1、内容简介 本丛书的目的是培养和发展小学生的数学思维能力，使小学生在学懂数学知识的同时学会思考，掌握思考方法，提高思维水平。本丛书按照学生的程度分册出版。全书分为六个分册，即一、二年级分册，三年级分册，四年级分册，五年级分册，六年级分册和综合分册。各册均选编了大量能启发思维的饶有趣味的例题和练习题，并通过对这些例题的详细讲解，介绍给学生各种思考方法和计算技巧，以期能引导学生举一反三，灵活运用已学过的数学知识。本丛书供小学生自学使用，也可作为教师开展课外数学小组活动以及家长辅导孩子学习数学的参考书。 名师导学小学数学趣题巧算百题 百讲 百练（六年级分册）李树德 张玉山 张德勤 李异芳 主编北京工业
2、大学出版社出版发行各地新华书店经销徐水宏远印刷厂印刷1 9 9 5 年 3 月第 1 版 1 9 9 6 年 8 月第 2 次印刷7 8 7 1 0 9 2 毫米 3 2 开本 5 印张 1 1 0 千字印数：2 1 0 0 1 3 6 0 0 0 册I S B N 7 - 5 6 3 9 - 0 4 3 5 - 2 / G 2 1 5定价：4 . 5 0 元（京）新登字 2 1 2号编者的话 一位教育家说过：“教会学生思考，这对学生来说，是一生中最有价值的本钱。”学习数学的本身，就是要在学懂数学知识的同时，学会思考，掌握思考的方法，培养和发展思维能力，提高思维水平。我们几位从事小学数学教学工
3、作的老师，就是以教会学生思考为出发点，结合学生学习的知识内容，编写趣题巧算百题 百讲 百练这套书的。全书分为一、二年级分册，三年级分册，四年级分册，五年级分册，六年级分册和综合分册。书中列举百例，讲解这百题，同时又设计了一百道练习题供学生练习用。通过小学生的自学，使他们学会思考。另外，这本书也是教师开展课外数学小组活动及家长指导孩子学习数学的资料。在编写这本小册子的过程中，我们选用了一些竞赛试题或一些他人设计的趣题，在此向这些作者致谢！编者水平有限，经验不足，书中如有不当之处，敬请读者提出批评指正。 编者1 9 9 4 年 1 0 月作者简介 李树德 1 9 4 1年生。原任北京市东城区地坛小
4、学副校长，北京市和东城区数学奥林匹克学校骨干教师，特级教师，中学高级教师，中国数学奥林匹克一级教练员，第四届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛主试委员会委员，第八届“北京市迎春杯数学竞赛”命题组成员。长期从事小学数学教学工作，有扎实的专业知识和理论基础，他撰写的论文多次获优秀成果奖，多次在省市级刊物上发表有关数学教学文章。热心于小学数学奥林匹克教学工作，是东城区数学奥林匹克学校创始人之一。他培养的学生多次在区、市、全国数学竞赛中获奖。为历届“迎春杯”赛主教练，为东城区在北京市迎春杯数学竞赛中夺得三连冠做出了贡献。近年来参加编写了“华罗庚金杯”少年数学邀请赛试题分析、小学数学标准化题型研究与练习、小学
5、数学百问、数学奥林匹克电视讲座等十余本书。张玉山 1 9 4 0年生。北京市东城区和平里第二小学副校长，中学高级教师，中国数学奥林匹克一级教练员。多年从事小学数学教学工作，有扎实的专业知识和理论基础。撰写多篇论文，多次获优秀成果奖，多次应省市级刊物的邀请撰写有关数学的专栏文章及专题讲座。近些年来，积极投身于数学奥林匹克学校的教学工作，是东城区数学奥林匹克学校创始人之一，北京市和东城区数学奥林匹克学校的骨干教师，为历届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛、“北京市小学迎春杯数学竞赛”的东城区集训队主教练之一，为东城区连续三年在北京市迎春杯数学竞赛中夺冠，为发现和培养数学人才做出了贡献。近年来，曾编写和参
6、加编写了小学数学学习指导、“华罗庚金杯”少年数学邀请赛试题分析、小学数学标准化题型研究与练习、趣题巧解以及北京市城近郊区小学奥林匹克教材小学数学奥林匹克讲义、小学数学奥林匹克辅导与练习、数学奥林匹克电视讲座等十余本书。张德勤 1 9 4 3年生。1 9 6 3年参加工作，现任北京市东城区地坛小学副校长，分管教学工作，中学高级教师。长期从事小学数学教学工作，取得了较好的成绩。曾获北京市小学教学案例评选一等奖，连续三年获得区优秀教学成果奖，连续三次获得市、区优秀教学论文奖，两次被评为区优秀教育工作者和局级优秀园丁。热心于小学数学奥林匹克事业，是东城区数学奥林匹克学校创始人之一，是北京市和东城区数学
7、奥林匹克学校骨干教师，中国数学奥林匹克一级教练员。他培养的学生多次在区、市、全国各种数学竞赛中获奖，为东城区连续三年在北京市迎春杯小学数学竞赛中夺冠做出了贡献。近年来，参加过“华罗庚金杯”少年数学邀请赛试题分析一书的编写工作，参加了北京市城近郊区小学奥林匹克教材的编写和审订工作。与人合作编写了小学数学标准化题型研究与练习、小学数学百问、数学奥林匹克电视讲座等十余本书。配合教材，多次在省市级的刊物上发表数学教学文章。李异芳 1 9 4 6年生。1 9 6 5年毕业于北京第一师范学校，多年从事小学数学教学工作，后进入北京教育学院数学系进修，获大专学历。现任北京东城区黑芝麻胡同小学教导主任，获中学高
8、级教师职称。兼任北京市数学奥林匹克学校东城分校教练员、东城区数学奥林匹克学校教练员及 “华罗庚金杯”少年数学邀请赛、“北京市小学迎春杯数学竞赛”东城区集训队主教练。曾参加编写启蒙数学、小学数学重点难点疑点问答、小学数学百问、小学数学奥林匹克讲义、数学奥林匹克辅导与练习等书。小学数学趣题巧算 一、百题 1 钟声 小明家离火车站很近，他每天都可以根据车站大楼的钟声起床。车站大楼的钟，每敲响一下延时 3 秒，间隔 1 秒后再敲第二下。假如从第一下钟声响起，小明就醒了，那么到小明确切判断出已是清晨6 点，前后共经过了几秒钟？ 2 越减越多 同学们对这样的问题可能并不陌生：“一个长方形被切去 1 个角，
9、还剩几个角？”这种题的最大特点是答案不唯一，要根据去掉的这个角的不同情况来确定“剩角”的多少。图 1以上 3 幅示意图，表明了 3 种不同情况的 3 种不同答案。其中第 3 种情况最有趣，长方形原有 4 个角，切去了 1 个角，反而多了 1 个角，出现了越减越多的情况。下面一道题的思考方法与上题类似，看你能否正确回答。“一个正方体，锯掉一个角，还剩几个角？”请注意，这里的“角”是立体的“角”，它不同于平面上的角。 3 数一数 如果有人问你“会数数儿吗？”，你会不屑一顾地说：“这么大了，还不会数数儿！”其实，数数儿的学问还是很大的。不信，请你数出下面几何图形的个数。图 2 4 画一画 下面这些图
10、形你能一笔画出来吗？（不重复画）图 3 5 最短的路线 养貂专业户养殖场内安置了 9 个貂笼（如下图）。为了节省每次喂食的时间，他必须走一条最短的路，但又图 4不能漏掉一个貂笼，喂完食后还要回到原出发点。你能替他设计一条最短的路线吗？并算出每喂食一次，至少要走多少米的路。 6 切西瓜 六（1 ）班召开夏夜乘凉晚会，买来了许多西瓜。班主任李老师说：“今天买来了许多西瓜请大家吃。在吃以前我先要以切西瓜为名请大家做一道数学题。我规定，西瓜只能竖切，不能横剖。大家知道，切一刀最多分成 2 块，切 2 刀最分成多 4 块，那么切 3刀最多能分成几块？切 4 刀、切 5 刀、切 6刀呢？这中间有没有规律？
11、如果有规律，请同学们找出来。”李老师刚说完，同学们就七嘴八舌地讨论起来。请你也参加他们的讨论吧。 7 均分承包田 有一块等腰梯形菜地（如下图），地边有一口水井。现在 3 户种菜专业户都提出要承包这块地。经研究，决定让这 3 户共同承包这块地，因此必须把这块地分成面积相等、形状相同且与这口水井的距离也要相等的 3 块地。你能帮助解决这个问题吗？图 5 8 巧分食盐水 大家在常识课上认识了量杯。快下课时，王老师让我们用手中的量杯做一个智力小游戏：有 3 0 毫升、7 0 毫升、1 0 0 毫升的量杯各 1 个，请你用这三个量杯把水槽中的 1 0 0 毫升食盐水平均分成两份，但分的时候不准看量杯的刻
12、度。大家动手试一试，至少要分几次才成？ 9 扩大鱼池 养鱼专业户张强，去年承包了一个叫“金三角”的鱼池（如下图），喜获丰收。为了进一步增产，决定把鱼池扩大。但有这样的要求：扩大后的鱼池必须仍是三角形，保持“金三角”鱼池的称号；扩大后的鱼池面积是原面积的 4 倍；原鱼池的三个角上栽的 3 棵大柳树不能移动。你能替张强设计一个施工草图吗？ 1 0 巧妙的算法（一） 11= 1 22= 1 + 332= 1 + 3 + 5 42= 1 + 3 + 5 + 7 请你仔细观察上面这些算式，试着找出某种规律，并利用这个规律迅速算出下面式子的答案：（1 ）1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 1 1 +
13、1 3 + 1 5（2 ）1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 1 1 + 1 3 + 1 5 + 1 7 + 1 9 + 2 1 + 2 3 + 2 5 + 2 7 + 2 9 + 3 1 + 3 3 + 3 5 + 3 7+ 3 9 1 1 巧妙的算法（二） 13+ 23= 9 （1 + 2 ）2= 913+ 23+ 33= 3 6 （1 + 2 + 3 ）2= 3 6 请你仔细观察上面两组算式，找出规律，并迅速算出下面算式的答案：（1 ）13+ 23+ 33+ 43+ 53+ 63+ 73+ 83+ 93+ 1 03（2 ）13+ 23+ 33+ + 2 03 1 2 哪个分数大？ 有
14、三个分数、和，请你比较一下，哪个分数大？111111111111111111111111111111111 1 3 想办法巧算 计算：112341000+11+11+1998999+ 1999 1 4 从 1到 1 0 0万 大家对德国大数学家高斯小时候的一个故事可能很熟悉了。传说他在十岁的时候，老师出了一个题目：1 + 2 + 3 + + 9 9 + 1 0 0的和是多少？老师刚把题目说完，小高斯就算出了答案：这 1 0 0 个数的和是 5 0 5 0 。原来，小高斯是这样算的：依次把这 1 0 0个数的头和尾都加起来，即1 + 1 0 0 ，2 + 9 9 ，3 + 9 8 ，5 0 +
15、5 1 ，共 5 0 对，每对都是 1 0 1 ，总和就是 1 0 15 0 = 5 0 5 0 。现在请你算一道题：从 1 到 1 0 0 0 0 0 0 这 1 0 0 万个数的数字之和是多少？注意：这里说的 “1 0 0 万个数的数字之和”，不是 “这 1 0 0 万个数之和”。例如，1 、2 、3 、4 、5 、6 、7 、8 、9 、1 0 、1 1 、1 2 这 1 2 个数的数字之和就是1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 1 + 0 + 1 + 1 + 1 + 2 = 5 1 。请你先仔细想想小高斯用的方法，会对你算这道题有启发。 1 5 求数
16、列的和 你能用巧妙的方法，求出下列算式的结果吗？注意，高斯求和的方法在这里用不上。（ ）；11214112124140160184+（ ）。2+215+235+263+299+214323 1 6 不必大乘大除 下面这道计算题，按一般运算法则计算是很麻烦的。如果你能发现数字的特点，采用巧算，则这道题将变得很容易。请你不要用纸和笔，用脑子想一想，就得出答案，行吗？（限 1 0 秒钟）19941994199419951993 1 7 猜猜是几？ 一个三位数，写在一张纸上，倒过来看是正着看的 1 . 5 倍，正着看是倒过来看的。这个三位数是几？23 1 8 完全数 如果整数 a 能被 b 整除，那么
17、 b 就叫做 a 的一个因数。例如，1 、2 、3 、4 、6都是 1 2的因数。有一种数，它恰好等于除去它本身以外的一切因数的和，这种数叫做完全数。例如，6 就是最小的一个完全数，因为除 6 以外的 6的因数是 1 、2 、3 ，而 6 = 1 + 2 + 3 。你能在 2 0 至 3 0 之间找出第二个完全数吗？ 1 9 有这样的数吗？ 小明异想天开地提出：“世界上应该存在这样两个数，它们的积与它们的差相等。”他的话音刚落，就引起了同学们的哄堂大笑，大家都觉得这是不可能的。但是，世界上有些事情往往产生于一些怪想法。小明的想法，后来竟被同学们讨论证实了。你能找到这样的两个数吗？告诉你，这样的
18、数还不止一对呢！ 2 0 两数的积与两数的和能相等吗？ 数学课上， 小明偶然发现 2 2 = 2 + 2 。 下课后， 小明问王老师： “2 2 = 2 + 2 ，这样两数的积等于两数的和的情况，还有吗？”王老师听后很高兴地拍着小明肩膀说： “你能在数学学习中敏锐地发现问题，提出问题，这是很宝贵的，希望你能保持这个优点。你提的问题在数学中不是偶然的现象，还可以举出很多实例。例如， ，甚至还有三个数的积等于3= 3+112112这三个数的和，四个数的积等于这四个数的和，五个数的积等于这五个数的和。这些现象近似于数学游戏，有兴趣，你回去仔细想想，一定会找到答案的。明天我们一起交换看法好吗？”小明听
19、后高兴地接受了老师的建议。同学们，你们能找出这样的数吗？ 2 1 老路行不通 五年级的时候，我们在数学课上就学习过计算与三角形有关的阴影部分面积的方法。但下面这道题却无法用习惯的方法解答，需要另辟蹊径。这条要走的“新路”所依靠的知识，仍然是最基本的：如果几个三角形的底和高都相等，那么它们的面积也相等。图 7已知：在A B C 中，B C = 5 B D ，A C = 4 E C ，D G = G S = S E ，A F = F G 。求阴影部分的面积占A B C 面积的几分之几？ 2 2 关键在于观察 你在数学课上学了不少几何图形的知识，掌握了不少平面图形的求面积公式。但是有许多组合面积的计
20、算，单靠这些知识是远远不够的，它更需要对组合图形的观察能力。下面就是一道考查你的观察能力的题目。试试看，你能很快做出来吗？已 知 图 内 各 圆 相 切 ， 小 圆 半 径 为 1 ， 求 阴 影 部 分 的 面 积 。图 8 2 3 一筐苹果 入冬前，妈妈买来了一筐苹果。清理时，发现这筐苹果 2 个、2 个地数，余 1 个；3 个、3 个地数，余 2 个；4 个、4 个地数，余 3 个；5 个、5 个地数，余 4 个；6 个、6 个地数，余 5 个。你知道这筐苹果至少有多少个吗？ 2 4 怎样分？ 有 4 4 枚棋子，要分装在 1 0 个小盒中，要求每个小盒中的棋子数互不相同，应该怎样分？
21、2 5 不要急于动手 下图是一个正方形，被分成 6横行，6纵列。在每个方格中，可任意填入 1 、2 、3 中的一个数字，但要使每行、每列及两条对角线上的数字之和各不相同，这可能吗？为什么？图 9 2 6 数字小魔术 新年联欢会上，同学们一致要求教数学的王老师出一个节目。王老师微笑着走到讲台前说：“我给你们表演一个数字魔术吧！”说完，王老师拿出一叠纸条，发给每人一张，并神秘地说：“由于我教你们数学，所以你们脑子里的数也听我的话。不信，你们每人独立地在纸条上写上任意 4 个自然数（不重复写），我保证能从你们写的 4 个数中，找出两个数，它们的差能被3 整除。”王老师的话音一落，同学们就活跃起来。有
22、的同学还说：“我写的数最调皮，就不听王老师的话。”不一会儿，同学们都把数写好了，但是当同学们一个个念起自己写的 4 个数时，奇怪的事果真发生了。同学们写的数还真听王老师的话，竟没有一个同学写的数例外，都让王老师找出了差能被 3 整除的两个数。同学们，你们知道王老师数字小魔术的秘密吗？ 2 7 应该怎样称？ 有 9 个外观完全相同的小球，其中只有一个重量轻一点儿。现在要求你用一架天平去称，问你至少称几次，才能找出较轻的球？如果是 2 7个球、8 1个球中只有一个较轻的球，你知道至少称几次才能找出那个较轻的球吗？这里有规律吗？ 2 8 最少拿几次？ 晚饭后，爸爸、妈妈和小红三个人决定下一盘跳棋。打
23、开装棋子的盒子前，爸爸忽然用大手捂着盒子对小红说： “小红，爸爸给你出道跳棋子的题，看你会不会做？”小红毫不犹豫地说：“行，您出吧？”“好，你听着：这盒跳棋有红、绿、蓝色棋子各 1 5 个，你闭着眼睛往外拿，每次只能拿 1 个棋子，问你至少拿几次才能保证拿出的棋子中有 3 个是同一颜色的？”听完题后，小红陷入了沉思。同学们，你们会做这道题吗？ 2 9 巧手摆花坛 学校门口修了一个正方形花坛，花坛竣工时，大队部在花坛旁挂出一块小黑板，上面写着：“各中队少先队员：花坛修好了，同学们都希望管理这个花坛。哪个中队的少先队员能做出下面两道题，就请那个中队的少先队员负责管理这个花坛。 要在这个花坛的四周摆
24、上 1 6 盆麦冬，要求每边都是 7 盆，应该怎样摆？ 还要在这个花坛四周摆上 2 4 盆串红，要求每边也是 7 盆，应该怎样摆？”同学们，你会摆吗？请你试试看。 3 0 填数（一） 请你把 1 8 这八个数分别填入下图所示正方体顶点的圆圈里， 使每个面的 4 个角上的数之和都相等。图 1 0 3 1 算算这笔账 小明哥哥的个体商店里，同时放着甲、乙两种收录机，售价都是 9 9 0 元。但是甲种收录机是紧俏商品，赚了 1 0 ；乙种收录机是滞销品，赔了 1 0 。假如今天两种收录机各售出一台，小明哥哥的商店是赚钱了还是赔钱了？若赚了，则赚了多少？若赔了，则赔了多少？你会算这笔账吗？ 3 2 “
25、达标”的人数 有一所学校，男生有 的人体育“达标”，得了优秀。这所学校的是男生；在全校“达标”获优秀的学生中，是男生。问女生“达标”获53534优秀的学生占全校学生总数的百分之几？ 3 3 谁得优秀？ 六年级同学毕业前，凡报考重点中学的同学，都要参加体育加试。加试后，甲、乙、丙、丁四名同学谈论他们的成绩：甲说：“如果我得优，那么乙也得优。”乙说：“如果我得优，那么丙也得优。”丙说：“如果我得优，那么丁也得优。”以上三名同学说的都是真话，但这四人中得优的却只有两名。问这四人中谁得优秀？ 3 4 排名次 学校举办排球比赛，进入决赛的是五（1 ）班、五（2 ）班、六（1 ）班、六（2 ）班的代表队，
26、到底谁得第一，谁得第二，谁得第三，谁得第四呢？甲、乙、丙三人做如下的猜测：甲说：“五（1 ）班第一，五（2 ）班第二。”乙说：“六（1 ）班第二，六（2 ）班第四。”丙说：“六（2 ）班第三，五（1 ）班第二。”比赛结束后，发现甲、乙、丙三人谁也没有完全猜对，但他们都猜对了一半。你能根据上面情况排出 1 4 名的名次吗？ 3 5 要赛多少盘？ 六年级举行中国象棋比赛，共有 1 2 人报名参加比赛。根据比赛规则，每个人都要与其他人各赛一盘，那么这次象棋比赛一共要赛多少盘？ 3 6 获第三名的得几分？ A 、B 、C 、D 、E五名学生参加乒乓球比赛，每两个人都要赛一盘，并且只赛一盘。规定胜者得
27、2分，负者得 0分。现在知道比赛结果是：A 和 B并列第一名，C 是第三名，D 和 E 并列第四名。那么 C 得几分？ 3 7 五个好朋友 A 、B 、C 、D 、E五个学生是同班的好朋友，其中有四人做课代表工作，这四科是语文、数学、地理、历史。另一个人是中队长。请你根据下列条件，判断出这五位同学各做什么工作。（1 ）语文课代表不是 C ，也不是 D ；（2 ）历史课代表不是 D ，也不是 A ；（3 ）C 和 E 住在同一楼里，中队长和他们是邻居；（4 ）C 问数学课代表问题时，B 也在一旁听着；（5 ）A 、C 、地理课代表、语文课代表常在一起讨论问题；（6 ）D 、E 常到数学课代表家去
28、玩，而中队长去的次数不多。 3 8 过队日 六（1 ）中队共 4 3 名队员，他们到龙潭游乐园过中队日。中队长宣布，大家只能参加“激流勇进”、“观览车”和“单轨火车”三种游乐活动。活动结束时，中队长说：“根据今天参加游乐活动的情况我编了一道数学题：“全中队至少有多少人参加的活动完全相同？”你能替六（1 ）中队的同学找到正确答案吗？ 3 9 放硬币游戏 参加人：2 人，也可以有裁判 1 人。用具：一张纸（方形、圆形都可以），1 分硬币若干枚。游戏规则：2人轮流把硬币放在纸上，每人每次只放一枚；放在桌上的硬币不能重叠；最后在纸上无处可放者为负。同学们，要想在这个小游戏中取胜，只需应用几何中一个很简
29、单的原理。你知道怎样放才能保证在游戏中稳操胜券吗？ 4 0 一本书的页数 我们知道印刷厂的排版工人在排版时，一个数字要用一个铅字。例如1 5 ，就要用 2 个铅字；1 5 8 ，就要用 3 个铅字。现在知道有一本书在排版时，光是排出所有的页数就用了 6 8 6 9 个铅字，你知道这本书共有多少页吗？ （封面、封底、扉页不算在内） 4 1 重要的是能发现规律 学习数学，重要的不是会做几道题，而是通过学习，学会总结规律、使用规律，最终培养出一种能独立发现和总结规律并应用规律去解决实际问题的能力。下面有一道题，就是检查你是否具备这方面能力的。不过，在正式做题前，先复习一下有关的知识。一个三位数，例如
30、 2 5 6 ，可以表示成：1 0 0 2 + 1 0 5 + 6 。一个任意三位数 a b c （通常表示几位数时就在这几个字母上面画一条横线）也可以表示成：1 0 0 a + 1 0 b + c一个任意四位数也可以表示成：abcd1 0 0 0 a + 1 0 0 b + 1 0 c + d好了，现在请做下面的题。有一个四位数，减掉它各位数字的和得到 1 9 2 ，你能准确地判断出表示的数字是几吗？解答这道题，当然可以用分析、推理等方法，但希望你能发现规律，并利用规律来巧解这道题。 4 2 填数（二） 右图中的大三角形被分成 9 个小三角形。试将 1 、2 、3 、4 、5 、6 、7 、
31、8 、9分别填入 9个小三角形中，每个小三角形内只填一个数。要求靠近大三角形每条边的 5个小三角形内的数相加的和相等，并且使五个数的和尽可能大，请问该怎样填？如果使五个数的和尽可能小，又该怎样填？图 1 1 4 3 . 换个角度想 在所有的三位数中，有很多数能同时被 2 、5 、3 整除，那么不能同时被2 、5 、3 整除的三位数的和是多少？要解答这个问题，最好换个角度想。 4 4 . 从后往前想 明明和华华各有铅笔若干支，两个人的铅笔合起来共 7 2 支。现在华华从自己所有的铅笔中，取出明明所有的支数送给明明，然后明明又从自己现在所有的铅笔中，取出华华现有的支数送给华华，接着华华又从自己现在
32、所有的铅笔中，取出明明现在所有的支数送给明明。这时，明明手中的铅笔支数正好是华华手中铅笔支数的 8 倍，那么明明和华华最初各有铅笔多少支？ 4 5 缺少条件吗？ 红光小学六年级共有学生 2 1 0 多人。期末考试成绩得优的占全年级人数的，得良的占全年级人数的，得中的占全年级人数的，其余的不及1229727格。问不及格的有几人？ 4 6 丢番图的墓志铭 古希腊的大数学家丢番图， 大约生活于公元前 2 4 6 年到公元 3 3 0 年之间，距现在有二千年左右了。他对代数学的发展做出过巨大贡献。丢番图著有算术一书，共十三卷。这些书收集了许多有趣的问题，每道题都有出人意料的巧妙解法，这些解法开动人的脑
33、筋，启迪人的智慧，以致后人把这类题目叫做丢番图问题。但是，对于丢番图的生平知道得非常少。他唯一的简历是从希腊诗文集中找到的。这是由麦特罗尔写的丢番图的“墓志铭”。“墓志铭”是用诗歌形式写成的：“过路的人！这儿埋葬着丢番图。请计算下列数目，便可知他一生经过了多少寒暑。他一生的六分之一是幸福的童年，十二分之一是无忧无虑的少年。再过去七分之一的年程，他建立了幸福的家庭。五年后儿子出生，不料儿子竟先其父四年而终，只活到父亲岁数的一半。晚年丧子老人真可怜，悲痛之中度过了风烛残年。请你算一算，丢番图活到多大，才和死神见面？”请你算一算，丢番图到底活到多少岁？ 4 7 丢番图的趣题 下面是丢番图出的一道题：
34、今有四数，取其每三个而相加，则其和分别为 2 2 、2 4 、2 7和 2 0 。求这四个数各是多少？ 4 8 真是没想到！ 出题前，先讲个小故事。传说在很久以前，印度有个叫塞萨的人，为了能使国王忘掉战争，精心设计了一种游戏（国际象棋）献给国王。国王对这种游戏非常满意，决定赏赐塞萨。国王问塞萨需要什么，塞萨指着象棋盘上的小格子说：“就按照棋盘上的格子数，在第一个小格内赏我 1 粒麦子，在第二个小格内赏我 2 粒麦子，第三个小格内赏 4 粒，照此下去，每一个小格内的麦子都比前一个小格内的麦子加一倍。陛下，把这样摆满棋盘所有 6 4 格的麦粒，都赏给我吧。”国王听后不加思索就满口答应了塞萨的要求。
35、但是经过大臣们计算发现，就是把全国一年收获的小麦都给塞萨，也远远不够。国王这才明白，塞萨要的，是国王放弃战争，发展生产，改善人民生活。我们来计算一下，塞萨要的小麦到底是多少？原来聪明的塞萨巧妙地利用了数学中的乘方。棋盘上共有 6 4格，按塞萨的要求，应付给他 26 4-1 = 1 8 4 4 6 7 4 4 0 7 3 7 0 9 5 5 1 6 1 5 粒小麦，约合 5 千多亿吨。这个数字大得惊人，古代印度那个国王，怎么能付得出来？下面有一道类似的题：“把一张厚度仅有 0 . 0 5 毫米的纸，对折 3 0 次后，它的厚度是多少？”请你算算，看你想到了没有？ 4 9 黑蛇钻洞（印度古题一）
36、古代印度的许多算术题是很有趣的，比如：一条长 8 0 安古拉（古印度长度单位）的强有力的、不可征服的、极好的黑蛇，以天爬安古拉的速度爬进一个洞；而蛇尾每天长安古拉51471214114。请你算一算，这条大蛇多少天全部进洞？ 5 0 芒果总数（印度古题二） 有一堆芒果，国王取，王后取余下的，三个王子分别1615取逐次余下的、和，最年幼的小孩取剩下的三个芒果。请你求141312出芒果的总数是多少个。 5 1 托尔斯泰的算题（一） 托尔斯泰是 1 9 世纪末俄国的伟大作家。他对算术也很有兴趣，还写过算术课本。他特别喜欢表面复杂，但却有简便方法解答的算题。下面就是托尔斯泰非常喜欢的“割草人”算题：“一
37、队割草人要收割两块草地，其中一块比另一块大 1 倍。全队在大块草地上收割半天之后，分为两半，一半人继续留在大块草地上，到傍晚时把草割完；另一半人到小块草地上割草，到傍晚还剩下一小块没割。剩下的一小块要第二天 1 个人用 1 整天才能割完。问割草队共有几人？” 5 2 托尔斯泰的算题（二） 托尔斯泰喜欢的另一道算题是：木桶上方有两个水管。若单独打开其中一个，则 2 4 分钟可以注满水桶；若单独打开另一个，则 1 5 分钟可以注满。木桶底上还有一个小孔，水可以从孔中往外流，一满桶水用 2 小时流完。如果同时打开两个水管，水从小孔中也同时流出，那么经过多少时间水桶才能注满？ 5 3 爱因斯坦编的问题
38、 很多科学家都喜欢用一些有趣的数学问题来考察别人的机敏和逻辑推理能力。这里有一道著名物理学家爱因斯坦编的问题：在你面前有一条长长的阶梯。如果你每步跨 2 阶，那么最后剩下 1 阶；如果你每步跨 3 阶，那么最后剩 2 阶；如果你每步跨 5 阶，那么最后剩 4 阶；如果你每步跨 6 阶，那么最后剩 5 阶；只有当你每步跨 7 阶时，最后才正好走完，一阶也不剩。请你算一算，这条阶梯到底有多少阶？ 5 4 苏步青教授解过的题 我国著名数学家苏步青教授，有一次到德国去，遇到一位有名的数学家，在电车上出了一道题目让苏教授做。这道题目是：甲、乙两人同时从两地出发，相向而行，距离是 5 0 千米。甲每小时走
39、 3千米，乙每小时走 2 千米，甲带着一只狗，狗每小时跑 5 千米。这只狗同甲一起出发，碰到乙的时候它就掉头往甲这边跑，碰到甲时又往乙这边跑，碰到乙时再往甲这边跑，直到甲、乙二人相遇为止。问这只狗一共跑了多少路？苏步青教授略加思索，未等下电车，就把正确答案告诉了这位德国数学家。请你也来解答这道数学题，题目虽不太难，但要认真思考，才能找到解题的“窍门”。 5 5 农妇卖鸡蛋 从前，有一个农妇提了一篮鸡蛋去卖。甲买了全部鸡蛋的一半多半个；乙买了剩下鸡蛋的一半多半个；丙又买了剩下的一半多半个；丁买了最后剩下的鸡蛋的一半多半个。这样，鸡蛋刚好卖完。你知道农妇的一篮鸡蛋共有几个吗？ 5 6 各有多少钱？
40、 兄弟俩到商店去买东西。妈妈问哥哥：“你带多少钱？”哥哥说：“我和弟弟一共带 2 4 0 元，如果弟弟给我 5 元，那么我的钱数就比弟弟的钱数多一倍了。”妈妈又问弟弟：“你带了多少钱呢？”弟弟回答说：“如果哥哥给我 3 5 元钱，那么我的钱数就和哥哥的一样多了。”妈妈听了以后，还弄不清哥哥和弟弟到底各带多少钱。你能弄明白吗？ 5 7 河边洗碗 有一名妇女在河边洗刷一大摞碗，一个过路人问她：“怎么刷这么多碗？”她回答：“家里来客人了。”过路人又问：“家里来了多少客人？”妇女笑着答道：“2个人给一碗饭，3个人给一碗鸡蛋羹，4个人给一碗肉，一共要用 6 5 只碗，你算算我们家来了多少客人。” 5 8
41、 是谁错了？ 小明看见哥哥的练习本上抄着一道加法题，越看越奇怪，题目是这样写的：小明认为这道题错了，到底是谁错了呢？ 5 9 各放多少发子弹？ 小张是某部队武器库保管员，他将 1 千发子弹分放在 1 0 个盒子里，一旦需要，只需告诉他 1 0 0 0 以内所需子弹数，他都可以拿出若干个盒子，凑出所需的子弹数，而不必打开盒子去数子弹。请问小张在 1 0 个盒子里各放了多少发子弹？ 6 0 . 逢四进一 通常我们用的数的进位制是十进制，即逢十进一。它有十个数字：0 、1 、2 、9 。下面的算式用的不是十进制，而是四进制即逢四进一。它有四个数字：0 、1 、2 、3 。在这个算式中，字母 A 、B
42、 、C 、D 分别代表 0 、1 、2 、3 中的某一个数字。请问按此算式，字母 A 、B 、C 、D 各代表什么数字？ 6 1 交叉公路 有两条公路成十字交叉，甲从十字路口南 1 3 5 0 米处往北直行；乙从十字路口处向东直行。二人同时出发，1 0分钟后，二人离十字路口的距离相等；二人仍保持原速继续直行，又过了 8 0 分钟，这时二人离十字路口的距离又相等。求甲、乙二人的速度。 6 2 何时追上乙？ 甲、乙二人步行速度比是 1 3 1 1 。如果甲、乙二人分别从 A 、B两地同时出发，相向而行，0 . 5 小时相遇，那么甲、乙二人分别从 A 、B 两地同向而行，几小时后甲追上乙？ 6 3
43、流水行船 一只小船， 第一次顺水航行 2 0 千米， 又逆水航行 3 千米， 共用了 4 小时；第二次顺水航行了 1 7 . 6 千米，又逆水航行了 3 . 6 千米，也用了 4 小时。求船在静水中的速度和水流速度。 6 4 粗心的钟表匠 小王师傅是钟表店的新职工，由于工作不安心，时常出问题。有一次，他给学校修理一只大钟，竟然把长短针装配错了。这样一来，短针走的速度变成了长针的 1 2 倍。装配的时候是下午 6 点，他把短针指在“6 ”上，长针指在“1 2 ”上。小王装好后，就回家了。学校值班老师看到这大钟一会儿 7 点，一会儿 8 点，十分奇怪，立刻派人去找小王师傅。小王师傅在第二天上午 7
44、 点多钟才来到，他掏出标准表一看，表和大钟的时间一样，说学校故意找他的麻烦，气乎乎地回家了。小王走后，老师发觉大钟还是不对头，又通知小王来。下午 8 点多，小王又来到学校，与标准表一对，仍旧准确无误。请你想一想，小王第一次来校对表的时刻是上午 7 点几分？第二次对表的时刻又是下午 8 点几分？ 6 5 分针、时针追跑 你注意过钟面上的时、分、秒 3 根针的运动特点吗？这 3 根针，每时每刻都处在你追我赶之中。秒针追分针、分针追时针，永不停息。请问从早晨 8 点开始，当分针第一次与时针重合时，是几点几分？ 6 6 弄通情境 骑车人以每分钟 3 0 0 米的速度，从 1 0 2 路电车始发站出发，
45、沿 1 0 2 路电车线前进。骑车人离开出发地 2 1 0 0 米时，一辆 1 0 2 路电车开出了始发站。这辆电车每分钟行 5 0 0 米，行 5 分钟到达一站并停 1 分钟，那么要用多少分钟，电车追上骑车人？ 6 7 . 预定时间 某人从甲地到乙地按预定的时间和速度行了甲、乙两地路程的，在余下的路程上，他行走的速度增加，行走的时间每天减少，结果他从231914甲地到乙地共行了 1 6 天。那么原定从甲地到乙地要行多少天？ 6 8 . 文艺书与科技书 六（1 ）班的图书箱里共有文艺书和科技书 9 1 本，文艺书本数的 2 5 与科技书本数的正好相等。两种书各有多少本？25 6 9 几天完工？
46、 一项工程，甲、乙两队合做需要 8 天完成，甲队单独做了 4 天，乙队又单独做了 天，还有全工程的没有完成，那么每队单独完成这项工程各223需要几天？ 7 0 干活的人数 一项工程，8 个人干需 1 5 天完成。今先由 1 8 人干了 3天，余下的又由另一部分人干了 3 天，共完成了这项工程的343，问后 天有多少人参加？ 7 1 甲先做了几天？ 一件工程，甲独做 1 2 天可以完成，乙独做 4 天可以完成。现在甲先独做了几天，因事离去，乙接着做余下的工程，直至完工。完成这件工程前后共用了 6 天，那么甲先独做了几天？ 7 2 空池注水 一个水池有两个进水管甲、乙，一个排水管丙。如果单开甲、丙
47、两管，那么 1 0 小时可把空池注满；如果单开乙、丙两管，那么 1 5 小时可把空池注满；如果单开丙管，那么 3 0 小时可把满池水放光。现在同时打开甲、乙、丙三管，几小时可把空池注满？ 7 3 往返行驶 一辆汽车在甲、乙两站之间行驶，往返一次共用去 4 小时（停车时间不计）。已知汽车去时每小时行驶 4 5 千米，返回时每小时行驶 3 0 千米，问甲、乙两站相距多少千米？ 7 4 分树苗 学校把 4 1 4 棵树苗按各班人数分给六年级三个班。一班和二班分得树苗的棵数比是 2 3 ，二班和三班分得树苗的棵数比是 5 7 ，求每个班各分得树苗多少棵？ 7 5 生产巧安排 甲厂和乙厂是相邻的两个服装
48、厂，并且都生产同规格的成衣，而且甲、乙两厂的人员和设备都能全力进行上衣和裤子的生产。但是两厂的特长不同，甲厂每月用的时间生产上衣，用的时间生产裤子，这样每月可生产套成衣；乙厂每月用的时间生产上衣，用的时间生产裤子，这样每35254737900月可以生产 1 2 0 0 套成衣。现在两厂联合，尽量各自发挥特长，那么怎样进行合理安排，在原有的条件下增加产量？每月能增产成衣多少套？ 7 6 谁先掉进陷阱？ 狐狸和黄鼠狼进行跳跃比赛。狐狸每次跳 4 . 5米，黄鼠狼每次跳 2 . 7 5米。它们每秒钟都只跳一次。比赛途中，从起点开始，每隔米设有一个陷1238阱。它们同时起跳，当它们之中有一个掉进陷阱时
49、，另一个跳了多少米？ 7 7 何时再相逢？ 甲、乙、丙三辆公共汽车分别往返于 A 、B ，A 、C ，A 、D之间。A 、B间的路程是 4 千米，A 、C 间的路程是 6 千米，A 、D 间的路程是 8 千米。甲车每小时行 4 0 千米，乙车每小时行 5 0 千米，丙车每小时行 6 0 千米。现在三辆车同时从 A 站出发往返而行，（途中停车时间不计）那么经过多少小时后三辆车又在 A 站相遇？ 7 8 奇特的长跑训练 小明在 4 0 0 米长的环形跑道上练习长跑。上午 8 点 2 0 分开始，小明按逆时针方向出发，1分钟后，小明掉头按顺时针方向跑，又过了 2分钟，小明又掉头按逆时针方向跑。如此，
50、按 1 、2 、3 、4 、分钟掉头往回跑。当小明按逆时针方向跑到起点，又恰好该往回跑时，他的练习正好停止。如果小明每分钟跑 1 2 0 米，那么他停止练习时是几点几分？他一共跑了多少米？ 7 9 试着使用代数法 我们快要上中学了，在数学学习上，要完成从算术到代数的过渡。下面这道题希望你试着用代数法解答。为了庆祝“六一”儿童节，班里决定做一幅贴纸画送给低年级同学。中队长小明拿 1 元钱买了彩色纸 1 0 0 张。其中，绿色纸 3 分 1 张，红色纸 4 分1 张，白色纸 1 分 7 张。你知道小明买了 3 种颜色的纸各多少张吗？ 8 0 发奖品 学校举办了数学竞赛。老师准备了 3 5 支铅笔作
