1、【阿波罗尼奥斯问题之常规解答】 0 【金占魁系列丛书金占魁系列丛书】 我是一朿缈缈烛光我是一朿缈缈烛光，可完结你黑暗中的漫漫求索可完结你黑暗中的漫漫求索! ! + + 阿波罗尼奥斯问题之常规解答 金 占 魁 尺 规 作 图 系 列 丛 书金 占 魁 尺 规 作 图 系 列 丛 书 【阿波罗尼奥斯问题之常规解答】 1 【金占魁系列丛书金占魁系列丛书】 我是一朿缈缈烛光我是一朿缈缈烛光，可完结你黑暗中的漫漫求索可完结你黑暗中的漫漫求索! ! 阿波罗尼奥斯阿波罗尼奥斯问题问题之常规解答之常规解答 金占魁 湖北随县第一高级中学 写在前面的话写在前面的话 在这习习的晚风里 我在追忆着失落的过去 在这泱泱
2、的波光中 我在寻觅你残留的痕迹 曾经是星星月亮般的情意 古老的神话传说着它们永不分离 听着古老的歌谣，翻着昔日的笔记，不知何时就到了怀旧的年龄。这个暑 期酷热而慢长，人闲思绪多，忽然有一股想把所了解的知识系统归纳的冲动， 想到了也就干了起来。 时常引起人们的错觉的是这样的两个尺规作图问题，一个是三等分角问题， 另一个是阿波罗尼奥斯问题。作一个角的三等分线，看起来很简单，简单到一 个刚学会怎么使用直尺和圆规的人，就会埋头猛攻起世界难题来了，到目前为 止，竟然还有牛人在网上发布视频，来说明自己是如何如何破解三等分角的!但 冷酷的事实是它是不可能的!而另一个呢，给出三个相离的已知圆，让你作出与 它们
3、都相切的圆来，如果你第一次听说这样的一个问题，你感到无从下手的是， 圆心该怎么确定？半径又该怎么确定呢？似乎是山重水复疑无路吧？可我会用 后面的章节告诉你，山水尽处是平川，这个问题是有多种作法的! 历史上，这两个烧脑的问题曾引起众多大咖们的青睐，他们的思想和方法引 领着无数后继者。三等分角问题至今热度不减，中学生都能理解，也敢勇于试探。 阿波罗尼奥斯问题却好景不再，圆幂定理相关内容已成为选修内容，中学生都难 以领会了，更不用说用圆规去探究了。能理解这本书内容的大概也是上了岁数的 人了，是故把书名定为阿波罗尼奥斯问题的末班车，用以纪念我们曾经的热 情和兴致。 同时，在此向本书部分内容提供过借鉴的
4、同仁们，表示崇高的敬意! 附，为简便计，圆的记法先作如下约定： (ABC)-表示过A、B、C三点的圆,不指明圆心。 A(R)-表示以A为圆心，以R为半径的圆。 A(R-r)-表示以A为圆心，以(R-r)为半径的圆。 A(BC)-表示以A为圆心，以线段BC为半径的圆。 2019年7月于随州 【阿波罗尼奥斯问题之常规解答】 2 【金占魁系列丛书金占魁系列丛书】 我是一朿缈缈烛光我是一朿缈缈烛光，可完结你黑暗中的漫漫求索可完结你黑暗中的漫漫求索! ! 目录 一一. .PPPPPP：求作一圆经过不共线的三点求作一圆经过不共线的三点 3 3 二二. .LLLLLL：求作一圆与不共点三线都相切求作一圆与不
5、共点三线都相切 3 三三. .PPLPPL：求作一圆经过已知两点且与已知直线相切求作一圆经过已知两点且与已知直线相切 3 四四. .PLLPLL：求作一圆经过已知点且与两求作一圆经过已知点且与两相交直线相交直线都相切都相切 5 五五. .LLCLLC：求作一圆与两已知直线和已知圆求作一圆与两已知直线和已知圆都相切都相切 9 9 六六. .PPC：求作一圆与已知圆相切并过圆外两已知点求作一圆与已知圆相切并过圆外两已知点 1 11 1 七七. .PCC：求作一圆与两已知圆相切并过圆外一已知点求作一圆与两已知圆相切并过圆外一已知点 1 15 5 八八. .PLCPLC：求作一圆经过定点且与定直线求作
6、一圆经过定点且与定直线、定圆相切定圆相切 18 九九. .LCCLCC：求求作一圆与两定圆作一圆与两定圆、一定直线都相切一定直线都相切 2 21 1 十十. .CCC：求作一圆与三个已知圆都相切求作一圆与三个已知圆都相切 2 25 5 本书为本书为阿波罗尼奥斯问题阿波罗尼奥斯问题的末班车的末班车的章节分册的章节分册 【阿波罗尼奥斯问题之常规解答】 3 【金占魁系列丛书金占魁系列丛书】 我是一朿缈缈烛光我是一朿缈缈烛光，可完结你黑暗中的漫漫求索可完结你黑暗中的漫漫求索! ! 一一.PPP：求作一圆经过不共线的三点求作一圆经过不共线的三点。(作法略作法略)。 二二.LLL：求作一圆与不共点三线都相
7、切求作一圆与不共点三线都相切。(作法略作法略)。 三三. . PPL：求作一圆经过已知两点且与已知直线相切求作一圆经过已知两点且与已知直线相切 。 已知已知：点点A A、点点B B、直线直线L L，( (直线直线ABAB与直线与直线L L不平行不平行) ) 求作求作：O O，使之过使之过A A、B B且与且与直线直线L L相切相切。 作法一作法一： 1.作直线AB交直线L于C. 2.作以AB为直径的圆，过C作此圆的切线CD，D为切点。 3.作C(CD)交直线L于E、F点。则(ABE)和(ABF)即是所求。 【阿波罗尼奥斯问题之常规解答】 4 【金占魁系列丛书金占魁系列丛书】 我是一朿缈缈烛光我
8、是一朿缈缈烛光，可完结你黑暗中的漫漫求索可完结你黑暗中的漫漫求索! ! 作法剖析作法剖析： 目标圆(红圆)上已有两个点A、B，还缺少一个点。目标圆与以AB为 直径的圆相交于A、B，两圆的根心为C，CD是AB为直径的圆的切线， CE=CD，CF=CD，由“切点作法”可知，E、F是目标圆的切点，这样目标 圆上就有三个不共线的点A、B、E或A、B、F，所以目标圆就可作出了。 作法二作法二： 1.作AB的中垂线DC交直线L于C，在直线CD上取点F，作FGL于G，作 F(FG)交直线AC于M、N. 2.过A分别作AOFM、 AO?FN，它们交直线CD于O、O?. 则O(OA)、O?(O?A)即是所求。
9、作法剖析作法剖析： 此法为“位似定心法”，先作F 的目的是，使F 与O 位似，位 似中心为 C.然后利用“位似图形的对应点连线互相平行”，来确定圆心 O 的位置。圆心 O 定了，那么半径 OA 就定了，于是目标圆就可作出来了。 作法三作法三： 1.作 B 关于直线 L 的对称点B?.作B?CL 交直线 AB 于 C. 2.作(ACB?)交直线 L 于 D、E 两点。则(ABD)、(ABE)即是所求。 作法剖析作法剖析： 假设切点D已作出，那么D满足什么条件呢？答案是，D应满足A、B?、 C、D四点共圆。这样D点就可作出了。 为什么A、B?、C、D会四点共圆呢？如图： 【阿波罗尼奥斯问题之常规解
10、答】 5 【金占魁系列丛书金占魁系列丛书】 我是一朿缈缈烛光我是一朿缈缈烛光，可完结你黑暗中的漫漫求索可完结你黑暗中的漫漫求索! ! DAB=BDE (圆周角等于弦切角) BDE=B?DE (对称图形性质) B?DE=DB?C (内错角相等) DAC=DB?C (等量代换) A、B?、C、D四点共圆。 作法作法四四：(反演法) 1.作B(BA)交直线L于D、G两点，作(BDG). 2.过A作(BDG)的切线AM、AN，其中M、N为切点。 3.直线BM、BN分别交直线L于E、F点。则(ABE)和(ABF)即是所求。 作法剖析作法剖析： B(BA)为反演基圆，(BDG)与直线L互为反形，切线AM与
11、O?互为 反形，切线AN与O互为反形。根据两个对应切点与反演极共线，则B、M、 E三点共线，B、N、F三点共线，这样就定出了E、F点。 当B(BA)与直线L无交点时，作直线L关于B的反形B?，并用B? 代替(BDG)即可。 四四. .PLL：求作一圆经过已知点且与两相交直线都相切求作一圆经过已知点且与两相交直线都相切。 例例1.1.已知已知：直线直线L L 、m m相交于相交于O O，和和两直线两直线外一点外一点A A 求作求作：求作求作O Oi i过过A A点点，且与且与L L、m m相切相切, ,其中其中i=1i=1、2 2 【阿波罗尼奥斯问题之常规解答】 6 【金占魁系列丛书金占魁系列丛
12、书】 我是一朿缈缈烛光我是一朿缈缈烛光，可完结你黑暗中的漫漫求索可完结你黑暗中的漫漫求索! ! 作法一作法一： 1.在两线夹角的平分线上任取一点P，作P与直线L、m相切。 2.作射线OA与P交点B、C .过A作PB、PC的平行线分别交OP于O1、O2点。 则O1(O1A)、O2(O2A)即是所求。 作法剖析作法剖析： 此法为“位似求心法”，先作P 的目的是，使P 与O 位似，位 似中心为 O.然后利用“位似图形的对应点连线互相平行”，来确定圆心 Oi的位置。圆心 Oi定了，那么半径 OA 就定了，于是目标圆就可作出来了。 作法二作法二：（解析作法） 1.作两线夹角的平分线 OB，过 A 作 A
13、COB 交 L 于 C. 2.作以 OC 为直径的圆与O(OA)交于 E，此时 CE=OC? OA?，作 A(AE)交直线 L 于 G、F 两点。此时 x1OG，x2OF. 3.过 G、F 作直线 L 的垂线交 OB 于 O1、O2. 则O1(O1A)、O2(O2A)即是所求。 作法剖析作法剖析： 建立如图坐标系，所求圆的圆心Oi在角平分线OB上，设Oi(x,kx), 由OiA=R，列出方程?(? ?)?+ (? ?)? = (kx) 2, 化简得：x 2-2(a+kb)x+(a2+b2)=0 ，用求根公式求出Oi的横坐标表达式： 【阿波罗尼奥斯问题之常规解答】 7 【金占魁系列丛书金占魁系列
14、丛书】 我是一朿缈缈烛光我是一朿缈缈烛光，可完结你黑暗中的漫漫求索可完结你黑暗中的漫漫求索! ! xi(a+kb)?(? + ?)? (a?+ b?) ， 在图中作ACOB交直线L于C,OD=a,CD=kb,则OC=a+kb. 于是转化为线段表达式：xi = OCOC? OA? ， 用尺规很容易把 OCOC? OA? 作出来。 作法三作法三：(转化为PPL法) 1.作A关于角平分线OB的对称点A?，直线AA?交直线L于C. 2.过C作以AA?为直径的圆的切线长CE. 3.作C(CE)交直线L于G、F，过G、F作直线L的垂线，交OB于O1、O2 ，则 O1(O1A)、O2(O2A)即是所求。 说
15、明：1.本例问题转化为：作过A、A?两点且与直线L相切的圆。 2.作法三与作法二比较，它们基本上是一致的。只不过是切线长 CE的作法不同罢了。二者都是作CE = OC? OA? . 作法四作法四：（解析法） 1.作 ACL 于 C，AC 交角平分线于 B，作一点 D 使 ADOA，BDOB，注 意三垂线作法。 2.作D(DA)交直线 m 于 E、F.过 E、F 作直线 m 的垂线交角平分线于 O1、 O2 ，则O1(O1A)、O2（O2A）即是所求。 【阿波罗尼奥斯问题之常规解答】 8 【金占魁系列丛书金占魁系列丛书】 我是一朿缈缈烛光我是一朿缈缈烛光，可完结你黑暗中的漫漫求索可完结你黑暗中的
16、漫漫求索! ! 解法剖析解法剖析： 实质上是作法二的变形，这里相当于OE=x1 ,OF=x2 ,只需要证明： OE、OF是方程x 2-2(a+kb)x+(a2+b2)=0的两根即可，也就是： OE+OF=2OG=2(a+kb)，OEOF=OA 2=a2+b2 即可。其中OEOF=OA2用切割 线定理证明，很直观，如下图。而OE+OF=2OG=2(a+kb)就要化成两部分： OE+OF=2OG 和 OG=(a+kb)单独去证明。 作的“三垂线”目的是让O、A、B、D四点共圆，OD是圆的直径。 DGEF， G是EF中点 ，OE+OF=2OG 又AOC =90-OAC=90-(90-BAD)=BAD
17、=BOD GOM=DOA GOM+OGM=DOA+ODA=90 GMOM 即OM垂直平分GN OG=ON=OC+CN = a+kb 故OE+OF=2OG = 2(a+kb) 由韦达定理知：OE=(a+kb)-?(? + ?)? (a?+ b?) OF=(a+kb)+?(? + ?)? (a?+ b?) 这样就与作法二完全一致了。 作法作法五五：（反演法） 1.作A(细红虚线圆)交直线m、L于G、H和P、Q点。 2.作两圆(AGH)、(APQ)的公切线MN和ST，其中M、N、S、T是切点。 3.直线AN、AT交直线m于C、B，直线AM、AS交直线L于E、F. 则(ACE)、(ABF)即是所求。
18、【阿波罗尼奥斯问题之常规解答】 9 【金占魁系列丛书金占魁系列丛书】 我是一朿缈缈烛光我是一朿缈缈烛光，可完结你黑暗中的漫漫求索可完结你黑暗中的漫漫求索! ! 解法剖析解法剖析： A是反演基圆，初形与反形的对应关系为：直线m(AGH)、直 线L(APQ)、切线MN(ACE)、切线ST(ABF).根据“两个对应切 点与反演极共线”，则A、M、E三点共线，A、N、C三点共线，A、T、B三 点共线，A、S、F三点共线。 五五. .PPC：求作一圆求作一圆，使它与已知圆相切并过圆外两已知点使它与已知圆相切并过圆外两已知点 例例1.1.已知已知：K K及及其其外两点外两点A A和和B B 求作求作：过过
19、A A和和B B作作O O，使它与使它与K K相切相切。 作法一作法一： 作(ABK)交K于E和F，直线EF与直线AB的交于S.以SK为直径的圆 交K于M、N.则(ABM)、(ABN)即为所求。 作法剖析作法剖析： 目标圆上已有两个点A、B，还缺少一个点，这个点就是公共切点。 于是用“切点作法”作出了切点M、N.其中S是目标圆和(ABK)的根心， 直线SM、SN是K和目标圆的公切线。 作法二作法二：（热尔岗解法） 1.作相似轴。直线 AB 即是。这说明 AB 是内外相似轴，它们二合一了。 2.作根心。过 A、B 分别作K 的切线 AD、AD?和 BC、BC?，C、C?、D、D? 为切点。线段
20、AD、AD?的中点连线与线段 BC、BC?的中点连线交于 Q. 【阿波罗尼奥斯问题之常规解答】 10 【金占魁系列丛书金占魁系列丛书】 我是一朿缈缈烛光我是一朿缈缈烛光，可完结你黑暗中的漫漫求索可完结你黑暗中的漫漫求索! ! 3.作极点。直线 CC?、DD?交于 P，点 P 就是直线 AB 关于K 的极点。 4.作切点。直线 PQ 交K 于 M、N 两点，点 M、N 就是切点。 则(ABM)、(ABN)即为所求。 说明：1.A、B是多重身份，是点圆，是极点，是切点。 2.相似轴的条数决定解圆的个数，一条相似轴确定两个解圆。 作法三作法三：(彭赛列福切解法) 1.作K、A、B 的根心S(见作法二
21、), 过S作直线AB的垂线MN. 2.作S(SA)，与K交于E、F，直线EF交直线AB于T. 3.以TK为直径作圆交K于P、Q.则(ABP)、(ABQ)即是所求。 说明说明：PPC问题中内外相似轴二合一了，都是直线AB.故有两个解圆。 作法作法四四：（反演法） 1.作A(AB)，作K关于A(AB)的反形C. 2.过B作C的公切线BD和BE，其中D、E是切点。 3.直线AD、AE交K于N、M.则(ABM)、(ABN)即是所求。 【阿波罗尼奥斯问题之常规解答】 11 【金占魁系列丛书金占魁系列丛书】 我是一朿缈缈烛光我是一朿缈缈烛光，可完结你黑暗中的漫漫求索可完结你黑暗中的漫漫求索! ! 解法剖析
22、解法剖析： A(AB)是反演基圆，初形与反形的对应关系为：KC、切线BD (ABN)、切线BE(ABM).根据“两个对应切点与反演极共线”，则 A、E、M三点共线，A、D、N三点共线。 六六. .LLCLLC：求作一圆与两已知直线和已知圆求作一圆与两已知直线和已知圆都相切都相切。 例例1.已知已知：直线直线L L1、L L2和和K(R)K(R)，直线直线L L1、L L2交于交于P P. 求作求作：O O，使它与使它与直线直线L L1、L L2和和K(R)K(R)都相切都相切。 作法一作法一：(热尔岗解法） 1.作相似轴。过K作L1的垂线交K于A、B，过K作L2的垂线交K于C、D， 则BC是外
23、相似轴，如图。 2.作根心。直线L1、L2都是根轴，它们的交点P就是根心。 3.作极点。过B作L1的平行线，过C作L2的平行线，两平行线交于Q. 4.作切点。连结PQ交K于M、N，点M、N就是切点。 5.作圆心。直线KM、KN交角平分线于O1、O2， 则O1(O1M)、O2(O2N)即是所求。 【阿波罗尼奥斯问题之常规解答】 12 【金占魁系列丛书金占魁系列丛书】 我是一朿缈缈烛光我是一朿缈缈烛光，可完结你黑暗中的漫漫求索可完结你黑暗中的漫漫求索! ! 6.同理，内相似轴AD，对应着另外两解。过A作L1的平行线，过D作L2的平 行线，两平行线交于Q.连结PQ交和K于M、N，直线KM、KN交角平
24、分线 于O1、O2 .则和O1(O1M)、O2(O2N)即是所求。 说明：另外两条内相似轴AC、BD对应着无解圆，LLC问题共四个解圆。 作法二作法二：（转成PLL） 1.向外平移两直线L1、L2到L3、L4位置，移距为R。L3、L4交于D. 2.在L3、L4 的角平分线上取点A，作A与L3相切。A 与直线DK交于B、 C，过K作AB、AC的平行线交角平分线于O1、O2 . 3.KO1、KO2交K 于 E、F 点，则O1(O1E)、O2(O2F)即是所求。 说明：向内平移直线L1、L2到L3、L4位置，移距为R时，可得另外两解圆。 作法剖析作法剖析： 转化为PLL后，再用“位似定心法”作出目标
25、圆的圆心。 【阿波罗尼奥斯问题之常规解答】 13 【金占魁系列丛书金占魁系列丛书】 我是一朿缈缈烛光我是一朿缈缈烛光，可完结你黑暗中的漫漫求索可完结你黑暗中的漫漫求索! ! 作法三作法三： (转化为PPL，即将直线L2向外平移R个单位到直线L4的位置，点 K关于角平分线的对称点为K?.于是转化为：求一圆经过两点K?、K且与直 线L4相切。) 1.直线KK?交L4于A，过A作以KK?为直径的圆的切线长AD，作A(AD)交 直线L4于B、C，过B、C作L4的垂线交角平分线于O1、O2 . 2.连结O1K、O2K交K于E、F，则O1(O1E)和O2(O2F)即是所求。 说明说明：当向外平移L2时可得
26、两个解圆，当向内平移L2时可得另两个解圆。 共四解圆。 作法剖析作法剖析： 转化为PPL后，再用“切点作法”，作出目标圆的切点与圆心的连线。 作法四作法四：(Hubert Shutrick法) 1. .作K的两条切线AB、AC分别与L1、L2平行，切点为B、C. 2.直线PA交K于E、F，直线CE、CF交L1于S、M，直线BE、BF交L2于N 、T， 如图。则(EMN)、(FST)即是所求。 作法剖析作法剖析： 休伯特舒特里克作法与热尔岗作法是相同的，只是作图的思想不 【阿波罗尼奥斯问题之常规解答】 14 【金占魁系列丛书金占魁系列丛书】 我是一朿缈缈烛光我是一朿缈缈烛光，可完结你黑暗中的漫漫
27、求索可完结你黑暗中的漫漫求索! ! 同而已。我们可用下面的命题作为诠释：两等角的两边分别平行，它们 的切圆也相切，则两角的顶点与两圆切点共线。如图，A=P，它们两 边分别平行，K与A两边相切，O与P两边相切，K与O相切于E， 则A、E、P三点共线。由于K、E、O三点共线，只需证明AEK=PEO即可。 因ABKPNO，则BK：AK=NO：PO，从而EK：AK=EO：PO，加上AKE= POE，得AEKPEO，所以AEK=PEO.即得A、E、P三点共线。 说明说明：也可这样去理解，把“两切线和一圆”当作一个图形，再把两圆 的切点E当作两个“线线圆”的位似中心，对应点A、P的连线就经过了位 似中心E
28、，所以三点A、P、E三点共线。 作法五作法五：(彭赛列福切解法) 1.过K作直线L2的垂线交K于B，过K作直线L1的垂线交K于C，直线BC 为外相似轴，L1、L2交点是根心S.过S作SABC于A. 2.作以SK为直径的圆交K于E、F，直线EF交直线BC于T. 3.以TK为直径作圆，交K于P、Q.直线KP、KQ分别交直线SA于O、O?，则 O(OP)、O?(O?Q)即是所求。 说明说明：把“外相似轴”改为“内相似轴”，可作出另外的两个解圆。如 图。其它的两条相似轴，对应着无解圆，此处不叙。 【阿波罗尼奥斯问题之常规解答】 15 【金占魁系列丛书金占魁系列丛书】 我是一朿缈缈烛光我是一朿缈缈烛光，
29、可完结你黑暗中的漫漫求索可完结你黑暗中的漫漫求索! ! 说明说明：此图中B、C为内位似中心，直线BC为内相似轴。 七七. .PLCPLC：求作一圆经过定点且与定直线求作一圆经过定点且与定直线、定圆相切定圆相切。 例例1 1.已知已知：K K、直线直线L L、点点A (A (以三者相离为例以三者相离为例) ) 求作求作：O O，使它过使它过A A点并与直线点并与直线L L和和K K相切相切 作法一作法一：( (转化法，转化为PPL或PPC) 1.过圆心 K 作直线 L 的垂线交K、直线 L 于 E、C、D. 2.直线 EA 交直线 L 于 G，交(ACD)于 F.于是问题转化为 PPL 问题，即
30、 作 A、F、直线 L 的切圆。或转化为 PPC，即作 A、F、K 的切圆。 3.(以 PPL 为例作图)过 G 作以 AF 为直径的圆的切线长 GH，作G(GH)交 直线 L 于 S、T.则(AFS)、(AFT)即是所求的O. 4.把上述步骤23中的字母C、E互换，作图过程不变。可得到另外两个解 圆，如图。 【阿波罗尼奥斯问题之常规解答】 16 【金占魁系列丛书金占魁系列丛书】 我是一朿缈缈烛光我是一朿缈缈烛光，可完结你黑暗中的漫漫求索可完结你黑暗中的漫漫求索! ! 作法二作法二：(热尔岗法) 1.作相似轴。过K作KDL交K于C、E，直线AE是外相似轴，直线AC是内 相似轴。下面先以直线AE
31、为基准作图。 2.作根心。作点圆 A、K 的根轴，与直线 L 交于 B，点 B 为根心。 3.作极点。作直线 AE 关于K 的极点 P. 4.作切点。连结 PB 交K 于 Q、Q?.公切点为 Q、Q?. 5.作圆心。直线 KQ 与线段 AQ 的中垂线交于 O，直线 KQ?与线段 AQ?的中 垂线交于O?，则O(OA)和O?(O?A)即是所求。 6.用C代替步骤123中的E，作图过程不变，可得另外两个解圆，PLC问题 共有四个解圆，如图。 【阿波罗尼奥斯问题之常规解答】 17 【金占魁系列丛书金占魁系列丛书】 我是一朿缈缈烛光我是一朿缈缈烛光，可完结你黑暗中的漫漫求索可完结你黑暗中的漫漫求索!
32、! 作法三作法三：(彭赛列福切解法) 1.过K作直线L的垂线，交K于B、C，直线AB是外相似轴，直线AC是内 相似轴。K、点圆A的根轴与直线L的交点是根心S，过S作直线AB的 垂线SG. 2.作S(SA)交K于E、F，直线EF交直线AB于T. 3.以TK为直径的圆交K于P、Q.直线KP、KQ分别交直线SG于O、O?.则 O(OP)、O?(O?Q)即是所求。 说明说明：把“外相似轴AB”改为“内相似轴AC”，即可作出另外的两个解 圆。如图。 作法作法四四：(反演法) 【阿波罗尼奥斯问题之常规解答】 18 【金占魁系列丛书金占魁系列丛书】 我是一朿缈缈烛光我是一朿缈缈烛光，可完结你黑暗中的漫漫求索
33、可完结你黑暗中的漫漫求索! ! 1.以A为圆心，作K的正交圆，交直线L于M、N点。 2.作两圆K、(AMN)的公切线，B、C、D、E为公切点。 3.直线AB、AD交直线L于S、T点，直线AE、AC交K于P、Q点。 则(ASQ)、(APT)即是所求。 作法剖析作法剖析： 正交圆A是反演基圆，初形、反形的对应关系为：KK、直线 L(AMN)，切线BC(ASQ)，切线DE(APT).根据“两个对应切点 与反演极共线”，则A、D、T三点共线，A、B、S三点共线，A、E、P三点 共线，A、C、Q三点共线。 八八. .PCC：求作一圆求作一圆，使它与两已知圆相切并过圆外一已知点使它与两已知圆相切并过圆外一
34、已知点 例例1 1.已知已知：I I和和K K及圆外一点及圆外一点A A 求作求作：O O，使它过使它过A A点并与点并与I I和和K K相切相切。 作法一作法一：（热尔岗法） 1.作I和K的外位似中心S，则SA为相似轴。 2.过A作两圆的公切线AE、AE?和AF、AF?，切点是E、E?、F、F?.作六条公 切线段AE、AE?和AF、AF?及C?D?、CD的中点连线（细红虚线），三线交 于一点P(根心)。 3.连结CC?、EE?交于B，连结DD?、FF?交于G，则B、G都为极点。 4.直线PB交I于M、M?，直线PG交K于N、N?. 则(AMN)、(AM?N?)即是所求。 【阿波罗尼奥斯问题之
35、常规解答】 19 【金占魁系列丛书金占魁系列丛书】 我是一朿缈缈烛光我是一朿缈缈烛光，可完结你黑暗中的漫漫求索可完结你黑暗中的漫漫求索! ! 说明说明：上述以外位似中心S为例，只作出了两个解圆。当S是内位似中心 时，则可以作出另外两个解圆来(上右图)。PCC问题共四个解圆。 作法二作法二：(转化为PPC) 1.作I和K的外位似中心S和内位似中心T. 2.作直线IK与I和K的交点F、G，(另外两点C、D另有它用，见剖析)。 3.(AFG)交直线SA于B点。于是解圆O，就经过A、B点并与I和K相 切。这样PCC问题就转化为PPC问题：已知I、A、B，作O，使它过A、 B点并与I相切。 4.作(AB
36、I)交I于X、Y两点，直线XY交AB于P，以IP为直径的圆交I 于M、N两点，则(ABM)、(ABN)即是所求。 如图，PCC转化为PPC “割点作法”的依据 【阿波罗尼奥斯问题之常规解答】 20 【金占魁系列丛书金占魁系列丛书】 我是一朿缈缈烛光我是一朿缈缈烛光，可完结你黑暗中的漫漫求索可完结你黑暗中的漫漫求索! ! 说明： 1.用外位似中心 S 时，选(AFG)或选(ACD)与 SA 交于 B. 2.用内位似中心 T 时，选(ACG)或选(AFD)与 TA 交于 B，上右图选的 是(AFD)与 TA 交于 B. 3.两个位似中心各能作出两个解圆，共可作出四个解圆。 作法剖析作法剖析： 如下
37、左图，假设解圆已作出，M、N是公切点。因为M、F、G、N四点 共圆，M、A、B、N四点共圆，由幂的传递性可知F、A、B、G四点共圆， 于是用“割点作法”找出目标圆上的B点来。转化为PPC后，再用“切点 作法”作出了公切点M、N即可。 那么M、F、G、N四点为什么共圆呢？在上右图中，S是I、K的位 似外心。 OM=ON ， PMI=MNO ， 又MPI=PMI MPI=MNO， PINK ， 从而PIF=NKS ， 又PMF = ? ?PIF，NGK= ? ?NKS ， PMF=NGK(外角等于内对角) ， M、F、G、N四点共圆。 作法三作法三：(反演法) 1.作以AI为直径的圆交I于P，以A
38、(AP)为反演基圆。直线AK交K于B、 C，过B作BDAK交A于D，过D作DFDA交直线AK于F，同理，过C作CE AK交A于E，过E作EGEA交直线AK于G，作以FG为直径的圆K?， 则K反演形为K?.(反演的过程很详细的哟!) 【阿波罗尼奥斯问题之常规解答】 21 【金占魁系列丛书金占魁系列丛书】 我是一朿缈缈烛光我是一朿缈缈烛光，可完结你黑暗中的漫漫求索可完结你黑暗中的漫漫求索! ! 2.作I、K?的四条公切线。以公切线M1N1为例，直线AM1交I于S1， 直线AN1交K于T1，则(AS1T1)就是一个解圆。同理，另外三条公切线 的切点设为Mi、Ni(i=2、3、4)，连结AMi交I于S
39、i、连结ANi 交K于 Ti，则(ASiTi)是其余的三个解圆。图中Mi、Ni未标出。(i=2、3、4)。 作法四作法四：(彭赛列福切解法) 1.作I、K、点圆A的根心S、作I、K的外位似中心B，和内位似 中心C，则AB是I、K、点圆A的外相似轴, AC是内相似轴。 2.过S作AB的垂线MN.作S(SA)与I交于E、F，直线EF交直线AB于T. 3.以IT为直径作圆交I于P、Q.直线IP、IQ分别交直线MN于O、O?，则 O(OP)、O?(O?Q)即是所求。 说明说明：把“外相似轴AB”改为“内相似轴AC”，只需把步骤23中的B改为 C，作图程序不变，可作出另外的两个解圆。 九九. .LCCL
40、CC：作一圆与两定圆作一圆与两定圆、一定直线都相切一定直线都相切。 例例1 1.已知已知：I(R)I(R)和和K(r)K(r)、直线直线L (L (以三者相离为例以三者相离为例) ) 求作求作：O O，使它与直线使它与直线L L、I I和和K K都相切都相切。 作法一作法一：（转化为PLC）把I的半径改变r个单位，把直线L上下平移r个 单位，就可转化为PLC，本例是以I半径缩小、直线L下移、以直线CK为 基准而作图的。 1.作I(R-r)、把直线L向下平移r个单位到直线J的位置。 问题转化为：PLC问题，即已知I(R-r)、点K、直线J，求作切圆。 2.过 I 作 IAJ 于 A，交I(R-r
41、)于 B、C. 3.直线 CK 交直线 J 于 G，交(ABK)于 D，过 G 作以 DK 为直径的圆的切 线 GF，F 为切点。作G(GF)交直线 J 于 M、N，过 M、N 作直线 J 的垂 【阿波罗尼奥斯问题之常规解答】 22 【金占魁系列丛书金占魁系列丛书】 我是一朿缈缈烛光我是一朿缈缈烛光，可完结你黑暗中的漫漫求索可完结你黑暗中的漫漫求索! ! 线交直线 L 于 S、P，线段 KM 的中垂线交直线 SM 于 O，线段 KN 的中垂 线交直线 NP 于O?.则O(OS)、O?(O?P)即是所求。 说明说明：转换法有四种变化，每种变化有两个解圆，解圆共八个。四种变 化为： 1.把I半径缩
42、小r个单位，把直线L下移r个单位，以CK为基准。 2.把I半径缩小r个单位，把直线L上移r个单位，以BK为基准。 3.把I半径增大r个单位，把直线L上移r个单位，以CK为基准。 4.把I半径增大r个单位，把直线L下移r个单位，以BK为基准。 若以直线BK为基准，只需把步骤3中字母B、C互换，作图程序不变， 就能作出解圆。 顺便说一下四种变化规律： 设x=I半径的变化，半径增大时，x为正，半径缩小时，x为负。 y=直线L的平移变化，直线上移时，y为正，直线下移时，y为负。 z=相似轴的选择，选外相似轴CK时，z为正，选内相似轴BK时，z为负。 结论结论：若若x x、y y、z z的积为正的积为正
43、，则则有有解圆解圆，若若x x、y y、z z的积为负的积为负，则则无无解圆解圆。 【阿波罗尼奥斯问题之常规解答】 23 【金占魁系列丛书金占魁系列丛书】 我是一朿缈缈烛光我是一朿缈缈烛光，可完结你黑暗中的漫漫求索可完结你黑暗中的漫漫求索! ! 作法作法二二：(彭赛列与福切解法)采用的是通法。 1.过I作直线L的的垂线，交I于B、D点，过K作直线L的垂线，交K于 C、G点。直线BC是外相似轴，直线BG、CD、DG是内相似轴。再作I、 K的根轴，与直线L的交点S是根心。 2.先以外相似轴BC为基准作图，过S作BC的垂线SA.作以SI为直径的圆交 I于E、F，直线EF交直线BC于T. 3.以IT为
44、直径作圆交I于P、Q.直线IP、IQ分别交直线SA于O、O?，则 O(OP)、O?(O?Q)即是所求。 4.再分别以DC、DG、BG代替步骤2中的BC，作图程序不变，可得另外六个解圆。 LCC问题共八个解圆。 【阿波罗尼奥斯问题之常规解答】 24 【金占魁系列丛书金占魁系列丛书】 我是一朿缈缈烛光我是一朿缈缈烛光，可完结你黑暗中的漫漫求索可完结你黑暗中的漫漫求索! ! 作法作法三三：（热尔岗解法） 1.作相似轴。过 I、K 作直线 L 的垂线，交I 于 C、F，交K 于 B、G. 直线 BC 为外相似轴，直线 FG、FB、CG 为内相似轴。 下面以BC为基准作图。 2.作极点。作直线 BC 关于I、K 的极点 Q、P. 3.作根心。作I、K 的根轴交直线 L 于 S. 4.作切点。连结 SQ 交I 于 D、D?，连结 SP 交K 于 E、E?. 5.作圆心。直线 ID、KE 交于 O，直线 ID?、KE?交于O?(未画出)。 则O(OD)、O?(O?D?)即是所求。 说明说明：上述以外相似轴BC为极线作I、K的极点，作得两解圆。当然 也可用内相似轴FG、FB、CG为极线，作I、K的极点，得到另外六个 解圆，(此处省略作图)。 LCC问题共八个解圆。 作法四作法四：(彭赛列福切解法)采用的是原型法
