1、【阿波罗尼奥斯问题之特款解法】 0 【金占魁系列丛书金占魁系列丛书】 我是一朿缈缈烛光我是一朿缈缈烛光，可完结你黑暗中的漫漫求索可完结你黑暗中的漫漫求索! ! + + 阿波罗尼奥斯问题之特款解法 金 占 魁 尺 规 作 图 系 列 丛 书金 占 魁 尺 规 作 图 系 列 丛 书 【阿波罗尼奥斯问题之特款解法】 1 【金占魁系列丛书金占魁系列丛书】 我是一朿缈缈烛光我是一朿缈缈烛光，可完结你黑暗中的漫漫求索可完结你黑暗中的漫漫求索! ! 阿波罗尼奥斯问题阿波罗尼奥斯问题之之特特款解法款解法 金占魁 湖北随县第一高级中学 写在前面的话写在前面的话 在这习习的晚风里 我在追忆着失落的过去 在这泱泱
2、的波光中 我在寻觅你残留的痕迹 曾经是星星月亮般的情意 古老的神话传说着它们永不分离 听着古老的歌谣，翻着昔日的笔记，不知何时就到了怀旧的年龄。这个暑 期酷热而慢长，人闲思绪多，忽然有一股想把所了解的知识系统归纳的冲动， 想到了也就干了起来。 时常引起人们的错觉的是这样的两个尺规作图问题，一个是三等分角问题， 另一个是阿波罗尼奥斯问题。作一个角的三等分线，看起来很简单，简单到一 个刚学会怎么使用直尺和圆规的人，就会埋头猛攻起世界难题来了，到目前为 止，竟然还有牛人在网上发布视频，来说明自己是如何如何破解三等分角的!但 冷酷的事实是它是不可能的!而另一个呢，给出三个相离的已知圆，让你作出与 它们
3、都相切的圆来，如果你第一次听说这样的一个问题，你感到无从下手的是， 圆心该怎么确定？半径又该怎么确定呢？似乎是山重水复疑无路吧？可我会用 后面的章节告诉你，山水尽处是平川，这个问题是有多种作法的! 历史上，这两个烧脑的问题曾引起众多大咖们的青睐，他们的思想和方法引 领着无数后继者。三等分角问题至今热度不减，中学生都能理解，也敢勇于试探。 阿波罗尼奥斯问题却好景不再，圆幂定理相关内容已成为选修内容，中学生都难 以领会了，更不用说用圆规去探究了。能理解这本书内容的大概也是上了岁数的 人了，是故把书名定为阿波罗尼奥斯问题的末班车，用以纪念我们曾经的热 情和兴致。 同时，在此向本书部分内容提供过借鉴的
4、同仁们，表示崇高的敬意! 附，为简便计，圆的记法先作如下约定： (ABC)-表示过A、B、C三点的圆,不指明圆心。 A(R)-表示以A为圆心，以R为半径的圆。 A(R-r)-表示以A为圆心，以(R-r)为半径的圆。 A(BC)-表示以A为圆心，以线段BC为半径的圆。 2019年7月于随州 【阿波罗尼奥斯问题之特款解法】 2 【金占魁系列丛书金占魁系列丛书】 我是一朿缈缈烛光我是一朿缈缈烛光，可完结你黑暗中的漫漫求索可完结你黑暗中的漫漫求索! ! 目目 录录 一一. .P PP PC C 点点点点圆圆的的特特款款 03 二二. .L LL LC C 点点点点圆圆的的特特款款04 三三. .P P
5、L LC C点点点点圆圆的的特特款款 09 四四. .P PC CC C点点点点圆圆的的特特款款 12 五五. .L LC CC C点点点点圆圆的的特特款款 1 1. .阿阿基基米德的米德的鞋匠的刀鞋匠的刀形形17 2 2. .福福特特圆圆的的作法作法23 六六. .C CC CC C点点点点圆圆的的特特款款. .25 1 1. .三三圆圆相交相交时时的特款的特款26 2 2. .三三圆圆相切相切时时的特款的特款 ( (1 1) )阿阿基基米德的米德的鞋匠的刀鞋匠的刀形形 3333 ( (2 2) )索索迪迪( (SoddySoddy) )圆圆的的作法作法37 ( (3 3) )三圆三圆外外离
6、离时时的的特特款款 45 本本书书是是阿波罗尼奥斯问题阿波罗尼奥斯问题的末班车的末班车的的章节章节分册分册 【阿波罗尼奥斯问题之特款解法】 3 【金占魁系列丛书金占魁系列丛书】 我是一朿缈缈烛光我是一朿缈缈烛光，可完结你黑暗中的漫漫求索可完结你黑暗中的漫漫求索! ! 一.PPC特款：求作一圆求作一圆，使它与已知圆相切并过圆外两已知点使它与已知圆相切并过圆外两已知点 例例1.1.已知已知：A A、B B是是O O内两点内两点。 求作求作：O Oi i，使使O Oi i经过经过A A、B B且与且与O O相切相切。(i=1(i=1、2)2) 作法一作法一： 在O 上取一点 C，作(ABC)交O 于
7、 D，直线 AB、CD 交于O?，以 OO?为直径作圆交O 于 E、F.则(ABE)、(ABF)即是所求。 作法剖析作法剖析： 目标圆上已有两个点A、B，还缺少一个点，这个点就是公共切点。 于是用“切点作法”作出了切点E、F.其中O?是目标圆、O和(ABC)的 根心，O?E、O?F是O和目标圆的公切线。 作法二作法二：(热尔岗解法) 【阿波罗尼奥斯问题之特款解法】 4 【金占魁系列丛书金占魁系列丛书】 我是一朿缈缈烛光我是一朿缈缈烛光，可完结你黑暗中的漫漫求索可完结你黑暗中的漫漫求索! ! 作法三作法三：(彭赛列福切解法) 1.作A关于O的根轴，作B关于O的根轴，两根轴交于S. 2.作S(SA
8、)交O于C、D，直线CD、AB交于T. 3.以OT为直径作圆，交O于E、F.则(ABE)、(ABF)即是所求。 作法剖析作法剖析： S(SA)是O、A、B的正交圆，直线TE、TF是公切线。 作法作法四四：（反演法） 1.作A(AB)，作O关于A(AB)的反形C. 2.过B作C的公切线BD和BG，其中D、G是切点。 3.直线AD、AG交O于E、F.则(ABE)、(ABF)即是所求。 解法剖析解法剖析： A(AB)是反演基圆，初形与反形的对应关系为：OC、切线 BD(ABE)、切线BG(ABF).根据“两个对应切点与反演极共线”， 则A、D、E三点共线，A、G、F三点共线。 二二. .LLCLLC
9、特特款款：求作一圆与两已知直线和已知圆求作一圆与两已知直线和已知圆都相切都相切。 例例2.2.已知已知：L L1 1L L2 2 ，两线相距两线相距2d2d个单位个单位。及及O O1 1(R)(R)如图如图。 【阿波罗尼奥斯问题之特款解法】 5 【金占魁系列丛书金占魁系列丛书】 我是一朿缈缈烛光我是一朿缈缈烛光，可完结你黑暗中的漫漫求索可完结你黑暗中的漫漫求索! ! 求作求作：O O，使之与使之与L L1 1、L L2 2、O O1 1都相切都相切 作法作法： 1.作L1、L2的等距线L3 ,设CE=DE=d . 2.作O1(R+d)与L3相交于O、O?.则O(d)、O?(d)即是所求。 例例
10、3 3.已知已知：L L1 1L L2 2 ，两线相距两线相距2d2d单位单位。及及O(R)O(R)如图如图。 求作求作：O Oi i，使之与使之与L L1 1、L L2 2、O O都相切都相切。(i=1(i=1、2 2、3 3、4)4) 作法作法： 1、作L1、L2的等距线L3 ,设EF=FG=d. 2、作O(R+d)与L3相交于O1、O2 ，作O(|R-d|)与L3相交于O3、O4 ， Oi(d)即是所求。(i=1、2、3、4) 例例4 4. .已知已知：D D是是ABCABC的的BCBC边上任边上任意一意一点点。 求作求作：O O，使得使得O O与线段与线段A AD D、D DC C、A
11、BCABC的外接圆的外接圆O?都相切都相切。 【阿波罗尼奥斯问题之特款解法】 6 【金占魁系列丛书金占魁系列丛书】 我是一朿缈缈烛光我是一朿缈缈烛光，可完结你黑暗中的漫漫求索可完结你黑暗中的漫漫求索! ! 作法作法一一： 1.作ABC的内切圆的圆心I.作ADC的角平分线DF.过I作DF的垂线，交 线段CD于E. 2.过E作CD的垂线，与射线DF交于点O.则O(OE)即是所求。见左下图。 作法剖析作法剖析： 设O与AD切于G，由沢山引理得，I、G、E三点共线。 因DGDE，DF平分GDE，所以DFIE (等腰三线合一)， 又OEDC，所以圆心O是DF、OE的交点。见上右图。 附附： 沢山沢山引引
12、理理(简化版)： 设D是ABC的边BC上任一点，O与AD、BC、ABC的外接圆相切于G、 E、H.则E、G与ABC的内心I共线。(ACF的内心也在此线上,下中图)。 泰博定理泰博定理： D是ABC的边BC上任意一点，ABC的内切圆I和外接圆O?.作两 圆O1、O2，使它们与AD，BC和O?都相切。则O1、O2和I共线。 作法二作法二：(热尔岗解法) 1.过O?作AD、BC的垂线，分别交O?于M、N.作直线MN关于O?的极点P. 2.直线PD交O?于H，作ADC的平分线，交O?H于O.则O(OH)即是所求。 作法二 作法三 【阿波罗尼奥斯问题之特款解法】 7 【金占魁系列丛书金占魁系列丛书】 我
13、是一朿缈缈烛光我是一朿缈缈烛光，可完结你黑暗中的漫漫求索可完结你黑暗中的漫漫求索! ! 作法作法三三：(休伯特舒特里克作法) 1.过P分别作O?的切线PM、PN， 切点为M、N，使PMAD，PNBC. 2.直线PD交O?于H，作ADC的平分线，交O?H于O.则O(OH)即是所求。 作法剖析作法剖析： 作法二、三中M、N只能取如图中的位置，其它位置则无效。P的作法 表面上显示的有两种，其实作法是一样的。 例例5 5. .已知已知：两条直线两条直线BCBC、DEDE相交于相交于O O内一点内一点A A. . 求作求作：O Oi i，使之与使之与O O、直线直线BCBC、DEDE都相切都相切。(i=
14、(i=1、2、8) 作法一作法一： 1.连结BD、DC、CE、EB，作BCE、BDE、BDC的内心I1、I2、I3. 2.作BC、DE所成对顶角的角平分线AG、AH.过I1作AG的垂线交BC于P，过P 作BC的垂线交AG于O1，作出O1(O1P). 3.直线O1I1交AH于O2，直线OO2交O于Q，作出O2(O2Q).直线O2I2交直线 AG于O3，直线OO3交O于U，作出O3(O3U).直线O3I3交直线AH于O4，直 线OO4交O于V，同理可作出O4(O4V). 4.直线UA交O于U?，直线OU?交直线AO3于O7，则可作出O7(O7U?). 【阿波罗尼奥斯问题之特款解法】 8 【金占魁系
15、列丛书金占魁系列丛书】 我是一朿缈缈烛光我是一朿缈缈烛光，可完结你黑暗中的漫漫求索可完结你黑暗中的漫漫求索! ! 5.同理作出O5、O6、O8.如图。 作法剖析作法剖析： 用例4之作法原理，就可作出O1、O2、O3、O4.用沢山引理、 泰博定理可证。步骤4中，对应切点U、U?与A共线，从而确定出U?，这 样就容易定出解圆的圆心O7了。 作法二作法二：(热尔岗法) 1.过O作BC的垂线交O于M、N，过O作DE的垂线交O于F、G，则直线FM、 MG、GN、FN都是相似轴。为让图象简洁清晰，下面先以FN为基准作图。 2.作FN关于O的极点S，直线SA交O于P和P?. 3.作DAB的平分线交OP于O2
16、.则O2(O2P)即是所求。作CAE的平分线交 OP?于O6.则O6(O6P?)即是所求。 【阿波罗尼奥斯问题之特款解法】 9 【金占魁系列丛书金占魁系列丛书】 我是一朿缈缈烛光我是一朿缈缈烛光，可完结你黑暗中的漫漫求索可完结你黑暗中的漫漫求索! ! 4.再以MG、FM、GN为相似轴作切圆，可作出另外六个解圆。共八个解圆。 作法剖析作法剖析： A是根心，极点S和根心A的连线与O相交，则交点P和P?为公切点。 知道了公切点P和P?，就容易定出解圆的圆心Oi i了(i=1、2、8)。 三三. .PLCPLC特特款款：求作一圆经过定点且与定直线求作一圆经过定点且与定直线、定圆相切定圆相切。 例例6
17、6. .如图如图，ABAB是是O O的弦的弦，C C是是ABAB上的动点上的动点。 求作求作：O O1 1、O O2 2，使之过使之过C C点点，且与且与O O 、ABAB相切相切。 【阿波罗尼奥斯问题之特款解法】 10 【金占魁系列丛书金占魁系列丛书】 我是一朿缈缈烛光我是一朿缈缈烛光，可完结你黑暗中的漫漫求索可完结你黑暗中的漫漫求索! ! 作法一作法一： 1.过O作与AB垂直的直径DE.直线DC、EC交O于F、G. 2.过C作AB的垂线交OF、OG于O1、O2 .则O1(O1C)、O2(O2C)即是所求。 作法作法二二： 1.过O作与AB垂直的直径DE交AB于H，过C作AB的垂线CX. 2
18、.作(CHE)、(CHD)，分别交O于F、G，连结OF、OG交CX于O1、O2. 则O1(O1C)和O2(O2C)即是所求。 作法剖析作法剖析： 作法二与作法一道理相同，都是作CFE=Rt，CGD=Rt，还有 一点就是使D、C、F共线，G、C、E共线即可。 作法作法三三： 作C(OA),过C作AB的垂线交C(OA)于E、D.作OD、OE的中垂线分别 交DE于O1、O2点。则O1(O1C)、O2(O2C)即是所求。 作法剖析作法剖析：见图中证明。 【阿波罗尼奥斯问题之特款解法】 11 【金占魁系列丛书金占魁系列丛书】 我是一朿缈缈烛光我是一朿缈缈烛光，可完结你黑暗中的漫漫求索可完结你黑暗中的漫漫
19、求索! ! 例例7 7. .已知已知：直线直线L L交交O O于于B B、C C，点点A A是是O O内一点内一点。 求作求作：O O1 1、O O2 2，使之过使之过A A点点，且与且与O O 、BCBC相切相切。 作法一作法一：(热尔岗解法) 1.作点圆A、O的根轴，交直线L于G(根心)。 2.过O作直线L的垂线，交O于D、E，连结AE(相似轴)，作AE关于O的 极点P.直线PG交O于M、N点，AM的中垂线交OM于O1，AN的中垂线交ON 于O2.则O1(O1A)、O2(O2A)即是所求。 说明说明：直线AD也是相似轴，但作不出解圆，故不叙述。 作法二作法二：(彭赛列福切解法) 1.过O作
20、直线L的垂线，交O于D、E(如图)。 2.作点圆A和O的根轴，与直线L交于G.过G作直线AE的垂线GH. 3.作G(GA)交O于X、Y，直线XY交直线AE于T.以OT为直径作圆，交O 于M、N.直线OM、ON分别交GH于O1、O2，则O1(O1M)、O2(O2N)即是所 求。 【阿波罗尼奥斯问题之特款解法】 12 【金占魁系列丛书金占魁系列丛书】 我是一朿缈缈烛光我是一朿缈缈烛光，可完结你黑暗中的漫漫求索可完结你黑暗中的漫漫求索! ! 说明说明：G(GA)是O、点圆A、线圆L的正交圆。直线AD也是相似轴，但 作不出解圆，故不叙述。 作法作法三三：(反演法) 1.作A(AB)，交直线L于B、D点
21、(如图)，作O关于A的反形O?. 2.作两圆O?、(ABD)的外公切线，S、T、P、Q为公切点。 3.直线AT、AQ交直线L于E、F点，直线AS、AP交O于M、N点。 则(AME)、(AFN)即是所求。 作法剖析作法剖析： A(AB)是反演基圆，初形、反形的对应关系为：OO?、直线L (ABD)，切线ST(AME)，切线PQ(AFN).根据“两个对应切点 与反演极共线”，则A、M、S三点共线，A、E、T三点共线，A、Q、F三点 共线，A、P、N三点共线。 四四. .PCC特款：求作一圆求作一圆，使它与两已知圆相切并过圆外一已知点使它与两已知圆相切并过圆外一已知点 例例8 8.已知已知：两同心圆
22、两同心圆O O1 1(R), (R), O O1 1(r)(r)及点及点A A 求作求作：O O，使使O O过过A A且与两同心圆相切且与两同心圆相切。 作法作法： 1.过O1作直线与同心圆O1交于B、D两点，取线段BD的中点C，设 BC=CD=d. 2.分别作圆O1(O1C)、A(d)。两圆交于O、O?. 则O(d)、O?(d)即是所求。左右图中共四个解圆。 【阿波罗尼奥斯问题之特款解法】 13 【金占魁系列丛书金占魁系列丛书】 我是一朿缈缈烛光我是一朿缈缈烛光，可完结你黑暗中的漫漫求索可完结你黑暗中的漫漫求索! ! 例例9 9. .已知已知：O O、O?相交相交，A A在在O O外外，在在
23、O?内内。 求作求作：O Oi i，使之过使之过A A点且与点且与O O、O?相切相切。( (i=1i=1、2)2) 作法作法一一：( (反演法反演法) ) 1 1. .以A为圆心，作O的正交圆(红虚线圆)，以该圆为反演基圆。已知两 圆的反形为：O O 、O? Q 2.作O、Q的公切线BC和DE，切点分别为B、C、D、E，直线AC、AE交 O?于M、S.直线AB、AD交O于N、T.则(AMN)、(AST)即是所求。 作法二作法二：(热尔岗解法) 1.作点圆A、O的根轴，交直线BC于T(根心)。 2.作O、O?的内位似中心P.作相似轴PA关于O?的极点S ，直线ST交 O?于M、N.线段AM的中
24、垂线交MO?于O1，线段AN的中垂线交NO?于O2 (图中未画线)。则O1(O1A)、O2(O2A)即是所求。 作法三作法三：(彭赛列福切解法) 1.作点圆A、O的根轴，交直线BC于G，作O、O?的内位似中心P. 【阿波罗尼奥斯问题之特款解法】 14 【金占魁系列丛书金占魁系列丛书】 我是一朿缈缈烛光我是一朿缈缈烛光，可完结你黑暗中的漫漫求索可完结你黑暗中的漫漫求索! ! 2.作G(GA)交O?于X、Y，直线XY交直线AP于T. 3.以O?T为直径的圆，交O?于M、N.线段AM的中垂线交O?M于O1，线段AN 的中垂线交O?N于O2 (图中未画线)。则O1(O1A)、O2(O2A)即是所求。
25、例例1 10 0. .已知已知：O O内含于内含于?，A A在在O O外外，在在?内内。 求作求作：O Oi i，使之过使之过A A点且与点且与O O、?相切相切。 作法作法一一：(热尔岗解法) 1.作点圆A与O的根轴、作点圆A与O?的根轴，两根轴相交于T(根心)。 2.作O、O?的位似内心P、位似外心Q.先以AQ为基准作图，作直线AQ 关于O的极点S，直线ST交O、O?分别为E、F、B、C. 3.线段AE的中垂线与直线OE交于O1，线段AF的中垂线交直线OF于O2.则 O1(O1A)、O2(O2A)即是所求。 4.再以相似轴AP为基准，同理，可作出另外两个解圆。如右图。 【阿波罗尼奥斯问题之
26、特款解法】 15 【金占魁系列丛书金占魁系列丛书】 我是一朿缈缈烛光我是一朿缈缈烛光，可完结你黑暗中的漫漫求索可完结你黑暗中的漫漫求索! ! 作法二作法二：(彭赛列福切解法) 1.作点圆A与O的根轴、作点圆A与O?的根轴，两根轴相交于G(根心)。 2.作O、O?的位似内心P、位似外心Q.先以AP为基准作图。 3.作G(GA)交O?于X、Y，直线XY交AP于T.以TO?为直径的圆交O?于M、 N .线段AM的中垂线与直线O?M交于O1，线段AN的中垂线交直线O?N于O2. 则O1(O1A)、O2(O2A)即是所求。 4.再以相似轴AQ为基准，同理，可作出另外两个解圆。(下右图) 作法作法三三：(
27、反演法) 1.作O的正交圆A，作O?关于A的反形O?. 2.作O、O?的公切线，切点为M、N、P、Q. 3.直线AM、AP交O于B、C点，直线AN、AQ交O?于F、G点，如图。 则(ABF)、(ACG)即是所求。 作法剖析作法剖析： A是反演基圆，初形、反形的对应关系为：OO、O?O?， 切线MN(ABF)，切线PQ(ACG).根据“两个对应切点与反演极共 线”，则A、B、M三点共线，A、C、P三点共线，A、F、N三点共线，A、G、 Q三点共线。 例例1 11 1. .已知已知：O O、?相交相交，A A在在O O、?内内。 求作求作：O Oi i，使之过使之过A A点且与点且与O O、?相切
28、相切。(i=1(i=1、2)2) 【阿波罗尼奥斯问题之特款解法】 16 【金占魁系列丛书金占魁系列丛书】 我是一朿缈缈烛光我是一朿缈缈烛光，可完结你黑暗中的漫漫求索可完结你黑暗中的漫漫求索! ! 作法作法一一：(热尔岗解法) 1.作点圆A、O的根轴，它与直线BG交于T(根心)。 2.作O、O?的位似外心Q，直线AQ是外相似轴。 3. .作AQ关于O的极点S，直线ST交O于C、D.作AQ关于O?的极点S?，直 线S?T交O?于E、F.则(ACE)、(ADF)即是所求。 作法二作法二：(彭赛列福切解法) 1.作点圆A、O的根轴，它与直线BG交于T(根心)。作O、O?的位似 外心Q，直线AQ是外相似
29、轴。过T作直线AQ的垂线TN. 2.作G(GA)交O于X、Y，直线XY交直线AQ于M. 3.以OM为直径的圆交O于C、D.直线TN交OC于O1，直线TN交OD于O2. 则O1(O1A)、O2(O2A)即是所求。 【阿波罗尼奥斯问题之特款解法】 17 【金占魁系列丛书金占魁系列丛书】 我是一朿缈缈烛光我是一朿缈缈烛光，可完结你黑暗中的漫漫求索可完结你黑暗中的漫漫求索! ! 说明说明：若两圆是等圆，则相似轴是过A点与直线OO?平行的直线AQ，右图。 五五. .LCCLCC特特款款：作一圆与两定圆作一圆与两定圆、一定直线都相切一定直线都相切。 例例1 12 2.阿基米德的阿基米德的“鞋匠的刀形鞋匠的
30、刀形” 已知已知：在左图的刀形图中在左图的刀形图中，CDCDABAB于于C C, ,交交O O1 1于于D D. . 求作求作：P P、Q Q，使之分别与两圆和使之分别与两圆和CDCD相切相切。 作法作法一一： 1 1. .连结AD交O2于E，连结BD交O3于F，过E、F作AB的垂线L1、L2 ，作L1 与CD的等距线L3，作L2与CD的等距线L4，它们分别交AB于G、H. 2 2. .作A(AH)交L3于P，作B(BG)交L4于Q，连结PO2交O2于T，连结QO3交 O3于M.则P(PT)、Q(QM)即是所求。 作法作法二二： 1 1. .作O2(O2B)交直线CD于F，作O3(O3A)交直
31、线CD于E. 2.直线O2F交O2于T，直线AT交CD于S，过S作SPAB交O2F于P.同理，直 线O3E交O3于M，直线BM交CD于N，NQAB交O3E于Q. 则P(PS)、Q(QN)即是所求。 作法三作法三： 1.过B作O2的切线BT，T是切点，过A作O3的切线AM，M是切点。 2.直线BM交直线CD于N，过N作NQAB交直线O3M于Q，则Q(QM)即是所求。 3.同理，直线AT交直线CD于S，过S作SPAB交直线O2T于P，则P(PT)就 是所求的P. 【阿波罗尼奥斯问题之特款解法】 18 【金占魁系列丛书金占魁系列丛书】 我是一朿缈缈烛光我是一朿缈缈烛光，可完结你黑暗中的漫漫求索可完结
32、你黑暗中的漫漫求索! ! 作法作法四四： 1.作B(BD)交O2于T，作A(AD)交O3于M. 2.直线BM交直线CD于N，过N作NQAB交直线O3M于Q，则Q(QM)就是所求 的Q. 3.同理，直线AT交直线CD于S，过S作SPAB交直线O2T于P，则P(PT)就 是所求的P. 作法五作法五：（反演法思想） 1 1. .作O2(O2B)、O3(O3A)分别交直线CD于F、E，作矩形ACEG和矩形BCFH. 2.AH交CD于S，交2于T，AF交O1于F?.则(STF?)就是所求的P. 3.BG交CD于N，交3于M，BE交O1于E?.则(MNE?)就是所求的Q. 解法剖析解法剖析：以上“鞋匠的刀
33、形”的作法依据，要用到以下的性质一至七。 性质一性质一： 如下左图，在刀形图中，CDAB交O1于D，两圆P、Q与两个半 圆和直线CE都相切。设O1、O2、O3的半径分别为R2+R3、R2、R3，P、 Q的半径分别为R、R?. 求证：RR?= ? ? 【阿波罗尼奥斯问题之特款解法】 19 【金占魁系列丛书金占魁系列丛书】 我是一朿缈缈烛光我是一朿缈缈烛光，可完结你黑暗中的漫漫求索可完结你黑暗中的漫漫求索! ! 证明证明：上左图，作四条垂线段PS、PG、QN、QH，其中S、G、N、H为垂足。 则PO2=R2+R ，PO1=R3+R2-R ，O2G=R2-R ，O1G=O2G-O1O2=R2-R3-
34、R PG 2=PO 2 2-O2G2=PO12-O1G2 (R2+R) 2-(R2-R)2=(R3+R2-R)2-(R2-R3-R)2 解得：R= ? ? ，同理R= ? ? 性质二性质二： 如上右图，在刀形图中，CDAB交O1于D，AD交O2于E，BD交O3 于F，O1D交EF于K. 求证：(1)直线EF是O2、O3的公切线 (2)O1DEF (3)DK=2R=2R= ? ? 证明证明：上右图，在矩形CFDE中OC=OE=OF ，由边边边判定定理得： O2EOO2CO ，O3FOO3CO O2EO=O2CO=90，O3FO=O3CO=90 EF是O2、O3的公切线。 (1)得证。 AEO2=
35、A=ADO1 O2EO1D ，O1DEF (2)得证。 ODKO1DC 由切割线定理可得：DODC=DKDO1 DK=? ? = ? ?= ? ? = ? ?(?)= ? ?=2R=2R (3)得证。 性质三性质三： 如下左图，在刀形图中，CDAB交O1于D，AD交O2于E，BD交O3 于F，O1D交EF于K.过E、F作AB的垂线L1、L2 求证：两红切圆与L1、L2相切。 【阿波罗尼奥斯问题之特款解法】 20 【金占魁系列丛书金占魁系列丛书】 我是一朿缈缈烛光我是一朿缈缈烛光，可完结你黑暗中的漫漫求索可完结你黑暗中的漫漫求索! ! 证明证明：问题转化为两平行线L1与CD、L2与CD的距离为2
36、R即可。 进一步转化为EU=DK和FV=EU ，其中U、V是垂足，见右上图。 OD=OE ODE为等腰三角形 EU=DK 等腰三角形两腰上的高相等。 又FV=EU ，FV=DK 原命题得证。 性质四性质四： 如下左图，在刀形图中，CEAB于C，两圆P、Q分别与两个半圆 和直线CE都相切。直线O2P交CE于F，直线O3Q交CE于E. 求证：O2B=O2F ，O3A=O3E 证明证明：PSO2C ? ? = ? ? 即O2F = ? CO2PS = (? )? ? ? = R2+2R3=O2B 同理可得：O3A=O3E 性质五性质五： 如上右图，在刀形图中，CEAB于C，两圆P、Q分别与两个半圆
37、和直线CE都相切，切点分别为T、M. 求证：AM与O3相切，BT与O2相切。 证明证明：O3A=O3E AO3M=EO3C O3M=O3C AO3MEO3C AMO3=ECO3=90 即得AMO3M AM是O3的切线。 同理，BT是O2的切线。 性质六性质六： 如下左图，在刀形图中，CEAB，O3A=O3E，O2B=O2F，O2F交O2于T， O3E交O3于M. 求证：AD=AM，BD=BT. 【阿波罗尼奥斯问题之特款解法】 21 【金占魁系列丛书金占魁系列丛书】 我是一朿缈缈烛光我是一朿缈缈烛光，可完结你黑暗中的漫漫求索可完结你黑暗中的漫漫求索! ! 证明证明：AM是O3的切线， AM 2=
38、ACAB 又由射影定理得：AD 2=ACAB AD=AM 同理，BD=BT 性质七性质七： 如上右图，在刀形图中，CEAB，O3A=O3E，O2B=O2F，AF交O1于F?， BE交O1于E?. 求证：E?是Q与O1的公切点，F?是P与O1的公切点。 证明证明：过B、C作AB的垂线L1、L2，作FO2O1P. 则有P?F=O1O2=R3，P?O1=O2F=O2B=(R2+R3)+R3 作P?(P?F)，则P?与L1、L2、O1都相切。 当以A(AD)为反演基圆的时候，图中反形为： O1L1、O2L2、O3O3 其中F与F?关于A互为反演点。 即得A、F?、F三点共线。F?为公切点。同理，E?也
39、为公切点。 例例1 13 3.已知已知：两同心圆两同心圆O(R), O(R), O(r)O(r)及直线及直线L L 求作求作：O Oi i，使之与两同心圆及直线使之与两同心圆及直线L L都相切都相切。(i=1(i=1、2 2、3 3、4)4) 作法作法： 1.过O作直线与同心圆O交于A、B两点，取线段AB的中点C，设AC=BC=d. 2.作圆O(OC)、作与直线L的距离为d的两条平行线。圆O(OC)与平行 线交于Oi,(i=1、2、3、4). 则Oi(d)即是所求。左右图为所分两种情况。 【阿波罗尼奥斯问题之特款解法】 22 【金占魁系列丛书金占魁系列丛书】 我是一朿缈缈烛光我是一朿缈缈烛光，
40、可完结你黑暗中的漫漫求索可完结你黑暗中的漫漫求索! ! 例例1 14.4.已知已知：?内含于内含于O O，直线直线L L与与O O相交且与相交且与?相离相离。 求作求作：O Oi i，使之与使之与O O、?、直线直线L L都相切都相切。(i=1(i=1、2 2、3 3、4)4) 作法一：(热尔岗解法) 1.过O、O?作直线L的垂线，分别交O?、O于C、D和A、B，则BD、BC为 相似轴，它们有解，相似轴AC、AD无解。下面先以BC为基准作图。 2.作O?、O的根轴，交直线L于P，相似轴BC关于O?、O的极点分 别为E、G，直线PE交O?于M、N，直线PG交O于S、T. 3.直线O?M、OS交于
41、O1、直线O?N、OT交于O2. 则O1(O1S)、O2(O2T)即为所求。 4.同理，再以相似轴BD为基准，则可作出另外两圆。用D代替步骤2、3中 的C，作图程序不变，即可。如图。 【阿波罗尼奥斯问题之特款解法】 23 【金占魁系列丛书金占魁系列丛书】 我是一朿缈缈烛光我是一朿缈缈烛光，可完结你黑暗中的漫漫求索可完结你黑暗中的漫漫求索! ! 作法二作法二：(彭赛列福切解法) 1.过O、O?作直线L的垂线，交O?、O分别于C、D和A、B，则BD、BC为 相似轴，它们有解，相似轴AC、AD无解，此处不叙。下面先以BC为基 准作图。 2.作O?、O的根轴，交直线L于G，以G为圆心作O?、O的正交圆
42、，分 别交O?、O 于U、V和X、Y.直线UV、XY分别交直线BC于S、T. 3.以SO?为直径作圆，交O?于P、Q，以OT为直径作圆交O于M、N. PM的中垂线交直线O?P于O1，QN的中垂线交直线ON于O2. 则O1(O1P)、O2(O2N)即为所求。 4.再以相似轴BD为基准作图，作图程序不变，可作出另外两个解圆。 以BC为基准作图 以BD为基准作图 例例1 15 5. . 福特圆的作法福特圆的作法 已知已知：A(R)A(R)、B(r)B(r)外切于外切于D D，且都与直线且都与直线L L相切相切。 求作求作：O O，使它与使它与A A、B B外切外切，且与直线且与直线L L相切相切。 (注注：O O为福特圆为福特圆) 【阿波罗尼奥斯问题之特款解法】 24 【金占魁系列丛书金占魁系列丛书】 我是一朿缈缈烛光我是一朿缈缈烛光，可完结你黑暗中的漫漫求索可完结你黑暗中的漫漫求索! ! 作法作法一一： 1.直线AB与直线L交于P，则P是A、B外位似中心，作P(PD)，交直 线L于G，过G作L的垂线GE. 2.在直线GE上取点F，使FG=r.连结BF交直线L于C.过C作BF的垂线，交GE 于O.则O(OG)即是所求。 作法剖析作法剖析：O与直线L切于G，因为PG=
