1、 阿波罗尼奥斯问题之点点线 金 占 魁金 占 魁 尺 规 作 图尺 规 作 图 系 列 丛 书系 列 丛 书 【常规解答之点点线问题】 1 【金占魁系列丛书金占魁系列丛书】 我是一朿缈缈烛光我是一朿缈缈烛光，可可完完结你黑暗中的漫漫求索结你黑暗中的漫漫求索! ! 阿波罗尼奥斯阿波罗尼奥斯问题问题之之点点线点点线 金占魁 湖北随县第一高级中学 写在前面的话写在前面的话 这个暑期酷热而慢长，闲寂室内，偶翻昔日的读书笔记，忽然有一 股想把所学知识系统归纳的冲动。想到了就干起来。第一系列是阿波罗 尼奥斯问题，前后共四篇，先作如下简介： 解法基础：介绍尺规作图中常见的概念，如位似中心、相似轴、 根轴、根
2、心、极线、极点、反演变换、正交圆等等，以及它们的尺规作 法。同时还介绍圆退化为点或线后，位似中心、相似轴、根轴、根心、 极点是如何跟随变化的。最后用CCC的“热尔岗解法”、“庞斯列福 切解法”，作出PPC、PCC、PLC、LLC、LCC的切圆。 常规解答：把阿波罗尼奥斯问题退化为十种组合，本书全面介 绍每种组合中一般情况下的多种解法，并介绍该种情况下的全部解圆的 作法。可谓洋洋大观解法大全了。 特款解法：这里特款指点线圆组合中，比较特殊的位置关系， 不在常规解答讨论之列，比如：两条平行线点或线或圆，两个同 心圆+点或线或圆，这些特款在反演变换过程中，经常用到。书中还介 绍了“鞋匠的刀“形中的切
3、圆的解法、相交三圆的休伯特舒特里克解 法、以及相切三圆的Soddy圆的多种解法。 名家解法：以阿波罗尼奥斯问题历史为序，介绍世界上著名数 学家们的解法，重点介绍他们的解法思路或详细作法，但不介绍多解的 作法，只是尊重他们当时的情况。 需要说明的是，由于本人的笔记中鲜有原著原作者的记录，当时只 为了省事为了记重点，所以本系列书丛中，不说明其引用来源和出外， 在此向原著作者表示歉意，同时也表达自己对原作者们的崇高敬意!谢谢 他们的辛勤付出! 本书只是阿波罗尼奥斯问题的末班车的章节片断，请在线浏览 阿波罗尼奥斯问题的末班车中的全部内容！ 附.圆的记法作如下约定：(ABC)-表示过A、B、C三点的圆。
4、 A(R)-表示以A为圆心，R为半径的圆。 示例，A(R-r)-表示以A为圆心，(R-r)为半径的圆。 A(BC)-表示以A为圆心，BC为半径的圆。 2019年7月于随州 【常规解答之点点线问题】 2 【金占魁系列丛书金占魁系列丛书】 我是一朿缈缈烛光我是一朿缈缈烛光，可可完完结你黑暗中的漫漫求索结你黑暗中的漫漫求索! ! 第一章第一章 阿波罗尼奥斯问题的阿波罗尼奥斯问题的简介简介 在数学历史的长河中，飞溅着无数个令人惊艳的浪花，有一个著名 的尺规作图问题就从古激荡至今-作出一个与平面上三个给定圆都相 切的圆。如图1： 图1. 三圆外离时有八种符合条件的切圆 古希腊的数学家阿波罗尼奥斯提出了这
5、个问题，并解决了这个的问 题，可惜的是他的解答已经失传了，但问题本身却在帕普斯的研究成果 报告中得以幸存下来。这个悬案问题一直是一个挑战，它吸引了诸如笛 卡尔、牛顿、欧拉、高斯和热尔岗等数学名家，他们为这朵浪花增添了 亮丽的色彩，正是因为他们的积极参与，宛如一场跨世纪的技能大比拼， 更使得阿波罗尼奥斯问题举世瞩目。 阿波罗尼奥斯问题的大事纪： 1.公元前3世纪,古希腊大数学家阿波罗尼奥斯(前260-前190)提出了 阿波罗尼奥斯问题，并解决了这个的问题(失传)。 2.三世纪亚历山大城的希腊数学家帕普斯(Pappus,约300约350)在 数学汇编中记录了阿波罗尼奥斯问题，并尝试了阿波罗尼奥斯问
6、题 的解答。 3.法国数学家韦达(F.Vietta,15401603)根据前人的研究,对论 相切一书作了复原，同时系统论述了阿波罗尼奥斯提出的问题，给出 了最接近阿氏思想的解答，被认为是对阿波罗尼奥斯问题的合理复原。 4.1596年,比利时数学家范罗门(A.Van Roomen，15971652)使用两 条双曲线的交点来确定解圆圆心的方法，但不被韦达认可，因为范罗门 的解法并不符合只使用尺规的要求。 5.牛顿(I.Newton,16421727)在普遍的算术中复制了韦达的解 法，1687年，牛顿又在自然哲学之数学原理中,再次回到阿波罗尼奥 斯问题上来，他的解法利用了范罗门的思路,应用了双曲线的
7、焦点及准线 的性质，使双曲线法的尺规作图成为可能。约翰凯西在1881年对范罗 门的方法也进行了改进。 【常规解答之点点线问题】 3 【金占魁系列丛书金占魁系列丛书】 我是一朿缈缈烛光我是一朿缈缈烛光，可可完完结你黑暗中的漫漫求索结你黑暗中的漫漫求索! ! 6.笛卡尔(Ren Descartes，1596-1650)用代数方法找到了两种解 法，其繁琐程度就连笛卡儿本人都不会用尺规尝试。不久，波希米亚的 伊丽莎白公主(Elizabeth, 15961662)也得出了代数解，笛卡儿认为她 的解法不比他的高明多少。 7.1788年,欧拉(L.Euler,17071783)和他的学生及朋友尼古拉弗 斯(
8、N.Fuss, 17551826)在“圣彼得堡科学院院刊”上分别发表了一个 代数解法。 8.1801年，蒙日的学生数学家卡诺(L.N.M.Carnot,17531823)在 几何图形的相互关系中,利用二次方程求出了阿波罗尼奥斯问题中解 圆的半径,并将切点作为位似中心来确定。1803年，在另一部著作位置 几何学中,卡诺又概述了阿波罗尼奥斯问题的代数解法。 9.德国大数学家高斯(C.F.Gauss,17771855)在卡诺位置几何学 德译本(1810)的一个注释中,完成了卡诺的代数解法,并成功地对卡诺的 计算进行了简化。 10.1806年,巴黎综合工科学校一年级学生柯西(A.L.Cauchy,17
9、89 1857) 发表了阿波罗尼奥斯问题的一个代数解法,这是柯西一生中发表的 第一篇论文。 11.1811年,柯西的校友庞斯列(Poncelet，JeanVictor，1788- 1867)也在一年级时发表阿波罗尼奥斯问题的一个解法。1822年,庞斯列 在其图形之射影性质中给出了阿波罗尼奥斯问题的另一解法。 12.热尔岗(J.D.Gergonne,17711859)于1816年给出的阿波罗尼奥斯 问题的第一个一般性结果，这是一个为人称道的最为优雅的解法。 13.1892年，法国数学家福切(M.Douche )应用等角圆方法再次解决 了阿波罗尼奥斯问题,不过他的这一解法与庞斯列的解法基本上并无二
10、致。 引人注目的是,福切不仅给出问题的一般解,而且还根据已知三圆的位置 关系讨论了各种情况下解的个数,同时,他还说明自己的解法同样适用于 已知圆被换成点或直线时的特殊情形。 14.19世纪中叶,丹麦数学家彼得逊(J.Petersen,18391910)利用反 演理论解决了阿波罗尼奥斯问题。 15.加拿大的考克斯特(H.S.M coxeter，19072003）上个世纪最伟 大的几何学家给出的环形解方法，另一个方法是挪威著名数学家索菲 斯李(Sophos-lie，1842-1899)提出的lie-sphere几何。 16.英国著名数学史家希思(T.L.Heath,18611940)对阿波罗尼奥斯
11、 问题进行了复原工作。 17. 1643年,笛卡儿求得“笛卡儿圆定理”;1842年,英国业余数学家 贝克罗夫特(P.Beecroft)重新发现了这个结果。1936年，诺贝尔化学奖 得主索迪(F.Soddy,18771956)在自然杂志上，用诗歌形式发表了 “笛卡儿圆定理”, 索迪称之为“精确之吻”,如今人们把“与三个彼此 外切的圆都相切的圆”称索迪圆。 18.美国数学家埃普斯坦(D.Eppstein)于2001年又从空间两两相切四 【常规解答之点点线问题】 4 【金占魁系列丛书金占魁系列丛书】 我是一朿缈缈烛光我是一朿缈缈烛光，可可完完结你黑暗中的漫漫求索结你黑暗中的漫漫求索! ! 球的一个性
12、质中导出了一个十分简妙的新解法。 一般来说，三个给定的圆有八个与它们相切的解圆，这些解圆与三 个给定圆只存在着相切方式上不同，它们可分为：与三个圆都外切、与 两个圆外切另一个圆内切、与一个圆外切另两个圆内切、与三个圆都内 切。 图2.解圆与三圆的外切及内切方式 如果细分的话，还可以成对加以考虑，它能对作图分析带来极大的 便利，至少热尔岗就是这样解决问题的。 图3.八个解圆成双地加以考量 当然，三个给定的圆也可出现退化的现象，其中的任何一个都可以 缩小到零半径（一个点）或扩展到无限半径（一条线）。 图4. 圆退化为点的过程 图5. 圆退化为线的过程 【常规解答之点点线问题】 5 【金占魁系列丛书
13、金占魁系列丛书】 我是一朿缈缈烛光我是一朿缈缈烛光，可可完完结你黑暗中的漫漫求索结你黑暗中的漫漫求索! ! 图6. 圆退化为点和线的过程 从以上图示可以看出，阿波罗尼奥斯问题及其退化就分成了十种情况:点点 点(PPP)、线线线(LLL)、点点线(PPL)、点线线(PLL)、点点圆(PPC)、点圆圆 (PCC)、线线圆(LLC)、线圆圆(LCC)、点线圆(PLC)、圆圆圆(CCC)。欧几里得在 原本中讨论了“PPP”、“LLL”的作法, 而阿波罗尼奥斯在论相切中讨 论了其余的八种。因点、线、圆的位置不同，解圆的个数也不尽相同，1895年, 英国数学家缪尔海德(R.F.Muirhead)在其论文“
14、阿波罗尼奥斯相切问题解的个数 与性质”中完整地讨论阿波罗尼奥斯问题的解的个数。 为了解决阿波罗尼奥斯问题，数学家们开发了大量的几何和代数方法，我们 先来介绍一下代数方法，不论是谁，第一次看到阿波罗尼奥斯问题时，莫名地就 会有代数求解的想法。 阿波罗尼奥斯问题可以用解圆的圆心和半径的三个方程来表示，可设 圆心的坐标为(x、y)，半径为r，三个给定圆的圆心可设为(x1、y1)、(x2、 y2)和(x3、y3)，半径可设为r1、r2、r3 .因解圆与三个给定圆相切，可以表 示为x、y和r的三个二次方程组。 (x-x1) 2+(y-y1)2-(rr1)2=0 (1) (x-x2) 2+(y-y2)2-
15、(rr2)2=0 (2) (x-x3) 2+(y-y3)2-(rr3)2=0 (3) 在(rri) 2中(i=1、2、3)，+号表示外切时符号，-号表示内切时符号。 求解方程组即得出r的表达式，但其过于繁琐，这里没有写出，不过 表达式中只有加、减、乘、除、乘方、开平方运算，它是可以用尺规作 出的! 在解方程组的过程中，出现了关于r的二次方程，根据一元二次方程 的根的判别式，任何二次方程的两个根可以是三种类型：两个不同的实数 根、两个相同的实数根或一对复共轭根。第一种情况是：每对根对应于一 对通过圆反演相关联的解圆(反演基圆是已知三圆的正交圆)。在第二种情 况下，两个根是相同的，对应于一个解圆，
16、在反演下其反形为自身，给定 的一个圆本身就是一个解圆，这样不同解的数目减少了一个。复共轭半径 的第三种情况与几何解不对应，因为解圆不能有一个虚拟半径，因此，解 的数目减少了两个。有趣的是，阿波罗尼奥斯问题不能有7个解圆，尽管 解圆的个数可能是从0到8的任何其他的数字。 阿波罗尼奥斯奥斯问题的另一个重要思路是变换法，基本策略是将 一个给定的阿波罗尼奥斯问题转化为另一个更容易解决的阿波罗尼奥斯 【常规解答之点点线问题】 6 【金占魁系列丛书金占魁系列丛书】 我是一朿缈缈烛光我是一朿缈缈烛光，可可完完结你黑暗中的漫漫求索结你黑暗中的漫漫求索! ! 问题。通过逆变换，从新问题的解中找到原问题的解。候选
17、变换必须能 将给定的点、线和圆转换为其他点、线和圆，而不是变换成其他形状， 圆反演就具有这一特性。 如果三个给定圆中的两个不相交，则可以恰当地选择反演基圆，使 这两个给定圆变换为同心圆。三个已知圆在这种环空反演下，三圆的反 形变为A(两个同心圆)和B，三个反形的解圆(红圆)的位置如图所示： 图7：ABC的边为a、b、c,左图中，2R=r2-r1 ,2b=r2+r1 ,a=r3R ,右图中， 2R=r2+r1 ,2b=r2-r1 ,a=r3R ,其中号取决于解圆C与B是外切还是内切. 当三个反形圆确定时，利用高斯方法可以很容易地解决阿波罗尼奥 斯问题(见下面步骤1.2.3.)。上图中设BAC=，
18、根据余弦定理可得： cos=? ? ? = K ，=2arctan(? ? ) 这里计算的目的是，值的个数与解圆的个数是对应的。 为了解决阿波罗尼奥斯问题，我们就必须要确定解圆的圆心或半径， 二者知其一即可。于是我们按如下步骤进行： 步骤步骤1.1.把两个相离的给定圆反演成同心圆把两个相离的给定圆反演成同心圆。 (1)作两圆O1、O2的根轴，在根轴上任取一点P，作P与O1、O2正 交。P与直线O1O2交于两个定点E、F。 (2)作E(EF)，并把它作为反演基圆，则O1、O2的反形为同心圆 F(注意颜色的对应)，O3的反形通常为另一个圆。 图 8：红圆E 为反演基圆 步骤步骤2.2.求反形圆的半
19、径的大小求反形圆的半径的大小 如图，Z为反演基圆，半径为c，X的半径为a，它的反形为Y， 半径为b ,图中c、a、XZ为已知，求出b的表达式。 【常规解答之点点线问题】 7 【金占魁系列丛书金占魁系列丛书】 我是一朿缈缈烛光我是一朿缈缈烛光，可可完完结你黑暗中的漫漫求索结你黑暗中的漫漫求索! ! 图 9：用定义确定 a、b、c、ZX 间的关系式 ZA1ZA2=(ZX+a)(ZY-b)=c 2 ZB1ZB2=(ZX-a)(ZY+b)=c2 消除ZY得：b = ? ? 步骤步骤3.3.在图在图7 7中红圆的半径为中红圆的半径为R R，可算出来可算出来：左边左边R=R=? ? 右边右边R=R=? ?
20、 , , 红圆的反形即为解圆红圆的反形即为解圆，用步骤用步骤2 2的方法就可求出解圆的半径了的方法就可求出解圆的半径了。 具体一点就是：在下面右图中，已知三圆为O1、O2、O3，它们 的半径分别为ri i(i=1、2、3)，以E(EF)为反演基圆。则反形对应为： O1F(大)，O2F(小)，O3G，反形的半径为RF F、rF F、rG G。 由步骤2可得：R?= ? ? 、r?= ? ?、r?= ? ? 。在中图中，同 心圆F(两个)和G的切圆为A、B、C、D，它们的半径 rA A=rB B=rC C=rD D= ? ? ，还有四个切圆未画出，它们的半径都为? ? 。在右 图中，以A为例，作A
21、的反形A?，A?就是解圆，设其半径为r?， 则r?= ? ? ，至此解圆的半径就逐步算出来了! 我们不厌其烦地解释了两种用代数求半径的方法，但是它们不是我 们追求的目标，我们追求的是一种简洁的纯几何方法，来解决阿波罗尼 奥斯问题。纯几何法作图法就是本书介绍的重点，至此代数法在后续章 节就很少提及了。 【常规解答之点点线问题】 8 【金占魁系列丛书金占魁系列丛书】 我是一朿缈缈烛光我是一朿缈缈烛光，可可完完结你黑暗中的漫漫求索结你黑暗中的漫漫求索! ! 第第二二章章 阿波罗尼奥斯问题之解法基础阿波罗尼奥斯问题之解法基础 第第一一节节 常用定理及结论常用定理及结论： (定理和结论恕不证明，原因是本
22、书不是一本习题集) 1 1. .什么条件确定一个圆什么条件确定一个圆？ (1)已知圆心和半径，可以确定一个圆。 (2)不共线的三点确定一个圆。(此法应用较多，是重点)。 2.圆幂定理圆幂定理 (1)割线定理：圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点 的两条线段长的积相等。 (2)结论：共根心的多圆顺次相交时，积(或幂)具有传递性。 (3)切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是割线和这点到 割线与圆交点的两条线段长的比例中项。 【常规解答之点点线问题】 9 【金占魁系列丛书金占魁系列丛书】 我是一朿缈缈烛光我是一朿缈缈烛光，可可完完结你黑暗中的漫漫求索结你黑暗中的漫漫求索!
23、! (4)结论：切线长具有传递性。 3.怎么怎么找目标找目标圆上圆上未知未知的点的点呢呢？ 阿波罗尼奥斯问题就是作满足条件的切圆，这个切圆叫做解圆或目 标圆。知道了目标圆上的三个不共线的点，就可作出目标圆。但是已知 条件中的点的个数是不够三个的，其它的点该怎么找出来呢？ (1)割线定理的逆定理：以 P 为端点的两条射线上，各有两点 A、B 和 C、 D，若四点满足 PAPB=PCPD ， 则 A、B、C、D 四点共圆。 (2)结论：共根心的多圆顺次相交时，每一根割线上有两个交点，任意两 割线上的四点是共圆的。(虚线圆为示例)。 (3)示例示例：不许作ABC 的外接圆，求作一点 D，使 D 在A
24、BC 的外接圆上。 作法作法：如图，过 A、B 两点任作一圆O，延长 BA 至 P，过 P 任作O 的 一割线 PEF。作(CEF)交 PC 于 D，则 D 在ABC 的外接圆上。 说明说明：示例相当于在目标圆上找到了一点 D。这个作法使用的是(2)中的 结论。它是阿波罗尼奥斯问题的常用作法，我们把它称作“割点 作法”，是为了后面叙述方便。 【常规解答之点点线问题】 10 【金占魁系列丛书金占魁系列丛书】 我是一朿缈缈烛光我是一朿缈缈烛光，可可完完结你黑暗中的漫漫求索结你黑暗中的漫漫求索! ! (4)切割线定理的逆定理：P 是O 外一点，PAB 是O 的割线。C 是O 上的点。若 PC 2=P
25、APB ，则 PC 是O 的切线，C 是切点。 (5)结论：如图，PM 是O1的切线，若 PN=PM，则直线 PN 是O2的切线。 (6)示例示例：不许作已知圆的圆心，过此圆外一点求作此圆的切线。 说明说明：示例相当于在目标圆上找到了公切点 N。这个作法使用的是(5)中 的结论。这种作法是阿波罗尼奥斯问题的常用作法，我们把它称 作“切点作法”，也是为了后面的叙述方便。 4 4. .四点共圆的常用判定和性质四点共圆的常用判定和性质： (1)判定一：如图，若ACB=ADB ，则 A、B、C、D 四点共圆。 判定二：如图，若ACB+ADB=180，则 A、B、C、D 四点共圆。 【常规解答之点点线问
26、题】 11 【金占魁系列丛书金占魁系列丛书】 我是一朿缈缈烛光我是一朿缈缈烛光，可可完完结你黑暗中的漫漫求索结你黑暗中的漫漫求索! ! (2)性质：四边形 ABCD 内接于圆，则对角互补，外角等于内对角。 5 5. .两圆位似的性质两圆位似的性质( (以两圆外离及位似外心为例以两圆外离及位似外心为例) )： (1)(1)定理：两圆的两条外公切线的交点叫做两圆的位似外心，如图 S 是两 圆O1、O2的位似外心。过 P 作两圆的公割线 PBA，则 O1AO2B。 (2)(2)逆定理：如图一圆不知圆心，已知两圆的位似外心 S，直线 PBA 是两 圆的公割线，若 ACBO2 ，则 AC 与 PO2的交
27、点就是此圆的圆心。 说明说明：此法是作目标圆的圆心的方法，在 LPP、LLP 作图中常用，不妨把 它叫做“位似定心法”。主要是为了后面叙述方便。 ( (3 3) )如图，S为位似外心，直线SAB是O1、O2的公切线，直线SDF是O1、 O2的公割线，则两对位似点的连线互相平行。(即位似图形的对应边互 【常规解答之点点线问题】 12 【金占魁系列丛书金占魁系列丛书】 我是一朿缈缈烛光我是一朿缈缈烛光，可可完完结你黑暗中的漫漫求索结你黑暗中的漫漫求索! ! 相平行)。 ( (4 4) )如图，S为位似外心，直线SAB是O1、O2的公切线，直线SDF是O1、 O2的公割线，则两对逆位似点四点共圆。它
28、们对O1、O2有共同的幂。 ( (5 5) )如图，O与O1、O2外切、O?与O1、O2内切，则两对切点D、 E和M、N的连线经过位似外心S，且M、N、D、E四点共圆，S在O、O? 的根轴上。同理，若O与O1、O2、O?与O1、O2是一内切一外切， 则两对切点的连线经过位似内心，且四切点共圆，位似内心在O、O? 的根轴上。 【常规解答之点点线问题】 13 【金占魁系列丛书金占魁系列丛书】 我是一朿缈缈烛光我是一朿缈缈烛光，可可完完结你黑暗中的漫漫求索结你黑暗中的漫漫求索! ! 第第二二节节 常常见见概念及概念及其其作法作法 一一) )圆的切线圆的切线、位似中心位似中心、相似轴相似轴 1 1.
29、.过圆外一点作圆的切线过圆外一点作圆的切线 2 2. .作作相离相离两圆的内两圆的内、外位似中心外位似中心及内及内、外外公切线公切线 作法作法：任取O1的半径OA，过O2作O1A的平行线交O2于B、C，直线AC、 BC交连心线O1O2于S、T。S是外位似中心，T为内位似中心。过S作O1的 切线，即是外公切线，过T作O1的切线，即为内公切线。 3.3. 作作内含内含两圆的内两圆的内、外位似中心外位似中心 作法作法：任取O1的半径OA，过O2作O1A的平行线交O2于B、C，直线AC、 BC交连心线O1O2于S、T。S是外位似中心，T为内位似中心。 说明说明：两相切、相交时，内、外位似中心的作法是相
30、同的。等圆只能作 出位似内心，位似外心在无穷远处。 4.4.作作三三圆圆两两外切两两外切( (这是基本功，不然索迪圆往哪儿画？) ) 【常规解答之点点线问题】 14 【金占魁系列丛书金占魁系列丛书】 我是一朿缈缈烛光我是一朿缈缈烛光，可可完完结你黑暗中的漫漫求索结你黑暗中的漫漫求索! ! 作法一： (1)作ABC的内切圆，切点为D、E、F。 (2)作A(AD)、B(BE)、C(CF)即可。 作法二： (1)在线段BC上任取一点E，作B(BE)、C(CE)，则B与C外切。 (2)在B上取一点G，过C作CHBG交C于H，直线GH交直线BC于T，则T是两圆的 外位似中心。 (3)在B上再任取一点S，
31、直线ST交两圆于D、F两点，直线BD、CF交于A。作 A(AD)即可，则三圆A、B、C两两外切。 说明说明：移动S的位置，就可改变A的大小。 5.5.作三圆的相似轴作三圆的相似轴 作法作法：作两两圆对的内、外位似中心，共三个位似外心和三个位似内心。 其中，三个位似外心共线，称为外相似轴，只有一条。两个位似内心和 一个位似外心共线，称为内相似轴，有三条。 【常规解答之点点线问题】 15 【金占魁系列丛书金占魁系列丛书】 我是一朿缈缈烛光我是一朿缈缈烛光，可可完完结你黑暗中的漫漫求索结你黑暗中的漫漫求索! ! 二二) )两圆的根轴两圆的根轴、三圆的根心三圆的根心 1 1. .两圆的根轴两圆的根轴(
32、 (也叫等幂轴也叫等幂轴) ) (1).(1).两圆相交时和两圆相切时 (2).两圆相离时 (3).两圆内含时 2 2. .三圆的根心三圆的根心( (也叫等幂点也叫等幂点) )，指三条根轴交于的一点指三条根轴交于的一点。实际作图中只需 要作两条根轴相交即可。 【常规解答之点点线问题】 16 【金占魁系列丛书金占魁系列丛书】 我是一朿缈缈烛光我是一朿缈缈烛光，可可完完结你黑暗中的漫漫求索结你黑暗中的漫漫求索! ! 三三) )圆的圆的反演变换反演变换、极线极线、极点极点 1 1. .点关于圆的反演变换点关于圆的反演变换 定义，在以O(R)的圆心O为端点的射线上取两点A、A?，若OAOA?=R 2
33、， 则称A、A?关于O(R)互为反演点，O(R)为反演圆(基圆)，O为反演中 心(反演极)，R为反演半径(R 2为反演幂)。 点在圆外时的反演作法点在圆外时的反演作法 点在圆内且不是圆心时的反演作法点在圆内且不是圆心时的反演作法 点在圆上时点在圆上时，其反演点是其本身其反演点是其本身。点在圆心处时点在圆心处时，反演点在无穷远处反演点在无穷远处。 2 2. .极线关于圆的极点极线关于圆的极点，极极点点关于圆的极关于圆的极线线。 作法一作法一： 说明说明：把上述过程倒作，就能作出点A?关于O的极线L。 作法二作法二：两对两对“切点线段切点线段”的交点的交点 【常规解答之点点线问题】 17 【金占魁
34、系列丛书金占魁系列丛书】 我是一朿缈缈烛光我是一朿缈缈烛光，可可完完结你黑暗中的漫漫求索结你黑暗中的漫漫求索! ! 说明说明：三圆的外相似轴关于三圆的极点的另一作法，过三个位似外心作 其对应圆的外公切线，切点连线的交点就是对应的极点。 3.3.直线直线关于圆的关于圆的反演反演 (1).(1).直线与圆相离时 (2).直线与圆相切、相交时 当直线L与O相切于A时，直线L的反形为以OA为直径的圆(左图)。 当直线L与O相交于B、C时，直线L的反形为过O、B、C三点的圆(中图)。 当直线L过O的圆心O时，直线L的反形为其本身(右图)。 4.4.圆圆关于圆的关于圆的反演反演 当O?不过O的圆心O时，O
35、的反形为另一个圆。 图中O1与O互为反形，其中A是A?的极点，B是B的极点，两圆是 以AB、A?B?为直径的圆。 说明说明：只需作O?与连心线OO?的交点的反演点即可，注意反形与圆心无 关，O?的反形不是O1 !千万不要通过圆心来作反形。 【常规解答之点点线问题】 18 【金占魁系列丛书金占魁系列丛书】 我是一朿缈缈烛光我是一朿缈缈烛光，可可完完结你黑暗中的漫漫求索结你黑暗中的漫漫求索! ! 当圆过O的圆心O时，其反形为直线L。 过切点A的切线 过两交点的直线 A与A?互为反演点 说明说明：直线L都与连心线OO?垂直。 四四) ) 正交圆系正交圆系、共轴圆系共轴圆系( (圆束圆束) ) 1 1
36、. .一圆一圆、两圆两圆、三圆的正交圆的作法三圆的正交圆的作法 如图，O、O?两圆正交，可简单地理解为：两圆过交点A的半径互相 垂直，即OAO?A。 (1).作作O O的正交圆的方法的正交圆的方法，在O外任取一点O?，以OO?为直径作圆交 O于A，则O?(O?A)即是所求。 (2).作两圆作两圆O O1 1、O O2 2的正交圆系的方法的正交圆系的方法。 【常规解答之点点线问题】 19 【金占魁系列丛书金占魁系列丛书】 我是一朿缈缈烛光我是一朿缈缈烛光，可可完完结你黑暗中的漫漫求索结你黑暗中的漫漫求索! ! (3).作三圆作三圆O O1 1、O O2 2、O O3 3的公共正交圆的公共正交圆(
37、 (根圆根圆) )的方法的方法。 2 2. .两圆的共轴圆系作法两圆的共轴圆系作法 作作O O1 1、O O2 2 的共轴圆的共轴圆( (庞斯列庞斯列福切解法福切解法要用要用) )： 第三节第三节 圆退化为点圆退化为点时时的情况的情况 1 1. .“圆与圆圆与圆 点与圆点与圆 点与点点与点”的规律的规律： (1)(1)外离时的变化规律外离时的变化规律： 说明说明：位似心、公切线、根轴、正交圆的作法不再叙述，翻看前面内容。 【常规解答之点点线问题】 20 【金占魁系列丛书金占魁系列丛书】 我是一朿缈缈烛光我是一朿缈缈烛光，可可完完结你黑暗中的漫漫求索结你黑暗中的漫漫求索! ! 说明说明：过点O2
38、作O1的两条外公切线，切线段的中心连线即是根轴。在根 轴上任取一点O，以OO1为直径的圆与O1交于P、Q点，则O(OP)即为点 与圆的正交圆。 说明说明 ：两点O1、O2的根轴是线段O1O2的垂直平分线，两点O1、O2的正交圆 是过O1、O2两点的任一圆。 (2)(2)点与圆位置的变化规律点与圆位置的变化规律： 说明说明 ：点在圆外时，点与圆的根轴有两种作法，其中，根轴是A与它的 极点A连线的垂直平分线，这是一种通用作法。点与圆的正交圆必过此 点，圆心在根轴上。 【常规解答之点点线问题】 21 【金占魁系列丛书金占魁系列丛书】 我是一朿缈缈烛光我是一朿缈缈烛光，可可完完结你黑暗中的漫漫求索结你
39、黑暗中的漫漫求索! ! 说明说明：过A点的圆的切线为根轴。O?是根轴上任一点，O?(O?A)是正交 圆。 2 2. .“圆圆圆圆圆圆 点圆圆点圆圆 点点圆点点圆”的规律的规律： 说明说明：三圆的根心、相似轴、正交圆的作法详见前面的内容。 【常规解答之点点线问题】 22 【金占魁系列丛书金占魁系列丛书】 我是一朿缈缈烛光我是一朿缈缈烛光，可可完完结你黑暗中的漫漫求索结你黑暗中的漫漫求索! ! 说明说明：一圆退化为点A时，A为位似中心，过A与两圆的位似内心的直线为 内相似轴，过A与两圆的位似外心的直线为外相似轴。点圆圆的根心是A 与两圆的根轴的交点，点圆圆的正交圆必过A点，根心是圆心。 说明说明：
40、两圆退化为两点A、B时，A、B为位似中心，直线AB为点点圆的相 似轴。根心是A、B分别与圆的根轴的交点。正交圆过A、B两点，根心为 圆心。 总结总结：圆退化为点圆时，点变为位似中心。有两个点时，两点连线为相 似轴。正交圆总是经过点圆。点与圆的根轴的作法是该点与其极点连线 的中垂线。 第第四四节节 圆退化为线圆退化为线时时的情况的情况 1 1. .圆圆的公切线圆圆的公切线 线圆的公切线线圆的公切线： 说明说明：位似心、公切线、根轴、正交圆的作法不再叙述，翻看前面内容。 【常规解答之点点线问题】 23 【金占魁系列丛书金占魁系列丛书】 我是一朿缈缈烛光我是一朿缈缈烛光，可可完完结你黑暗中的漫漫求索
41、结你黑暗中的漫漫求索! ! (1)线圆与圆外离时线圆与圆外离时： 说明说明 ：圆退化为线时，直线为根轴。过圆心作该直线的垂线，与圆的两 个交点为“线与圆”的内、外位似中心。过内、外位似中心的圆的两条 切线，分别为“线与圆”的内、外公切线。在根轴上任取一点为圆心， 作圆的正交圆，此圆也为“线与圆”的正交圆。 (2)(2)线圆与圆相切时线圆与圆相切时： 说明说明：这种情况下，直线为根轴，也为内公切线。过圆心作该直线的垂 线，与圆的两个交点为“线与圆”的内、外位似中心。过外位似中心的 圆的切线，为“线与圆”的外公切线。在根轴上任取一点为圆心，作圆 的正交圆，此圆也为“线与圆”的正交圆，正交圆过位似内
42、心。 (3)(3)线圆与圆相交时线圆与圆相交时： 【常规解答之点点线问题】 24 【金占魁系列丛书金占魁系列丛书】 我是一朿缈缈烛光我是一朿缈缈烛光，可可完完结你黑暗中的漫漫求索结你黑暗中的漫漫求索! ! 说明说明 ：圆退化为线时，直线为根轴。过圆心作该直线的垂线，与圆的两 个交点为“线与圆”的位似中心(不分内与外)。过两位似中心的圆的两 条切线，分别为“线与圆”的公切线。在根轴上任取一点为圆心，作圆 的正交圆，此圆也为“线与圆”的正交圆。 2 2. .“圆圆圆圆圆圆”的公切线的公切线 “线圆线圆圆圆“的公切线的公切线 “线线线线圆圆”的公切线的公切线： 说明说明：三圆的根心、相似轴、正交圆的
43、作法见前面的内容。这里不再叙 述。 说明说明：当一圆退化为直线L时，直线L为“线与圆”的公共根轴。过两圆 的圆心分别作直线L的垂线，与两圆的两个交点分别为A、B和C、D，其中 直线AD是“线圆圆”的外相似轴，直线AC、直线BD、直线BC是“线圆圆” 的内相似轴。两圆的根轴与直线L的交点为“线圆圆”的根心，以根心为 圆心，作任一圆的正交圆，则此圆也为“线圆圆”的正交圆。 【常规解答之点点线问题】 25 【金占魁系列丛书金占魁系列丛书】 我是一朿缈缈烛光我是一朿缈缈烛光，可可完完结你黑暗中的漫漫求索结你黑暗中的漫漫求索! ! 说明说明：当有两圆退化为两直线L1、L2时，直线L1、L2为“线与圆”的
44、根轴， 直线L1、L2的交点为“线线圆”的根心。过圆的圆心分别作直线L1、L2的 垂线，与圆的两个交点分别为A、B和C、D，则直线AC是“线线圆”的外 相似轴，直线AD、直线BD、直线BC是“线线圆”的内相似轴。以根心为 圆心，作圆的正交圆，则此圆也为“线线圆”的正交圆。 总结总结：直线与线圆相切变为线与线平行。圆与线圆的公切点是过圆心作 线圆的垂线，该垂线与圆的交点。圆与线圆的公切线是平行于线圆的该 圆的切线。圆退化为线圆时，直线就成了根轴，两圆退化为两线圆时， 两直线交点为根心。 第第三三章章 阿波罗尼奥斯问题之阿波罗尼奥斯问题之点点线点点线 点点线问题点点线问题：求作一圆经过已知两点且与
45、已知直线相切求作一圆经过已知两点且与已知直线相切 。 已知已知：点点A A、点点B B、直线直线L L，( (直线直线ABAB与直线与直线L L不平行不平行) ) 求作求作：O O，使之过使之过A A、B B且与且与直线直线L L相切相切。 作法一作法一： 1.作直线AB交直线L于C. 2.作以AB为直径的圆，过C作此圆的切线CD，D为切点。 3.作C(CD)交直线L于E、F点。则(ABE)和(ABF)即是所求。 【常规解答之点点线问题】 26 【金占魁系列丛书金占魁系列丛书】 我是一朿缈缈烛光我是一朿缈缈烛光，可可完完结你黑暗中的漫漫求索结你黑暗中的漫漫求索! ! 作法剖析作法剖析： 目标圆(红圆)上已有两个点A、B，还缺少一个点。目标圆与以AB为 直径的圆相交于
