1、 1 导数及其应用导数及其应用知识点总结知识点总结 一、导数的概念和几何意义 1. 函数的平均变化率：函数( )f x在区间12 ,x x上的平均变化率为：2121()( )f xf xxx。 2. 导数的定义：设函数( )yf x在区间( , )a b上有定义，0( , )xa b，若x无限趋近于0 时，比值00()()f xxf xyxx无限趋近于一个常数 A，则称函数( )f x在0 xx处可导，并称该常数 A 为函数( )f x在0 xx处的导数，记作0()fx。函数( )f x在0 xx处的导数的实质是在该点的瞬时变化率。 3. 求函数导数的基本步骤： （1）求函数的增量00()()
2、yf xxf x ； （2）求平均变化率：00()()f xxf xx； （3）取极限，当x无限趋近与 0 时，00()()f xxf xx无限趋近与一个常数 A，则0()fxA. 4. 导数的几何意义： 函数( )f x在0 xx处的导数就是曲线( )yf x在点00(, ()xf x处的切线的斜率。由此，可以利用导数求曲线的切线方程，具体求法分两步： （1）求出( )yf x在 x0处的导数，即为曲线( )yf x在点00(, ()xf x处的切线的斜率； （2）在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为000()()yyfxxx。 当点00(,)P xy不在( )yf x上时，求经
3、过点 P 的( )yf x的切线方程，可设切点坐标，由切点坐标得到切线方程，再将 P 点的坐标代入确定切点。特别地，如果曲线( )yf x在点00(, ()xf x处的切线平行与 y 轴，这时导数不存在，根据切线定义，可得切线方程为0 xx。 5. 导数的物理意义： 质点做直线运动的位移 S 是时间 t 的函数( )S t，则( )VS t表示瞬时速度，( )av t表示瞬时加速度。 二、导数的运算 1. 常见函数的导数： （1）()kxbk(k, b 为常数)； （2）0C(C 为常数)； （3）( )1x ； （4）2()2xx； （5）32()3xx； （6）211( )xx ； 2 （
4、7）1()2xx ； （8）1()xx（ 为常数） ； （9）()ln (0,1)xxaaa aa； （10）11(log)log(0,1)lnaaxeaaxxa； （11）()xxee ； （12）1(ln ) xx ； （13）(sin )cosxx； （14）(cos )sinxx 。 2. 函数的和、差、积、商的导数： （1） ( )( )( )( )f xg xfxg x； （2）( )( )Cf xCfx（C 为常数） ； （3） ( ) ( )( ) ( )( )( )f x g xfx g xf x g x； （4）2( )( ) ( )( )( )( ( )0)( )( )f
5、 xfx g xf x g xg xg xgx 。 3. 简单复合函数的导数： 若( ),yf u uaxb，则xuxyyu，即xuyya。 三、导数的应用 1. 求函数的单调性： 利用导数求函数单调性的基本方法：设函数( )yf x在区间( , )a b内可导， （1）如果恒( )0fx，则函数( )yf x在区间( , )a b上为增函数； （2）如果恒( )0fx，则函数( )yf x在区间( , )a b上为减函数； （3）如果恒( )0fx，则函数( )yf x在区间( , )a b上为常数函数。 利用导数求函数单调性的基本步骤：求函数( )yf x的定义域；求导数( )fx； 解不
6、等式( )0fx，解集在定义域内的不间断区间为增区间；解不等式( )0fx，解集在定义域内的不间断区间为减区间。 反过来, 也可以利用导数由函数的单调性解决相关问题（如确定参数的取值范围） ： 设函数( )yf x在区间( , )a b内可导， (1)如果函数( )yf x在区间( , )a b上为增函数,则( )0fx(其中使( )0fx的x值不构成区间)； (2) 如果函数( )yf x在区间( , )a b上为减函数,则( )0fx(其中使( )0fx的x值不构成区间)； (3) 如果函数( )yf x在区间( , )a b上为常数函数,则( )0fx恒成立。 2. 求函数的极值： 设函
7、数( )yf x在0 x及其附近有定义，如果对0 x附近的所有的点都有0( )()f xf x（或0( )()f xf x） ，则称0()f x是函数( )f x的极小值（或极大值） 。 可导函数的极值，可通过研究函数的单调性求得，基本步骤是： 3 （1）确定函数( )f x的定义域； （2）求导数( )fx； （3）求方程( )0fx的全部实根，12nxxx，顺次将定义域分成若干个小区间，并列表：x 变化时，( )fx和( )f x值的变化情况： x 1(,)x 1x 12( ,)x x nx (,)nx ( )fx 正负 0 正负 0 正负 ( )f x 单调性 单调性 单调性 （4）检查
8、( )fx的符号并由表格判断极值。 3. 求函数的最大值与最小值： 如果函数( )f x在定义域 I 内存在0 x， 使得对任意的xI， 总有0( )()f xf x， 则称0()f x为函数在定义域上的最大值。 函数在定义域内的极值不一定唯一， 但在定义域内的最值是唯一的。 求函数( )f x在区间 , a b上的最大值和最小值的步骤： （1）求( )f x在区间( , )a b上的极值； （2）将第一步中求得的极值与( ), ( )f af b比较，得到( )f x在区间 , a b上的最大值与最小值。 4. 解决不等式的有关问题： （1）不等式恒成立问题（绝对不等式问题）可考虑值域。 (
9、 )()f x xA的值域是 , a b时， 不等式( )0f x 恒成立的充要条件是max( )0f x，即0b ； 不等式( )0f x 恒成立的充要条件是min( )0f x，即0a 。 ( )()f x xA的值域是( , )a b时， 不等式( )0f x 恒成立的充要条件是0b ； 不等式( )0f x 恒成立的充要条件是0a 。 （2）证明不等式( )0f x 可转化为证明max( )0f x，或利用函数( )f x的单调性，转化为证明0( )()0f xf x。 5. 导数在实际生活中的应用： 实际生活求解最大（小）值问题，通常都可转化为函数的最值. 在利用导数来求函数最值时，一定要注意，极值点唯一的单峰函数，极值点就是最值点，在解题时要加以说明。
