1、【阿波罗尼奥斯问题的热尔岗解法】 0 【金占魁系列丛书金占魁系列丛书】 我是一朿缈缈烛光我是一朿缈缈烛光，可完结你黑暗中的漫漫求索可完结你黑暗中的漫漫求索! ! + + 阿氏问题的热尔岗解法 金 占 魁 尺 规 作 图 系 列 丛 书金 占 魁 尺 规 作 图 系 列 丛 书 【阿波罗尼奥斯问题的热尔岗解法】 1 【金占魁系列丛书金占魁系列丛书】 我是一朿缈缈烛光我是一朿缈缈烛光，可完结你黑暗中的漫漫求索可完结你黑暗中的漫漫求索! ! 阿波罗尼奥斯问题阿波罗尼奥斯问题的的热尔岗解法热尔岗解法 金占魁 湖北随县第一高级中学 写在前面的话写在前面的话 在这习习的晚风里 我在追忆着失落的过去 在这泱
2、泱的波光中 我在寻觅你残留的痕迹 曾经是星星月亮般的情意 古老的神话传说着它们永不分离 听着古老的歌谣，翻着昔日的笔记，不知何时就到了怀旧的年龄。这个暑 期酷热而慢长，人闲思绪多，忽然有一股想把所了解的知识系统归纳的冲动， 想到了也就干了起来。 时常引起人们的错觉的是这样的两个尺规作图问题，一个是三等分角问题， 另一个是阿波罗尼奥斯问题。作一个角的三等分线，看起来很简单，简单到一 个刚学会怎么使用直尺和圆规的人，就会埋头猛攻起世界难题来了，到目前为 止，竟然还有牛人在网上发布视频，来说明自己是如何如何破解三等分角的!但 冷酷的事实是它是不可能的!而另一个呢，给出三个相离的已知圆，让你作出与 它
3、们都相切的圆来，如果你第一次听说这样的一个问题，你感到无从下手的是， 圆心该怎么确定？半径又该怎么确定呢？似乎是山重水复疑无路吧？可我会用 后面的章节告诉你，山水尽处是平川，这个问题是有多种作法的! 历史上，这两个烧脑的问题曾引起众多大咖们的青睐，他们的思想和方法引 领着无数后继者。三等分角问题至今热度不减，中学生都能理解，也敢勇于试探。 阿波罗尼奥斯问题却好景不再，圆幂定理相关内容已成为选修内容，中学生都难 以领会了，更不用说用圆规去探究了。能理解这本书内容的大概也是上了岁数的 人了，是故把书名定为阿波罗尼奥斯问题的末班车，用以纪念我们曾经的热 情和兴致。 同时，在此向本书部分内容提供过借鉴
4、的同仁们，表示崇高的敬意! 附，为简便计，圆的记法先作如下约定： (ABC)-表示过A、B、C三点的圆,不指明圆心。 A(R)-表示以A为圆心，以R为半径的圆。 A(R-r)-表示以A为圆心，以(R-r)为半径的圆。 A(BC)-表示以A为圆心，以线段BC为半径的圆。 2019年7月于随州 【阿波罗尼奥斯问题的热尔岗解法】 2 【金占魁系列丛书金占魁系列丛书】 我是一朿缈缈烛光我是一朿缈缈烛光，可完结你黑暗中的漫漫求索可完结你黑暗中的漫漫求索! ! 目目 录录 第一章第一章 阿波罗尼奥斯问题的阿波罗尼奥斯问题的简介简介 0303 第第二二章章 阿波罗尼奥斯问题之解法基础阿波罗尼奥斯问题之解法基
5、础 一一. .常用常用定理定理及结论及结论0909 二二. .常常见见概念及作法概念及作法1616 三三. .圆退化为点圆退化为点时时的图形及规律的图形及规律 2323 四四. .圆退化为线圆退化为线时时的图形及规律的图形及规律 2626 第第三三章章 阿波罗尼奥斯问题之阿波罗尼奥斯问题之热尔岗解法热尔岗解法 一一. .PPCPPC点点圆点点圆 3030 二二. .LLCLLC线线圆线线圆 LLC线线圆的线线圆的一般位置一般位置. .3232 LLCLLC线线圆特款线线圆特款.3333 三三. .PLCPLC点线圆点线圆 PLCPLC点线圆点线圆一般位置一般位置. .3434 PLCPLC点线
6、圆的特款点线圆的特款3 35 5 四四. .PCCPCC点圆圆点圆圆 PCCPCC点圆圆点圆圆一般位置一般位置. .3636 PCCPCC点圆圆的特款点圆圆的特款 3737 五五. .LCCLCC线圆圆线圆圆 LCCLCC线圆圆线圆圆一般位置一般位置3939 福特圆的作法福特圆的作法 4 40 0 六六. .CCCCCC圆圆圆圆圆圆 三圆两两相三圆两两相交交 4141 三圆两两相三圆两两相切切-索迪圆的作法 4343 三圆两两外离三圆两两外离. 4343 【阿波罗尼奥斯问题的热尔岗解法】 3 【金占魁系列丛书金占魁系列丛书】 我是一朿缈缈烛光我是一朿缈缈烛光，可完结你黑暗中的漫漫求索可完结你黑
7、暗中的漫漫求索! ! 第一章第一章 阿波罗尼奥斯问题的阿波罗尼奥斯问题的简介简介 在数学历史的长河中，飞溅着无数个令人惊艳的浪花，有一个著名 的尺规作图问题就从古激荡至今-作出一个与平面上三个给定圆都相 切的圆。如图1： 图1. 三圆外离时有八种符合条件的切圆 古希腊的数学家阿波罗尼奥斯提出了这个问题，并解决了这个的问 题，可惜的是他的解答已经失传了，但问题本身却在帕普斯的研究成果 报告中得以幸存下来。这个悬案问题一直是一个挑战，它吸引了诸如笛 卡尔、牛顿、欧拉、高斯、热尔岗和彭赛列等数学名家，他们为这朵浪 花增添了亮丽的色彩，正是因为他们的积极参与，宛如一场跨世纪的技 能大比拼，更使得阿波罗
8、尼奥斯问题举世瞩目。 阿波罗尼奥斯问题的大事纪： 1.公元前3世纪,古希腊大数学家阿波罗尼奥斯(Apollonius,前260- 前190)提出了阿波罗尼奥斯问题，并解决了这个的问题(失传)。 2.三世纪亚历山大城的希腊数学家帕普斯(Pappus,约300约350)在 数学汇编中记录了阿波罗尼奥斯问题，并尝试了阿波罗尼奥斯问题 的解答。 3.法国数学家韦达(F.Vietta,15401603)根据前人的研究,对论 相切一书作了复原，同时系统论述了阿波罗尼奥斯提出的问题，给出 了最接近阿氏思想的解答，被认为是对阿波罗尼奥斯问题的合理复原。 4.1596年,比利时数学家范罗门(A.Van Room
9、en，15971652)使用两 条双曲线的交点来确定解圆圆心的方法，但不被韦达认可，因为范罗门 的解法并不符合只使用尺规的要求。 5.牛顿(I.Newton,16421727)在普遍的算术中复制了韦达的解 法，1687年，牛顿又在自然哲学之数学原理中,再次回到阿波罗尼奥 斯问题上来，他的解法利用了范罗门的思路,应用了双曲线的焦点及准线 的性质，使双曲线法的尺规作图成为可能。爱尔兰数学家约翰凯西(J Casey 1802-1891)在1881年对范罗门的方法也进行了改进。 【阿波罗尼奥斯问题的热尔岗解法】 4 【金占魁系列丛书金占魁系列丛书】 我是一朿缈缈烛光我是一朿缈缈烛光，可完结你黑暗中的漫
10、漫求索可完结你黑暗中的漫漫求索! ! 6.笛卡尔(Ren Descartes，1596-1650)用代数方法找到了两种解 法，其繁琐程度就连笛卡儿本人都不会用尺规尝试。不久，波希米亚的 伊丽莎白公主(Elizabeth, 15961662)也得出了代数解，笛卡儿认为她 的解法不比他的高明多少。 7.1788年,欧拉(L.Euler,17071783)和他的学生及朋友尼古拉弗 斯(N.Fuss, 17551826)在“圣彼得堡科学院院刊”上分别发表了一个 代数解法。 8.1801年，蒙日的学生数学家卡诺(L.N.M.Carnot,17531823)在 几何图形的相互关系中,利用二次方程求出了阿波
11、罗尼奥斯问题中解 圆的半径,并将切点作为位似中心来确定。1803年，在另一部著作位置 几何学中,卡诺又概述了阿波罗尼奥斯问题的代数解法。 9.德国大数学家高斯(C.F.Gauss,17771855)在卡诺位置几何学 德译本(1810)的一个注释中,完成了卡诺的代数解法,并成功地对卡诺的 计算进行了简化。 10.1806年,巴黎综合工科学校一年级学生柯西(A.L.Cauchy,1789 1857) 发表了阿波罗尼奥斯问题的一个代数解法,这是柯西一生中发表的 第一篇论文。 11.1811年,柯西的校友彭赛列(Jean-Victor Poncelet，1788- 1867)也在一年级时发表阿波罗尼奥
12、斯问题的一个解法。1822年,彭赛列 在其图形之射影性质中给出了阿波罗尼奥斯问题的另一解法。 12.热尔岗(J.D.Gergonne,17711859)于1816年给出的阿波罗尼奥斯 问题的首个一般性结果，这是一个为人称道的最为优雅的解法。 13.1892年，法国数学家福切(M.Douche)应用等角圆方法再次解决了 阿波罗尼奥斯问题,不过他的这一解法与彭赛列的解法基本上并无二致。 引人注目的是,福切不仅给出问题的一般解,而且还根据已知三圆的位置 关系讨论了各种情况下解的个数,同时,他还说明自己的解法同样适用于 已知圆被换成点或直线时的特殊情形。 14.19世纪中叶,丹麦数学家彼得逊(J.Pe
13、tersen,18391910)利用反 演理论解决了阿波罗尼奥斯问题。 15.加拿大的考克斯特(H.S.M coxeter，19072003)上个世纪最伟 大的几何学家给出的环形解方法，另一个方法是挪威著名数学家索菲 斯李(Sophos-lie，1842-1899)提出的lie-sphere几何。 16.英国著名数学史家希思(T.L.Heath,18611940)对阿波罗奥尼斯 问题进行了复原工作。 17.1643年,笛卡儿求得“笛卡儿圆定理”;1842年,英国业余数学家 贝克罗夫特(P.Beecroft)重新发现了这个结果。1936年，诺贝尔化学奖 得主索迪(F.Soddy,18771956
14、)在自然杂志上，用诗歌形式发表了 “笛卡儿圆定理”, 索迪称之为“精确之吻”,如今人们把“与三个彼此 外切的圆均相切的圆”称为索迪圆。 18. 2001年，美国数学家埃普斯坦(D.Eppstein)从空间两两相切四 球的一个性质中导出了一个十分简妙的结论，对索迪圆有了一个新解法。 【阿波罗尼奥斯问题的热尔岗解法】 5 【金占魁系列丛书金占魁系列丛书】 我是一朿缈缈烛光我是一朿缈缈烛光，可完结你黑暗中的漫漫求索可完结你黑暗中的漫漫求索! ! 一般来说，三个给定的圆有八个与它们相切的解圆，这些解圆与三 个给定圆只存在着相切方式上不同，它们可分为：与三个圆都外切、与 两个圆外切另一个圆内切、与一个圆
15、外切另两个圆内切、与三个圆都内 切。 图2.解圆与三圆的外切及内切方式 如果细分的话，还可以成对加以考虑，它能对作图分析带来极大的 便利，至少热尔岗就是这样解决问题的。 图3.八个解圆成双地加以考量 当然，三个给定的圆也可出现退化的现象，其中的任何一个都可以 缩小到零半径（一个点）或扩展到无限半径（一条线）。 图4. 圆退化为点的过程 图5. 圆退化为线的过程(LCC有八个解，图中未完全画出) 【阿波罗尼奥斯问题的热尔岗解法】 6 【金占魁系列丛书金占魁系列丛书】 我是一朿缈缈烛光我是一朿缈缈烛光，可完结你黑暗中的漫漫求索可完结你黑暗中的漫漫求索! ! 图6. 圆退化为点和线的过程 从以上图示
16、可以看出，阿波罗尼奥斯问题及其退化就分成了十种情况:点点 点(PPP)、线线线(LLL)、点点线(PPL)、点线线(PLL)、点点圆(PPC)、线线圆 (LLC)、点线圆(PLC)、点圆圆(PCC)、线圆圆(LCC)、圆圆圆(CCC)。欧几里得在 原本中讨论了“PPP”、“LLL”的作法, 而阿波罗尼奥斯在论相切中讨 论了其余的八种。因点、线、圆的位置不同，解圆的个数也不尽相同，1895年, 英国数学家缪尔海德(R.F.Muirhead)在其论文“阿波罗尼奥斯相切问题解的个数 与性质”中完整地讨论阿波罗尼奥斯问题的解的个数。 为了解决阿波罗尼奥斯问题，数学家们开发了大量的几何和代数方法，我们
17、先来介绍一下代数方法，不论是谁，第一次看到阿波罗尼奥斯问题时，莫名地就 会有代数求解的想法。 阿波罗尼奥斯问题可以用解圆的圆心和半径的三个方程来表示，可设 圆心的坐标为(x、y)，半径为r，三个给定圆的圆心可设为(x1、y1)、(x2、 y2)和(x3、y3)，半径可设为r1、r2、r3 .因解圆与三个给定圆相切，可以表 示为x、y和r的三个二次方程组。 (x-x1) 2+(y-y1)2-(rr1)2=0 (1) (x-x2) 2+(y-y2)2-(rr2)2=0 (2) (x-x3) 2+(y-y3)2-(rr3)2=0 (3) 在(rri) 2中(i=1、2、3)，+号表示外切时符号，-号
18、表示内切时符号。 求解方程组即得出r的表达式，但其过于繁琐，这里没有写出它的结 果，不过表达式中只有加、减、乘、除、乘方、开平方运算，它是可以 用尺规作出的! 在解方程组的过程中，出现了关于r的二次方程，根据一元二次方程 的根的判别式，任何二次方程的两个根可以是三种类型：两个不同的实数 根、两个相同的实数根或一对复共轭根。第一种情况是：每对根对应于一 对通过圆反演相关联的解圆(反演基圆是已知三圆的正交圆)。在第二种情 况下，两个根是相同的，对应于一个解圆，在反演下其反形为自身，给定 的一个圆本身就是一个解圆，这样不同解的数目减少了一个。复共轭半径 的第三种情况与几何解不对应，因为解圆不能有一个
19、虚拟半径，因此，解 的数目减少了两个。有趣的是，阿波罗尼奥斯问题不能有7个解圆，尽管 解圆的个数可能是从0到8的任何其他的数字。 阿波罗尼奥斯奥斯问题的另一个重要思路是变换法，基本策略是将 一个给定的阿波罗尼奥斯问题转化为另一个更容易解决的阿波罗尼奥斯 【阿波罗尼奥斯问题的热尔岗解法】 7 【金占魁系列丛书金占魁系列丛书】 我是一朿缈缈烛光我是一朿缈缈烛光，可完结你黑暗中的漫漫求索可完结你黑暗中的漫漫求索! ! 问题。通过逆变换，从新问题的解中找到原问题的解。候选变换必须能 将给定的点、线和圆转换为其他点、线和圆，而不是变换成其他形状， 圆反演就具有这一特性。 如果三个给定圆中的两个不相交，则
20、可以恰当地选择反演基圆，使 这两个给定圆变换为同心圆。三个已知圆在这种环空反演下，三圆的反 形变为A(两个同心圆)和B，三个反形的解圆(红圆)的位置如图所示： 图7：ABC的边为a、b、c,左图中，2R=r2-r1 ,2b=r2+r1 ,a=r3R ,右图中， 2R=r2+r1 ,2b=r2-r1 ,a=r3R ,其中号取决于解圆C与B是外切还是内切。 当三个反形圆确定时，利用高斯方法可以很容易地解决阿波罗尼奥 斯问题(见下面步骤1.2.3.)。上图中设BAC=，根据余弦定理可得： cos=? ? ? = K ，=2arctan(? ? ) 这里计算的目的是，值的个数与解圆的个数是对应的。 为
21、了解决阿波罗尼奥斯问题，我们就必须要确定解圆的圆心或半径， 二者知其一即可。于是我们按如下步骤进行： 步骤步骤1 1. .把两个相离的给定圆反演成同心圆把两个相离的给定圆反演成同心圆。 (1)作两圆O1、O2的根轴，在根轴上任取一点P，作P与O1、O2正 交。P与直线O1O2交于两个定点E、F(共轴圆系的极限点)。 (2)作E(EF)，并把它作为反演基圆，则O1、O2的反形为同心圆 F(注意颜色的对应)，O3的反形通常为另一个圆。 图 8：红圆E 为反演基圆 步骤步骤2 2. .求反形求反形圆圆的半径的大小的半径的大小 如图，Z为反演基圆，半径为c，初圆X的半径为a，它的反形为 Y，半径为b
22、,图中c、a、XZ为已知，求出b的表达式。 【阿波罗尼奥斯问题的热尔岗解法】 8 【金占魁系列丛书金占魁系列丛书】 我是一朿缈缈烛光我是一朿缈缈烛光，可完结你黑暗中的漫漫求索可完结你黑暗中的漫漫求索! ! 图 9：用定义确定 a、b、c、ZX 间的关系式 ZA1ZA2=(ZX+a)(ZY-b)=c 2 . ZB1ZB2=(ZX-a)(ZY+b)=c2 消除ZY得：b = ? ? . 步骤步骤3 3. .在图在图7 7中红圆的半径为中红圆的半径为R R，可算出来可算出来：左边左边R=R=? ? 右边右边R=R=? ? , , 红圆的反形即为解圆红圆的反形即为解圆，用步骤用步骤2 2的的方法方法就
23、可求出解圆的半径了就可求出解圆的半径了。 具体一点就是：在下面右图中，已知三圆为O1、O2、O3，它们 的半径分别为ri i(i=1、2、3)，以E(EF)为反演基圆。则反形对应为： O1F(大)，O2F(小)，O3G，反形的半径为RF F、rF F、rG G.由 步骤2可得：R?= ? ? 、r?= ? ?、r?= ? ? .在中图中，同心圆 F(两个)和G的切圆为A、B、C、D，它们的半径rA A=rB B=rC C=rD D= ? ? ，还有四个切圆未画出，它们的半径都为? ? .在右图中，以A为 例，作A的反形A?，A?就是解圆，设其半径为r?，则r?= ? ? ， 至此解圆的半径就逐
24、步算出来了! 我们不厌其烦地解释了两种用代数求半径的方法，但是它们不是我 们追求的目标，我们追求的是一种简洁的纯几何方法，来解决阿波罗尼 奥斯问题。纯几何作图法就是本书介绍的重点，至此代数法在后续章节 就很少提及了。 【阿波罗尼奥斯问题的热尔岗解法】 9 【金占魁系列丛书金占魁系列丛书】 我是一朿缈缈烛光我是一朿缈缈烛光，可完结你黑暗中的漫漫求索可完结你黑暗中的漫漫求索! ! 第第二二章章 阿波罗尼奥斯问题之解法基础阿波罗尼奥斯问题之解法基础 第第一一节节 常用常用定理定理及结论及结论： (定理和结论恕不证明，原因是本书不是一本习题集!) 1 1. .什么条件确定一个圆什么条件确定一个圆？ (
25、1)已知圆心和半径，可以确定一个圆。 (2)不共线的三点确定一个圆。(此法应用较多，是重点)。 2.圆幂定理圆幂定理 (1)割线定理：圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点 的两条线段长的积相等。 (2)结论：共根心的多圆顺次相交时，积(或幂)具有传递性。 (3)切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是割线和这点到 割线与圆交点的两条线段长的比例中项。 (4)结论：切线长具有传递性。 【阿波罗尼奥斯问题的热尔岗解法】 10 【金占魁系列丛书金占魁系列丛书】 我是一朿缈缈烛光我是一朿缈缈烛光，可完结你黑暗中的漫漫求索可完结你黑暗中的漫漫求索! ! 3.怎么怎么找找目标目标圆上
26、圆上未知未知的点的点呢呢？ 阿波罗尼奥斯问题就是作满足条件的切圆，这个切圆叫做解圆或目 标圆。知道了目标圆上的三个不共线的点，就可作出目标圆。但是已知 条件中的点的个数是不够三个的，其它的点该怎么找出来呢？ (1)割线定理的逆定理：以 P 为端点的两条射线上，各有两点 A、B 和 C、 D，若四点满足 PAPB=PCPD ， 则 A、B、C、D 四点共圆。 (2)结论：共根心的多圆顺次相交时，每一根割线上有两个交点，任意两 割线上的四点是共圆的。(图中虚线圆)。 示例示例：不许作ABC 的外接圆，求作一点 D，使 D 在ABC 的外接圆上。 作法作法：如图，过 A、B 两点任作一圆O，延长 B
27、A 至 P，过 P 任作O 的 一割线 PEF.作(CEF)交 PC 于 D，则 D 在ABC 的外接圆上。 说明说明：示例相当于在目标圆上找到了一点 D。这个作法使用的是(2)中的 结论。它是阿波罗尼奥斯问题的常用作法，我们把它称作“割点 作法”，这是为了后面叙述方便。 【阿波罗尼奥斯问题的热尔岗解法】 11 【金占魁系列丛书金占魁系列丛书】 我是一朿缈缈烛光我是一朿缈缈烛光，可完结你黑暗中的漫漫求索可完结你黑暗中的漫漫求索! ! (3)切割线定理的逆定理：P 是O 外一点，PAB 是O 的割线。C 是O 上的点。若 PC 2=PAPB ，则 PC 是O 的切线，C 是切点。 (4)结论：如
28、图，PM 是O1的切线，若 PN=PM，则直线 PN 是O2的切线。 示例示例：不许作已知圆的圆心，过此圆外一点求作此圆的切线。 说明说明：示例相当于在目标圆上找到了公切点 N。这个作法使用的是(5)中 的结论。这种作法是阿波罗奥尼斯问题的常用作法，我们把它称 作“切点作法”，也是为了后面的叙述方便。 4 4. .四点共圆的常用判定和性质四点共圆的常用判定和性质： (1)判定一：如图，若ACB=ADB ，则 A、B、C、D 四点共圆。 判定二：如图，若ACB+ADB=180，则 A、B、C、D 四点共圆。 (2)性质：四边形 ABCD 内接于圆，则对角互补，外角等于内对角。 【阿波罗尼奥斯问题
29、的热尔岗解法】 12 【金占魁系列丛书金占魁系列丛书】 我是一朿缈缈烛光我是一朿缈缈烛光，可完结你黑暗中的漫漫求索可完结你黑暗中的漫漫求索! ! 5 5. .两圆位似的性质两圆位似的性质( (以两圆外离以两圆外离及位似及位似外外心心为例为例) )： (1)(1)定理：两圆的两条外公切线的交点叫做两圆的位似外心，如图 S 是两 圆O1、O2的位似外心。过 P 作两圆的公割线 PBA，则 O1AO2B. (2)(2)逆定理：如图一圆不知圆心，已知两圆的位似外心 S，直线 PBA 是两 圆的公割线，若 ACBO2 ，则 AC 与 PO2的交点就是此圆的圆心。 说明说明：此法是作目标圆的圆心的方法，在
30、 PPL、PLL 作图中常用，不妨把 它叫做“位似定心法”。主要是为了后面叙述方便。 ( (3 3) )如图，S为位似外心，直线SAB是O1、O2的公切线，直线SDF是O1、 O2的公割线，则两对位似点的连线互相平行。(即位似图形的对应边互 相平行)。 ( (4 4) )如图，S为位似外心，直线SAB是O1、O2的公切线，直线SDF是O1、 O2的公割线，则两对逆位似点四点共圆。它们对O1、O2有共同的幂。 ( (5 5) )如图，O与O1、O2外切、O?与O1、O2内切，则两对切点D、 【阿波罗尼奥斯问题的热尔岗解法】 13 【金占魁系列丛书金占魁系列丛书】 我是一朿缈缈烛光我是一朿缈缈烛光
31、，可完结你黑暗中的漫漫求索可完结你黑暗中的漫漫求索! ! E和M、N的连线经过位似外心S，且M、N、D、E四点共圆，S在O、O? 的根轴上。同理，若O与O1、O2、O?与O1、O2是一内切一外切， 则两对切点的连线经过位似内心，且四切点共圆，位似内心在O、O? 的根轴上。 两内切两外切的情形 一内切一外切的情形 6 6. .两圆的根轴两圆的根轴，点与圆的根轴点与圆的根轴，三圆的根心的性质三圆的根心的性质 两圆的根轴垂直于它们的连心线，并且平分两圆的公切线(若有的话)。 根轴上任一点到两圆的切线长相等。 两圆外离两圆外离 两圆相切两圆相切 两圆相交两圆相交 两圆内含两圆内含 点与圆的根轴垂直于点
32、心线，平分点与圆的公切线(若有的话)，平分 点与它的极点的连线段(图中的线段 PP?)。根轴上任一点到圆的切线长等 于它到定点的距离。 点在圆外点在圆外 点在圆上点在圆上 点在圆内点在圆内 蒙日定理(根心定理)：若任意三个圆的圆心不共线，则它们的三条根 轴相交于一点，这个点叫它们的根心。根心到三圆的切线长相等，根心 是三圆的正交圆的圆心。若这三圆的圆心共线，则三条根轴互相平行或 重合。其中根轴重合时，三圆叫做共轴圆，它们组成共轴圆系(圆束)。 【阿波罗尼奥斯问题的热尔岗解法】 14 【金占魁系列丛书金占魁系列丛书】 我是一朿缈缈烛光我是一朿缈缈烛光，可完结你黑暗中的漫漫求索可完结你黑暗中的漫漫
33、求索! ! 7.7.反演变换的性质 过反演极的任一直线的反形是其自身。任一圆关于它的正交圆的反形 是其自身。其应用为- 如图，O、O?与O1、O2、O3都相切，P、Q、U、V、M、N都 是公切点。S是O1、O2、O3的根心，S(细红线圆)是三圆的正交圆， 则O、O?关于S互为反形，O1、O2、O3关于S的反形是其自 身。P与Q、U与V、M与N它们互为反演点，因P与Q在O1上保持反演不变性、 U与V在O2上保持反演不变性、M与N在O3上保持反演不变性，故直线PQ、 直线UV、直线MN都经过根心S(反演极)。这是热尔岗作法的依据之一。 反演变换保角性的推论：反演变换把两个相切的圆(广义)变为两个相
34、 切的圆(广义)。且对应的两个切点与反演极共线。其应用为- 如图，O是反演基圆，A、B互为反形，C、D互为反形。若 C与A切于P，则D与B切于Q，且P、Q、O共线。右图中B变成了 线圆MN. 【阿波罗尼奥斯问题的热尔岗解法】 15 【金占魁系列丛书金占魁系列丛书】 我是一朿缈缈烛光我是一朿缈缈烛光，可完结你黑暗中的漫漫求索可完结你黑暗中的漫漫求索! ! 反演变换把经过反演极的圆变成一条直线，反之亦然，反演变换把不 经过反演极的直线变成一个经过反演极的圆。其应用为- 如图，A是反演基圆，直线PQ上三点B、C、D的反演点分别为B?、 C?、D?，则A、B?、C?、D?四点共圆。这是“作相交三圆的切
35、圆”的休伯 特舒特里克(Hubert Shutrick)作法的依据。 反演变换把不经过反演极的圆变成另一个圆。其应用为- 如图，O 是反演基圆，共圆四点 A、B、C、D 的反演点分别为A?、 B?、C?、D?，则A?、B?、C?、D?四点共圆。这是证明四点共圆的又一方法。 反演基圆S、反演圆O和它的反形O?，这三个圆共根轴，它们组 成共轴圆系(圆束)。根轴上的点与三圆有相同的幂，从而根轴上的点到 三圆的切线长相等，即PA=PB=PC。其应用为- 如图，S是O1、O2、O3的正交圆，O、O?与O1、O2、O3 【阿波罗尼奥斯问题的热尔岗解法】 16 【金占魁系列丛书金占魁系列丛书】 我是一朿缈缈
36、烛光我是一朿缈缈烛光，可完结你黑暗中的漫漫求索可完结你黑暗中的漫漫求索! ! 都相切，且O、O?关于S互为反形。三圆O、O?、S是共轴圆，它 们共同的根轴是直线AB。O1、S的根轴是直线EF，两条根轴AB、EF交于点U， 则U与这四个圆O、O?、S、O1有相同的幂!根据“切点作法”，只要过 U作出O1的切线，则切点P、Q就是O1与O、O?的公切点。 这就是热尔岗正交圆解法的依据。 8.8.关于圆的极点与极线的性质 若P在Q的极线L2上，则Q也在P的极线L1上；或对偶地：若L1通过L2的 极点Q，则L2也通过L1的极点P.其应用为- 如图，过P、Q作B的切线，它们交于M，所以直线PQ是点M关于B
37、 的极线。由于PN、PM同时是S、S?的切线且PM=PN，所以M在S、S? 的根轴上，即A、B、C的相似轴上。若相似轴关于B的极点为N， 则N在PQ上，也就是说，直线PQ经过了N点。 这是热尔岗作法的又一个依据。 第第二二节节 常常见见概念及概念及其其尺规尺规作法作法 一一) )圆的切线圆的切线、位似中心位似中心、相似轴相似轴 1 1. .过圆外一点作圆的切线过圆外一点作圆的切线 【阿波罗尼奥斯问题的热尔岗解法】 17 【金占魁系列丛书金占魁系列丛书】 我是一朿缈缈烛光我是一朿缈缈烛光，可完结你黑暗中的漫漫求索可完结你黑暗中的漫漫求索! ! 2 2. .作作相离相离两圆的内两圆的内、外位似中心
38、外位似中心及内及内、外外公切线公切线 作法作法：在O1上任取一点A(A不在直线O1O2上)，过O2作O1A的平行线交O2 于B、C，直线AC、BC交连心线O1O2于S、T.S是外位似中心，T为内位似中 心。过S作O1的切线，即是两圆的外公切线，过T作O1的切线，即为两 圆内公切线。 3.3. 作作内含内含两圆的内两圆的内、外位似中心外位似中心 作法作法：在O1上任取一点A(A不在直线O1O2上)，过O2作O1A的平行线交O2 于B、C，直线AC、BC交连心线O1O2于S、T.S是外位似中心，T为内位似中 心。 说明说明：两等圆只能作出位似内心，位似外心在无穷远处。 4 4. .作作三三圆圆两两
39、外切两两外切( (这是基本功，不然索迪圆往哪儿画？) ) 【阿波罗尼奥斯问题的热尔岗解法】 18 【金占魁系列丛书金占魁系列丛书】 我是一朿缈缈烛光我是一朿缈缈烛光，可完结你黑暗中的漫漫求索可完结你黑暗中的漫漫求索! ! 作法二： (1)在线段BC上任取一点E，作B(BE)、C(CE)，则B与C外切。作B、C 的外位似中心T. (2)在B上任取一点S，直线ST交两圆于D、F两点，直线BD、CF交于A.作 A(AD)即可，则三圆A、B、C两两外切。 说明说明：在几何画板中，移动S的位置，就可改变A的大小。 5 5. .作三圆的相似轴作三圆的相似轴 作法作法：作两两圆对的内、外位似中心，共三个位似
40、外心和三个位似内心。 其中，三个位似外心共线，称为外相似轴，只有一条。两个位似内心和 一个位似外心共线，称为内相似轴，有三条。 二二) )两圆的根轴两圆的根轴、点与圆的根轴点与圆的根轴、三圆的根心三圆的根心 1 1. .两圆的根轴两圆的根轴( (也叫等幂轴也叫等幂轴) ) (1).(1).两圆相交时和两圆相切时 【阿波罗尼奥斯问题的热尔岗解法】 19 【金占魁系列丛书金占魁系列丛书】 我是一朿缈缈烛光我是一朿缈缈烛光，可完结你黑暗中的漫漫求索可完结你黑暗中的漫漫求索! ! (2).两圆相离时 (3).两圆内含时 2.2.点与圆的根轴点与圆的根轴 作点 P关于O 的极点P?，线段 PP?的垂直平
41、分线即是。(图中红线)。 点在圆外点在圆外 点在圆上点在圆上 点在圆内点在圆内 3 3. .三圆的根心三圆的根心( (也叫等幂点也叫等幂点) )，指三条根轴交于的一点指三条根轴交于的一点。实际作图中只需 要作两条根轴相交即可。 说明说明：点点圆、点圆圆也有根心，方法是只作两条根轴相交即可。 【阿波罗尼奥斯问题的热尔岗解法】 20 【金占魁系列丛书金占魁系列丛书】 我是一朿缈缈烛光我是一朿缈缈烛光，可完结你黑暗中的漫漫求索可完结你黑暗中的漫漫求索! ! 三三) )圆圆的的反演变换反演变换、极线极线、极点极点 1 1. .点关于圆的反演变换点关于圆的反演变换 定义，在以O(R)的圆心O为端点的射线
42、上取两点A、A?，若OAOA?=R 2 ， 则称A、A?关于O(R)互为反演点，O(R)为反演圆(基圆)，O为反演中 心(反演极)，R为反演半径(R 2为反演幂)。 点在圆外时的反演作法点在圆外时的反演作法 点在圆内且不是圆心时的反演作法点在圆内且不是圆心时的反演作法 点在圆上时点在圆上时，其反演点是其本身其反演点是其本身。点在圆心处时点在圆心处时，反演点在无穷远处反演点在无穷远处。 2 2. .极线关于圆的极点极线关于圆的极点，极极点点关于圆的极关于圆的极线线。 作法一作法一： 说明说明：把上述过程倒作，就能作出点A?关于O的极线L. 作法二作法二：两对两对“切点线段切点线段”的交点的交点 【阿波罗尼奥斯问题的热尔岗解法】 21 【金占魁系列丛书金占魁系列丛书】 我是一朿缈缈烛光我是一朿缈缈烛光，可完结你黑暗中的漫漫求索可完结你黑暗中的漫漫求索! ! 说明说明：三圆的外相似轴关于三圆的极点的另一作法，过三个位似外心作 其对应圆的外公切线，两对相应切点连线的交点就是对应的极点。 3.3.直线直线关于圆的关于圆的反演反演 (1).(1).直线与圆相离时 (2).直线与圆相切、相交时 当直线L与O相切于A时，直线L的反形为以OA为直径的圆(左图)。 当直线L与O相交于B、C时，直线L的反形为过O、B、C三点的圆(中图)。 当直线L过O的圆心O
