1、 收稿日期2 0 2 2-0 1-1 8;修改日期2 0 2 2-0 6-2 0 基金项目国家新工科项目(E-D S J 2 0 2 0 1 1 1 0);浙江理工大学数学与应用数学国家一流本科专业建设点;浙江省省级课堂教学改革“基于现代信息技术的数值分析课程教学改革”和浙江理工大学研究生课堂教学改革项目(Y K C-2 0 2 1 0 2)作者简介张启峰(1 9 8 7-),男,博士,副教授,从事微分方程数值解研究.E-m a i l:z h a n g q i f e n g 0 5 0 41 6 3.c o m 通讯作者徐定华(1 9 6 7-),男,博士,教授,从事可计算建模与反问题算
2、法研究.E-m a i l:d h x u 6 7 0 8z s t u.e d u.c n第3 8卷第6期大 学 数 学V o l.3 8,.62 0 2 2年1 2月C O L L E G E MATHEMAT I C SD e c.2 0 2 2二阶线性齐次常微分方程与方程组求解的类比法张启峰,徐定华,徐映红(浙江理工大学 理学院 数学系,杭州3 1 0 0 1 8)摘 要将类比法应用于二阶线性齐次常系数常微分方程和常微分方程组的解析求解.分别基于特征函数法和降阶法给出其形式解,然后详细证明了两类形式解的等价性;本文为大学数学的常微分方程类比法教学提供了一个成功的案例.关键词类比法;二阶
3、线性齐次常微分方程(组);特征函数法;降阶法 中图分类号O 2 4 1.8 2 文献标识码C 文章编号1 6 7 2-1 4 5 4(2 0 2 2)0 6-0 0 7 4-0 51 引 言常微分方程是大学本科阶段理工科学生的必修内容,对于打算进一步从事工程和科学研究起着重要的桥梁和纽带作用.常微分方程也是数学专业核心课程如数学分析、高等代数等在微分方程这一分支方向的重要应用,同时也是后续学习偏微分方程的基础课程,因而在大学教学中有必要着重对待.类比法是一类十分重要的认知手段和学习方法,是创新思维培养的基本方法1-2.“它具有多种多样的形式,如低维与高维类比、离散与连续类比、有限与无限类比、微
4、分与积分类比”3等等.具体的类比法案例包括函数与函数的类比3、积分变量的变换公式间的类比4、向量组线性无关性和函数线性无关性的类比5、阶乘函数推导的类比6、黎曼积分与勒贝格积分的类比、实数集与抽象集合的类比、欧几里得空间与H i l b e r t空间的类比等等.本文将以二阶线性齐次常微分方程u(t)+a u(t)=0,t0,u(0)=v,u(0)=w(1)和常微分方程组u(t)+A u(t)=0,t0,u(0)=v,u(0)=w(2)为模型问题展示类比法.(1)中a为任意实数(分为a0,a=0和a0时,求解(1)可得=ai,i2=1.相应的通解为u(t)=c1c o s(a t)+c2s i
5、 n(a t).结合初始条件可得定解问题(1)的解为u(t)=c o s(a t)v+1as i n(a t)w.(4)(i i)当a=0时,方程(3)的解为=0(二重根).问题(1)的通解为u=c1+c2t.结合初始条件可得定解问题(1)的解为u(t)=v+w t.(5)(i i i)当a0时,方程(3)的解为=-a.问题(1)的通解为u=c3e x p(-a t)+c3e x p(-a t).结合初始条件可得定解问题(1)的解为u(t)=12e x p(-a t)v+w-a+12e x p(-a t)v-w-a.(6)基于类比的思想,猜测常微分方程组(2)的解分别如下:(i)当A为对称正定
6、矩阵时,类比(4),问题(2)的解为u(t)=c o s(A t)v+(A)-1s i n(A t)w.(7)(i i)当A为零矩阵时,类比(5),问题(2)的解为u(t)=v+w t.(8)(i i i)当A为对称负定矩阵时,类比(6),问题(2)的解为u(t)=12e x p(-A t)(v+(-A)-1w)+12e x p(-A t)(v-(-A)-1w).(9)2.2 降阶法及其类比降阶法的基本思路是将原常微分方程(1)改写成一阶的常微分方程组,再利用一阶常微分方程组的相关理论获得其解的过程.令U=(u(t),u(t)T,则问题(1)等价于U(t)-B U(t)=0,U(0)=(v,w
7、)T,其中B=01-a0 .基于一阶线性常微分方程的分离变量法可知U(t)=e x p(B t)U(0).利用类比的思想,试猜测常微分方程组(2)的解为57第6期 张启峰,等:二阶线性齐次常微分方程与方程组求解的类比法U(t)=e x p(C t)U(0),(1 0)其中C=OI-A O 2n2n,U(0)=(v,w)T2n,I为单位矩阵.上述两组形式解:解(7)-(9)与解(1 0)是否一致,下节将论证之.3 类比法中解的等价由第2节分别获得了常微分方程(1)的两种不同形式的解.并用类比的思想给出了常微分方程组(2)的两种形式的解.容易验证(7)-(9)与(1 0)均为(2)的解.下面直接证
8、明形式解(7)-(9)与(1 0)的等价性.为简洁起见,本文仅给出当矩阵A为正定矩阵时,(2)的解(7)等价于(1 0).感兴趣的读者可以尝试当矩阵A为零矩阵,(8)与(1 0)等价;当矩阵A为负定矩阵,(9)与(1 0)等价.为说明(7)与(1 0)的等价性,首先给出矩阵的欧拉公式.引理1 设A为正定矩阵,则有c o s(A)=12(e x p(iA)+e x p(-iA),s i n(A)=12(e x p(iA)-e x p(-iA).定理1 当矩阵A为正定矩阵时,(7)等价于(1 0).证 利用指数函数的泰勒公式,(1 0)可转化为U(t)=e x ptOI-A O vw =n=0tn
9、n!OI-A O nvw .(i)当n为偶数时,即n=2k时,OI-A O n=OI-A O 2k=(-1)kAkOOAk ;(i i)当n为奇数时,即n=2k+1时,OI-A O n=OI-A O 2kOI-A O =(-1)kAkOOAk OI-A O =(-1)kOAk-Ak+1O .因而 U(t)=n=0tnn!OI-A O nvw =k=0t2k(2k)!OI-A O 2kvw +k=0t2k+1(2k+1)!OI-A O 2k+1vw =k=0(-1)kt2k(2k)!AkOOAk +(-1)kt2k+1(2k+1)!OAk-Ak+1O vw =k=0(-1)kt2k(2k)!Ak
10、,k=0(-1)kt2k+1(2k+1)!Akk=0(-1)k+1t2k+1(2k+1)!Ak+1,k=0(-1)kt2k(2k)!Ak vw .另一方面,由(7)可知u(t)=-As i n(t A)v+c o s(t A)w.上式结合解(7)可得67大 学 数 学 第3 8卷u(t)u(t)=c o s(t A)(A)-1s i n(t A)-As i n(t A)c o s(t A)vw =a1 1a1 2a2 1a2 2 vw .接下来,将确认上式中的各个分量ai j(i,j=1,2)和矩阵(1 1)中的右端分量是一致的.易知a2 2=a1 1,因而仅需验证a1 1,a1 2,a2 1
11、和(1 1)右端矩阵的分量对应相同.利用引理1可得 a1 1=c o s(t A)=12(eitA+e-itA)=n=0 intn(A)nn!+(-i)ntn(A)nn!=12 n=0tn(A)nn!(in+(-i)n)=12 k=0t2k+1(A)2k+1(2k+1)!(i2k+1+(-i)2k+1 0)+12 k=0t2k(A)2k(2k)!(i2k+(-i)2k)=n=0t2n(2n)!(-1)nAn;a1 2=(A)-1s i n(t A)=(A)-112 i(eitA-e-itA)=(A)-112 in=0 intn(A)nn!-i ntn(A)nn!=(A)-112 i n=0tn
12、(A)nn!(in-(-i)n)=n=0t2n+1(A)2n(2n+1)!(-1)n;a2 1=-(A)s i n(t A)=-(A)12 i(eitA-e-itA)=-(A)12 in=0 intn(A)nn!-(-i)ntn(A)nn!=-(A)12 i n=0tn(A)nn!(in-(-i)n)=-n=0t2n+1(2n+1)!(-1)nAn.结合论证,可知(7)与(1 0)等价.4 结 论大学中教学创新9有多种多样,包括教学模式创新、教学方法创新、教学内容创新、学习方法创新等等.本文属于教学内容与教学方法创新,对常微分方程和方程组利用两种方法求解,对解的形式进行大胆猜测,数学上给出严格
13、验证,实现了学习方法和内容剖析的统一.本文是类比法在二阶线性齐次常微分方程求解中的一个成功案例.在大学数学中还有很多数学思想与方法都值得研究,如归纳法、反证法、常数变易法、可视化教学法1 0等等.本文的研究有助于培养学生创造性思维.致谢 作者非常感谢相关文献对本文的启发以及审稿专家提出的宝贵意见.感谢浙江理工大学程秀俊博士有益的讨论.参 考 文 献1 朱士信.如何在大学数学课堂教学中培养学生创新思维J.大学数学,2 0 0 3,1 9(3):3 0-3 2.2 周海林.类比创新法微课案例 格林公式J.高等数学研究,2 0 1 8,2 1(1):6 8-7 0.3 唐烁,苏化明.函数之间的类比J
14、.大学数学,2 0 1 6,3 2(2):6 8-7 2.77第6期 张启峰,等:二阶线性齐次常微分方程与方程组求解的类比法4 张文丽,陈丽珍,靳佳润.积分变量变换公式的类比和应用J.高等数学研究,2 0 2 0,2 3(3):5 3-5 6.5 张莉,周羚君.类比方法在线性代数教学中的应用J.大学数学,2 0 1 4,3 0(6):6 7-6 9.6 N EWT ONTA.D e r i v a t i o no f a f a c t o r i a l f u n c t i o nb ym e t h o do f a n a l o g yJ.T h eAm e r i c a nM
15、 a t h e m a t i c a lM o n t h l y,1 9 6 1,6 8(9):9 1 7-9 2 0.7 王高雄,周之铭,朱思铭,等.常微分方程 M.北京:高等教育出版社,3版.2 0 1 8:2 1 9-2 2 2.8 E DWA R D SCH,P E NN E YDE.常微分方程基础M.北京:机械工业出版社,5版(英文版).2 0 2 0:3 5 7-3 6 9.9 徐定华,彭慧.建设数字化课程开展高校课程教学模式创新J.中国大学教育,2 0 1 2,8:2 3-2 5.1 0 徐定华,刘单,刘可伋.分析数学类课程的可视化教学设计探讨J.大学数学,2 0 2 2,
16、3 8(4):4 4-5 1.A n a l o g i c a lM e t h o df o rS o l v i n gS e c o n d-O r d e rL i n e a rH o m o g e n e o u sO r d i n a r yD i f f e r e n t i a lE q u a t i o n sa n dS y s t e m sZ HANGQ i f e n g,XUD i n g h u a,XUY i n g h o n g(D e p a r t m e n to fM a t h e m a t i c s,S c h o o l o f
17、S c i e n c e,Z h e j i a n gS c i-T e c hU n i v e r s i t y,H a n g z h o u3 1 0 0 1 8,C h i n a)A b s t r a c t:T h e m e t h o do fa n a l o g yi sa p p l i e dt oas e c o n d-o r d e rl i n e a rh o m o g e n e o u so r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n(O D E s)a n ds y s t e m
18、sw i t hc o n s t a n tc o e f f i c i e n t s.B a s e do nt h ee i g e n f u n c t i o n m e t h o da n dt h eo r d e rr e d u c t i o n m e t h o dr e s p e c t i v e l y,t h ee x a c t s o l u t i o n sa r eg i v e n,a n dt h e i re q u i v a l e n c e i sp r o v e d.T h i sp a p e rp r o v i d e
19、 sas u c c e s s f u l c a s e f o r t h et e a c h i n go fo r d i n a r yd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n sw i t ha n a l o g ym e t h o d i nc o l l e g em a t h e m a t i c s.K e yw o r d s:a n a l o g i c a lm e t h o d;s e c o n d-o r d e rl i n e a rh o m o g e n o u sO D E so rs y s t e m s;c h a r a c t e r i s t i cf u n c t i o nm e t h o d;o r d e r r e d u c t i o nm e t h o d87大 学 数 学 第3 8卷
