1、中国科学:数学2023年第53卷第2期:301324SCIENTIA SINICA Mathematica论文英文引用格式:Wang J,Ma X R.(1 xy,y x)-expansion formula and its applications(in Chinese).Sci Sin Math,2023,53:301324,doi:10.1360/SSM-2021-0167c 2022中国科学 杂志社(1 xy,y x)-展开公式与应用献给朱烈教授80华诞王瑾1,马欣荣21.浙江师范大学数学与计算机科学学院,金华 321004;2.苏州大学数学科学学院,苏州 215006E-mail:,
2、收稿日期:2021-08-27;接受日期:2021-12-28;网络出版日期:2022-04-25;*通信作者国家自然科学基金(批准号:12001492 和 11971341)和浙江省自然科学基金(批准号:LQ20A010004)资助项目摘要本文首先利用(f,g)-反演公式建立了关于任意解析函数F(x)在给定基n1k=0 x bk1 xkxn 0下所谓的(1 xy,y x)-展开公式.随后,通过考虑具体的F(x)以及参数xn和bn,不但证明了很多经典结论,如Rogers-Fine恒等式、Andrews四参数互反定理、Ramanujan11求和公式,而且建立了大量的q-级数变换与求和公式,并且得
3、到Andrews的WP Bailey引理的一种推广.关键词(f,g)-反演公式(1 xy,y x)-展开公式求和与变换WP Bailey 对Rogers-Fine 恒等式互反定理q-级数Lagrange 反演公式MSC(2020)主题分类33D15,05A301引言众所周知,古典Lagrange反演公式是法国数学家Lagrange25在18世纪中叶为解决开普勒行星运行轨迹问题而提出的,是函数论发展史上具有里程碑意义的数学结论(参见文献14、6,附录E和45,第7.32节).它的核心是给出函数表达式F(x)=n=0an(x(x)n(1.1)中系数an的值,即a0=F(0),且对于任意n 1,an
4、=1n!Dn1xn1(x)DxF(x)x=0王瑾等:(1 xy,y x)-展开公式与应用只要F(x)和(x)在x=0处是解析的,(0)=0,Dx表示通常意义下的求导算子.很显然,当(x)=1时,(1.1)退化为分析学理论中最常见的Taylor展开公式.根据复分析学家Henrici16的发现:Lagrange反演公式等价于组合分析学意义下的矩阵反演.这个发现说明矩阵反演也是函数展开不可或缺的研究方法.根据文献24,34,38给出的定义,组合分析学中的矩阵反演,通常是指一对无穷阶下三角矩阵A=(An,k)n,kN和B=(Bn,k)n,kN,其中N表示非负整数集,满足:当n ikAn,iBi,k=n
5、ikBn,iAi,k=n,k,(1.2)其中符号n,k表示通常的Kronecker-函数.诚然,我们将逆矩阵B记作A1.正如Gessel14所述,Lagrange反演公式在分析学和组合学中都占据着重要地位.在过去半个多世纪里,寻求建立古典Lagrange反演公式的一般形式或q-模拟(analogue)吸引了众多研究者的注意力2,8,15,23,24,39,40.围绕这一主题的问题和最新研究进展,读者可参阅Stanton40和Gessel14先后发表的综述文献.此处引用其中一些最具代表性的结论.(i)Carlitz在1973年发现了q-模拟(参见文献9,公式(1.11).随后Roman(参见文献
6、36,第253页,公式(8.4)通过q-哑算子法建立了如下公式:对于任意形式幂级数F(x),有F(x)=n=0 xn(q,x;q)nDnq,xF(x)(x;q)n1x=0,(1.3)其中Dq,x表示通常的q-导数算子.(ii)利用q-导数算子和Carlitz的q-模拟公式(1.3)及Rogers65求和公式(参见文献13,公式(II.20),Liu于2002年在文献27,定理2中建立了如下形式的q-展开公式:F(x)=n=0(1 aq2n)(aq/x;q)nxn(q,x;q)nDnq,xF(x)(x;q)n1x=aq.(1.4)(iii)Chu11以较系统的方式研究了各种函数的高阶q-导数计算
7、,得到如下形式的q-展开公式:F(x)=n=0(1 abq2n+)(a/x;q)nxn(q;q)n(bx;q)n+1+Dnq,xF(x)(bx;q)n+x=a,(1.5)其中参数 0,1.(iv)Gessel和Stanton15根据Henrici的观点Lagrange反演公式等同于矩阵反演建立了该反演公式的诸多q-模拟,其中之一为(参见文献15,定理3.7)F(x)=nk0ak(Apkqk;p)nk(q;q)nkqnkxn(1.6)当且仅当an=nk=0(1)nkq(nk+12)+nk(1 Apkqk)(Aqnpn1;p1)nk1(q;q)nkF(qk).(1.7)上述4个展开公式已经被证明在
8、q-级数理论的研究中起着非常重要的作用.稍加比较不难发现,q-展开公式(1.3)(1.5)的共同特点是:(1)F(x)的展开式右端求和通项里均包含一个相同形式的因子(b/x;q)n(ax;q)nxn,(1.8)302中国科学:数学第 53 卷第 2 期其中a和b是与自变量x无关的参数.这个共同形式的因子恰好是列参数平衡(well-poised,WP)q-级数最鲜明的特征.(2)q-导数的计算起着关键作用,尤其是具有封闭形式q-导数的函数所对应的q-展开公式对于q-级数研究是非常有用的工具.的确,从上面提到的文献11,13,27中可以清楚地看到这几个q-展开公式在建立q-级数变换公式中的具体应用
9、.这里需要特别指出的是,Gessel和Stanton15的方法与前3个展开公式的证明途径具有明显区别.事实上,他们秉承了Henrici16的观点,把基本超几何级数、函数展开和Lagrange反演公式结合起来,利用矩阵反演方法建立了如上的Gessel-Stanton展开式(1.6).这样做的好处是,避免了高阶q-导数的计算.能否用矩阵反演方法来重新研究前面3个q-展开公式是值得研究的问题.同时我们也注意到最近几年里,一些著名学者先后发表的、与Askey-Wilson多项式相关的展开公式,如文献20,定理2.2、30,定理1.5,命题1.8和4.1和21,定理2.6,都是将某些低阶rs级数通过高阶
10、r+ms+n级数(整数m,n 1)来表示.于是我们不禁要问:任意rs级数是否总可以被表示成更高阶的r+ms+n级数的线性组合?这个问题的一些初步、肯定性结论可参见文献20,定理2.8和2.9.实际上,这个问题是Gasper和Rahman在文献13,第2.2小节中一个一般性展开公式的反问题:用终止型的r+2r+1级数的线性组合来表示终止型的r+4r+3级数(参见文献13,(2.2.4).我们认为研究这个问题的意义在于,由Gasper和Rahman的有限展开式可以推导出q-级数理论的若干个非常重要的求和公式.本文围绕以上两个问题展开讨论,目的是从组合反演的角度出发建立新的q-展开公式(换言之,La
11、grange反演公式的q-模拟).为此需要借助文献32,42所给出的(f,g)-反演和(f,g)-展开公式.引理1.1(f,g)-反演公式,参见文献32,定理1.3)设f(x,y)和g(x,y)为复数域C上关于x和y的两个函数,且g(x,y)是反对称的,即g(x,y)=g(y,x).对C上任意给定的序列xnn0和bnn0,bi=bj(i=j),则无穷阶下三角矩阵(n1i=kf(xi,bk)ni=k+1g(bi,bk)1n,kN=(f(xk,bk)f(xn,bn)ni=k+1f(xi,bn)n1i=kg(bi,bn)n,kN(1.9)当且仅当函数f(x,y)和g(x,y)满足Jacobi恒等式g
12、(a,b)f(x,c)+g(b,c)f(x,a)+g(c,a)f(x,b)=0,(1.10)其中a,b,c,x C是任意的.(f,g)-反演公式还可以等价地表示成可用于建立序列变换的一种互反关系.引理1.2(参见文献42,引理2.2)在引理1.1给定的条件下,若函数f(x,y)和g(x,y)满足Jacobi恒等式(1.10),则序列Fnn0和Gnn0满足的线性关系式Fn=nk=0Gkf(xk,bk)k1i=0g(bi,bn)ki=1f(xi,bn)(1.11)与线性关系式Gn=nk=0Fkn1i=1f(xi,bk)ni=0,i=kg(bi,bk)(1.12)等价.反之亦然.在引理1.2的基础上
13、,不难得到如下引理:303王瑾等:(1 xy,y x)-展开公式与应用引理1.3(f,g)-展开公式,参见文献42,引理2.3)在引理1.1给定的条件下,如果成立展开式F(x)=n=0Gnf(xn,bn)n1i=0g(bi,x)ni=1f(xi,x),(1.13)则系数Gn=nk=0F(bk)n1i=1f(xi,bk)ni=0,i=kg(bi,bk).(1.14)注1.1(1.13)对于任意解析函数F(x)提供了一种级数展开方式,且当x,bn,xn U(b)(b的某个邻域),bn b且1 xxn=0,等式右端的无穷级数收敛.除了上面的展开式(1.6)和(1.7)之外,类似的结果可参见文献18,
14、19中q-Taylor定理的相关结论.同时我们还需要被q-级数理论研究者称为“Ismail原理”(参见文献37)的解析方法,因为Ismail是第一个将该方法用于Ramanujan11求和公式证明的学者17.Ismail原理本质上依赖如下形式的解析函数唯一性定理1.引理1.4(唯一性定理/Ismail原理)设F(x)和G(x)是任意两个解析函数.如果存在无穷序列bnn0使得limnbn=b,且对于任意自然数n 0,均有F(bn)=G(bn),(1.15)则对于任意x U(b),必有F(x)=G(x).本文将研究的注意力集中在(1.3)(1.5)中的函数F(x)在(1.8)下的展开式.目前所知的W
15、P q-级数都属于此范围.在此观点的驱动下,我们将建立如下形式的(1xy,y x)-展开公式,它是本文后续讨论的理论依据.需要说明的是,一般的(f,g)-展开公式的正确性无法得到保证,困难在于难以确定所涉及的无穷级数的收敛性.定理1.1(1xy,yx)-展开公式)设F(x)是某个区域 C上的解析函数,bnn0,xnn0,满足(i)bnn0两两不同且xnn0有界;(ii)limnbn=b=b0,inf|1/xn b|:n 0 0;(iii)进一步假设limsupnGn,1Gn,00和bnn0,我们建立与Andrews3首次提出的Bailey对和Bailey链理论密切相关的恒等式,即如下结论:定理
16、1.2在与定理1.1相同的条件下,必成立n=0n(c/x;q)n(ax;q)n+1xn=n=0n(c/x;q)n(bx;q)n+1xn,(1.18)其中n=bn(a/b;q)n(1 acq2n)(bc;q)n+1nk=0(bc,qn,acqn;q)k(q,bcqn+1,bq1n/a;q)k(qa)kk,(1.19a)n=an(b/a;q)n(1 bcq2n)(ac;q)n+1nk=0(ac,qn,bcqn;q)k(q,acqn+1,aq1n/b;q)k(qb)kk.(1.19b)由定理1.2可得如下的一个WP Bailey对.推论1.1设序列nn0和nn0满足(1.19a)和(1.19b).则
17、n(bc,ab):=(bc;q)n(q;q)n(1b)nn,n(bc,ab):=(ac;q)n(1 bc)(q;q)n(1 acq2n)(1b)nn(1.20)是一个关于参数bc和a/b的WP Bailey对.更一般地,可以建立如下定理:定理1.3对于任意整数s r 0,假设序列nn0、Ann0和Bnn0使得所涉及的无穷级数收敛,则必成立nk01 aq2n1 a(a,1/x;q)nxn(q,aqx;q)n(qn,aqn,A1,A2,.,Ar;q)k(aq,bqk+1,B1,B2,.,Bs;q)k(1)kq(k+1)k/2kr+3s+2qn+k,aqn+k,bqk+1,A1qk,A2qk,.,A
18、rqkaqk+1,bq2k+1,B1qk,B2qk,.,Bsqk;q,q=(A1,A2,.,Ar,B1x,B2x,.,Bsx;q)(B1,B2,.,Bs,A1x,A2x,.,Arx;q)n=0(1/x;q)n(bqx;q)nxnn.(1.21)由定理1.3可以得到如下包含Rogers VWP(very-well-poised)65求和公式(参见文献13,(II.20)和WP Bailey引理(参见文献26,定理3.2)在内的一个推论.推论1.2假设数列nn0使得所涉及的无穷级数收敛,则必成立n=01 aq2n1 a(a,1/x,a/b,aq/B2;q)n(q,aqx,bq,B2;q)n(A2x
19、)nn=(aq,bqx,A2,B2x;q)(bq,aqx,B2,A2x;q)n=0(1/x;q)n(bqx;q)nxnn,(1.22)其中aA2=bB2,且n:=nk=0(qn,aqn,A2;q)k(bqn+1,q1nb/a,aq/B2;q)k(qB2)kk.(1.23)305王瑾等:(1 xy,y x)-展开公式与应用本文余下内容组织如下.第2节给出定理1.11.3、推论1.1和1.2的证明,以及这些主要结论的特殊展开式.第3节讨论定理1.21.3以及主要推论在q-级数理论中的应用,其中包括一些具体的求和与变换公式.这些具体公式不仅与WP Bailey对和WP Bailey引理密切关联,同时
20、又蕴涵着经典结果诸如Rogers-Fine恒等式、Andrews四参数互反定理和著名的Ramanujan11求和公式的新证明.本节最后给出本文涉及的数学符号的一些解释.除非特别规定,本文将沿用文献13中的q-级数符号和术语.例如,以q(0|q|0.由已知条件(ii)知r0 0,因此函数1/(1xxi)在圆盘Or0=x:|x b|K1时,有|bk b|,故有1 xkbk+1bk+1 b0=1 xkb0bk+1 b0 xk61+|xkb0|bk+1 b0|+|xk|0.综合(2.4)和(2.5)可知,当k K K1时,有Gk+1,0Gk,06|xk|+|k 1|1 xkbk+1bk+1 b0 m+
21、m0M1=M,(2.6)其中m0=1+limsupk|k|.剩下就是对固定的M和a(0 a 1),求解不等式1 xk+1bk+11 xkbkbk x1 xk+1xaM(1m)(2.7)来确定常数s r0,且使得|x b|K时,(1.17)的第k+1项(1.17)的第k项=Gk+1,0Gk,01 xk+1bk+11 xkbkbk x1 xk+1x M aM=a 1.由Weierstrass M-判别法(参见文献1,第37页)可得Sn(x)在圆盘Os=x:|x b|0下的展开式F(x)=n=0n(c/x;q)n(aqx;q)nxn.同时,在(1 xy,y x)-展开公式中取如下参数:xn=aqn,
22、bn=cqn(limnbn=0).(2.8)然后应用定理1.1和基本关系式(参见文献13,(I.10)和(I.11),可得0=F(c),且当n 1时,有n1 acq2n=(ac;q)ncn(q;q)nni=0(qn,acqn;q)i(ac;q)i(bcqi;q)i+1i(cq)i(i)Tn,i,(2.9)其中Tn,i:=nik=0(qn+i,acqn+i,bcqi;q)k(q,acqi,bcq2i+1;q)kqk.此时Tn,i可用q-Pfaff-Saalsch utz求和公式(参见文献13,(II.12)给出封闭和.因此有Tn,i=(qn,a/b;q)ni(acqi,1/(bcqn+i);q)
23、ni.将其代入(2.9)中可得n1 acq2n=1cn(q;q)nni=0(qn,acqn;q)i(bcqi;q)i+1(qn,a/b;q)ni(1/(bcqn+i);q)nii(cq)i(i)=bn(a/b;q)n(bc;q)n+1ni=0(bc,qn,acqn;q)i(q,bcqn+1,bq1n/a;q)i(qa)ii.故(1.19a)得证.最后,交换(1.19a)中的a和b,得(1.19b).定理得证.下面将给出推论1.1的证明.为此有必要引入Andrews4提出的WP Bailey对的概念.定义2.1(参见文献4,定义6.1)若序列n(t,b)n0和n(t,b)n0满足n(t,b)=n
24、k=0(b;q)nk(bt;q)n+k(q;q)nk(tq;q)n+kk(t,b),(2.10)则将其称作关于参数t和b的一个WP Bailey对.按照如上定义,定理1.2不仅给出了一种特殊的WP Bailey引理(参见文献26,定理3.2),而且提供了构造WP Bailey对的程序化方法推论1.1.证明如下.308中国科学:数学第 53 卷第 2 期推论1.1的证明将(1.19a)重新表示为(bc;q)n+1nbn(a/b;q)n(1 acq2n)=nk=0(qn,acqn;q)k(bq1n/a,bcqn+1;q)k(bc;q)k(q;q)k(qa)kk,或等价地,(ac;q)n(bc;q)
25、n+1nbn(bcq;q)n(a/b;q)n(1 acq2n)=nk=0(qn;q)k(ac;q)n+k(bq1n/a;q)k(bcq;q)n+k(bc;q)k(q;q)k(qa)kk.因为(qn;q)k(bq1n/a;q)k=(a/b;q)nk(q;q)nk(q;q)n(a/b;q)n(abq)k,故上式可以化简为(ac;q)n(1 bc)(q;q)n(1 acq2n)(1b)nn=nk=0(a/b;q)nk(ac;q)n+k(q;q)nk(bcq;q)n+k(bc;q)k(q;q)k(1b)kk.比照WP Bailey对的定义,则易知(1.20)恰好是一对关于参数a/b和ac的WP Bai
26、ley对.与WP Bailey对(1.20)相对应的WP Bailey引理(参见文献26,定理3.2)可以表述为如下推论.推论2.1设序列nn0和nn0满足(1.19a)和(1.19b).则必成立n=0(ac,x,y;q)n(q,acq/x,acq/y;q)n(cqxy)nn=(ac,bcq/x,bcq/y,acq/(xy);q)(bc,bcq/(xy),acq/x,acq/y;q)n=0(bc,x,y;q)n(q,bcq/x,bcq/y;q)n(cqxy)nn.(2.11)为本文后续讨论方便,下面给出定理1.2所包含的几种特殊情形.推论2.2对于任意整数s r 0以及变量x、t、airi=1
27、、bisi=1和a,b,c,若满足条件|xt|1和|bx|r 0,假设序列Ann0和Bnn0使得所涉及的无穷级数收敛,f(x)是任意一个在x=0点处解析的函数.则必成立nk01 aq2n1 a(a,1/x;q)n(q,aqx;q)n(qn,aqn,A1,A2,.,Ar;q)k(q,aq,B1,B2,.,Bs;q)kf(qk)qkxn=(A1,A2,.,Ar,B1x,B2x,.,Bsx;q)(B1,B2,.,Bs,A1x,A2x,.,Arx;q)f(x).(2.19)311王瑾等:(1 xy,y x)-展开公式与应用证明只需要考虑函数F(x)=K(x)f(x),(2.20)其中K(x)如同(2.
28、18)所给定.假设F(x)=n=0n(1/x;q)n(aqx;q)nxn,(2.21)即在定理1.1中取bn=qn和xn=aqn.那么由定理1.1可得系数n=1 aq2n1 a(a;q)n(q;q)nnk=0qk(qn,aqn;q)k(q,aq;q)kK(qk)f(qk)=1 aq2n1 a(a;q)n(q;q)nnk=0qk(qn,aqn;q)k(q,aq;q)k(A1,A2,.,Ar;q)k(B1,B2,.,Bs;q)kf(qk).将n代入(2.21)即得定理成立.下面给出定理1.3的几个有用的特例.首先,若在(1.21)中取n=n,0,可得如下求和公式.推论2.6若任意整数s r 0、序
29、列Ann0和Bnn0使得所涉及的无穷级数收敛,则必成立n=0r+2s+1qn,aqn,A1,A2,.,Araq,B1,B2,.,Bs;q,q1 aq2n1 a(a,1/x;q)n(q,aqx;q)nxn=(A1,A2,.,Ar,B1x,B2x,.,Bsx;q)(B1,B2,.,Bs,A1x,A2x,.,Arx;q).(2.22)值得指出的是,由等式(2.22)的特殊情形(当r=s=3时)可以得到Liu关于Rogers VWP65求和公式的推广形式(参见文献30,定理1.5),详见文献29,30.例2.1(参见文献30,定理1.5)当|abcd/q2|0是与参数a无关的使得所涉及的无穷级数收敛的
30、任意序列.则必成立n=01 aq2n1 a(a,q/A,q/B;q)n(q,aA,aB;q)n(aABq)nqn(n1)/2nk=0(qn,aqn;q)k(q/A;q)k(q2A)kk=(aq,aAB/q;q)(aA,aB;q)n=0(qB;q)n(aB)nn.(2.25)证明在(1.22)中,令(A2,k)(bA,(aq)kk).此时有B2=aA.然后令b 0,再作代换x B/q可得(2.25).313王瑾等:(1 xy,y x)-展开公式与应用3在 q-级数中的应用本节将讨论上两节所得的主要定理和推论在q-级数求和与变换中的一些基本应用.3.1Rogers65公式的新证明不妨假设(2.12
31、)中的各个参数与t无关.则等式(2.12)的两端是关于t的幂级数.这一点与Ismail原理相结合,为推导Rogers的VWP65求和公式(参见文献13,(II.20)提供了一种新的途径.推论3.1设任意参数a、b、c、d和x满足|bx|0时.注意F(d)和G(d)是变量d的解析函数.根据Ismail原理可得F(d)=G(d)(d U(0).利用解析延拓可得,在参数|bx|1范围内,上述等式仍然成立.证毕.3.2Askey-Wilson多项式的生成函数由推论2.3可得到Askey-Wilson多项式pn(y;a,b,c,d|q)(参见文献13,(7.5.2)或31)的一个新的生成函数.推论3.2
32、设y=cos.当|x|1时,必成立(1 x)43q,aei,aei,abcd/(xq)ab,ac,ad;q,x=n=0(abcd/(xq);q)n(xq,ab,ac,ad;q)nqn(n1)/2(1 abcdq2n1)(ax)npn(y;a,b,c,d|q).(3.3)证明在(2.15)中令r=s=4,t=1,再作如下参数代换:(a1,a2,a3)(q,aei,aei),(b1,b2,b3,c)(ab,ac,ad,abcdq).因此所得等式右端的54级数为54qn,q,aei,aei,abcdqn1ab,ac,ad,q;q,q314中国科学:数学第 53 卷第 2 期=43qn,aei,aei
33、,abcdqn1ab,ac,ad;q,q=pn(y;a,b,c,d|q)(ab,ac,ad;q)nan,其中pn(y;a,b,c,d|q)表示Askey-Wilson多项式.证毕.另外,由定理1.3或推论2.6也可得到Liu30关于Askey-Wilson多项式的一个生成函数.例3.1(参见文献30,命题1.8)设y=cos.当|ax|1时,必成立n=0(abcd/q,1/x;q)n(q,ab,ac,ad,abcdx;q)n1 abcdq2n11 abcd/q(ax)npn(y;a,b,c,d|q)=(abcd,aei,aei,abx,acx,adx;q)(ab,ac,ad,abcdx,axe
34、i,axei;q).(3.4)证明在(2.22)中令r=s=3,并作参数代换a abcd/q,以及(A1,A2,A3,B1,B2,B3)(abcd,aei,aei,ab,ac,ad).此时(2.22)左端的54级数恰好等于pn(y;a,b,c,d|q)an/(ab,ac,ad;q)n.故最终可得(3.4).3.3Rogers-Fine恒等式推论2.3可视为经典Rogers-Fine恒等式的一种推广.后者常被用于theta函数恒等式的证明.相关内容可参见文献5,12,35.推论3.3(Rogers-Fine恒等式,参见文献12,(14.1)或35)当|x|1时,必成立(1 x)n=0(c/x;q
35、)n(aq;q)nxn=n=0(c/a,c/x;q)n(aq,xq;q)n(1 cq2n)(ax)nqn2.(3.5)证明实际上,(3.5)是(2.15)取如下特殊情形r=s=2,t=1,(a1,b1)(q,aq)的直接结果.此时有32qn,q,cqnaq,q;q,q=21qn,cqnaq;q,q=(1)nanqn(n+1)/2(c/a;q)n(aq;q)n.最后一个等式由q-Chu-Vandermonde公式(参见文献13,(II.6)而得.利用推论2.3,还可将上述Rogers-Fine等式推广为以下形式.推论3.4(广义Rogers-Fine恒等式)当|x|1时,必成立(1 x)n=0(
36、d,c/x;q)n(cd/a,aq;q)nxn=n=0(c/a,aq/d,c/x;q)n(aq,cd/a,xq;q)nqn(n1)/2(1 cq2n)(dx)n.(3.6)证明在(2.15)中令r=s=3和t=1以及(a1,a2,b1,b2)(q,d,aq,cd/a).又因为43qn,q,d,cqnaq,cd/a,q;q,q=32qn,d,cqnaq,cd/a;q,q,而此时右端的32级数可用q-Pfaff-Saalsch utz求和公式(参见文献13,(II.12)封闭求和.则(3.6)得证.315王瑾等:(1 xy,y x)-展开公式与应用若在(3.6)中令d 0,则可得Rogers-Fi
37、ne恒等式(3.5).若在(3.6)中令d +,则可得类似于等式(3.5)的新的恒等式.例3.2当|ax/c|1时,必成立(1 x)n=0(c/x;q)n(aq;q)n(axc)n=n=0(c/a,c/x;q)n(aq,xq;q)n(1 cq2n)(axc)n.(3.7)实际上,利用推论3.4,还可得到更多有用的变换公式.例如,在(3.6)中用adq/c代替d,则可以得到如下结论:例3.3当|x|1时,必成立(1 x)n=0(adq/c,c/x;q)n(dq,aq;q)nxn=n=0(c/a,c/d,c/x;q)n(aq,dq,xq;q)n(axdc)nqn(n+1)/2(1 cq2n).(3
38、.8)注意(3.8)右端的表达式关于a、d和x是对称的.该性质可用以证明Andrews的关于Ramanujan互反定理的四参数形式.3.4Andrews四参数互反定理和Ramanujan11求和公式推论3.4所涵盖的最重要结果之一是Andrews四参数互反定理.Andrews四参数互反定理是Ramanujan互反定理的一种推广,详见文献7,定理1.1和33.推论3.5(Andrews四参数互反定理,参见文献3,定理6)设a、d、x、aq/c、dq/c和xq/c是除了qn(n是正整数)以外的任意复数,max|x|,|xq/c|1.则必成立n=0(adq/c,c/x;q)n(d,a;q)n+1xn
39、qcn=0(adq/c,q/x;q)n(dq/c,aq/c;q)n+1(xqc)n=(q,c,q/c,adq/c,dxq/c,axq/c;q)(d,a,x,dq/c,aq/c,xq/c;q).(3.9)证明首先定义H(a,d,x;c):=n=0(c/a,c/d,c/x;q)n(aq,dq,xq;q)n(axdqc)n(1 cq2n)(n).(3.10)直接计算可得11 cH(a,d,x;c)qc2c 1H(aqc,dqc,xqc;q2c)=limy+66qc,qc,c/a,c/d,c/x,yc,c,aq,dq,xq,cq/y;q,adxqcy,其中=(a1)(d1)(x1)/(caq)(cdq
40、)(cxq).下一步,由Bailey VWP66求和公式(参见文献13,(II.33)可得66qc,qc,c/a,c/d,c/x,yc,c,aq,dq,xq,cq/y;q,adxqcy316中国科学:数学第 53 卷第 2 期=(q,cq,q/c,adq/c,dxq/c,axq/c,dq/y,aq/y,xq/y;q)(dq,aq,xq,cq/y,dq/c,aq/c,xq/c,q/y,adxq/(cy);q).故11 cH(a,d,x;c)qc2c 1H(aqc,dqc,xqc;q2c)=(q,cq,q/c,adq/c,dxq/c,axq/c;q)(dq,aq,xq,dq/c,aq/c,xq/c
41、;q).(3.11)同时,根据(3.8)可知H(a,d,x;c)=(1 x)n=0(adq/c,c/x;q)n(dq,aq;q)nxn和H(aqc,dqc,xqc;q2c)=(1 xqc)n=0(adq/c,q/x;q)n(dq2/c,aq2/c;q)n(xqc)n.将这两个表达式代入(3.11)的左端,经过化简可得(3.9).在(3.9)中令d 0,可得著名的Ramanujan11求和公式.推论3.6(Ramanujan11求和公式,参见文献13,公式(II.29)当max|aq/c|,|x|max|q|,|aq|和t=a2/(bde).则必成立n=01 aq2n+2/t(aq/c;q)n+
42、1(cq/t,bq,dq,eq;q)n(aq2/(tb),aq2/(td),aq2/(te);q)n(qc)n=n=01 q2n+2/t(q/c;q)n+1(cq/t,bq/a,dq/a,eq/a;q)n(aq2/(tb),aq2/(td),aq2/(te);q)n(aqc)n.(3.14)证明在定理1.2中令(a,b,c,x)(aq,q,q/t,1/c),t=a2/(bde),以及n=(bq/a,dq/a,eq/a;q)n(aq2/(tb),aq2/(td),aq2/(te);q)n(1 q2n+2t)(aq)n.由(1.19a)并利用Jackson87求和公式(参见文献13,(II.22)
43、可得n=qn(a;q)n(1 aq2n+2/t)(q3/t;q)n8W7(q2t;qn,aqn+2t,bqa,dqa,eqa;q,q)=qn(a;q)n(1 aq2n+2/t)(q3/t;q)n(q3/t,bq,dq,eq;q)n(a,aq2/(tb),aq2/(td),aq2/(te);q)n=(bq,dq,eq;q)n(aq2/(tb),aq2/(td),aq2/(te);q)n(1 aq2n+2t)qn.将n和n代入(1.18),则可得(3.14).将例3.4中同样的n和n代入推论2.1,可以得到如下结论:例3.5(参见文献13,(III.23)设t=a2/(bde).则必成立8W7(a
44、q2t;x,y,bq,dq,eq;q,q3txy)=(aq3/t,q3/(tx),q3/(ty),aq3/(txy);q)(q3/t,q3/(txy),aq3/(tx),aq3/(ty);q)8W7(q2t;x,y,bqa,dqa,eqa;q,aq3txy).(3.15)此外,利用推论2.5以及Watson3F2求和公式的q-模拟(参见文献13,(II.16),可以得到基分别为q和q2的两个VWP87级数之间的变换公式.例3.6当|bx|1时,必成立8W7(c;q,1b2,cx,cqx,q2;q2,b2x2)=(1 x)(1 bc)(1 c)(1 bx)8W7(bc;q,bcq,bcq,1b,
45、cx;q,bx).(3.16)证明在(2.17)中,令r=5,并作如下参数代换:(a1,a2,a3,a4,a5)(w,w,bcqw2,qbc,qbc),318中国科学:数学第 53 卷第 2 期且a1b1=a2b2=a3b3=a4b4=a5b5=bcq.进一步地,令(t,w)(b,bcq).在此参数代换下,(2.17)右端的级数可用87求和公式(参见文献13,(II.16)求出封闭和.所得结果是8W7(bc;qn,cqn,w,w,bcqw2;q,bq)=(bcq,w2/bc;q)(q1n,cqn+1,w2qn+1,w2qn+1/c;q2)(bcqn+1,bq1n;q)(q,cq,w2q,w2q
46、/c;q2).进一步计算可知,当n=2m时,有8W7(bc;qn,cqn,w,w,bcqw2;q,bq)=(bcq;q)2m(bq12m;q)2m(q12m,b2q22m;q2)m(b2cq2,cq;q2)m=(bcq;q)2m(1/b;q)2m(q,1/b2;q2)m(b2cq2,cq;q2)m;而当n=2m+1时,因为(q1n;q2)=0,则上式必为0.用此结果化简(2.17),可得(3.16).考虑定理1.3的r=s=2时的情形,可以得到Jackson VWP87求和公式.例3.7(Jackson VWP87求和公式,参见文献13,(II.22)设参数=a2q/(bcd),n为任意非负整
47、数.则必成立8W7(;ba,ca,da,aqn,qn;q,q)=(b,c,d,q;q)n(aq/b,aq/c,aq/d,a/;q)n.(3.17)证明首先,由文献13,(III.23)中变换可得,当|q/(ef)|1且|aq/(ef)|1时,必成立8W7(a;b,c,d,e,f;q,qef)=(aq,aq/(ef),q/e,q/f;q)(aq/e,aq/f,q,q/(ef);q)8W7(;ba,ca,da,e,f;q,aqef).(3.18)令f=1/x,定义K(x):=(aq,q/e,qx,aqx/e;q)(q,aq/e,aqx,qx/e;q),由定理1.3给定的符号,可将(3.18)表示为
48、F(x)=n=0n(1/x;q)n(aqx;q)nxn,(3.19)其中F(x)=K(x)n=0n(1/x;q)n(qx;q)nxn.(3.20)由(3.18)可知展开式(3.19)和(3.20)的系数分别是n=1 aq2n1 a(a,b,c,d,e;q)n(q,aq/b,aq/c,aq/d,aq/e;q)n(qe)n,n=1 q2n1 (,b/a,c/a,d/a,e;q)n(q,aq/b,aq/c,aq/d,q/e;q)n(aqe)n.319王瑾等:(1 xy,y x)-展开公式与应用另一方面,对(3.19)应用引理1.3,可得n=1 aq2n1 a(a;q)n(q;q)nnk=0qk(qn
49、,aqn;q)k(q,aq;q)kK(qk)ki=0i(qk;q)i(qk+1;q)iqki.因为K(qk)=(aq,q/e;q)k(q,aq/e;q)k,所以n=1 aq2n1 a(a;q)n(q;q)nni=0iqi(i)(qn,aqn,q/e;q)i(aq/e;q)i(q;q)2iWn,i,(3.21)其中Wn,i:=32qn+i,aqn+i,qi+1/eq2i+1,aqi+1/e;q,q=(eqi,qin+1/a;q)ni(q2i+1,qne/a;q)ni.注意上式最右端的等号源于q-Pfaff-Saalsch utz求和公式(参见文献13,(II.12).最后,将Wn,i以及n和n的
50、表达式代入(3.21),则等式(3.17)得证.3.6由q-Gauss求和公式推导出的展开式利用定理1.2和q-Gauss求和公式(参见文献13,(II.8),可建立以下新的展开公式.推论3.7对于任意复数b(|b|0(n1)(n2)(1 q2n1)(1 q2n2)xn1yn2(1/x;q)n1(1/y;q)n2(x;q)n1+1(y;q)n2+143qn1,qn1,qn2,qn2,q,q,a;q,aq2.(3.24)证明只需要应用推论2.3将(3.22)的系数32qn,bqn,1/yq,a;q,aqyb(此时取b=1)展开成无穷级数n2043qn,qn,qn2,qn2,q,q,a;q,aq2
