yx的对称点为B(3，0)，而A，B两点都在l2上，因此.7.已经清楚直线l1：axy10，直线l2：xy30，假设直线l1的倾歪角为，那么a
19、_；假设l1l2，那么a_；假设l1l2，那么两平行直线间的距离为_.答案112分析假设直线l1的倾歪角为，那么aktan1，故a1；假设l1l2，那么a11(1)0，故a1；假设l1l2，那么a1，l1：xy10，两平行直线间的距离d2.8.将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m，n)重合，那么mn_.答案分析由题意可知，纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线，即直线y2x3，它也是点(7,3)与点(m，n)连线的中垂线，因此解得故mn.9.直线l1：y2x3关于直线l：yx1对称的直线l2的方程为_.答案x2y0分析由解得直线l1与l的交
20、点坐标为(2，1)，因此可设直线l2的方程为y1k(x2)，即kxy2k10.在直线l上任取一点(1,2)，由题设知点(1,2)到直线l1，l2的距离相当，由点到直线的距离公式得，解得k(k2舍去)，因此直线l2的方程为x2y0.10.已经清楚入射光辉经过点M(3,4)，被直线l：xy30反射，反射光辉经过点N(2,6)，那么反射光辉所在直线的方程为_.答案6xy60分析设点M(3,4)关于直线l：xy30的对称点为M(a，b)，那么反射光辉所在直线过点M，因此解得a1，b0.又反射光辉经过点N(2,6)，因此所求直线的方程为，即6xy60.11.已经清楚方程(2)x(1)y2(32)0与点P
21、(2,2).(1)证明：对任意的实数，该方程都表示直线，且这些直线都经过一致定点，并求出这肯定点的坐标；(2)证明：该方程表示的直线与点P的距离d小于4.(1)解显然2与(1)不克不迭够同时为零，故对任意的实数，该方程都表示直线.方程可变形为2xy6(xy4)0，解得故直线经过的定点为M(2，2).(2)证明过P作直线的垂线段PQ，由垂线段小于歪线段知|PQ|PM|，当且仅当Q与M重合时，|PQ|PM|，现在对应的直线方程是y2x2，即xy40.但直线系方程唯独不克不迭表示直线xy40，M与Q不克不迭够重合，而|PM|4，|PQ|0)；l2：4x2y10；l3：xy10，且l1与l2间的距离是
22、.(1)求a的值；(2)能否寻到一点P，使P同时称心以下三个条件：点P在第一象限；点P到l1的距离是点P到l2的距离的；点P到l1的距离与点P到l3的距离之比是.假设能，求点P的坐标；假设不克不迭，说明因由.解(1)直线l2：2xy0，因此两条平行线l1与l2间的距离为d，因此，即，又a0，解得a3.(2)假设存在点P，设点P(x0，y0).假设P点称心条件，那么P点在与l1，l2平行的直线l：2xyc0上，且，即c或，因此2x0y00或2x0y00；假设P点称心条件，由点到直线的距离公式，有，即|2x0y03|x0y01|，因此x02y040或3x020；由于点P在第一象限，因此3x020不
23、克不迭够.联破方程2x0y00跟x02y040，解得(舍去)联破方程2x0y00跟x02y040，解得因此存在点P同时称心三个条件.13.已经清楚直线y2x是ABC中C的平分线所在的直线，假设点A，B的坐标分不是(4，2)，(3,1)，那么点C的坐标为()A.(2,4)B.(2，4)C.(2,4)D.(2，4)答案C分析设A(4,2)关于直线y2x的对称点为(x，y)，那么解得BC所在直线方程为y1(x3)，即3xy100.同理可得点B(3,1)关于直线y2x的对称点为(1,3)，AC所在直线方程为y2(x4)，即x3y100.联破解得那么C(2,4).应选C.14.(2018赤峰质检)假设三
24、条直线y2x，xy3，mxny50订交于一致点，那么点(m，n)到原点的距离的最小值为()A.B.C.2D.2答案A分析联破解得x1，y2.把(1,2)代入mxny50可得，m2n50.m52n.点(m，n)到原点的距离d，当n2，m1时取等号.点(m，n)到原点的距离的最小值为.15.数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同不时线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.这条直线被祖先称为三角形的欧拉线.已经清楚ABC的顶点A(1,0)，B(0,2)，且ACBC，那么ABC的欧拉线的方程为()A.4x2y30B.2x4y30C.x2y30D.2xy30答案B分析
25、由于ACBC，因此欧拉线为AB的中垂线，又A(1，0)，B(0,2)，故AB的中点为，kAB2，故AB的中垂线方程为y1，即2x4y30.16.在破体直角坐标系xOy中，将直线l沿x轴正倾向平移3个单位长度，沿y轴正倾向平移5个单位长度，掉掉落直线l1.再将直线l1沿x轴正倾向平移1个单位长度，沿y轴负倾向平移2个单位长度，又与直线l重合.假设直线l与直线l1关于点(2,4)对称，求直线l的方程.解由题意知直线l的歪率存在，设直线l的方程为ykxb，将直线l沿x轴正倾向平移3个单位长度，沿y轴正倾向平移5个单位长度，掉掉落直线l1：yk(x3)5b，将直线l1沿x轴正倾向平移1个单位长度，沿y轴负倾向平移2个单位长度，那么平移后的直线方程为yk(x31)b52，即ykx34kb，b34kb，解得k，直线l的方程为yxb，直线l1为yxb，取直线l上的一点P，那么点P关于点(2,4)的对称点为，8b(4m)b，解得b.直线l的方程是yx，即6x8y90.
