1、B1D1A DC1B CA1线线角与线面角习题 新泰一中 闫辉一、复习目标1.理解异面直线所成角的概念,并掌握求异面直线所成角的常用方法 2.理解直线与平面所成角的概念，并掌握求线面角常用方法3.掌握求角的计算题步骤是“一作、二证、三计算”,思想方法是将空间图形转化为平面图形即“降维”的思想方法.二、课前预习1.在空间四边形 ABCD 中，AD=BC=2, E、F 分别为 AB、CD 的中点且 EF= ，AD、BC 所成3的角为 .2.如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中 ，B 1C 和 C1D 与底面所成的角分别为 60 和 45 ，则异面直线 B1C 和 C1D 所成角的余弦值为
2、 ( ) (A). (B). (C). (D). 46362633.平面 与直线 所成的角为 ,则直线 与平面 内所有直线所成的角的取值范aa围是 4.如图,ABCD 是正方形,PD 平面 ABCD,PD=AD,则 PA 与 BD 所成的角的度数为(A).30 (B).45 (C).60 (D).905.有一个三角尺 ABC,A=30 , C=90 ,BC 是贴于桌面上 ,当三角尺与桌面成 45 角时,AB 边与桌面所成角的正弦值是 三、典型例题例 1.(96全国) 如图, 正方形 ABCD 所在平面与正方形ABEF 所在平面成 60 角, 求异面直线 AD 与 BF 所成角的余弦值.备课说明
3、:1. 求异面直线所成的角常作出所成角的平面图形.作法有:平移法:在异面直线的一条上选择“特殊点”,作另一条直线平行线或利用中位线.补形法:把空间图形补成熟悉的几何体,其目的在于容易发现两条异面直线的关系.2.解立几计算题要先作出所求的角, 并要有严格的推理论证过程,还要有合理的步骤.例 2.如图在正方体 AC1 中, (1) 求 BC1 与平面 ACC1A1 所成的角; (2) 求 A1B1 与平面 A1C1B 所成的角.备课说明:求直线与平面所成角的关键是找直线在此平面上的射影,为此必须在这条直线上找一点作平面的垂线. 作垂线的方法常采用:利用平面垂直的性质找平面的垂线.点的射影在面内的特
4、殊位置.ACBADC1D1A1 B1CBDA BPCDACBF E例 3.已知直三棱住 ABC-A1B1C1,AB=AC, F为棱 BB1 上一点,BFFB 1=21, BF=BC= . (1)若 D 为a2BC 的中点,E 为线段 AD 上不同于 A、D 的任意一点,证明：EFFC 1; (2)试问:若 AB= ,在线段 AD 上的 E 点能否使 EF 与平面 BB1C1C 成 60 角,为什么? 证明你的结论.备课说明:这是一道探索性命题,也是近年高考热点问题, 解决这类问题,常假设命题成立, 再研究是否与已知条件矛盾,从而判断命题是否成立.四、反馈练习1 设集合 A、B、C 分别表示异面
5、直线所成的角、平面的斜线与平面所成的角、直线与平面所成的角的取值范围,则(A)A=B=C (B)A=B C (C)A B C (D) B A C.2 两条直线 , 与平面 所成的角相等, 则直线 , 的位置关系是 abab(A)平行 (B)相交 (C)异面 (D) 以上均有可能.3 设棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，M、N 分别为 AA1 和 BB1 的中点，则直线 CM 和D1N 所成角的正弦值为 .4 已知 、 是一对异面直线，且 、 成 60o 角，则在过空间任意点 P 的所有直线中，与、 均成 60o 角的直线有 条.ab5 异面直线 、 互相垂直， 与 成 30
6、o 角，则 与 所成角的范围是 .cacb6 ACB=90 在平面 内,PC 与 CA、CB 所成的角PCA=PCB=60 o,则 PC 与平面 所成的角 为 .7 设线段 AB= ,AB 在平面 内,CA ,BD 与 成 30 角 ,BDAB,C、D 在 同侧,CA=BD= .ab求: (1)CD 的长;(2)CD 与平面 所成角正弦值.A1CBAB1DC1EFACDB课前预习1. 60 2.A 3. , 4.C 5.3246典型例题例 1 解:CBADCBF 为异面直线 AD 与 BF 所成的角.连接 CF、CE 设正方形 ABCD 的边长为 ,则 BF= CBAB, EBAB CEB 为
7、平面 ABCD 与平面 ABEF 所成的角a2CBE=60 CE= FC= cosCBF=a242例 2 解:(1)设所求的角为 ,先证 BD平面 ACC1A1,则 sin =sinOC 1B= = .故BCO2=30o.(2)A 1BC1 是正三角形 ,且 A1B1=B1C1=BB1. 棱锥 B1-A1BC1 是正三棱锥.过 B1 作B1H 平面 A1BC1,连 A1H, B 1A1H 是直线 A1B1 与平面 A1C1B 所成的角.设 A1B1= 则 A1B=a得 A1H= .故 cosB 1A1H= = .所求角为a2363636arcos例 3 解:(1)连接 OF,容易证明 AD面
8、BB1C1C, DF 是 EF 在面 B1C1CB 的射影,且 DFFC 1,FC 1EF.(2) AD 面 BB1C1C, EFD 是 EF 与平面 BB1C1C 所成的角.在EDF 中,若EFD=60 ,则 ED=DFtan60 = = ,AB=BC=AC=2 ,AD= . 5a5.E 在 DA 的延长线上,而不在线段 AD 上;故线段 AD 上的 E 点不可能使 EF 与平面aBB1C1C 成 60 角.反馈练习1. D 2. D 3. 4. 3 5. 60 ,90 6. 45 9547.解:(1)作 DD 于 D,连接 AD,BD.CA ,CADD .四边形 CADD 是直角梯形,CA
9、D = D D A=90 ,AB ,ABDD.又 ABBD,AB平面 BDD,BD 平面BDD. ABBD.DBD是 BD 与 所成的角,DBD=30 ,BD= ,DD= ,BD= .在ABD中,b23bAB= ,BD= ,ABD=90 ,AD= = .在 CADD 中，CD=a232BDA432ba.222 )(aDAC(2)作 D C DC 交 CA 于 C,C D A 是 CD 与 所成的角,sinCD A=.2 ba线面角与面面角练习一、知识与方法要点：1斜线与平面所成的角就是斜线与它在平面内的射影的夹角。求斜线与平面所成的角关键是找到斜线在平面内的射影，即确定过斜线上一点向平面所作垂
10、线的垂足，这时经常要用面面垂直来确定垂足的位置。若垂足的位置难以确定，可考虑用其它方法求出斜线上一点到平面的距离。2二面角的大小用它的平面角来度量，求二面角大小的关键是找到或作出它的平面角(要证明)。作二面角的平面角经常要用三垂线定理，关键是过二面角的一个面内的一点向另一个面作垂线，并确定垂足的位置。若二面角的平面角难以作出，可考虑用射影面积公式求二面角的大小。3判定两个平面垂直，关键是在一个平面内找到一条垂直于另一个平面的直线。两个平面垂直的性质定理是：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面二、例题例 1正方体 ABCD-A1B1C1D1中，M 为 C1D1中
11、点(1)求证：AC 1平面 A1BD(2)求 BM 与平面 A1BD 成的角的正切值解： (1)连 AC， C 1C平面 ABCD， C 1CBD又 ACBD， AC 1BD同理 AC1A 1BA 1BBD=BAC 1平面 A1BD(2)设正方体的棱长为 ，连 AD1，AD 1交 A1D 于 E，连结 ME，在D 1AC1中，MEAC 1，aAC 1平面 A1BDME平面 A1BD连结 BE，则MBE 为 BM 与平面 A1BD 成的角在 中， ，RtM32ACEa， 26BEaatnBE例 2如图，把等腰直角三角形 ABC 以斜边 AB 为轴旋转，使 C 点移动的距离等于 AC 时停止，并记
12、为点 P（1）求证：面 ABP面 ABC；（2）求二面角 C-BP-A 的余弦值证明（1） 由题设知 APCPBP点 P 在面 ABC 的射影 D 应是ABC 的外心，即 DABPDAB，PD 面 ABP，由面面垂直的判定定理知，面 ABP面 ABC（2）解法 1 取 PB 中点 E，连结 CE、DE、CDBCP 为正三角形，CEBDBOD 为等腰直角三角形，DEPBCED 为二面角 C-BP-A 的平面角又由（1）知，面 ABP面 ABC，DCAB，AB面 ABP面 ABC，由面面垂直性质定理，得 DC面 ABPDCDE因此CDE 为直角三角形设 ，则 ， ， BC321D132cosDEC
13、例 3如图所示，在正三棱柱 中， ，截面 侧面 1AB1B1AC1(1)求证： ；1E(2)若 ，求平面 与平面1A1所成二面角(锐角)的度数证明：在截面 A1EC 内，过 E 作 EGA C，G 是垂足，如图，1面 A EC面 AC ，EG侧面 AC 11取 AC 的中点 F，分别连结 BF 和 FC，由 ABBC 得 BFAC面 ABC侧面 AC ，BF侧面 AC ，1得 BFEGBF 和 EG 确定一个平面，交侧面 AC 于 FG1BE侧面 AC ，BEFG，四边形 BEGF 是 ，BEFG1BEAA ，FGAA ，AA CFGC1解：(2)分别延长 CE 和 C1B1 交于点 D，连结
14、 A D1B A C B C A 60，11DA C DA B B A C 90，即 DA A C CC 面 A C B ，111111由三垂线定理得 DA A C，所以 CA C 是所求二面角的平面角且1A C C90 1CC AA A B A C ，CA C 45，即所求二面角为 4511说明：如果改用面积射影定理，则还有另外的解法三、作业： 1已知平面的一条斜线 a 与平面 成角，直线 b，且 a,b 异面，则 a 与 b 所成的角为（A）A有最小值，有最大值 B无最小值，有最大值 。22C有最小值，无最大值 D有最小值 ，有最大值。2下列命题中正确的是 （D）A过平面外一点作该平面的垂
15、面有且只有一个B过直线外一点作该直线的平行平面有且只有一个C过直线外一点作该直线的垂线有且只有一条D过平面外的一条斜线作该平面的垂面有且只有一个3一条长为 60 的线段夹在互相垂直的两个平面之间，它和这两个平面所成的角分别为45和 30，这条线段的两个端点向平面的交线引垂线，则垂足间的距离是 （A）A30 B20 C15 D124设正四棱锥 SABCD 的侧棱长为 ，底面边长为 ，E 是 SA 的中点，则异面直线23BE 与 SC 所成的角是 （C）A30 B45 C60 D905正三棱锥的侧面与底面所成的二面角为 ，则它的侧棱与底面所成的角为arctn226 A 是BCD 所在平面外的点，
16、BAC= CAB=DAB=60，AB=3，AC=AD=2.（）求证：ABCD； （）求 AB 与平面 BCD 所成角的余弦值.7正四面体 ABCD 中，E 是 AD 边的中点，求：CE 与底面 BCD 所成角的正弦值解 过 A，E 分别作 AH面 BCD，EO 面 BCD，H，O 为垂足，AH 2OE，AH，OE 确定平面 AHD，连结 OC，ECO 即为所求AB=AC=AD，HB=HC=HDBCD 是正三角形， H 是BCD 的中心，连结 DH 并延长交 BC 于 F，F 为 BC 的中点，在 RtADH 中，23DHa8在四面体 ABCD 中，DA面 ABC，ABC90，AECD，AFDB
17、求证：（1）EFDC；（2）平面 DBC平面 AEF证明 如图 1-83 （1）AD面 ABCADBC又ABC90BCABBC面 DABDB 是 DC 在面 ABD 内的射影AFDBAFCD（三垂线定理） AECDCD平面 AEFCDEF（2）CDAE，CDEFCD面 AEFCD 面 BCD面 AEF面 BCD（3）由 EFCD，AECD AEF 为二面角 B-DC-A 的平面又AFDB，AFCD，BDCDD AF平面 DBC，二面角题目：例 1 如图所示，已知 面 ， ，二面角PABC,PBABCSS DCBPAEDBCAODACB的平面角为 ，求证：PBCAcosS2如图，在空间四边形 中
18、， 是正三角形， 是等腰直角三角形，且ABCDABD，又二面角 为直二面角，求二面角 的大小。90oCB例 3设 在平面 内的射影是直角三角形 的斜边 的ABCDBCD中点 ， ，O1,2求（1）AC 与平面 BCD 所成角的大小；（2 ）二面角 的大小；（3 ）异面直线 AB 和 CD 所成角的大小。例 4.在正方体 中， 为 的中点，求截面 与底面 所ABCDMADMBAC成较小的二面角的大小。选用：如图，正方体的棱长为 1， ，求：BCOI（1） 与 所成角；AOC（2） 与平面 所成角的正切值；D（3）平面 与平面 所成角 奎BA解：（1） 与 所成角就是/ C 平面 （三垂线定理）,A在 中， RtAC2,C30Oo（2）作 ，平面 平面OEBBDOE DCFBADC FHBA E 平面 ， 为 与平面 所成角OEABCDOEABCD在 中， Rt2115,()5tanOEA（3） 平面, 又 平面 平面 平面O即平面 与平面 所成角为 奎AB90o
