1、 1 复旦大学数学科学学院复旦大学数学科学学院 2012011 12012012 2 学年第二学期期末考试试卷学年第二学期期末考试试卷 A 卷 数学科学学院数学科学学院 1（本题满分 42 分，每小题 7 分）计算下列各题： （1）设 4 yx yx z ，求dz。 （2）求曲线1) 32() 12( 22 yxyx所围有界区域的面积。 （ 装 订 线 内 不 要 答 题 ） 2 （3）计算三重积分 dxdydzyx)( 22 ，其中为抛物面 22 yxz与平面hz （0h)所围的有界闭区域。 （4）计算第一类曲面积分 dSy 2 ，其中是球面 2222 azyx（0a)。 3 （5）求幂级数
2、 1 ! 1 n n x n n 的和函数。 （6）求微分方程yxy xdx dy 4 （0x，0y）的通解。 4 2 （本题满分 8 分）求函数 222 ),(zyxzyxf在条件1czbyax下的最小 值，其中a，b，c为常数。 3 （本题满分 10 分）确定常数，使得右半平面0| ),(xyx上的向量值函数 ir )(2),( 24 yxxyyxj )( 242 yxx为某二元函数),(yxu的梯度， 并求),(yxu。 5 4 （本题满分 10 分）计算第二类曲面积分 zxdxdyxydzdxdydzx48)1 (2 2 ，其 中是由Oxy平面上的曲线 2 y ex （10 y）绕x轴
3、旋转一周而成的旋转曲面， 且该曲面的法向量与x轴正向的夹角不小于 2 。 5 （本题满分 10 分） 设)(xyn是定解问题 0) 1 (, 0) 1 ( , 1 2 2 yy x dx dy n dx yd x n 的解 （, 3, 2n） 。 （1）求)(xyn（, 3, 2n） ； （2）问级数 2 ln)0( n n ny是否收敛？请说明理由。 6 6 （本题满分 12 分）设0。 （1）求函数 |, 0 ,|, 1 )( x x xf 的 Fourier 级数； （2）求级数 1 2sin n n n 及 1 2 2 sin n n n 的和。 7 7 （本题满分 8 分）已知曲面 1 ： 222 RyxRz和 2 ： 22 yxRz（0R)。 证明： 1 上任一点处的切平面与曲面 2 所围立体的体积与该点的位置无关。
