1、引理1得：tan(nullnull )tan（nullnullnullnull ）= 1- nullnullnullnull 在ACD中由引理1得：tan(nullnull )tan（nullnullnullnull ）= 1- nullnullnullnull 所以两式相乘得： tan(nullnull )tan（nullnullnullnull ）tan(nullnull )tan（nullnullnullnull ）=(1- nullnullnullnull )(1- nullnullnullnull ) 所以 tan(nullnull )tan(nullnull ) =(1- null
2、nullnullnull )(1- nullnullnullnull ) 即 1- nullnullnull =(1- nullnullnullnull )(1- nullnullnullnull ) 命题得证。 引理2的推论:假设点Mi，i=1，2，n（n3）位于ABC的BC上，B=M1，C=Mn。进一步假设，在M1AM2、M2AM3、Mn-1AMn的内切圆半径相等，都设为，如前所述，h是BC的高，r是ABC的内切圆的半径，则 (1- nullnull)n-1=1- nullnullnull 证明：类似于引理2的证明，将引理1应用于每个Mi-1AMi，得到(i-1)个等式tannullnul
3、lnullnullnull tannullnullnullnullnullnullnull = 1- nullnullnull (i=2、3、n)，并把它们相乘。由于tannullnullnullnullnullnullnull tannullnullnullnullnullnullnull =1 (i=3、4、n)，所以等式左边只留下tannulltannull的乘积，它正好(仍然)是 1- nullnullnull ，而等式右边是(1- nullnull)n-1。 于是1- nullnullnull =(1- nullnull)n-1 ，命题得证。 有了上述推论，再来看问题2，从(1- n
4、ullnull )n-1=1- nullnullnull 得出，当n=4时，即内切了三个等圆时，则有(1- nullnull )3=1- nullnullnull ，从中解出内切圆半径 = nullnull1-null(1 nullnullnullnull ) 。注意null(1 nullnullnullnull )是尺规作图无法作出的。 所以问题2，三角形中内切三个等圆，尺规作图是无法作出的! 【等内切圆问题的解答探究】 7 【金占魁系列丛书】 我是一朿缈缈烛光，可完结你黑暗中的漫漫求索! 那么问题1怎么能用尺规作出呢？当n=3时，即内切了两个等圆时，则有(1- nullnullnull)2
5、=1- nullnullnull ，所以内切圆半径 = nullnullnullnullnullnullnullnullnull ，这是可以用尺规作出的。于是问题1的作法三如下： 1、作ABC内切圆O及BC边上的高AE，O的直径MNAE 。 2、以AE为直径作圆，过M作AE的垂线交此圆于P，则AP= null 2null 3、作A(AP)交AE于Q，则QE= null 2null ，作QE的中垂线交OB于O1， 作直线AB关于AO1的对称直线，交BC于D，则线段AD即是所求。 五、等圆定理的相关知识 1、五圆定理 1986年德米尔(Demir)发现：在ABC的BC边上取两点D、E，若ABD、A
6、DE、AEC的内切圆为等圆，则ABE、ADC的内切圆也是等圆，如图。此处与尺规作图无关证明略。 2、四圆定理 1990年J.B.Yabov把五圆定理改进为四圆定理：在ABC的BC边上取两点D、E，若ABD、AEC的内切圆为等圆，则ABE、ADC的内切圆也是等圆，如图。此处与尺规作图无关证明略。 【等内切圆问题的解答探究】 8 【金占魁系列丛书】 我是一朿缈缈烛光，可完结你黑暗中的漫漫求索! 3、多圆定理(网络供图) 【等内切圆问题的解答探究】 9 【金占魁系列丛书】 我是一朿缈缈烛光，可完结你黑暗中的漫漫求索! 4、其它相关学术结论(来源于网络) 假设AEBC于E，EAMn= ，EAMn+1=
7、 。如果根据公式,其中 线性相关，设为 其中a和b是实数常数，则可定义满足等内切圆条件的线段序列AMi，以及通过适当选择常数a和b，可以产生满足条件的线段。 在图中，线AMn和AMn+1是相邻的线段，它们与AE形成角为n和n+1，直线QYBC，且经过PST内切圆的圆心O，W和Z为切点。另外，线段AQ=h-r，线段QE=r，即内切圆的半径。那么，OWXAQX，OZYAQY，从XY=XO+OY 可以得到：棚棚应查验接受委托业务的房地产经纪人（居间方）的营业执照、备案证书、以及提供服务的执业经纪人的执业证书，房地产经纪人应予以配合。四、订立本合同前，委托人甲应当充分了解居间方提供居间服务的有关服务范
8、围、内容，以及承诺的事项是否符合自己的需要；并仔细查阅居间方提供的书面告知资料及向居间方真实告知委托的房地产情况，委托人乙应当实地勘查居间方提供的房地产及了解各项服务内容。五、订立合同时，委托人应当明确委托事项，详细了解与核对合同的条款、履行合同的时间、支付佣金的方式和数额、发生违约的退赔与补偿、发生争议的解决方法等。对居间方提供的咨询以及协商订立合同时发生疑问，可以向房地产所在地房地产管理部门、工商行政管理部门或房地产交易中心征询或核查。本合同约定时或履行中，三方未尽事宜可通过本合同的补充条款予以补充约定。六、订立合同后，委托人与居间方应当按照合同约定履行。合同履行期间发生争议的，可通过协商
9、解决争议；协商不成的，应按照合同约定的方式解决。七、本合同文本在市、区、县房地产交易中心、市执业经纪人协会；市房地产经纪人协会均有售，建议委托人先行购买本合同并仔细阅读。八、本合同由青岛市房屋土地资源管理局制定、青岛市工商行政管理局监制，不得翻印。黽题鎂诣愫軟丈頓螘讓葡鄰鰀鎂譔含鎇譔含鎂诞!丄蜤讓芧鎂诀鎇诀倰鎂謝軛鎇謝軛鎂诒丄蜥讓苍İ鹛鎂诒丄严嬉螞讓苍İ鎂謏瀰車鎇謏瀰車鎂譵丄蜭讓甫舰踀鎂读鎂诳鎇诳鎂謞丆弭蟃讓葍倀軫鎂诙鬐丄阭蜟讓芯鎂讎丄主蝉讓踬舴鎂讝丄主蟻讓鴬舸輀协鎂诉协鎇诉鎂讕锬鎇讕锬鎂诐鎇诐慎鎂识慎鎇识晎鎂诠晎鎇诠襎鎂譬氫 B牁丄螉讓氫腬襎鎂试丄劉蜛讓芪倀İ譎鎂謘縫謐丅事蜚讓荾躋譎鎂讣譎鎇
10、讣譎鎂诜戫偐偐偠訐丈辋蟹讓虢倀偐恐豎鎂譸戫麏鉎鎂譭洫 2牁丄螒讓洫腭鉎咀兿鎂诣鉎咀兿鎇诣【阿波罗尼奥斯问题之解法基础】 0 【金占魁系列丛书】 我是一朿缈缈烛光，可完结你黑暗中的漫漫求索! 阿波罗尼奥斯问题之解法基础 金占魁尺规作图系列丛书 【阿波罗尼奥斯问题之解法基础】 1 【金占魁系列丛书】 我是一朿缈缈烛光，可完结你黑暗中的漫漫求索! 阿波罗尼奥斯问题之解法基础 金占魁 湖北随县第一高级中学 写在前面的话 这个暑期酷热而慢长，闲寂室内，偶翻昔日的读书笔记，忽然有一股想把所学知识系统归纳的冲动。想到了就干了起来。第一系列是阿波罗尼奥斯问题，前后共四篇，先作如下简介： 解法基础：介绍尺规作图
11、中常见的概念，如位似中心、相似轴、根轴、根心、极线、极点、反演变换、正交圆等等，以及它们的尺规作法。同时还介绍圆退化为点或线后，位似中心、相似轴、根轴、根心、极点是如何跟随变化的。最后用CCC的“热尔岗解法”、“庞斯列福切解法”，作出PPC、PCC、PLC、LLC、LCC的切圆。 常规解答：把阿波罗尼奥斯问题退化为十种组合，本书全面介绍每种组合中一般情况下的多种解法，并介绍该种情况下的全部解圆的作法。可谓洋洋大观解法大全了。 特款解法：这里特款指点线圆组合中，比较特殊的位置关系，不在常规解答作法之列，比如：两条平行线点或线或圆，两个同心圆+点或线或圆，这些特款在反演变换过程中，经常用到。书中还介绍了“鞋匠的刀“形中的切圆的解法、相交三圆的休伯特舒特里克解法、以及相切三圆的Soddy圆的多种解法。 名家解法：以阿波罗尼奥斯问题历史为序，介绍世界上著名数学家们的解法，重点介绍他们的解法思路或详细作法，但不介绍多解的作法，只是尊重他们当时的情况。 需要说明的是，由于本人的笔记中鲜有原著原作者的记录，当时只为了省事为了记重点，所以本系列书丛中，不说明其引用来源和出外，在此向原著作者表示歉意，同时也表达自己对原作者们的崇高敬意!谢谢他们的辛勤付出! 2019年7月于随州 【阿波罗尼奥斯问题之解法基础】
