1、Z 2023李林考研数学系列 精讲精练880题 （数学三解析分册）蕴含6套卷和4套卷的解题思想编著李林不靠押题靠实力 考研数学就选李林!（ -S880题是一套凝结我大量心血利功力的习题集，不偏不怪，会让你有一种考研题就会这么考的感觉。1-乃 71回回飜韵鍊回回扫码领取视频课程 李林老师新浪微博中国原子能岀版社45个考變呆度透析考情揭秘有的放矢系 列精 讲 精 练 協1m穿越数学45份考冉知识清单 重点要点靶向击破200余道炉真题集训涵盖高娄f线代概率时空2023李林考研数学系列精讲精练880题僉7 -蝉8888勘i 陈14 匏li-202? 建考研数学系列 赭练880题 :数学三解析分册）SM
2、李林Z2023李林考研数学系歹h 精讲精练880题（数学二解析分册）土出!肚-皿怙担曲编暮李林注李林考研数学系列精讲精练880题不靠押题靠实力 考研数学就选李林!不靠押题靠实力 考研数学就选李林!不靠押题靠实力 考研数学就选李林!.J扫码领取视频昶季林老俪浪前 中国原子能岀版社880题是一套凝结我大as心血和功力的习题集， 不僞不怪，会让你有一种考硏题就会这么考的感觉。- -带你精讲精练日日口题带 你 逃 离 数 学 迷 宫 李林年度大作高数/线代/概率一网打尽基础题与真题难度持平和口超略难于真题拓展题用来冲刺高分真学李林考研数学系列精漏缘8曲题（数学三解析分册）蕴含6套卷和4套卷的解题思想编
3、著李林不罪押题罪实力考研数学就选李林!回880题是一套凝结我大量心血和功力的习题集，不偏不怪，会让你有一种考研题就会这么考的感觉。-”7*扫码领取视频课程李林老师新浪微博中国原子能出版社目 录解析分册高等数学第一章函数、极限、连续.1基础题.1综合题.6拓展题 .16第二章一元函数微分学及其应用.18基础题.18综合题 .31拓展题.40第三章一元函数积分学及其应用.41基础题.41综合题.54拓展题 .70第四章多元函数微分学及其应用.72基础题.72综合题.78拓展题.85第五章微分方程及其应用.87基础题.87综合题.91拓展题.96第六章微积分在经济学中的应用.97基础题.97第七章二
4、重积分.103基础题.103综合题.110拓展题.116第八章无穷级数.118基础题.118综合题.127拓展题.136线性代数第九章行列式.138基础题.138综合题.142拓展题.145第十章矩阵.146基础题.146李林考研数号系？I精楚精竽型题（数学三解哲岔册综合题.152拓展题.157第十一章向量.158基础题.158综合题.162拓展题.166第十二章线性方程组.168基础题.168综合题.171拓展题.175第十三章相似矩阵.176基础题.176综合题.182拓展题.188第十四章二次型.191基础题.191综合题.193拓展题.197概率统计第十五章随机事件及其概率.199基础
5、题.199综合题.202拓展题.204第十六章随机变量及其分布.205基础题.205综合题.208拓展题.211第十七章多维随机变量及其分布.212基础题. 212综合题.218拓展题. 223第十八章随机变量的数字特征. 224基础题. 224综合题. 229拓展题.236第十九章大数定律与中心极限定理.238基础题. 238第二十章数理统计的基本概念.241基础题.241综合题.243第二十一章参数估计.245基础题.245拓展题.2492第一章 函数、极限、连续高等数学第一章 函数、极限、连续F基础题3一、选择题（DC.解 对函数* 工）取绝对值得丨/（工）| = |工| | sin_z
6、 ） ecosS其中| sin工|不恒等于0,ecosx0,故根据|工可断定/（工）不是有界函数，也不是周期函数.再由/（0） =0,手,y(7t)= o,可知/(J-)不是单调函数.对(oo,+ ),有/( x) =| ( j?)sin(j;) | ecos_r) = | jesin x ecosx /(x), 故/&)是偶函数,C正确.(2)D.解 在区间（0,于）内，sin_z单调增加，cos_z单调减少，任取小比6 （，于），且 xx x2，则 sin xx cos（sin 怎），所以函数 单调减少.又cos cos x2，则 sin（cos ） sin（cos 乜），故函数 g（z）
7、单调减少，D 正确.【注】【注】复合函数的单调性：设函数/（#）单调增加,g（x）单调减少，则，ggQ）都单调增加（假设复合有意义）；/g（z），g/（攵）都单调减少.复合函数的奇偶性：设/（X）是偶函数，g（_z）是奇函数，贝U/f（-X-）都是偶函数；ggQ）是奇函数（假设复合有意义，可利用奇偶性定义证明）.（3）B.解 由/（ X）=丿1 一 Z + / 丿1+力+工2 =于（力），知/（J7）是奇函数. ? 一 J 一 H + 工?）2 乂+ 工 + #2lim /(j?) = lim工一+8x-*H-oolim工十/ +乞+工2 + / 一工+工2lim ；2, -=1. + J +
8、 g + l 十 J_ + + 1同理可得lim g = 1,故D错误.根据极限的有界性，可知C错误.工一OO（4） D.解 由题可得lim = lim 丄十lim 丄代=0,故D正确.（5） D.工* +8 l+b g(z) x-+oo当时心在-1和1之间振荡，且重复函数值为零，故可排除A,B取xn- -(72 = 1,2,)，则当工” 0 时=(2? + 寺)兀2fOQ,故2 + | 、 2 1李林考研数学系列精讲精练880题(数学三解析分册)Sin ()不是无穷小，也不是有界量令 =丄(? = 1,2,)，当夕”0时,f(yn) = 0,故当z-0时sin 不是无穷大. mt x xC.
9、解 由已知，可得 lim(1J斗土匹二0 = 0,H + 1 有 1 Q = 0，a + b = 0，故0 = 1,6 = 1 ,C 正确.【注】由丘m(az +b)Z十1”2=0及渐近线的定义，知y = ax +6是y =的 工十丄斜渐近线.(7)B.丁 3解 当工0 时，ln( 1 + 刃)j: 9 由 sin x = x + o(z3 )，知 (工 一 sin re) tan x 6由已知，4/z且九 2,故7? = 3.(8)A.解 由lim -=故当工充分大时，g(#)=工 0,V A(jc)hm = H-+00 gX)故当X充分大时，g(z)=工0,i In 力 q i In jc
10、 q i 1 门 -iiim - = L lim - = L lim = 0 C 1,+oo jC 龙-* +8 X- +8 JC马毛 1,即 /&) 1,即 A(x) gQ). A 正确.lim e寿=+ oo_zf+8 Z 1,【注】此题本质是无穷大量阶的比较：从低阶到高阶有lnA7Z ,na ,an ,n ,n (n co), 其中入$l,a0,a 1.(9) C.解 对于C：用反证法，若lim(a”一仇)存在，则nf8lim(a” 仇)+ (a” + 方”)=lim2a,” f oo极限存在，与已知lima”不存在相矛盾，故C正确.OO(10) A.解_/&)在工=0处间断，考虑间断点
11、处的左、右极限.小 _ 2 + 审 _ sin 工、1 + e手 a 2 1 2e= + e= , sin z2 + 1 Elim02 + e_ , sin x T十/2 + e | sin 工 (+ e 吕 I Ioo=2 一 1 = 1,=limxo-2 + eT , sin x T J=limlo+=lim . 工o+ 1 + e故工=0是fS的可去间断点，A正确.二、填空题(1)1.解 /:/()=由 I /()K 1，知 /= 1,故 /() = 1.-当无-0 时 9 (1 + ax2 )T 一 1 (XZ2 9 cos x 1 一 9 故 a!U + e解x1,0,= 0 + 1
12、 = 1,32第一章 函数、极限、连续(3) 2.初sin 2j? + e2ar 一1 . sin解 lim- - lim-工-0 JC z-* 0又由函数连续的定义，可得2 +2a(4) P+8 才 f+8a.P2ar 1 9nT+ lim - - = 2 + lim = 2 + 2a.2-0 3C .r-* 0 3Ca,解得 a 2. Q审In a工（工+ 1）存在则有P2.当P 0cos Xif 0a， 22cos x 工一2+2cos z 1【注】 解答中lim =limefz . -，这一步采取的方法是分“ X x-0 X子提取公因式e2-2cos,提取公因式是考研试题中常用的技巧.
13、 一般以下三种情形常可考虑提取公因式： OO OO;指数函数；舉函数.x* 022 cos x=lime2-2cosx x-* 0(7) T解当工0 时，tan x x + -yj?3 + o(h3 ),所以r0 X3a bx cjc2 dx3=lim-T + -yX3 + O( (JE3 )x3a (b 一 1) + cj;2 + ( dlimH-* 0H3由上式可得，a = 0,6 =1jc3 + o(z3)-=0,l,c = 0 ,d = 故 a + b + c + = -y.三、解答题（1 ）证 令 f（z） = f（jc） + /（ J7）,/2 Q） = fCc） /（ z）,则
14、fl （ X）= /（ Z）+ /（ （X）= /i（ （JC）, 故/1（ （）是偶函数，/2 （工）=/（ （- 乂）一 y（ （z）= /2（工）， 故fM 是奇函数，所以于（工）=/（工）+ f （一 小 + y（ （z） y（ （z）3李林考研数学系列精讲精练880题（数学三解析分册）(2)解由已知,af(x) +_ c_JC在式中用丄代替工，得Xaf=CX.而再由 Xa Xb,得(a2 b2 )/(j;)=岸一Zrz,由 ayb ，故/(工)a2-b2_ + &r )=_于(工)，所以/（工）是奇函数.（3）证任取 Hl 92 G (- CL.a），且 02 Q， 由已知，I 2、
15、 /（J：1 ） KI X2 = X2 xx.而 ） /（j72）I fa）于（工1）iw比一劝，故 ya ） + q W /（J?2）+ 力2，即 F（q ） W Fg）,故 F（z）在（一a,a）内单调增加.（4）证 利用极限定义证明，关键是找足够大的N,使得“ 时，有丨如一a |O,m正整数Ni，使得当2k N时，有ooI J2k a | 0, 3正整数N2,使得当2 + 1 N2时，有 上一ooI 2k+i a 丨 V 取N = max Ni 9 M ,则当x N时，有与同时成立，即| xna | V 9故lim九OOa 9a=a.(5)解( (I)2 v x jcsin x v li
16、m- = limJ*-OO 2 I .丄 工*8 2 sin jcx 十 jcsin x1 1 i sin x- -=11 丄 1 1 1 十一sin x x(II)limJH-OO壮+戻+占=lim3 +而lim3a+ +定+占一33 丄X+ 卅 + 占一3 ai +6i +上_3丄 丄 丄严+6工+c工一33 丄3 丿= lim(Q， 1)+ 1) + (cT 一 1)x-H-oo3 丄JC=-y-Cln a + In 6 + In c) = In(adc)，故原式=丄ln(a6c) 3=(c)寺(HI)i. ln(sin2 jr + )xlimx-o ln(e2x jc2 ) 一 2工l
17、im 旳吟+f：）f = ltm叫上 2 sin xln(e2j; j-2 ) In e2j 乂一o叫1-石(IV)limrf 0(1 + jc)7 e3limX0(V) 9lim(-e) =-1.rf 0 Xsin xlim - “-“2 =x吾一 e? x31n( 1 + z) o -o=3e331n(l+z)e -e3 limx-0JC3e3 lim E 1x-* 0 2 Jt?e3 limX031n(14-x)e-3 - 1xlimx-*Oln( 1 + h) jcx2一討lim = lim 叱X0 JC 工-*0Xx-*OX31 3 T3=lim zzfO x4第一章函数、极限、连续
18、x 一 sin x i. x sin x-:-=limx-01 1sin x xlimcot xx-0=limzf o tan x sin x x1 2 -3Ci. 1 cos x j. 2 =i m - =： 11 m -=x-0 oJC 乂-0 oX(W) lim(l 工2 厂于丁而x-0(VI)jc3丄 ?故原式=e2(VH) limx!Hf 0+x0一 r2 lim- = limL 1 a/ _ 工2 L工2(1+ J 一 /) _ X2=limesinjln T-0+解 (I)依题意，得 寺讥+ 1) n2 n n而根据夹逼准则，原式( (H) )lim sin x * In ef
19、o+lim x * In x W o+lim屮 eo+ 7e丄lim -“+亍=e = 1._1 + 2_n2 + n + 1 n2 + n + 2 *72(? + 1)n2 n nlim”f 81T+ 1) n 匕 _Z_t?2 -n n n2 + /? + 1 * -n(n + 1) n2 + n + 1 =才+ += limZ n-oolim1 + 2 + + ?2 J1 + 2 + (n 一 1)”f OO=lim“f 87?(?7 + 1)1(DI)由41 = T(2n-l+n(n 一 1)2“ + 1卜知丄一丄)-F3 5 r2?= lim _n_* a/2- (n + 1) +
20、J 1)12- 1 2 + l1)故原式=lim *(1 ” fOO丄T扑-112/?Tl2n + 1r(IV)由1 M Jl +寺 -+丄徧，而limST= 1,故由夹逼准则，原式=1.y Li Yl “f 8(V)lim”f 81=lim 1 +n-oolimn ( )= limn 2 ) oo故原式=eln3 =罷.而”一8占仔)21+箱2- = lim”(將一 1) = -yin 3,Lt Lj noo Cj”一8【注】 常用结论:lim /n = 1, lim /a l(a 0).n-oo “f oo(7)解 fix在(0,27t)内的间断点为x =于，竽,罟仝午.由 lim /(r
21、e) =+9 lim f(Q =+9 可知 工=乎 9r -(f)+ 宀(竽)+ 4=牛为第二类间断点.由limf(jc) = 1, limyO) = 1,可知工=，工=为第一类(可去)间断点. 3n 7n 4 45李林考研数学系列精讲精练880题(数学三解析分册)(8)解 先求极限得到 g 的表达式,再讨论g 的连续性. 当工工0时，有,2 卄 2 /Q) = Hm Lin-* oo X 十丄0,x21, 0 1 故在(_OO, -1),(-1,0),(0,1),(1, +oo)内 /(x)连续.又lim /(j?) = 1, lim /(je) = 1,X-1 J：-*1lim/(H)=
22、19 x-0 lim/(j：) =1, lim/(j?) = 1, X-*-l Hf 1 +所以 g 在H = 0, 1处间断，是第一类间断点，其中工=0是可去间断点.(9)证 由/()在a,刃上连续，知在c,刃上取得最小值怡和最大值K. 由于 (加+ 兀)怡 m/(c) +()W (m 十 n) K 9k 心氏 K.由介值定理，存在一点WW c,/u (a,b),使得/()=巴进理32,即m/(c) nf(d) = (m + zz)/().(10)解 依题意，有y”个根号 可知z”严格单调增加.由工卄1 =丿a + z”，得云 = a十乂”，所以Q I 2” / a | 1z卄=-F-石,因
23、此工卄1 OO%+1又由耳W %，可推得A W B 9当兀00时， ，将z卄1 = /xnyn和J/卄1别取极限，得 A = /AB ,B = “ 丁 “ ,由此可得 A = _B,即limz” - limy”. 一： 99综合题n oo oo一、选择题(1)A.解 令丄=t,则JC故22卄m nm n”f 82 ； %两端分6第一章函数、极限、连续esin( 1原式=曲”7=(1 + /)t=lim-=0 (k 1)(1 + t)=limr-01k-1sin t(1 + /)(1+T 1故怡工1,A正确.(2)A.2arctan x 一 In -1 1 xlimZf 0 xp2_ 1. 1
24、+ j?2 l+z 1 x=limx*-04工2i . 1 分=lim-7-rf o px 厂pxpx可得P3 ,c|,A正确.解 由(3)D.解 当工0时，p(_z)= yi+j：2a工0,1p l0 兀小(一 * )2/ J + J? + y/1 3?j;3a(H)= tan x sin jc = (1 cos jc)tan jc ,flCOS X y(x) = Isin tdt =一 cos t1 cos=1 一 cos( 1 cos x)I 0(1 一 COS J?)2 旦 r故D正确.(4)D. 解依题设，有 limy(z) = y(0)=x-0limy(工)=lime3xx-0-|
25、-ln(l + jr2) 2V Z 1 v X=lim- - = 飞 limro yoc) Z x-o yx)1 i 2x 1 i 2 _ 1 、/ q -i=lim / - = lim 7z- - = X Z = 1.Z x-* o y (h) Z lo y (h) Z0,lim3/z (0) = j/(0) = 0 ,T*-02j/(_z) y(g) = ,UmlnvSZlo yx)(5)B.解limF(z) = lim = lim 心)_ 型=广(0)工 0 = F(0),x-* 0 x-0 JC 才-*0 3C 0= o是F(Q的第一类间断点.(6)D.解jc 1 时,arctan 一
26、r 有界，z + l 0,故 lim/Xz) = 0 = /( 1),即 fCx)x 1 zTx = 1 处连续.又 lim/(j?)=一兀,lim/(j:)=兀， Zfl_ X1 +所以fS在H = 1处间断.(7)D.解 对于人：取皿=马，则M1,令工” =马，则(a al a + l _a l2 丿i 2 2lim 九=lim”f 82由极限的保号性，当充分大时，有耳=a”一 屮0,即a”屮 =M 1. 对于E：令z” = b” 一 a”,则= lim(6 a”)= b a0,由保号性可知，当九充分”一00WOO大时，z” 0,即 an v b.故故在x-*02当”f 87亠垄林考研数彗
27、？ij精讲精练880题(数学三解析分册)对于C：令z” = N_a”,则h” $ 0(” = 1,2,)，由极限保号性，得N a = limz” 0,即a N,同理可得a.对于 D： ：取 a” = 2 ,UlJlim(2 2 工 0.显然,a” = 2 2 丄，故选 D.n n-oo n / n n(8) D.解 若取xn = n,yn = n,则&”与%均无界，但工” + y有界，故排除A. 若取 = “1 + (1)”,% =讥1 ( 1),则&”与%均无界，但工” =0,即 S有界,故排除B若取xn = n,y = 0,则&”无界，%有界，但y有界，故排除C. D正确.(9) D.解
28、对于D：由于 + 0时，/(z) = lim :扌丫心 =lim理】=1;/f+8 丄十乙 Z-H-OO Z 十丄当 Z = 0 时,/(工)=lim =寺；当 z V 0 时,/() = lim ； 丁 ？=工.故+8 1 十 /T 0 ,2 = 0,2 = 0是/&)的第一类间断点，故FQ)在工=0处连续，但不可导，C正确.T V 0,8第二章 連数二极限二连续【注】 【注】 这里利用了结论：设FQ)=于(/)山，若/(工)可积，则FQ)连续；若_/&)连 续，则F(_Z)可导.题中/(J7)只有一个第一类间断点2 = 0,故/(J7)可积.(12)A.解 由恤 = 1和极限的有界性，可知
29、存在A 0,当一& 0-丨力丨(丄十龙丿S有界.由lim F二挣普=1，可知存在&2 0,当0 工0,当丨x | X时，/(工)有界.又 g 在X, &上连续，故有界，从而 2)在(一oo, +*)内有界. 【注】 【注】 判别/()在区间上有界的常用方法： 利用定理：若于(工)在闭区间a,刃上连续，则/(x)在a,6上有界. 若/(工)在开区间(a,6)内连续，且lim/(j：), lim/(x)都存在，则fQ)在(a,6)内x-*-a x-b有界，(a,b)为无穷区间也成立. 结论：若/(z)在有限区间(a,b)内有界，则在(a,b)内有界.证 任取乂 E (a,b),取定点工。6 )(工
30、工说)，由拉格朗日中值定理，存在gW (a,6), 使得 /(X)= /(xo) + 于 ()(H 乞0 ),则I fCx) | = | f(x0) + /() Q 広。)| | f(x0) | + | /z() | | x x0 I 由f有界及丨x 0故 n = 5：即 n = 6.(4)(1 + e-1 )T 1.由limn-oo7l+ln占丁 2=-l,可知当H 0时，有一（l cos工）一专.又=/(sinG) 2sin hcos 工=limYL 龙一 0n严 (工2)21 =丄 hrn 二4,n lo hT3C03 1 2门丄： 一 可(1十工Z 77 3=e，知 lim(8 lim
31、m = limn-oolimln“f 83)丁1占（1 +刃）寺d（l +h）0n1 +_n_ n +-1 .nzz + 1I o =丄，故 e37 ) 31 = (1 + e_1 ) 1.n 2nk + 1讥1 2厂In lim8n 2nk + 1 T n(l-2)=In lim8=In eE =1 H- -n(l-2k)1l-2k”（1一2上）lim(aT+a)寺=limaj”一oo *oo1 +=aj (这里lim(乞n-* oo Q， ，2=0).【注】 【注】 这类问题也可利用结论：lim 目a； + q? + + a： = maxa, (a, 0,z = 1,2, ,k). 0W由
32、0 V 5 V a 9可知丄 ，故a2limn-*oolim(arn +a?n)=-*OO+a2 /本题也可利用夹逼准则求解，由0如a2,可知丄=Qi由于 lim f2 = 19 故lim(a+ a亍)+ =” f OOQ+Qi 丄，故解解(6 Ja?1.解X04nn z eT2阿ILi Jl +hdjrn-*oo”f 81 +n由 0 , /(a + z)关于刀是偶函数； y = f(sc)关于点(a ,0) (a 工 0)对称 0/Xa + rc) =_ f (a_小fa_工),fCa + jc) 关于工是奇函数.三、解答题(1) 证 考虑数列 I a”丨，有lim = | g | “时，
33、有叫 1,即|%i |00I I lim | a卄1 |若 a = 0,则 lim =干一r - - = 1,-* oo I an I lim | an a”f 8这与lim叶1丿=| q |8(2) 解血=2寺 2扎2赤=2討”七，而丄 吨待+ + +右)=“71_T故 limu” = 21 = 2.noo【注】 【注】 此题相乘的因子不是有限项，不能用极限的四则运算法则.(3)证 分a = O,aO,aV 0三种情况进行讨论.当a = 0时,九=2,故lim乜旦1; n-oo JCn当a0时，lim壬也 = lim“f 8 JQn noo(1 +a) + + (1 a)+】 (1 +a)
34、+ (1 a)1 一 a 1 + a丿1 + a +(1a)lim81 a 1 + a丿1 +11r李林考研数学系列精讲精练880题（数学三解析分册）1 一 a1 + a1 a1+(28=0,故 lim = + a ；Z”n-oo当a V 0时，同理可证,lim乜工”-8 3Cn(4)证 令 maxai ,a2 , - ,ak而lim /kan = lima Jk = a,故由夹逼准则，知“一oo=1 a.即证.=a，贝卩 a = 2时,Z” =劝 + 力 + 夕2 -1- yn-=1 + 1 + + 1 12 2? 1 2-+兴=i+2(i-F故 lim_z” = 3.n-* oo（U）由攵
35、卄2 = * （工” +攵卄1 ）,得2卄2 力卄1寺(攵卄 1 一九)(77 = 1,2, ).In2(22 劝)=I=Hi 十(J：2 工1 ) + (工3 工2)+ + (攵” 一九-1) j+gL+) =1 + 刍所以limz”一8(6)证(I = 1 (1 cos xY 在 o ,手上连续，/ (0) = 1, fo v* vi,由介值定理，至少存在一点工” e-L 2-（o冷）,使得九（工”）=y.由故n1当n 3时，工,n-1- -X,2(无2 2”3 )n2又由 fn (x) = z?(l cos 工)-】.sin z0 (0工oo Tl / e Z故存在 N0,当”N 时，力
36、,(arccos *) *又fn (z)单调减少，故arccos丄V夂” 手.而limarccos =手，由夹逼准则，有 Yl Z ”-*8 72 Zlimz” =”f 8 Z(7)证 (I)令 /(z) = x 21n 则/Xe) = e 3 4-oo x-*4-oo x-*H-oo JC JC /由零点定理,2)=0在(e, +oo)内至少有一个实根.又由于y(z) = 1 0,a: W (e, + oo),x12第一章 函数、极限、连续故y(z) = 0在(e, + oo)内有唯一实根，记为&(H)由(I)知，当攵 & (e,g)时,/(工) x,故当 eV 时， 工1 = 1 + 21
37、n m口，X = 1 + 21n 氏 九-i，且攵” 工”，r+i = 1 + 21n ooz” = 1 +21n 左右两端同时取极限，有A = l + 21n A,即A为方程z = 1 +21n x的实根.由(I )可知，limz” = A = g.W-oo(8)证 (I )令 g(z) = /(jc) 一 + -j-) 卩+ 则g(o)=若。取F = t即可；若打+ )工则由*)= /知由零点定理，知至少存在一点EG (o,y)cz (0,1),使得 g() = /(f) /( + t) = 0， 即z(e)=金十* )(U )令 F(x) = + +)_ ，工 o,巴；-1 ,则F(0)
38、十 F( + )-F()= /(l) -f(0) = 0.若 F(0) = F(g)=F(九 1) = 0,即40 + l)-/(0)=證)-/刖 =_幷专戶， ， 所证结论显然成立；若F(O),F(),，F(迁)不全为零，则其中必有正值和负值，由零点定理.知至少 存在一点疋(0,1),使得F(Q =0,即/(e)=疋+.【注】 【注】 本例可以推广为：设/(a:)在a,刃连续，且f(a) = /(6)，证明：至少存在一点 W W (a,b),使得/Xg)=b 一an(9)证 limsin(7t a/tz2 + 1) = limsinn-* ooUK + 7t( /?2 + 1 )” f oo
39、1/?2 + + n=o,所以lim( l)sin(兀limsinCrc Vti2 + 1) = 0.n-oo而 | sin(兀 J代 + n) |W 1 有界，故limsin(兀 vW + 1) sin(兀 J朮 + /?) = 0.f 8 1- =lim( l)sin；r( J/z? + 1一 n) = lim(一 l)sin(兀 * n-* oo” f OO因为lim兀立一81v/z2 + 1 + nn-* oo=0,于是13李林考研数学系列精讲精练880题（数学三解析分册）n=lim( l)”sin7t( a/h2 + n n) = lim( l)sin(兀 * -Rf OQ f oo
40、 a/h+zz+z?因为lim兀OOnn_ = 辛，所以limsin (兀 厂- 寸卅 + n + 72 8 yn + + n，从而lim （ 1） sin（兀 =r-）不存在，故limsin（7r Vn2 + n）不存在，所以此题不能用极 Vn n n /限的运算法则.”一*8（10）解 一13分（工一0）,所求极限为#型.由洛必达法则，有1 + -|-tan x 9jc2 工叫1 + -|-tan町9 j?2 x-* o 9jc2 工0 9x（11）解 （I）显然，如 0有下界又sin x 工（工0），故无卄i = sin xn V如，所以如 单调减少，故lim存在9记为人口卄1 = si
41、n xn两边同时求极限，得A = sin A,故A = 0.丄 竺（1 型）原式=lim 土Zt岁严尸_ 3工=limx-*Ox-0_j：ln ( 1+p tan x ) T=lim ” 1 = limx-* 0Tf 03_ 12 t tan x=limgf o2271(II)limn008=lim8口卄1 =_1_z-0lim仃+竺0而所以原式01 e.丄产1. sin t t cos t i. 2 応一 = hm-=曲飞厂300丄(12)证 令九=1 + * + In X 9则由龙卄1 X.111+ 1-lnfl + - n (-4-?-)+n + 1 n /可知&”有下界，故存在.n-*
42、 ooH卄 11兀+ 1_ln(l 十+)172 + 1由11n n 1+ 十(-1)+ 1J” 一 i(13)解 由 九+i = ln(e 1) In oo1 X14第一章 函数、极限、连续lim（1 *）（ +才）（1十云）.（+工旷）1 X=limZ7-*OO（1小（1+小（1+尹）=lim” fOO1 一 X(1 一 X2n )(1+/ )1 一 X=0,故原极限=.1 XlimOO 1 X当 x Z 1 时 9 limj?14rtf8(U)原极限=lim“f ooc n 27 3C- JCZ sin cos cos cos2 2 4F（ID）原极限=lim=lim7（limoolim
43、71 f 82 cos 号 cos y(2cos 步 sin 討*2一2 cosxx x o xcos(2cos 尹 sin2sinF2”ti sin i sm x=lim- = lim-n-* oo c” JC ”f8 c” JCz sin Z 2n 21 J sin h 1 一 7 sin 工 1 一 勺 sin 尢1 sin x,sm xsm jc”f 81 sin jc1 一 sin x1 yin 工 一 1) + 11 一 (sin jc 1) + 11 sin x1 一 sin x1 一 V(sin 工 一 1) + 11 一 sin x1311n n!lnl+d(15)解 (I)
44、由已知limH-* 0sm xCLX _ 11J1+3* 9结合极限和无穷小的关系9有sm xax *+a,其中lima = 0又当工0时90 x-* 0从而gsm xa + or In q , a（这里axln。是比高阶的无穷小），即有呼|sin却n a,故1 jrln a， ，所以 lnfl + 4sin x-sin jcln a lim-Hf 0lim 2x-* 0 xlim ED*lna.x=曲 f x-*-2a OC 2d x-4a JC 4(2可知/(2a) = /(4a) 0(否则极限为oo).由而x 2a,x a均为fQ)的因式，又/(jc)是三次多项式，故可令/(j?) =
45、A(j: 一 2a)(J； 一 4a)(z B), 其中为待定常数.由-lim互韦=lim 也二?込三色2(王二型=-2Aa(2a-B), x-*-2a JC uCl x-*-2a(U)由l(a 工 0) 9x 一 2a15李林考研数学系列精讲精练880题(数学三解析分册)知知故一 2Aa （2a 一 B） = 1.由 lim - = lim A& B）= 2A （4a - B）, r4a X 一 4a 工4q 3C 4（22Aa （4a 一 B） = 1.联立式，解得A = = 3s从而La（jc 一 2a） （jc 一 4a） （j: 一 3a），lim卫苓3a JC 3a一 2a） （
46、j? 一 4q）（jc 3a） i. 2a=hm-3a x 6a1(16)证 依题意，/(z)在(a,b)内有最大值，从几何上易理解，证明的关键是找到一点(a,b),利用最大值命定义证明/(f)为最大值.由lim/(jr) = oo, =一 oo及极限定义，知对于M = ，存在这样的c和 ，a c V 2 b,当 或 力5 时，都有 f(x) V M.又/()在(a,b)内连续，所以/(x)在c,刃U (a,b)上连续，由最大值定义知，存在 W 使 /()上 ,x 6 c,/,特别有 /(f) $下证/()为(a)内的最大值：(I) 当 hC (a,c)或 zG (,b)时，有 f(x) 0,
47、G(6) 0 (因丨 /() |如时，数列工”单调增加；当Q V夂0时，数列&”单调减少，故limz” n-*oo 存在，由(I ),知limz” = x* .n-*o(2) 解 (I)由/(刃 单调减少且非负连续，可知当工二M + 1时，有/住 + 1)s S，屮 p+i 佯+i故 /( + l)dj： /(h)(LzW / () d ,J k J k J k佯+i 即 7( + 1) 1 (U )若取/(x)=丄(工0),显然 g 单调减少且非负，则由(I )知Xdjr 9jc n? + 116第一章 函数、极限、连续故1 +卄i -Idxdjc = 1 +y+i i djc = In j
48、t J1 x11又因为所以卄i i i-d/70)= 0.又由 /(0) = O9故当攵 0 时9 fO /(0) = 0 9 所证不等式成立.（II ）显然当 z0 时 9有 sin x Z x.由（I），知丄 j:3 V sin 力2（亢0）9 故 6算一寺(算)sin 芻 V 算(“1,2,.),6 72 / n n呻 + xlim/(j?) = lim x2 cpG) = 0,h-0 x-0而/(O) = 0,故/(jc)在x = 0处连续.丄工2屛(0) = lim 心工()= lim OSH = lim = ,Hf o+ X .Tf o+ X fx o+ x %/jc/r(0) =
49、 lim /&)_厂)= lim 2 = 0,”0- z 0 o- 工故 f+ (0) = f-(0) = 0,所以 /(O) = 0,A 正确.Hm /(z + qZXh) /(工一bzYz)心f 0=lima * 工 + aAR*工)十 lim6 . 今)一心axo &0 oAx=af(工)+ bfjc) = (a + 6) ff x.Iim/(j7)= lim ； 丘-=0 = /(0),x0+ _ro+ y/1 X + 1知函数于(工)右连续.(2) A. 解(3) B.解 由-0r /()-f(o) . /nr+ilim -t- = lim - - = oo,o+ 工0 ”o+ 工
50、_ 0故岸(0)不存在.(4) B.解 /(J7)= (jc + 2)(j?+l) I X- II X II X I，由结论(参见李林考研数学系列高等数学辅导讲义),f3 有工=0,工=1两个不可导点.(5) D.解 岸(0) = lim 注一/ 乂 I 丄=lim 一- =一 ,x-*0+ 2 o+ X 2人()= iim 竺= lim u 1 = i,LO- 工 L(r H 2故f(x) = COS a/| X I在X = 0处不可导.(6) B.丄解 由微分的定义，知dy = /z(j；o)Aa-,故lim字 =lim 二=正确.o Ax 心一o L18第二章一元函数微分学及其应用(7)
