1、【阿波罗尼奥斯问题之解法基础】 0 【金占魁系列丛书金占魁系列丛书】 我是一朿缈缈烛光我是一朿缈缈烛光，可完结你黑暗中的漫漫求索可完结你黑暗中的漫漫求索! ! + + 阿波罗尼奥斯问题之解法基础 金 占 魁 尺 规 作 图 系 列 丛 书金 占 魁 尺 规 作 图 系 列 丛 书 【阿波罗尼奥斯问题之解法基础】 1 【金占魁系列丛书金占魁系列丛书】 我是一朿缈缈烛光我是一朿缈缈烛光，可完结你黑暗中的漫漫求索可完结你黑暗中的漫漫求索! ! 阿波罗尼奥斯问题之解法基础阿波罗尼奥斯问题之解法基础 金占魁 湖北随县第一高级中学 写在前面的话写在前面的话 在这习习的晚风里 我在追忆着失落的过去 在这泱泱
2、的波光中 我在寻觅你残留的痕迹 曾经是星星月亮般的情意 古老的神话传说着它们永不分离 听着古老的歌谣，翻着昔日的笔记，不知何时就到了怀旧的年龄。这个暑 期酷热而慢长，人闲思绪多，忽然有一股想把所了解的知识系统归纳的冲动， 想到了也就干了起来。 时常引起人们的错觉的是这样的两个尺规作图问题，一个是三等分角问题， 另一个是阿波罗尼奥斯问题。作一个角的三等分线，看起来很简单，简单到一 个刚学会怎么使用直尺和圆规的人，就会埋头猛攻起世界难题来了，到目前为 止，竟然还有牛人在网上发布视频，来说明自己是如何如何破解三等分角的!但 冷酷的事实是它是不可能的!而另一个呢，给出三个相离的已知圆，让你作出与 它们
3、都相切的圆来，如果你第一次听说这样的一个问题，你感到无从下手的是， 圆心该怎么确定？半径又该怎么确定呢？似乎是山重水复疑无路吧？可我会用 后面的章节告诉你，山水尽处是平川，这个问题是有多种作法的! 历史上，这两个烧脑的问题曾引起众多大咖们的青睐，他们的思想和方法引 领着无数后继者。三等分角问题至今热度不减，中学生都能理解，也敢勇于试探。 阿波罗尼奥斯问题却好景不再，圆幂定理相关内容已成为选修内容，中学生都难 以领会了，更不用说用圆规去探究了。能理解这本书内容的大概也是上了岁数的 人了，是故把书名定为阿波罗尼奥斯问题的末班车，用以纪念我们曾经的热 情和兴致。 同时，在此向本书部分内容提供过借鉴的
4、同仁们，表示崇高的敬意! 附，为简便计，圆的记法先作如下约定： (ABC)-表示过A、B、C三点的圆,不指明圆心。 A(R)-表示以A为圆心，以R为半径的圆。 A(R-r)-表示以A为圆心，以(R-r)为半径的圆。 A(BC)-表示以A为圆心，以线段BC为半径的圆。 2019年7月于随州 【阿波罗尼奥斯问题之解法基础】 2 【金占魁系列丛书金占魁系列丛书】 我是一朿缈缈烛光我是一朿缈缈烛光，可完结你黑暗中的漫漫求索可完结你黑暗中的漫漫求索! ! 目目 录录 一一. .圆的切线圆的切线、位似中心位似中心、相似轴相似轴3 3 二二. .两圆的根轴两圆的根轴、三圆的根心三圆的根心4 4 三三. .反
5、演变换反演变换、极线极线、极点极点66 四四. .正交圆系正交圆系、共轴圆系共轴圆系( (圆束圆束) )88 五五. .圆退化为点的情况圆退化为点的情况99 六六. .圆退化为线的情况圆退化为线的情况 1212 七七. .热尔岗解法及其通法热尔岗解法及其通法 1 15 5 八八. .庞斯列庞斯列福切解法福切解法及其改进型通法及其改进型通法 2121 本书是本书是阿波罗尼奥斯问题阿波罗尼奥斯问题的末班车的末班车的章节分册的章节分册 【阿波罗尼奥斯问题之解法基础】 3 【金占魁系列丛书金占魁系列丛书】 我是一朿缈缈烛光我是一朿缈缈烛光，可完结你黑暗中的漫漫求索可完结你黑暗中的漫漫求索! ! 一一)
6、 )圆的切线圆的切线、位似中心位似中心、相似轴相似轴 1 1. .过圆外一点作圆的切线过圆外一点作圆的切线 2 2. .作作相离相离两圆的内两圆的内、外位似中心外位似中心及内及内、外外公切线公切线 作法作法：任取O1的半径OA，过O2作O1A的平行线交O2于B、C，直线AC、 BC交连心线O1O2于S、T。S是外位似中心，T为内位似中心。过S作O1的 切线，即是外公切线，过T作O1的切线，即为内公切线。 3.3. 作作内含内含两圆的内两圆的内、外位似中心外位似中心 作法作法：任取O1的半径OA，过O2作O1A的平行线交O2于B、C，直线AC、 BC交连心线O1O2于S、T。S是外位似中心，T为
7、内位似中心。 说明说明：两相切、相交时，内、外位似中心的作法是相同的。等圆只能作 出位似内心，位似外心在无穷远处。 4.4.作作三三圆圆两两外切两两外切( (这是基本功，不然索迪圆往哪儿画？) ) 作法一： (1)作ABC的内切圆，切点为D、E、F。 (2)作A(AD)、B(BE)、C(CF)即可。 【阿波罗尼奥斯问题之解法基础】 4 【金占魁系列丛书金占魁系列丛书】 我是一朿缈缈烛光我是一朿缈缈烛光，可完结你黑暗中的漫漫求索可完结你黑暗中的漫漫求索! ! 作法二： (1)在线段BC上任取一点E，作B(BE)、C(CE)，则B与C外切。 (2)作B、C的外位似中心。在B上再任取一点S，直线ST
8、交两圆于D、F两点， 直线BD、CF交于A。作A(AD)即可，则三圆A、B、C两两外切。 5.5.作三圆的相似轴作三圆的相似轴 作法作法：作两两圆对的内、外位似中心，共三个位似外心和三个位似内心。 其中，三个位似外心共线，称为外相似轴，只有一条。两个位似内心和 一个位似外心共线，称为内相似轴，有三条。 二二) )两圆的根轴两圆的根轴、三圆的根心三圆的根心 1 1. .两圆的根轴两圆的根轴( (也叫等幂轴也叫等幂轴) ) (1).(1).两圆相交时和两圆相切时 【阿波罗尼奥斯问题之解法基础】 5 【金占魁系列丛书金占魁系列丛书】 我是一朿缈缈烛光我是一朿缈缈烛光，可完结你黑暗中的漫漫求索可完结你
9、黑暗中的漫漫求索! ! (2).两圆相离时 (3).两圆内含时 2 2. .点与圆的根轴点与圆的根轴( (其中一圆退化为点其中一圆退化为点) ) 点与圆的根轴垂直于点心线，平分点与圆的公切线(若有的话)，平 分点与它的极点的连线段(图中的线段 PP?)。根轴上任一点到圆的切线长 等于它到定点的距离。 点在圆外点在圆外 点在圆上点在圆上 点在圆内点在圆内 3.3.三圆的根心三圆的根心( (也叫等幂点也叫等幂点) )，指三条根轴交于的一点指三条根轴交于的一点。实际作图中只需 要作两条根轴相交即可。 【阿波罗尼奥斯问题之解法基础】 6 【金占魁系列丛书金占魁系列丛书】 我是一朿缈缈烛光我是一朿缈缈烛
10、光，可完结你黑暗中的漫漫求索可完结你黑暗中的漫漫求索! ! 三三) )圆的圆的反演变换反演变换、极线极线、极点极点 1 1. .点关于圆的反演变换点关于圆的反演变换 定义，在以O(R)的圆心O为端点的射线上取两点A、A?，若OAOA?=R 2 ， 则称A、A?关于O(R)互为反演点，O(R)为反演圆(基圆)，O为反演中 心(反演极)，R为反演半径(R 2为反演幂)。 点在圆外时的反演作法点在圆外时的反演作法 点在圆内且不是圆心时的反演作法点在圆内且不是圆心时的反演作法 点在圆上时点在圆上时，其反演点是其本身其反演点是其本身。点在圆心处时点在圆心处时，反演点在无穷远处反演点在无穷远处。 2 2.
11、 .极线关于圆的极点极线关于圆的极点，极极点点关于圆的极关于圆的极线线。 作法一作法一： 说明说明：把上述过程倒作，就能作出点A?关于O的极线L。 作法二作法二：两对两对“切点线段切点线段”的交点的交点 【阿波罗尼奥斯问题之解法基础】 7 【金占魁系列丛书金占魁系列丛书】 我是一朿缈缈烛光我是一朿缈缈烛光，可完结你黑暗中的漫漫求索可完结你黑暗中的漫漫求索! ! 说明说明：三圆的外相似轴关于三圆的极点的另一作法，过三个位似外心作 其对应圆的外公切线，切点连线的交点就是对应的极点。 3.3.直线直线关于圆的关于圆的反演反演 (1).(1).直线与圆相离时 (2).直线与圆相切、相交时 当直线L与O
12、相切于A时，直线L的反形为以OA为直径的圆(左图)。 当直线L与O相交于B、C时，直线L的反形为过O、B、C三点的圆(中图)。 当直线L过O的圆心O时，直线L的反形为其本身(右图)。 4.4.圆圆关于圆的关于圆的反演反演 当O?不过O的圆心O时，O的反形为另一个圆。 图中O1与O互为反形，其中A是A?的极点，B是B的极点，两圆是 以AB、A?B?为直径的圆。 说明说明：只需作O?与连心线OO?的交点的反演点即可，注意反形与圆心无 关，O?的反形不是O1 !千万不要通过圆心来作反形。 【阿波罗尼奥斯问题之解法基础】 8 【金占魁系列丛书金占魁系列丛书】 我是一朿缈缈烛光我是一朿缈缈烛光，可完结你
13、黑暗中的漫漫求索可完结你黑暗中的漫漫求索! ! 当圆过O的圆心O时，其反形为直线L。 过切点A的切线 过两交点的直线 A与A?互为反演点 说明说明：直线L都与连心线OO?垂直。 四四) ) 正交圆系正交圆系、共轴圆系共轴圆系( (圆束圆束) ) 1 1. .一圆一圆、两圆两圆、三圆的正交圆的作法三圆的正交圆的作法 如图，O、O?两圆正交，可简单地理解为：两圆过交点A的半径互相 垂直，即OAO?A。 (1).作作O O的正交圆的方法的正交圆的方法，在O外任取一点O?，以OO?为直径作圆交 O于A，则O?(O?A)即是所求。 (2).作两圆作两圆O O1 1、O O2 2的正交圆系的方法的正交圆系
14、的方法。 (3).作三圆作三圆O O1 1、O O2 2、O O3 3的公共正交圆的公共正交圆( (根圆根圆) )的方法的方法。 【阿波罗尼奥斯问题之解法基础】 9 【金占魁系列丛书金占魁系列丛书】 我是一朿缈缈烛光我是一朿缈缈烛光，可完结你黑暗中的漫漫求索可完结你黑暗中的漫漫求索! ! 2 2. .两圆的共轴圆系作法两圆的共轴圆系作法 作作O O1 1、O O2 2 的共轴圆的共轴圆( (庞斯列庞斯列福切解法福切解法要用要用) )： 五五 圆退化为点时的情况圆退化为点时的情况 1 1. .“圆与圆圆与圆 点与圆点与圆 点与点点与点”的规律的规律： (1)(1)外离时的变化规律外离时的变化规律
15、： 说明说明：位似心、公切线、根轴、正交圆的作法不再叙述，翻看前面内容。 【阿波罗尼奥斯问题之解法基础】 10 【金占魁系列丛书金占魁系列丛书】 我是一朿缈缈烛光我是一朿缈缈烛光，可完结你黑暗中的漫漫求索可完结你黑暗中的漫漫求索! ! 说明说明：过点O2作O1的两条外公切线，切线段的中心连线即是根轴。在根 轴上任取一点O，以OO1为直径的圆与O1交于P、Q点，则O(OP)即为点 与圆的正交圆。 说明说明 ：两点O1、O2的根轴是线段O1O2的垂直平分线，两点O1、O2的正交圆 是过O1、O2两点的任一圆。 (2)(2)点与圆位置的变化规律点与圆位置的变化规律： 说明说明 ：点在圆外时，点与圆的
16、根轴有两种作法，其中，根轴是A与它的 极点A连线的垂直平分线，这是一种通用作法。点与圆的正交圆必过此 点，圆心在根轴上。 【阿波罗尼奥斯问题之解法基础】 11 【金占魁系列丛书金占魁系列丛书】 我是一朿缈缈烛光我是一朿缈缈烛光，可完结你黑暗中的漫漫求索可完结你黑暗中的漫漫求索! ! 说明说明：过A点的圆的切线为根轴。O?是根轴上任一点，O?(O?A)是正交 圆。 2 2. .“圆圆圆圆圆圆 点圆圆点圆圆 点点圆点点圆”的规律的规律： 说明说明：三圆的根心、相似轴、正交圆的作法详见前面的内容。 【阿波罗尼奥斯问题之解法基础】 12 【金占魁系列丛书金占魁系列丛书】 我是一朿缈缈烛光我是一朿缈缈烛
17、光，可完结你黑暗中的漫漫求索可完结你黑暗中的漫漫求索! ! 说明说明：一圆退化为点A时，A为位似中心，过A与两圆的位似内心的直线为 内相似轴，过A与两圆的位似外心的直线为外相似轴。点圆圆的根心是A 与两圆的根轴的交点，点圆圆的正交圆必过A点，根心是圆心。 说明说明：两圆退化为两点A、B时，A、B为位似中心，直线AB为点点圆的相 似轴。根心是A、B分别与圆的根轴的交点。正交圆过A、B两点，根心为 圆心。 总结总结：圆退化为点圆时，点变为位似中心。有两个点时，两点连线为相 似轴。正交圆总是经过点圆。点与圆的根轴的作法是该点与其极点连线 的中垂线。 六六 圆退化为线圆退化为线时时的情况的情况 1 1
18、. .圆圆的公切线圆圆的公切线 线圆的公切线线圆的公切线： 说明说明：位似心、公切线、根轴、正交圆的作法不再叙述，翻看前面内容。 【阿波罗尼奥斯问题之解法基础】 13 【金占魁系列丛书金占魁系列丛书】 我是一朿缈缈烛光我是一朿缈缈烛光，可完结你黑暗中的漫漫求索可完结你黑暗中的漫漫求索! ! (1)线圆与圆外离时线圆与圆外离时： 说明说明 ：圆退化为线时，直线为根轴。过圆心作该直线的垂线，与圆的两 个交点为“线与圆”的内、外位似中心。过内、外位似中心的圆的两条 切线，分别为“线与圆”的内、外公切线。在根轴上任取一点为圆心， 作圆的正交圆，此圆也为“线与圆”的正交圆。 (2)(2)线圆与圆相切时线
19、圆与圆相切时： 说明说明：这种情况下，直线为根轴，也为内公切线。过圆心作该直线的垂 线，与圆的两个交点为“线与圆”的内、外位似中心。过外位似中心的 圆的切线，为“线与圆”的外公切线。在根轴上任取一点为圆心，作圆 的正交圆，此圆也为“线与圆”的正交圆，正交圆过位似内心。 (3)(3)线圆与圆相交时线圆与圆相交时： 说明说明 ：圆退化为线时，直线为根轴。过圆心作该直线的垂线，与圆的两 【阿波罗尼奥斯问题之解法基础】 14 【金占魁系列丛书金占魁系列丛书】 我是一朿缈缈烛光我是一朿缈缈烛光，可完结你黑暗中的漫漫求索可完结你黑暗中的漫漫求索! ! 个交点为“线与圆”的位似中心(不分内与外)。过两位似中
20、心的圆的两 条切线，分别为“线与圆”的公切线。在根轴上任取一点为圆心，作圆 的正交圆，此圆也为“线与圆”的正交圆。 2 2. .“圆圆圆圆圆圆”的公切线的公切线 “线圆线圆圆圆“的公切线的公切线 “线线线线圆圆”的公切线的公切线： 说明说明：三圆的根心、相似轴、正交圆的作法见前面的内容。这里不再叙 述。 说明说明：当一圆退化为直线L时，直线L为“线与圆”的公共根轴。过两圆 的圆心分别作直线L的垂线，与两圆的两个交点分别为A、B和C、D，其中 直线AD是“线圆圆”的外相似轴，直线AC、直线BD、直线BC是“线圆圆” 的内相似轴。两圆的根轴与直线L的交点为“线圆圆”的根心，以根心为 圆心，作任一圆
21、的正交圆，则此圆也为“线圆圆”的正交圆。 【阿波罗尼奥斯问题之解法基础】 15 【金占魁系列丛书金占魁系列丛书】 我是一朿缈缈烛光我是一朿缈缈烛光，可完结你黑暗中的漫漫求索可完结你黑暗中的漫漫求索! ! 说明说明：当有两圆退化为两直线L1、L2时，直线L1、L2为“线与圆”的根轴， 直线L1、L2的交点为“线线圆”的根心。过圆的圆心分别作直线L1、L2的 垂线，与圆的两个交点分别为A、B和C、D，则直线AC是“线线圆”的外 相似轴，直线AD、直线BD、直线BC是“线线圆”的内相似轴。以根心为 圆心，作圆的正交圆，则此圆也为“线线圆”的正交圆。 总结总结：直线与线圆相切变为线与线平行。圆与线圆的
22、公切点是过圆心作 线圆的垂线，该垂线与圆的交点。圆与线圆的公切线是平行于线圆的该 圆的切线。圆退化为线圆时，直线就成了根轴，两圆退化为两线圆时， 两直线交点为根心。 说明说明：以上规律以上规律，全部是用全部是用几何画板几何画板探究得到的探究得到的。 七七、CCCCCC( (圆圆圆圆圆圆) )问题的热尔岗解法及其通法问题的热尔岗解法及其通法 第十个问题第十个问题CCCCCC：求作一圆求作一圆，使它与三个已知圆都相切使它与三个已知圆都相切。 已知已知：三圆U(R1)、V(R2)、W(R3)。其中R1R2R3 求作求作：O，使之与U、V和W都相切。 作法一作法一： 1.作U、V、W的外相似轴PQRP
23、、Q、R为外位似中心。另外三条内相 似轴此处不作，目的是让图像清晰。 2.作圆U、V、W的等幂中心(根心)S. 步骤 1 步骤 2 3.作相似轴PQ关于U、V、W的极点A、B、C. 【阿波罗尼奥斯问题之解法基础】 16 【金占魁系列丛书金占魁系列丛书】 我是一朿缈缈烛光我是一朿缈缈烛光，可完结你黑暗中的漫漫求索可完结你黑暗中的漫漫求索! ! 4.连结SA、SB、SC分别交三圆于D、D?、E、E?、F、F?. 则(DEF)、(D?E?F?)即是所求。 步骤 3 步骤 4 5.用内相似轴代替步骤3中的外相似轴，作法相同，可另外六个解圆。 全部八个解圆全部八个解圆如下如下： 相似轴的位置与解圆(共有
24、24=8个解圆) 作法二作法二：由于极点A、B、C可以不依赖于相似轴，也就可以省略相似轴。 1、作根心。作U、V两条外公切线，作V、W的两条外公切线，作W、 U的两条外公切线段。三对外公切线段的中点连线交于一点 S ，该S点为根心。 2、作极点。三个圆中各对切点的连线的交点分别为A、B、C，如图。 3、作切点。连结SA、SB、SC，分别交三圆于D、D?、E、E?、F、F?. 则(DEF)、(D?E?F?)即是所求。 【阿波罗尼奥斯问题之解法基础】 17 【金占魁系列丛书金占魁系列丛书】 我是一朿缈缈烛光我是一朿缈缈烛光，可完结你黑暗中的漫漫求索可完结你黑暗中的漫漫求索! ! 说明：本例只作出了
25、两个解圆。若把步骤1中的两对外公切线改为内公切线(轮换 改变两对，有三种改法)，另外六个解圆依理可作。此略。 热尔岗解法中的四步通法为热尔岗解法中的四步通法为： (1)(1)作相似轴作相似轴。(2)(2)作根心作根心。(3)(3)作极点作极点。(4)(4)作切点作切点。 例例1.1.已知已知：K K及及其其外两点外两点A A和和B B ( (即即PPCPPC) ) 求作求作：过过A A和和B B作作O O，使它与使它与K K相切相切。 作法作法： 1.作相似轴。直线 AB 即是。这说明 AB 是内外相似轴，它们二合一了。 2.作根心。过 A、B 分别作K 的切线 AD、AD?和 BC、BC?，
26、C、C?、D、D? 为切点。线段 AD、AD?的中点连线与线段 BC、BC?的中点连线交于 Q. 3.作极点。直线 CC?、DD?交于 P，点 P 就是直线 AB 关于K 的极点。 4.作切点。直线 PQ 交K 于 M、N 两点，点 M、N 就是切点。 则(ABM)、(ABN)即为所求。 【阿波罗尼奥斯问题之解法基础】 18 【金占魁系列丛书金占魁系列丛书】 我是一朿缈缈烛光我是一朿缈缈烛光，可完结你黑暗中的漫漫求索可完结你黑暗中的漫漫求索! ! 说明：1.A、B是多重身份，是点圆，是极点，是切点。 2.相似轴的条数决定解圆的个数，一条相似轴确定两个解圆。 例例2 2. .已知已知：直线直线L
27、 L1、L L2和和K(R)K(R)，直线直线L L1、L L2交于交于P P. 求作求作：O O，使它与使它与直线直线L L1、L L2和和K(R)K(R)都相切都相切。 作法作法： 1.作相似轴。过K作L1的垂线交K于A、B，过K作L2的垂线交K于C、D， 则BC是外相似轴，如图。 2.作根心。直线L1、L2都是根轴，它们的交点P就是根心。 3.作极点。过B作L1的平行线，过C作L2的平行线，两平行线交于Q. 4.作切点。连结PQ交K于M、N，点M、N就是切点。 5.作圆心。直线KM、KN交角平分线于O1、O2， 则O1(O1M)、O2(O2N)即是所求。 6.同理，内相似轴AD，对应着另
28、外两解。过A作L1的平行线，过D作L2的平 行线，两平行线交于Q.连结PQ交和K于M、N，直线KM、KN交角平分线 于O1、O2 .则和O1(O1M)、O2(O2N)即是所求。 说明说明：上述只作出两个解圆。当S是内位似中心时，则可以作出另外两个 解圆来。PCC问题共四个解圆。若R=r,S为无穷远点，则SAIK。 【阿波罗尼奥斯问题之解法基础】 19 【金占魁系列丛书金占魁系列丛书】 我是一朿缈缈烛光我是一朿缈缈烛光，可完结你黑暗中的漫漫求索可完结你黑暗中的漫漫求索! ! 例例3 3. .已知已知：K K、直线直线L L、点点A (A (以三者相离为例以三者相离为例) ) 求作求作：O O，使
29、它过使它过A A点并与直线点并与直线L L和和K K相切相切 作法作法： 1.作相似轴。过K作KDL交K于C、E，直线AE是外相似轴，直线AC是内 相似轴。下面先以直线AE为基准作图。 2.作根心。作点圆 A、K 的根轴，与直线 L 交于 B，点 B 为根心。 3.作极点。作直线 AE 关于K 的极点 P. 4.作切点。连结 PB 交K 于 Q、Q?.公切点为 Q、Q?. 5.作圆心。直线 KQ 与线段 AQ 的中垂线交于 O，直线 KQ?与线段 AQ?的中 垂线交于O?，则O(OA)和O?(O?A)即是所求。 6.用C代替步骤123中的E，作图过程不变，可得另外两个解圆，PLC问题 共有四个
30、解圆，如图。 【阿波罗尼奥斯问题之解法基础】 20 【金占魁系列丛书金占魁系列丛书】 我是一朿缈缈烛光我是一朿缈缈烛光，可完结你黑暗中的漫漫求索可完结你黑暗中的漫漫求索! ! 例例4 4. .已知已知：I I和和K K及圆外一点及圆外一点A A 求作求作：O O，使它过使它过A A点并与点并与I I和和K K相切相切。 作法作法： 1.作I和K的外位似中心S，则SA为相似轴。 2.过A作两圆的公切线AE、AE?和AF、AF?，切点是E、E?、F、F?.作六条公 切线段AE、AE?和AF、AF?及C?D?、CD的中点连线（细红虚线），三线交 于一点P(根心)。 3.连结CC?、EE?交于B，连结
31、DD?、FF?交于G，则B、G都为极点。 4.直线PB交I于M、M?，直线PG交K于N、N?. 则(AMN)、(AM?N?)即是所求。 说明说明：上述以外位似中心S为例，只作出了两个解圆。当S是内位似中心 时，则可以作出另外两个解圆来(上右图)。PCC问题共四个解圆。 例例5 5. .已知已知：I(R)I(R)和和K(r)K(r)、直线直线L (L (以三者相离为例以三者相离为例) ) 求作求作：O O，使它与直线使它与直线L L、I I和和K K都相切都相切。 作法作法： 1.作相似轴。过 I、K 作直线 L 的垂线，交I 于 C、F，交K 于 B、G. 【阿波罗尼奥斯问题之解法基础】 21
32、 【金占魁系列丛书金占魁系列丛书】 我是一朿缈缈烛光我是一朿缈缈烛光，可完结你黑暗中的漫漫求索可完结你黑暗中的漫漫求索! ! 直线 BC 为外相似轴，直线 FG、FB、CG 为内相似轴。 下面以BC为基准作图。 2.作极点。作直线 BC 关于I、K 的极点 Q、P. 3.作根心。作I、K 的根轴交直线 L 于 S. 4.作切点。连结 SQ 交I 于 D、D?，连结 SP 交K 于 E、E?. 5.作圆心。直线 ID、KE 交于 O，直线 ID?、KE?交于O?(未画出)。 则O(OD)、O?(O?D?)即是所求。 说明说明：上述以外相似轴BC为极线作I、K的极点，作得两解圆。当然 也可用内相似
33、轴FG、FB、CG为极线，作I、K的极点，得到另外六个 解圆，(此处省略作图)。 LCC问题共八个解圆。 八八、庞斯列庞斯列福切解法福切解法 1822年, 彭赛列在其图形之射影性质中给出了阿波罗尼奥斯问题的 又一解法,他运用的是综合法,与上述热尔岗的解法有异曲同工之妙,备受时人 推崇。70年后,法国数学家福切应用等角圆方法再次解决了阿波罗尼奥斯问题, 不过他的这一解法与彭赛列的解法基本上并无二致。其分析思路是：如图1， 已知三圆O1、O2、O3，分别作O1、O2和O1、O3的外位似中心C和 B，以C为圆心作O1、O2的共轴圆，再以B为圆心作O1、O3的共轴圆。 记V为B、C所确定的共轴圆系，则
34、与V共轭的圆系W中与O2相切的两圆 O、O 即为问题的两个解圆。 图1. 彭赛列福切解法分析 图2. 彭赛列福切解法 【阿波罗尼奥斯问题之解法基础】 22 【金占魁系列丛书金占魁系列丛书】 我是一朿缈缈烛光我是一朿缈缈烛光，可完结你黑暗中的漫漫求索可完结你黑暗中的漫漫求索! ! 彭赛列福切的解法具体步骤如下(图2)： 步骤步骤1.1.分别作O1、O2和O1、O3的外位似中心C和B.以C为圆心,作O1、 O2 的共轴圆C,以B为圆心作O1、O3 的共轴圆B，B与C 的根轴为直线MN。于是目标圆的圆心O就在根轴MN上。 步骤步骤2.2.作O1、O2和O3的根心S，作出三圆O1、O2 、O3的正交圆
35、S， S与O2交于E、F，直线EF交直线BC于T. 步骤步骤3.3.以TO2为直径作圆交O2于P、Q.直线O2P、直线O2Q分别交直线MN于O?、O. 则O?(O?P)、O(OQ)即是所求。 在彭赛列福切解法中，要作两个共轴圆，同时要作它们的根轴，过程 较繁，不妨把此处略作变动，这样彭赛列福切解法的改进型作法就是(图3)： 1.作O1、O2、O3 的根心S、外相似轴AB, 过S作AB的垂线MN. 2.作以SO1为直径的圆与O1交于E、F，直线EF交直线AB于U. 3.以UO1为直径作圆交O1于P、Q，直线O1P、O1Q分别交直线MN于O?、O， 则O?(O?P)、O(OQ)即是所求。 图3.彭
36、赛列福切的改进型解法 例例6 6. .已知已知：K K及及其其外两点外两点A A和和B B ( (即即PPCPPC) ) 求作求作：过过A A和和B B作作O O，使它与使它与K K相切相切。 作法作法： 1.作K、A、B 的根心S, 过S作直线AB的垂线MN. 2.作S(SA)，与K交于E、F，直线EF交直线AB于T. 3.以TK为直径作圆交K于P、Q.则(ABP)、(ABQ)即是所求。 【阿波罗尼奥斯问题之解法基础】 23 【金占魁系列丛书金占魁系列丛书】 我是一朿缈缈烛光我是一朿缈缈烛光，可完结你黑暗中的漫漫求索可完结你黑暗中的漫漫求索! ! 说明说明：PPC问题中内外相似轴二合一了，都
37、是直线AB.故有两个解圆。 例例7 7. .已知已知：直线直线L L1、L L2和和K(R)K(R)，直线直线L L1、L L2交于交于P P. 求作求作：O O，使它与使它与直线直线L L1、L L2和和K(R)K(R)都相切都相切。 作法作法： 1.过K作直线L2的垂线交K于B，过K作直线L1的垂线交K于C，直线BC 为外相似轴，L1、L2交点是根心S.过S作SABC于A. 2.作以SK为直径的圆交K于E、F，直线EF交直线BC于T. 3.以TK为直径作圆，交K于P、Q.直线KP、KQ分别交直线SA于O、O?，则 O(OP)、O?(O?Q)即是所求。 说明说明：把“外相似轴”改为“内相似轴
38、”，可作出另外的两个解圆。如 图。其它的两条相似轴，对应着无解圆，此处不叙。 【阿波罗尼奥斯问题之解法基础】 24 【金占魁系列丛书金占魁系列丛书】 我是一朿缈缈烛光我是一朿缈缈烛光，可完结你黑暗中的漫漫求索可完结你黑暗中的漫漫求索! ! 说明说明：此图中B、C为内位似中心，直线BC为内相似轴。把“外相似轴” 改为“内相似轴 (有一条) ”，可作出另外的两个解圆。图略。 若R=r ，则B为无穷远点，此时ABIK。 例例8 8. .已知已知：K K、直线直线L L、点点A (A (以三者相离为例以三者相离为例) ) 求作求作：O O，使它过使它过A A点并与直线点并与直线L L和和K K相切相切
39、 作法作法： 1.过K作直线L的垂线，交K于B、C，直线AB是外相似轴，直线AC是内 相似轴。K、点圆A的根轴与直线L的交点是根心S，过S作直线AB的 垂线SG. 2.作S(SA)交K于E、F，直线EF交直线AB于T. 3.以TK为直径的圆交K于P、Q.直线KP、KQ分别交直线SG于O、O?.则 O(OP)、O?(O?Q)即是所求。 【阿波罗尼奥斯问题之解法基础】 25 【金占魁系列丛书金占魁系列丛书】 我是一朿缈缈烛光我是一朿缈缈烛光，可完结你黑暗中的漫漫求索可完结你黑暗中的漫漫求索! ! 说明说明：把“外相似轴AB”改为“内相似轴AC”，即可作出另外的两个解 圆。如图。 例例9 9. .已
40、知已知：I I和和K K及圆外一点及圆外一点A A 求作求作：O O，使它过使它过A A点并与点并与I I和和K K相切相切。 作法作法： 1.作I、K、点圆A的根心S、作I、K的外位似中心B，和内位似 中心C，则AB是I、K、点圆A的外相似轴, AC是内相似轴。 2.过S作AB的垂线MN.作S(SA)与I交于E、F，直线EF交直线AB于T. 3.以IT为直径作圆交I于P、Q.直线IP、IQ分别交直线MN于O、O?，则 O(OP)、O?(O?Q)即是所求。 说明说明：把“外相似轴AB”改为“内相似轴AC”，只需把步骤23中的B改为 C，作图程序不变，可作出另外的两个解圆。 【阿波罗尼奥斯问题之
41、解法基础】 26 【金占魁系列丛书金占魁系列丛书】 我是一朿缈缈烛光我是一朿缈缈烛光，可完结你黑暗中的漫漫求索可完结你黑暗中的漫漫求索! ! 例例1010. .已知已知：I(R)I(R)和和K(r)K(r)、直线直线L (L (以三者相离为例以三者相离为例) ) 求作求作：O O，使它与直线使它与直线L L、I I和和K K都相切都相切。 作法作法一一：采用的是通法。 1.过I作直线L的的垂线，交I于B、D点，过K作直线L的垂线，交K于 C、G点。直线BC是外相似轴，直线BG、CD、DG是内相似轴。再作I、 K的根轴，与直线L的交点S是根心。 2.先以外相似轴BC为基准作图，过S作BC的垂线S
42、A.作以SI为直径的圆交 I于E、F，直线EF交直线BC于T. 3.以IT为直径作圆交I于P、Q.直线IP、IQ分别交直线SA于O、O?，则 O(OP)、O?(O?Q)即是所求。 4.再分别以DC、DG、BG代替步骤2中的BC，作图程序不变，可得另外六个解圆。 LCC问题共八个解圆。 【阿波罗尼奥斯问题之解法基础】 27 【金占魁系列丛书金占魁系列丛书】 我是一朿缈缈烛光我是一朿缈缈烛光，可完结你黑暗中的漫漫求索可完结你黑暗中的漫漫求索! ! 作法作法二二：采用的是原型法。 1.过 I 作直线 L 的垂线，垂足分别为 D，交I 于 B、S.过 K 作直线 L 的垂线， 垂足分别为 D，交K 于
43、 C、T. 2.在直线 L 上任取一点 Q，作(QDI)交I 于 V，以 QB 为直径的圆交Q(QV)于 P，则B(BP)是I、线圆 L 的共轴圆。同理，作K、线圆 L 的共轴圆C ， 两个共轴圆B、C 交于 M、N，则解圆的圆心在直线 MN 上。 3.直线 BC 交直线 L 于 A，作A(AM)交直线 L 于 F、G 点，过 F、G 作直线 L 的垂 线交 MN 于 O、O?点。则O(OF)、O?(O?G)即是所求。 说明说明：上述以外相似轴BC为基准，作得两解圆。若分别以ST、BT、CS代替步骤12中 的BC，作图程序不变，可得另外六个解圆，(此处省略作图)。共八个解圆。 2019年7月于随州 剧谢谢观赏谢谢观赏终 【阿波罗尼奥斯问题之解法基础】 28 【金占魁系列丛书金占魁系列丛书】 我是一朿缈缈烛光我是一朿缈缈烛光，可完结你黑暗中的漫漫求索可完结你黑暗中的漫漫求索! ! 2019年年10月定稿月定稿于随州于随州 2020年春节重审于
