1、【阿波罗尼奥斯问题之名家解法】 0 【金占魁系列丛书金占魁系列丛书】 我是一朿缈缈烛光我是一朿缈缈烛光，可完结你黑暗中的漫漫求索可完结你黑暗中的漫漫求索! ! + + 阿波罗尼奥斯问题之名家解法 金 占 魁 尺 规 作 图 系 列 丛 书金 占 魁 尺 规 作 图 系 列 丛 书 【阿波罗尼奥斯问题之名家解法】 1 【金占魁系列丛书金占魁系列丛书】 我是一朿缈缈烛光我是一朿缈缈烛光，可完结你黑暗中的漫漫求索可完结你黑暗中的漫漫求索! ! 阿波罗尼奥斯问题阿波罗尼奥斯问题之之名家解法名家解法 金占魁 湖北随县第一高级中学 写在前面的话写在前面的话 在这习习的晚风里 我在追忆着失落的过去 在这泱泱
2、的波光中 我在寻觅你残留的痕迹 曾经是星星月亮般的情意 古老的神话传说着它们永不分离 听着古老的歌谣，翻着昔日的笔记，不知何时就到了怀旧的年龄。这个暑 期酷热而慢长，人闲思绪多，忽然有一股想把所了解的知识系统归纳的冲动， 想到了也就干了起来。 时常引起人们的错觉的是这样的两个尺规作图问题，一个是三等分角问题， 另一个是阿波罗尼奥斯问题。作一个角的三等分线，看起来很简单，简单到一 个刚学会怎么使用直尺和圆规的人，就会埋头猛攻起世界难题来了，到目前为 止，竟然还有牛人在网上发布视频，来说明自己是如何如何破解三等分角的!但 冷酷的事实是它是不可能的!而另一个呢，给出三个相离的已知圆，让你作出与 它们
3、都相切的圆来，如果你第一次听说这样的一个问题，你感到无从下手的是， 圆心该怎么确定？半径又该怎么确定呢？似乎是山重水复疑无路吧？可我会用 后面的章节告诉你，山水尽处是平川，这个问题是有多种作法的! 历史上，这两个烧脑的问题曾引起众多大咖们的青睐，他们的思想和方法引 领着无数后继者。三等分角问题至今热度不减，中学生都能理解，也敢勇于试探。 阿波罗尼奥斯问题却好景不再，圆幂定理相关内容已成为选修内容，中学生都难 以领会了，更不用说用圆规去探究了。能理解这本书内容的大概也是上了岁数的 人了，是故把书名定为阿波罗尼奥斯问题的末班车，用以纪念我们曾经的热 情和兴致。 同时，在此向本书部分内容提供过借鉴的
4、同仁们，表示崇高的敬意! 附，为简便计，圆的记法先作如下约定： (ABC)-表示过A、B、C三点的圆,不指明圆心。 A(R)-表示以A为圆心，以R为半径的圆。 A(R-r)-表示以A为圆心，以(R-r)为半径的圆。 A(BC)-表示以A为圆心，以线段BC为半径的圆。 2019年7月于随州 【阿波罗尼奥斯问题之名家解法】 2 【金占魁系列丛书金占魁系列丛书】 我是一朿缈缈烛光我是一朿缈缈烛光，可完结你黑暗中的漫漫求索可完结你黑暗中的漫漫求索! ! 目目 录录 第一章第一章 阿波罗尼奥斯问题的阿波罗尼奥斯问题的简介简介 0303 第二章第二章 阿波罗尼奥斯问题之名家解法阿波罗尼奥斯问题之名家解法
5、一一. .希思希思的的复原解法复原解法 0909 二二. .韦达韦达的的渐进式渐进式解法解法 1111 三三. .牛顿的牛顿的双曲线双曲线解解法法 1313 四四. .热尔岗的一般解法热尔岗的一般解法 1414 五五. .彭赛列彭赛列和和福切的解法福切的解法 1 15 5 六六. .彼得逊彼得逊的反演解法的反演解法 1 17 7 七七. .埃普斯坦埃普斯坦对对SoddySoddy圆的解法圆的解法 1919 第三章第三章 阿波罗尼奥斯问题之解法基础阿波罗尼奥斯问题之解法基础 一一. .常用常用定理定理及结论及结论2 21 1 二二. .常常见见概念及作法概念及作法2929 三三. .圆退化为点圆
6、退化为点时时的图形及规律的图形及规律 3 36 6 四四. .圆退化为线圆退化为线时时的图形及规律的图形及规律 3939 第四章第四章 阿波罗尼奥斯问题之十种组合阿波罗尼奥斯问题之十种组合 一一. .L LL LC C线线线线圆圆 4 42 2 二二. .三三圆圆两两两两相交相交. .4 43 3 三三. .索索迪迪圆圆的的作法作法. .448 8 本本书书是是阿波罗尼奥斯问题阿波罗尼奥斯问题的末班车的末班车的的章节章节分册分册 【阿波罗尼奥斯问题之名家解法】 3 【金占魁系列丛书金占魁系列丛书】 我是一朿缈缈烛光我是一朿缈缈烛光，可完结你黑暗中的漫漫求索可完结你黑暗中的漫漫求索! ! 第一章
7、第一章 阿波罗尼奥斯问题的阿波罗尼奥斯问题的简介简介 在数学历史的长河中，飞溅着无数个令人惊艳的浪花，有一个著名 的尺规作图问题就从古激荡至今-作出一个与平面上三个给定圆都相 切的圆。如图1： 图1. 三圆外离时有八种符合条件的切圆 古希腊的数学家阿波罗尼奥斯提出了这个问题，并解决了这个的问 题，可惜的是他的解答已经失传了，但问题本身却在帕普斯的研究成果 报告中得以幸存下来。这个悬案问题一直是一个挑战，它吸引了诸如笛 卡尔、牛顿、欧拉、高斯、热尔岗和彭赛列等数学名家，他们为这朵浪 花增添了亮丽的色彩，正是因为他们的积极参与，宛如一场跨世纪的技 能大比拼，更使得阿波罗尼奥斯问题举世瞩目。 阿波罗
8、尼奥斯问题的大事纪： 1.公元前3世纪,古希腊大数学家阿波罗尼奥斯(Apollonius,前260- 前190)提出了阿波罗尼奥斯问题，并解决了这个的问题(失传)。 2.三世纪亚历山大城的希腊数学家帕普斯(Pappus,约300约350)在 数学汇编中记录了阿波罗尼奥斯问题，并尝试了阿波罗尼奥斯问题 的解答。 3.法国数学家韦达(F.Vietta,15401603)根据前人的研究,对论 相切一书作了复原，同时系统论述了阿波罗尼奥斯提出的问题，给出 了最接近阿氏思想的解答，被认为是对阿波罗尼奥斯问题的合理复原。 4.1596年,比利时数学家范罗门(A.Van Roomen，15971652)使用
9、两 条双曲线的交点来确定解圆圆心的方法，但不被韦达认可，因为范罗门 的解法并不符合只使用尺规的要求。 5.牛顿(I.Newton,16421727)在普遍的算术中复制了韦达的解 法，1687年，牛顿又在自然哲学之数学原理中,再次回到阿波罗尼奥 斯问题上来，他的解法利用了范罗门的思路,应用了双曲线的焦点及准线 的性质，使双曲线法的尺规作图成为可能。爱尔兰数学家约翰凯西(J Casey 1802-1891)在1881年对范罗门的方法也进行了改进。 【阿波罗尼奥斯问题之名家解法】 4 【金占魁系列丛书金占魁系列丛书】 我是一朿缈缈烛光我是一朿缈缈烛光，可完结你黑暗中的漫漫求索可完结你黑暗中的漫漫求索
10、! ! 6.笛卡尔(Ren Descartes，1596-1650)用代数方法找到了两种解 法，其繁琐程度就连笛卡儿本人都不会用尺规尝试。不久，波希米亚的 伊丽莎白公主(Elizabeth, 15961662)也得出了代数解，笛卡儿认为她 的解法不比他的高明多少。 7.1788年,欧拉(L.Euler,17071783)和他的学生及朋友尼古拉弗 斯(N.Fuss, 17551826)在“圣彼得堡科学院院刊”上分别发表了一个 代数解法。 8.1801年，蒙日的学生数学家卡诺(L.N.M.Carnot,17531823)在 几何图形的相互关系中,利用二次方程求出了阿波罗尼奥斯问题中解 圆的半径,并
11、将切点作为位似中心来确定。1803年，在另一部著作位置 几何学中,卡诺又概述了阿波罗尼奥斯问题的代数解法。 9.德国大数学家高斯(C.F.Gauss,17771855)在卡诺位置几何学 德译本(1810)的一个注释中,完成了卡诺的代数解法,并成功地对卡诺的 计算进行了简化。 10.1806年,巴黎综合工科学校一年级学生柯西(A.L.Cauchy,1789 1857) 发表了阿波罗尼奥斯问题的一个代数解法,这是柯西一生中发表的 第一篇论文。 11.1811年,柯西的校友彭赛列(Jean-Victor Poncelet，1788- 1867)也在一年级时发表阿波罗尼奥斯问题的一个解法。1822年,
12、彭赛列 在其图形之射影性质中给出了阿波罗尼奥斯问题的另一解法。 12.热尔岗(J.D.Gergonne,17711859)于1816年给出的阿波罗尼奥斯 问题的首个一般性结果，这是一个为人称道的最为优雅的解法。 13.1892年，法国数学家福切(M.Douche)应用等角圆方法再次解决了 阿波罗尼奥斯问题,不过他的这一解法与彭赛列的解法基本上并无二致。 引人注目的是,福切不仅给出问题的一般解,而且还根据已知三圆的位置 关系讨论了各种情况下解的个数,同时,他还说明自己的解法同样适用于 已知圆被换成点或直线时的特殊情形。 14.19世纪中叶,丹麦数学家彼得逊(J.Petersen,18391910
13、)利用反 演理论解决了阿波罗尼奥斯问题。 15.加拿大的考克斯特(H.S.M coxeter，19072003)上个世纪最伟 大的几何学家给出的环形解方法，另一个方法是挪威著名数学家索菲 斯李(Sophos-lie，1842-1899)提出的lie-sphere几何。 16.英国著名数学史家希思(T.L.Heath,18611940)对阿波罗奥尼斯 问题进行了复原工作。 17.1643年,笛卡儿求得“笛卡儿圆定理”;1842年,英国业余数学家 贝克罗夫特(P.Beecroft)重新发现了这个结果。1936年，诺贝尔化学奖 得主索迪(F.Soddy,18771956)在自然杂志上，用诗歌形式发表
14、了 “笛卡儿圆定理”, 索迪称之为“精确之吻”,如今人们把“与三个彼此 外切的圆均相切的圆”称为索迪圆。 18. 2001年，美国数学家埃普斯坦(D.Eppstein)从空间两两相切四 球的一个性质中导出了一个十分简妙的结论，对索迪圆有了一个新解法。 【阿波罗尼奥斯问题之名家解法】 5 【金占魁系列丛书金占魁系列丛书】 我是一朿缈缈烛光我是一朿缈缈烛光，可完结你黑暗中的漫漫求索可完结你黑暗中的漫漫求索! ! 一般来说，三个给定的圆有八个与它们相切的解圆，这些解圆与三 个给定圆只存在着相切方式上不同，它们可分为：与三个圆都外切、与 两个圆外切另一个圆内切、与一个圆外切另两个圆内切、与三个圆都内
15、切。 图2.解圆与三圆的外切及内切方式 如果细分的话，还可以成对加以考虑，它能对作图分析带来极大的 便利，至少热尔岗就是这样解决问题的。 图3.八个解圆成双地加以考量 当然，三个给定的圆也可出现退化的现象，其中的任何一个都可以 缩小到零半径（一个点）或扩展到无限半径（一条线）。 图4. 圆退化为点的过程 图5. 圆退化为线的过程(LCC有八个解，图中未完全画出) 【阿波罗尼奥斯问题之名家解法】 6 【金占魁系列丛书金占魁系列丛书】 我是一朿缈缈烛光我是一朿缈缈烛光，可完结你黑暗中的漫漫求索可完结你黑暗中的漫漫求索! ! 图6. 圆退化为点和线的过程 从以上图示可以看出，阿波罗尼奥斯问题及其退化
16、就分成了十种情况:点点 点(PPP)、线线线(LLL)、点点线(PPL)、点线线(PLL)、点点圆(PPC)、线线圆 (LLC)、点线圆(PLC)、点圆圆(PCC)、线圆圆(LCC)、圆圆圆(CCC)。欧几里得在 原本中讨论了“PPP”、“LLL”的作法, 而阿波罗尼奥斯在论相切中讨 论了其余的八种。因点、线、圆的位置不同，解圆的个数也不尽相同，1895年, 英国数学家缪尔海德(R.F.Muirhead)在其论文“阿波罗尼奥斯相切问题解的个数 与性质”中完整地讨论阿波罗尼奥斯问题的解的个数。 为了解决阿波罗尼奥斯问题，数学家们开发了大量的几何和代数方法，我们 先来介绍一下代数方法，不论是谁，第
17、一次看到阿波罗尼奥斯问题时，莫名地就 会有代数求解的想法。 阿波罗尼奥斯问题可以用解圆的圆心和半径的三个方程来表示，可设 圆心的坐标为(x、y)，半径为r，三个给定圆的圆心可设为(x1、y1)、(x2、 y2)和(x3、y3)，半径可设为r1、r2、r3 .因解圆与三个给定圆相切，可以表 示为x、y和r的三个二次方程组。 (x-x1) 2+(y-y1)2-(rr1)2=0 (1) (x-x2) 2+(y-y2)2-(rr2)2=0 (2) (x-x3) 2+(y-y3)2-(rr3)2=0 (3) 在(rri) 2中(i=1、2、3)，+号表示外切时符号，-号表示内切时符号。 求解方程组即得出
18、r的表达式，但其过于繁琐，这里没有写出它的结 果，不过表达式中只有加、减、乘、除、乘方、开平方运算，它是可以 用尺规作出的! 在解方程组的过程中，出现了关于r的二次方程，根据一元二次方程 的根的判别式，任何二次方程的两个根可以是三种类型：两个不同的实数 根、两个相同的实数根或一对复共轭根。第一种情况是：每对根对应于一 对通过圆反演相关联的解圆(反演基圆是已知三圆的正交圆)。在第二种情 况下，两个根是相同的，对应于一个解圆，在反演下其反形为自身，给定 的一个圆本身就是一个解圆，这样不同解的数目减少了一个。复共轭半径 的第三种情况与几何解不对应，因为解圆不能有一个虚拟半径，因此，解 的数目减少了两
19、个。有趣的是，阿波罗尼奥斯问题不能有7个解圆，尽管 解圆的个数可能是从0到8的任何其他的数字。 阿波罗尼奥斯奥斯问题的另一个重要思路是变换法，基本策略是将 一个给定的阿波罗尼奥斯问题转化为另一个更容易解决的阿波罗尼奥斯 【阿波罗尼奥斯问题之名家解法】 7 【金占魁系列丛书金占魁系列丛书】 我是一朿缈缈烛光我是一朿缈缈烛光，可完结你黑暗中的漫漫求索可完结你黑暗中的漫漫求索! ! 问题。通过逆变换，从新问题的解中找到原问题的解。候选变换必须能 将给定的点、线和圆转换为其他点、线和圆，而不是变换成其他形状， 圆反演就具有这一特性。 如果三个给定圆中的两个不相交，则可以恰当地选择反演基圆，使 这两个给
20、定圆变换为同心圆。三个已知圆在这种环空反演下，三圆的反 形变为A(两个同心圆)和B，三个反形的解圆(红圆)的位置如图所示： 图7：ABC的边为a、b、c,左图中，2R=r2-r1 ,2b=r2+r1 ,a=r3R ,右图中， 2R=r2+r1 ,2b=r2-r1 ,a=r3R ,其中号取决于解圆C与B是外切还是内切。 当三个反形圆确定时，利用高斯方法可以很容易地解决阿波罗尼奥 斯问题(见下面步骤1.2.3.)。上图中设BAC=，根据余弦定理可得： cos=? ? ? = K ，=2arctan(? ? ) 这里计算的目的是，值的个数与解圆的个数是对应的。 为了解决阿波罗尼奥斯问题，我们就必须要
21、确定解圆的圆心或半径， 二者知其一即可。于是我们按如下步骤进行： 步骤步骤1 1. .把两个相离的给定圆反演成同心圆把两个相离的给定圆反演成同心圆。 (1)作两圆O1、O2的根轴，在根轴上任取一点P，作P与O1、O2正 交。P与直线O1O2交于两个定点E、F(共轴圆系的极限点)。 (2)作E(EF)，并把它作为反演基圆，则O1、O2的反形为同心圆 F(注意颜色的对应)，O3的反形通常为另一个圆。 图 8：红圆E 为反演基圆 步骤步骤2 2. .求反形求反形圆圆的半径的大小的半径的大小 如图，Z为反演基圆，半径为c，初圆X的半径为a，它的反形为 Y，半径为b ,图中c、a、XZ为已知，求出b的表
22、达式。 【阿波罗尼奥斯问题之名家解法】 8 【金占魁系列丛书金占魁系列丛书】 我是一朿缈缈烛光我是一朿缈缈烛光，可完结你黑暗中的漫漫求索可完结你黑暗中的漫漫求索! ! 图 9：用定义确定 a、b、c、ZX 间的关系式 ZA1ZA2=(ZX+a)(ZY-b)=c 2 . ZB1ZB2=(ZX-a)(ZY+b)=c2 消除ZY得：b = ? ? . 步骤步骤3 3. .在图在图7 7中红圆的半径为中红圆的半径为R R，可算出来可算出来：左边左边R=R=? ? 右边右边R=R=? ? , , 红圆的反形即为解圆红圆的反形即为解圆，用步骤用步骤2 2的的方法方法就可求出解圆的半径了就可求出解圆的半径了
23、。 具体一点就是：在下面右图中，已知三圆为O1、O2、O3，它们 的半径分别为ri i(i=1、2、3)，以E(EF)为反演基圆。则反形对应为： O1F(大)，O2F(小)，O3G，反形的半径为RF F、rF F、rG G.由 步骤2可得：R?= ? ? 、r?= ? ?、r?= ? ? .在中图中，同心圆 F(两个)和G的切圆为A、B、C、D，它们的半径rA A=rB B=rC C=rD D= ? ? ，还有四个切圆未画出，它们的半径都为? ? .在右图中，以A为 例，作A的反形A?，A?就是解圆，设其半径为r?，则r?= ? ? ， 至此解圆的半径就逐步算出来了! 我们不厌其烦地解释了两种
24、用代数求半径的方法，但是它们不是我 们追求的目标，我们追求的是一种简洁的纯几何方法，来解决阿波罗尼 奥斯问题。纯几何作图法就是本书介绍的重点，至此代数法在后续章节 就很少提及了。 【阿波罗尼奥斯问题之名家解法】 9 【金占魁系列丛书金占魁系列丛书】 我是一朿缈缈烛光我是一朿缈缈烛光，可完结你黑暗中的漫漫求索可完结你黑暗中的漫漫求索! ! 第二章第二章 阿波罗尼奥斯问题之名家解法阿波罗尼奥斯问题之名家解法 公元前三世纪, 古希腊大数学家阿波罗尼奥斯在论相切中, 提出这样的 一个问题: “已已知知三个元素三个元素, , 每个元素为点每个元素为点、直线或圆之一种直线或圆之一种。求作一圆求作一圆, ,
25、 过已过已 知点知点 ( (如果元素中有点的话如果元素中有点的话), ), 且与已知直线或圆相切且与已知直线或圆相切。” 人们通常将难度最大的圆圆圆(CCC)问题称为 “阿波罗尼奥斯问题”。该问题 从提出至今,已历两千二百余年。众多数学名家都相继给出他们各具特色的解法。 (注：名家解法中的各种概念及作法，在第三章中都有详细的介绍。) 一一. 希思希思的的复原解法复原解法 阿波罗尼奥斯本人是如何解决这个难题的呢？论相切原书已失传, 阿波罗尼 奥斯的解法我们就不得而知了。 英国著名数学史家希思对其作了复原，他复原的根据 是帕普斯所记载的如下三个命题: 命题命题1 1.如果两圆相切如果两圆相切, ,
26、 那么过切点的直线将两圆分成的两部分分别相似那么过切点的直线将两圆分成的两部分分别相似。 图1.过切点的直线分割两圆得到的弓形分别相似 命题命题2 2. (蒙日蒙日定理定理) )三三个圆的三个外位似个圆的三个外位似中心中心、 一个外位似中心和两个内位似中心分一个外位似中心和两个内位似中心分 别共线别共线, , 六个位似中心共位于四条直六个位似中心共位于四条直线上线上。这这四四条条直线称为三圆的相似轴直线称为三圆的相似轴。 图2. 相离三圆的的四条相似轴 【阿波罗尼奥斯问题之名家解法】 10 【金占魁系列丛书金占魁系列丛书】 我是一朿缈缈烛光我是一朿缈缈烛光，可完结你黑暗中的漫漫求索可完结你黑暗
27、中的漫漫求索! ! 命题命题3 3.(卡斯蒂朗卡斯蒂朗问题问题)作圆作圆的的内接三角形内接三角形, , 使其三边使其三边所在的直所在的直线分别经线分别经 过三个共线的已知点过三个共线的已知点。 已知已知：O O3 3、一一直线上三点直线上三点A A、B B、L L. . 求作求作：O O3 3的内接的内接K KGRGR, , 使其三边所在直线分别经过点使其三边所在直线分别经过点A A、B B、L L. . 作法作法：1.作直线O3B交O3于U、V两点。作(UVA)交直线AB于Y. 2.作(O3LY)交O3于X、Z，直线XZ交直线AB于S.作以O3S为直径 的圆交O3于K、?.(此步骤其实就是P
28、PC的作法)。 3.直线BK交O3于R，直线LK交O3于G.则KGR即是所求。 说明说明：?是作另一个解圆用的!用?代替上述中步骤3中的的K即可。 图3.KGR三边所在直线过已知共线的三点 作法剖析作法剖析：这是卡斯蒂朗问题的特例，作法需要证明R、G、A三点是共线 的，即证RGLJ且RALJ即可。 (左左)步骤1中A、Y、K、R四点共圆 (中中)步骤2是过Y、L作圆与O3相切 (右右)证明过程中的辅助线 步骤2的实质是过L、Y两点作O3的切圆,即O3与(LYK)相切。过K作两圆 的公切线IW(就是直线SK)，因为R=GKW=LKI=J，所以RGLJ .再由步骤 1的作法可知：BKBR=BVBU
29、=BYBA，即BKBR = BYBA，再由相交 【阿波罗尼奥斯问题之名家解法】 11 【金占魁系列丛书金占魁系列丛书】 我是一朿缈缈烛光我是一朿缈缈烛光，可完结你黑暗中的漫漫求索可完结你黑暗中的漫漫求索! ! 弦定理得：BJBK=BYBL，两式相除得：? ?= ? ? ，所以RALJ.由过R作 LJ的平行线的唯一性可知，R、G、A三点共线。 有了三个命题作基础，希思作了如下分析(如图4)： 若三个已知O1、O2和O3的半径分别为r1、r2和r3 ,A、B、C是三个外位似 中心,分别满足AO2: AO3 = r2 : r3 , BO1 : BO3 = r1 : r3 , CO1 :CO2 = r
30、1 : r2 ,假设与三圆 O1、O2 和O3 相外切的O已经作出, P 、Q、R是三个切点。直线PQ分别交 O1和O2于D、E，由命题1,弓形DMP和弓形QNE均与弓形PTQ相似,因而它们彼此相似。 从而得知PQ延长线经过位似中心C.同理可证直线QR、PR的延长线分别经过位似中 心A和B.设QA、PB与O3交于G、K,因弓形PQR和弓形RGK相似,故PQR = RGK.因此 GK/PQ。延长GK,交BC于L. 于是BL : BC = BK : BP = BO3 : BO1 = r3 : r1，即BL是r1、r3、BC的第四比例线段。 因此用尺规作第四比例线段的方法，作出BL，就可以确定点L.
31、于是问题转化为: 已 知共线三点 L、B、A, 求O3上一点K, 直线BK、LK交O3 于R、G，则R、G、A三点 共线。这就是帕普斯的命题3.然后直线AR交O2 于Q ,直线BR交O1于P，则(PQR) 即为所求。 说明说明：O3 3 上不只一点K，实际上是两个点K、?，这里为叙述简便而省略 了?，如图4. 图4. 希思对阿波罗尼奥斯解法的复原 二二.韦达韦达的的渐进式渐进式解法解法 法国数学家韦达根据前人的研究, 对论相切一书作了复原, 于1600年出版。 书中系统论述了阿波罗尼奥斯提出的问题, 给出了十种情况的解, 后一情况的解法 建立在前一解法的基础之上。为了解决每一种特殊情形, 韦达
32、建立了许多辅助命 题和引理。韦达的解法大致如下: 先解决“PPC”问题, 即: 求作过两定点 A、B且与已知O2相切的圆。如图5, 先作 过定点A、B且和O2相交的圆, 设交点为E、F, 直线AB和EF相交于Q,从Q引O2的切 线QT1和QT2, 切点分别为T1、T2，则(ABT1) 和(ABT2)即为所求。 再解决“PCC”问题, 即求作过定点A且与已知两圆O1、O2相切的圆,如图6, 作 两圆O1、O2的位似外心P,设直线O1O2分别与O1和O2交于C、D,过A、C、D三 【阿波罗尼奥斯问题之名家解法】 12 【金占魁系列丛书金占魁系列丛书】 我是一朿缈缈烛光我是一朿缈缈烛光，可完结你黑暗
33、中的漫漫求索可完结你黑暗中的漫漫求索! ! 点的圆(ACD)与直线PA相交于B,用上述“PPC”问题的方法,作过两点A、B且和O2相 切的圆, 即为所求。 图5 “PPC”问题 图6 “PCC”问题 最后解决“CCC”问题, 即阿波罗尼奥斯问题。若三个已知圆O1、O2和O3 的半径分别为r1、r2和r3，不妨设r1 r2 r3, 以O1、O2为圆心, 分别作半径为r1 r3、r2r3的两个圆, 用上述 “PCC”问题的方法, 过点O3作与O1(r1 r3)、O2(r2 r3) 都相切的圆, 其圆心分别为O、O, 则以O为圆心且与O3相外切的圆, 以及以O为圆 心且与O3相内切的圆, 即为所求。
34、 韦达解法的韦达解法的综合综合步骤为步骤为( (图图7)7)： 1.作O1(r1-r3)、O2(r2-r3)，设它们的外位似中心为P，直线O1O2交O1(r1-r3) 于C、交O2(r2-r3)于D点。 2.作(CDO3)交直线PO3于A，交O1(r1-r3)于B，直线BC交PO3于Q. 3.以QO1为直径作圆，交O1(r1-r3)于E、F，直线O1F交线段AO3的垂直平分线于 O?，交O1(r1)于G.直线O1E交线段AO3的垂直平分线于O，交O1(r1)于H.则 O(OH)、O? (O?G)即是所求。 图7. 韦达的渐进式解法 1593年,韦达向范罗门提出了阿波罗尼奥斯问题,范罗门给出了如
35、下的解法: 如果O和与两圆O1、O2相切,则OO1、OO2的差等于已知O1、O2的半径之差 (常数), 因此, 圆心O应在以O1、O2 为焦点的双曲线上; 同理, O也在以O2、O3为焦点 【阿波罗尼奥斯问题之名家解法】 13 【金占魁系列丛书金占魁系列丛书】 我是一朿缈缈烛光我是一朿缈缈烛光，可完结你黑暗中的漫漫求索可完结你黑暗中的漫漫求索! ! 的双曲线上, 从而, 所求解圆的圆心可以用两条双曲线的交点来确定。 事实上，根据给定两圆的相对位置，解圆的轨迹中心可以是双曲线或椭圆。 也有一些特殊情况，轨迹可以是一条线（给定的是两等圆）或一个圆（给定的同 心圆）。因此范罗门的方法应为，从已知的三
36、个圆中选取两对，需找到两个二次 曲线的交点，而不单单是两个双曲线的交点(图8)。 图8.圆心的轨迹在二次曲线上 三三. 牛顿的牛顿的双曲线双曲线解法解法 在自然哲学之数学原理中, 牛顿也要直面阿波罗尼奥斯问题。 他的解 法利用了范罗门的思路, 应用了双曲线的性质。牛顿的引理如下: 由三个已知点向第四个未知点作三条直线由三个已知点向第四个未知点作三条直线 ( (段段) , ) , 使其差或为已知使其差或为已知, , 或或 为零为零。 显然, 如果将已知三点分别作为三个圆的圆心, 三线段两两之间的差为相应 圆的半径之差, 那么所求的第四点即为阿波罗尼奥斯问题中解圆的圆心。 设已知点为A、B、C,所
37、求第四个点为Z.因为AZ与BZ的差是给定的,所以点Z 的轨迹是双曲线的一支,其焦点为A、B,实轴的长为给定的差，设实轴为MN，双 曲线的离心率为e1，则AB:MN=e1.在线段MN上取一点P,使得MA:PM=e1.作PRAB于 P ，则PR是双曲线的准线,再作ZRPR于R,由双曲线的第二定义知 ZA:ZR=e1 (1) 图9. 牛顿的解法分析 图10.转化为直线和圆的交点 同理, 点Z的轨迹是另一条双曲线的一支, 其焦点为A、C, 实轴的长为AZ和CZ的差， 设实轴为UV,双曲线的离心率为e2，则AC:UV=e2.同样作准线QS, 作ZSQS于S, 从而 ZA:ZS=e2 (2) 由(1)、(
38、2)得ZS:ZR=e1:e2 ，因此点Z到两条给定直线PR和QS的距离之比是已知的。 设两准线PR与QS交于点T,则点Z的轨迹就是一条过点T的直线。由于直线TZ的位置已定, 因而TZ : ZS是给定的。但由(2)知, AZ : ZS是已知的, 所以AZ : TZ是已知的。又TA和ATZ 是给定的, 所以ATZ是确定的，它的顶点为点Z. 【阿波罗尼奥斯问题之名家解法】 14 【金占魁系列丛书金占魁系列丛书】 我是一朿缈缈烛光我是一朿缈缈烛光，可完结你黑暗中的漫漫求索可完结你黑暗中的漫漫求索! ! 我们知道, 在ATZ中, 给定底边TA以及两腰之比ZT : ZA, 其顶点Z的轨迹是一个圆 (今称阿
39、波罗尼奥斯圆)。由此，范罗门的尺规不可作的两条双曲线交点，被牛顿成功 地转化为可用尺规作出的直线和圆的交点(如图10)。 四四.热尔岗的一般解法热尔岗的一般解法 1816年, 热尔岗率先给出了阿波罗尼奥斯问题的一般性解法,热尔岗 是成对考虑解圆的，他应用了分析法。 如图11,已知O1、O2和O3,假设已经作出一对圆O和O ,它们与 O1、O2 和O3 分别相切于A、B、C和A、B、C.因O1同时与O和O 相切, 故AA经过O和O的位似中心S，同理BB、CC也经过点S. 图11. 热尔岗的解法分析 又因SASA = SBSB,所以S对O1 和O2 有相等的幂。同理S对O2 和O3 也有相等的幂。
40、因此S是三个已知圆的等幂心(根心)。因O1 和O2 分别与O和O 相切于点A、B和A、B,故直线AB与AB 的交点N是O1和O2 的位似中心。同理,BC与BC 的交点L是O2和O3 的位似中心, AC与AC 的交 点M是O3和O1的位似中心。根据帕普斯命题2(蒙日定理),L、M、N三点必 在一条直线上,直线LMN 即为已知三圆的相似轴。 另一方面,对于O和O而言,由于NANB = NANB, 所以点N对O和 O有相等的幂,同理,点L和M对O和O也有相等的幂,故直线LMN同时也是 O和O的等幂轴(根轴)。 现在过点B、B作O2 的切线, 设它们交于D,则BD = BD, 而BD和BD同时 又是O
41、和O的切线,可见点D对O和O有相等的幂,D必位于等幂轴LMN上。 但是对于O2来说,D是弦BB的极点,既然D在LMN上,则LMN的极点Q必在BB 上。同理,对于O1和O3来说,直线LMN的极点P和R分别在AA和CC上。 这就是说，A、A在直线SP上，B、B在直线SQ上，C、C在直线SR上! 据此热尔岗得到阿波罗奥尼斯问题的如下作法(图12)： 步骤步骤1 1.作O1、O2、O3的等幂心(根心)S以及外相似轴LMN,其中L、M、N为 三圆的两两圆对的外位似中心。 步骤步骤2 2.分别求直线MN关于O1、O2和O3的极点P、Q、R,直线SP、SQ、SR分 【阿波罗尼奥斯问题之名家解法】 15 【金
42、占魁系列丛书金占魁系列丛书】 我是一朿缈缈烛光我是一朿缈缈烛光，可完结你黑暗中的漫漫求索可完结你黑暗中的漫漫求索! ! 别与O1、O2和O3相交于A、A、B、B、C、C. 则(ABC)和(ABC)即为所求。 图12. 热尔岗的极点极线解法 图13. 热尔岗的公切线解法 热尔岗解法稍作变形，也可以省略相似轴的作出(图13)： 1.作三个圆O1、O2、O3 两两“圆对”的外公切线，分别作出三对公切 线段的六个中点，过这三对中点的直线交于一点S，该S点为根心。 2.连结三个圆中各对相应的切点，这些连线的交点分别为P、Q、R. 3.直线SP、SQ、SR分别交三圆于A、A、B、B、C、C. 则(ABC)
43、和(ABC)即为所求。 热尔岗解法用一条外相似轴作出了两个解圆。若轮流更换成三条内相 似轴，可作出另外六个解圆，相似轴与解圆的关系如图14： 图14.相似轴的位置与解圆(共有24=8个解圆) 热尔岗解法还可以解决阿波罗尼奥斯问题中的圆变点及圆变线问题，比 如PPC、LLC。PLC、PCC、LCC等带圆的作图题。热尔岗解法热尔岗解法可简述为可简述为四步通四步通 法法：(1)(1)作作三圆的三圆的相似轴相似轴。(2)(2)作作三圆的三圆的根心根心。(3)(3)作作相似轴对三圆的相似轴对三圆的极点极点。 (4)(4)作作解圆与三圆的公解圆与三圆的公切点切点。在第四章的解题作法中，我们直接写成热尔 岗解法，就是应用的是这四步通法。 五五. .彭赛列彭赛列福切的解法福切的解法 1822年, 彭赛列在其图形之射影性质中给出了阿波罗尼奥斯问题的 又一解法,他运用的是综合法,与上述热尔岗的解法有异曲同工之妙,备受时人 推崇。70年后,法国数学家福切应用等角圆方法再次解决了阿波罗尼奥斯问题, 不过他的这一解法与彭赛列的解法基本上并无二致。其分析思路是：如图15， 已知三圆O1、O2、O3，分别作O1、O2和O1、O3的外位似中心C和 【阿波罗尼奥斯问题之名家解法】 16 【金占魁系列丛书金占魁系列丛书】 我是一朿缈
