1、武汉大学数学与统计学院20092010第一学期高等数学B1期末考试试题一、（42分）试解下列各题： 1、计算. 2、求解微分方程的通解。 3、计算. 4、计算. 5、求曲线自至一段弧的长度。 6、设，求. 二、（8分）已知，其中由方程确定，求. 三、（8分）设,，试证明数列收敛，并求.四、（8分）证明结论：可导函数在其导数为正值的区间上为单调增加函数。并说明此结论的几何意义。五、（15分）已知函数，求： 1、函数的单调增加、单调减少区间，极大、极小值； 2、函数图形的凸性区间、拐点、渐近线 。六、（12分）已知函数满足微分方程，且轴为曲线的一条切线，在曲线（）上某点处作一切线，使之与曲线、轴所
2、围平面图形的面积为，试求：（1）曲线的方程；（2）切点的坐标；（3）由上述所围图形绕轴旋转一周所得立体的体积。七、（7分）若在上连续，且及，则在内至少存在一点，使.武汉大学数学与统计学院20092010第一学期高等数学B1期末考试试题参考答案一、 （42分）试解下列各题：1、解：2、解：方程的特征方程为：，其特征根为，故方程的通解为：3、解：原式= 4、解：5、解：6、解： 二、（8分）解： ，方程两边微分得： 故有三、（8分）解：, ，因此设，则单调增加，且,故存在设，则: 解得 .因为非负， 四、（8分）证：设函数在区间内，且，函数在上可导，由拉格朗日中值定理得: ，由于由的任意性，在上单
3、调增加。当在上导数为正时，函数曲线在上切线的斜率为正，即切线与轴正向夹角为锐角。五、（15分）解：定义域为 令驻点 ，不可导点1） 故单调增加区间为： ，单调减少区间为： 极小值为：，无极大值。2）下凸区间为： ，无拐点，由，故为函数图形的铅直渐近线。 又 故为函数图形的斜渐近线。六、（12分）解：（1）由观察法知曲线方程为：或解微分方程：特征方程为，故对应齐次方程的通解为，由于，所以微分方程的特解设为，从而有：，故为微分方程的通解，又，由题设知，所以微分方程满足初值条件的解为，即曲线方程为：（2）设切点B的坐标为，则过点B的切线斜率为，于是切线方程为，和轴交点为，由，得a=1，因此切点坐标为。（3）七、（7分）证：因为，不妨设，于是有： 所以存在，使当时，有，由有又因为 所以存在，使当时，有，由有 ，取足够小，使又因为在上连续，由介值定理，在内至少存在一点，使。
