1、南通2023二模数学模拟试题1. 已知P，Q为R的两个非空真子集，若，则下列结论正确的是()A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】B【解析】【分析】本题考查元素与集合关系、子集、全称量词与存在量词等概念，属于中档题【解答】解：， Q为 R的两个非空真子集，故，对于选项 A：由题意知 P是 Q的真子集，故，故不正确，对于选项 B：由是的真子集且，都不是空集知，故正确.对于选项 C：由是的真子集知，故不正确，对于选项 D：Q是的真子集，故，故不正确，故选：2. 已知则的取值范围是()A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】本题考查不等式求解不等式的范围，是基础题.通过，推出，然后求解即
2、可.【解答】解：，故选：3. 三人各抛掷骰子一次，落地时向上的点数能组成等差数列的概率为()A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】本题考查古典概型及其计算，涉及排列组合、等差数列问题，属于中档题.根据题意，分析可得将一个骰子连续抛掷三次，每次都有6种情况，由分步计数原理可得共有种情况，进而分两种情况讨论骰子落地时向上的点数能组成等差数列的情况，可得符合条件的情况数目，由古典概型公式计算可得答案.【解答】解：根据题意，将一个骰子连续抛掷三次，每次都有6种情况，则共有种情况，它落地时向上的点数能组成等差数列，分两种情况讨论：若落地时向上的点数若不同，则为1，2，3或1，3，5，或2，3
3、，4或2，4，6或3，4，5或4，5，共有6种可能，每种可能的点数顺序可以颠倒，即有种情况;即有种情况，若落地时向上的点数全相同，有6种情况，共有种情况，落地时向上的点数能组成等差数列的概率为故选4. 已知复数z的实部和虚部均为整数，则满足的复数z的个数为()A. 5B. 4C. 3D. 2【答案】B【解析】【分析】本题考查了复数的概念与分类，复数的模及几何意义，属于中档题.【解答】解：设，则，所以法一：因为，所以，即当时，即，有两组满足条件当时，或，所以，但，时，不符合题意故选法二：如图，可转化为研究圆面内包括边界的整点个数.圆面包括的整点分别为，而不适合，则符合题意的整点共有4个.故选5.
4、 1471年米勒向诺德尔教授提出的有趣问题：在地球表面的什么部位，一根垂直的悬杆看上去最长即可见角最大后人将其称为“米勒问题”，是载入数学史上的第一个极值问题.我们把地球表面抽象为平面，悬杆抽象为线段或直线l上两点A，则上述问题可以转化为如下的数学模型：如图1，一条直线l垂直于一个平面，直线l有两点A，B位于平面的同侧，求平面上一点C，使得最大.建立如图2所示的平面直角坐标系.设A，B两点的坐标分别为，设点C的坐标为，当最大时，()A. 2abB. C. D. ab【答案】B【解析】【分析】本题考查了两角和与差的正切函数公式，利用基本不等式求最值，正切函数的单调性，属于中档题.首先根据条件得到
5、，再根据基本不等式可求得的最大值，根据正切函数的单调性，即可判定答案.【解答】解：由题意可知是锐角，且，而，所以，而，当且仅当，即时取等号，所以当时，此时最大，故选：6. 在三棱锥中，平面BCD，则已知三棱锥外接球表面积的最小值为()A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】本题考查三棱锥的外接球，考查线面垂直的性质，基本不等式的应用等知识，属于难题.设，求得的外接圆的半径为，结合图形求得三棱锥外接球半径，然后换元利用基本不等式及不等式的性质得的最小值，从而可得面积的最小值【解答】解：如图，设，K为的外心，O为三棱锥外接球的球心，则平面BCD，又平面BCD，所以，平面BCD，则，四边形
6、OKDA是直角梯形，设，由平面BCD，平面BCD，得，则，即，又，则，令，则，当且仅当，即时等号成立，所以三棱锥外接球表面积，故选7. 已知双曲线和椭圆的右焦点分别为，分别为上第一象限内不同于B的点，若，则四条直线的斜率之和为()A. 1B. 0C. D. 不确定值【答案】B【解析】【分析】本题考查椭圆方程、双曲线方程，直线与圆锥曲线的综合知识，考查逻辑推理、运算求解能力，考查数形结合、等价转化等数学思想，属于较难题依题意，先证明O、P、Q三点共线，是解题的关键，又，且，利用相似比可得，进一步得到，再利用点在曲线上代入方程得出相应等式，利用O、P、Q三点共线得，最后利用斜率公式代入得【解答】解
7、：设O为原点，则，而，得，于是O、P、Q三点共线，因为，所以，且，得，设、，点P在双曲线的上，有，则设直线的斜率分别是，所以 又由点Q在椭圆上，有同理可得 、P、Q三点共线，由、得8. 【答案】C【解析】略9. 下列命题中正确是()A. 中位数就是第50百分位数B. 已知随机变量X，若，则C. 已知随机变量，且函数为偶函数，则D. 已知采用分层抽样得到的高三年级男生、女生各100名学生的身高情况为：男生样本平均数172，方差为120，女生样本平均数165，方差为120，则总体样本方差为【答案】ACD【解析】【分析】本题考查百分位数、二项分布反差，正态分布，样本方差，属于中档题.【解答】中位数就
8、是第50百分位数，选项A正确;对选项B，X，则，故B错误;对选项C，函数为偶函数，则，区间与关于对称，故，选项C正确;对选项D，分层抽样的平均数，按分成抽样样本方差的计算公式答案选： ACD10. 重庆荣昌折扇是中国四大名扇之一，始于1551年明代嘉靖年间，明末已成为贡品人朝，产品以其精湛的工业制作而闻名于海内外经历代艺人刻苦钻研、精工创制，荣昌折扇逐步发展成为具有独特风格的中国传统工艺品，其精雅宜士人，其华灿宜艳女，深受各阶层人民喜爱古人曾有诗赞曰：“开合清风纸半张，随机舒卷岂寻常；金环并束龙腰细，玉栅齐编凤翅长，偏称游人携袖里，不劳侍女执花傍；宫罗旧赐休相妒，还汝团圆共夜凉”图1为荣昌折扇
9、，其平面图为图2的扇形COD，其中，动点P在上含端点，连结OP交扇形OAB的弧于点Q，且，则下列说法正确的是()A. 若，则B. 若，则C. D. 【答案】ABD【解析】【分析】本题考查了三角函数与向量的综合建立平面直角坐标系，表示出相关点的坐标，设，可得，由，结合题中条件可判断A，B；表示出相关向量的坐标，利用数量积的运算律，结合三角函数的性质，可判断C，【解答】解：如图，作，分别以OC，OE为x，y轴建立平面直角坐标系，则，设，则，由可得，且，若，则，解得，负值舍去，故，A正确；若，则，故B正确；由于，故，故，故C错误；由于，故，而，故，故D正确，故选11. 在长方体中，则下列命题为真命题
10、的是()A. 若直线与直线CD所成的角为，则B. 若经过点A的直线l与长方体所有棱所成的角相等，且l与面交于点M，则C. 若经过点A的直线m与长方体所有面所成的角都为，则D. 若经过点A的平面与长方体所有面所成的二面角都为，则【答案】ABC【解析】【分析】本题考查异面直线所成角及线面夹角以及二面角求解，属于较难题.A根据长方体的性质找到直线与直线CD所成角的平面角即可;B构建空间直角坐标系，根据线线角相等，结合空间向量夹角的坐标表示求，即可求M坐标，进而确定线段长;C、D将长方体补为以4为棱长的正方体，根据描述找到对应的直线 m，平面，结合正方体性质求线面角、面面角的正弦值.【解答】解：如下图
11、，直线与直线CD所成角，即为直线与直线AB所成角，则，正确;构建如下图示的坐标系，过A的直线l与长方体所有棱所成的角相等，与面交于且x，又，则，故，则，正确.如下图，过A的直线m与长方体所有面所成的角都为，则直线m为以4为棱长的正方体的体对角线AM，故，正确;如下图，过A的平面与长方体所有面所成的二面角都为，只需面与以4为棱长的正方体中相邻的三条棱顶点所在平面平行，如平面EDF，故，则，错误.故选12. 过平面内一点P作曲线两条互相垂直的切线、，切点为、不重合，设直线、分别与y轴交于点A、B，则下列结论正确的是()A. 、两点的纵坐标之积为定值B. 直线的斜率为定值C. 线段AB的长度为定值D
12、. 三角形ABP面积的取值范围为【答案】BCD【解析】【分析】本题考查了导数的几何意义，利用导数判断函数的单调性以及最值，直线的斜率公式，属于较难题.A.由条件可知两条直线的斜率存在时，斜率之积为，讨论的位置，即可判断；B.由两点的坐标，表示直线的斜率，即可判断；C.分别求切线方程，并表示点的坐标，即可求线段AB的长度；D.根据切线方程，求交点P的横坐标，因为为定值，即转化为求点P的横坐标的取值范围，即可得解.【解答】解：因为，所以，当时，；当时，不妨设点，的横坐标分别为，且，若时，直线，的斜率分别为，此时，不合题意；若时，则直线，的斜率分别为，此时，不合题意.所以或，则，由题意可得，可得，若
13、，则；若，则，不合题意，所以，选项A对；对于选项B，易知点，所以，直线的斜率为，选项B对；对于选项C，直线的方程为，令可得，即点，直线的方程为，令可得，即点，所以，选项C对；对于选项D，联立可得，令，其中，则，所以，函数在上单调递增，则当时，所以，选项D对.故选13. 若函数，的最大值为2，则常数的一个取值为_.【答案】【解析】【分析】本题考查三角恒等变换，辅助角公式，三角函数最值，以及考查运算能力，属于中档题由两角和差公式，及辅助角公式化简得，其中，结合题意可得，解得，即可得出答案【解答】解：，其中，所以最大值为，所以，即，所以，所以，当时，故答案为：14. 的展开式中的系数为_用数字作答【
14、答案】【解析】【分析】本题考查二项式指定项的系数，二项展开式及其通项，属于中档题.先将看成一项，得到展开式通项公式，确定，进而简化通项公式，得到与时满足要求，求出展开式中的系数，相加得到答案.【解答】解：的展开式通项公式为，由于求解的是展开式中的系数，故，其中展开式通项公式为，令，得：，此时展开式中的系数为，令，得：，此时展开式中的系数为，综上：展开式中的系数为故答案为：15. 若对于任意的x，不等式恒成立，则b的取值范围为_.【答案】【解析】【分析】本题主要考查了导数中的恒成立问题，利用导数求函数的最值，属于中档题.由，得，设，利用导数求出函数的最值，即可确定出b的取值范围【解答】解：由，得
15、，设，则，令，得，在上单调递减，在上单调递增，所以最小值为，即，两边取对数得，即，令，则，令，得，在上单调递增，在上单调递减，则当时，取最大值，所以b的取值范围是16. 弓琴如图，它脱胎于古代的猎弓也可以称作“乐弓”，是我国弹弦乐器的始祖古代有“后羿射十日”的神话，说明上古生民对善射者的尊崇，乐弓自然是弓箭发明的延伸古代传说将“琴”的创始归于伏羲，也正由于他是以渔猎为生的部落氏族首领在我国古籍吴越春秋中，曾记载着：“断竹、续竹，飞土逐肉”，常用于民歌或舞蹈伴奏，流行于台湾原住民中的布农、邹等民族聚居地区弓琴的琴身下部分可近似的看作是半椭球的琴腔，其正面为一椭圆面，它有多条弦，拨动琴弦，发音柔弱
16、，音色比较动听，现有某专业乐器研究人员对它做出改进，安装了七根弦，发现声音强劲悦耳如图2，是一弓琴琴腔下部分的正面图若按对称建立如图所示坐标系，恰为左焦点，均匀对称分布在上半个椭圆弧上，为琴弦，记，数列前n项和为，椭圆方程为，且，则取最小值时椭圆的离心率为_. 图1 图2【答案】【解析】【分析】本题考查椭圆的第二定义、性质与方程，可设，有，由焦半径公式有，由对称性得，成等差数列，从而可求，这样求得，再利用基本不等式成立条件求出离心率本题属于中档题.【解答】解：设，有，得为椭圆的离心率，数列是等差数列，由题意，的横坐标把AB八等分，所以，又，故，当且仅当时取等号，椭圆离心率为故答案为：17. 如
17、图，在三棱锥中，为等腰直角三角形，为正三角形，D为AC的中点证明：平面平面PAC；若二面角的平面角为锐角，且三棱锥的体积为，求二面角的正弦值【答案】解：证明：，D为AC中点，又是等边三角形，BD，平面PDB，平面PDB，平面PAC，平面平面PDB；是等边三角形，的面积为，设三棱锥的底面ABC上的高为h，则，解得，为等腰直角三角形，作交于O，则，又，是DB的中点，以O为坐标原点，OB所在直线为x轴，在平面ABC中过O作BD的垂线为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，设是平面PAB的一个法向量，则，取，得，设平面PBC的一个法向量，则，取，得，故二面角的正弦值为【解析】本题考查面面垂直的判定以及
18、利用空间向量求平面与平面所成角的正弦值，属于中档题求出，平面PDB，由此能证明平面平面作于O，O是DB的中点，以O为坐标原点，OB为x轴，在平面ABC中过O作BD的垂线为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的正弦值18. 在数列中，求的通项公式.设的前n项和为，证明：【答案】解：，又，数列是首项为，公比为的等比数列，从而，则证明：，设，则，两式相减得，从而，故【解析】本题考查数列的递推关系，等比数列的通项公式以及错位相减法求和，属于中档题.根据题意得到，从而数列是首项为，公比为的等比数列，进而求出的通项公式.，再运用错位相减法求和即可.19. 设是一个二维离散型随机变量
19、，它们的一切可能取的值为，其中i，N，令，称N是二维离散型随机变量的联合分布列与一维的情形相似，我们也习惯于把二维离散型随机变量的联合分布列写成下表形式：现有N个相同的球等可能的放入编号为1，2，3的三个盒子中，记落下第1号盒子中的球的个数为X，落入第2号盒子中的球的个数为当时，求的联合分布列；设，N且，计算【答案】解：可取0，1，2；Y可取0，1，2，则，故的联合分布列为：当时，于是，因此，设Z服从二项分布，则【解析】本题考查了离散型随机变量的均值以及独立重复试验的概率问题，考查计算能力，是较难题.根据题意，X可取0，1，2；Y可取0，1，2，应用独立事件的乘法公式求相对应的概率，即可得到分
20、布列；计算，得Z服从二项分布，再计算即可.20. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知若，证明：；若，证明：【答案】证明：由正弦定理，所以，由余弦定理可得，所以由已知可得，即，因为，所以；由已知得，又由正弦定理可得，因为，所以，由知，则，又由正弦定理可得，又，则，将以及代入可得，整理可得，因为，所以，则，令，则，则，当时，恒成立，所以在上单调递减.所以，即综上所述，【解析】本题考查正、余弦定理的综合应用，三角恒等变换的应用，利用导数求函数的最值，属于困难题.根据正余弦定理角化边，整理即可；根据正弦定理推得，即可得到；通过分析，可得以及，代入，整理可得到，令，构造，求导得到在上单调递减
21、，进而得到，即可得到结果.21. 已知椭圆的左、右焦点分别为，焦距与短轴长均为求E的方程;设任意过的直线为l交E于M，N，分别作E在点M，N上的两条切线，并记它们的交点为P，过作平行于l的直线分别交于A，B，求的取值范围.【答案】解：由题意得，解得，所以椭圆E的方程为由题意得，显然l的斜率不为0，设直线l的方程为，联立，消x整理得，由题意知，M，N不在x轴上，则分别作E在点M，N上的两条切线的斜率存在，联立过M，N的切线方程，整理得相减可得，即，化简可得，代入，可得，故设MN的中点为，则，故，因为，所以，所以O，Q，P三点共线，又过作平行于l的直线分别交PM，PN于A，B，易得，取AB中点R，
22、根据三角形的性质有R，O，Q，P四点共线，结合椭圆的对称性有，当且仅当时取等号，所以【解析】本题考查求椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系及其应用，中点坐标公式，属于较难题.根据焦距和短轴长的公式求解即可;设l的方程为，联立直线与椭圆的方程，根据椭圆的切线方程，联立可得，设MN的中点为，根据韦达定理可得，再结合三角形与椭圆的性质可得R，O，Q，P四点共线，从而化简，再根据Q，P的横坐标关系，结合参数的范围求解即可.22. 设连续正值函数定义在区间上，如果对于任意，都有，则称为“几何上凸函数”已知，.讨论函数的单调性；若，试判断是否为上的“几何上凸函数”，并说明理由【答案】解：定义域为，的导函数，当时，故在单调递减;当时，由得：由得于是在单调递减，在单调递增，综上，当时，在单调递减;当时，在单调递减，在单调递增.是上的几何上凸函数，证明如下：由可知，当时，在单调递减，在单调递增.故，故为连续正值函数，由于，要证是上的几何上凸函数.需证，即证，则，需证，由，且故只需证，下面给出证明：设，则，即在上，递减，而，所以，即，综上，成立，故，得证.【解析】本题考查函数的新定义问题，利用导数研究函数的单调性，着重考查推理证明的逻辑思维能力，属于难题求导，利用导数即可研究函数的单调性；根据几何上凸函数的定义，结合导数即可判断.解析 第 28 页 (共 28 页)学科网（北京）股份有限公司
