1、成都中考三轮复习系列丛书第三讲 中考/直升60分专练（三）成都中考三轮复习系列丛书第三讲 中考/直升60分专练（三） 第一例1为的外接圆，过圆外一点P作的切线PA，且PA/BC（1）如图1-1，求证：为等腰三角形；（2）如图1-2，在AB边上取一点E，AC边上取一点F，使，直线EF交PA于点M，交BC的延长线于点N，求证：；（3）如图1-3，在（2）条件下，连接OE、OF，若，求的半径长 图1-1 图1-2 图1-3答案（1）连接AO并延长交BC于点D，如图1，PA切于点A，即PA/BC，根据垂径定理可得，AD垂直平分BD，即为等腰三角形；（2）过点F作FK/AB交BC于点K，如图2FK/AB
2、，PA/BC，在和中，；（3）过点E作于G，过点F作交MA的延长线于点H，过点O作于点Q，连接OA、OC，如图3由（1）知，在和中，是等边三角形，PA/BC，设，则有，,，即，设，则，解得，即的半径长为例2（1）关于x的不等式组的所有整数解的和是，则m的取值范围是_（2）如图，已知是等腰的外接圆，点D是上一点，BD交AC于点E，若，则AE的长是_（3）如图，点A的坐标为，点C是线段OA上的一个动点（不与O、A两点重合），过点C作轴，垂足为D，以CD为边在右侧作正方形CDEF连接AF并延长交x轴的正半轴于点B，连接OF若以B、E、F为顶点的三角形与相似，则点B的坐标是_（4）如果关于x的一元二次
3、方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的是_（写出所有正确说法的序号）方程是倍根方程若是倍根方程，则；若点在反比例函数的图象上，则关于x的方程是倍根方程；若方程是倍根方程，且相异两点，都在抛物线上，则方程的一个根为（5）如图所示，、，在函数的图象上，都是等腰直角三角形，斜边，都在x轴上，则_答案（1）或；（2）1；（3）或或；（4）；（5）例3“相约红色重庆，共享绿色园博”，位于重庆市北部新区的国际园林博览会是一个集自然景观和人文景观为一体的大型城市生态公园自2011年11月19日开园以来，某商家在园博园内出售纪念品“山娃”玩
4、偶十周以来，该纪念品深受游人喜爱，其销售量不断增加，销售量y(件)与周数x（，且x取整数）之间所满足的函数关系如下表所示：周数x12345678910销售量y(件)110120130140150160170180190200为回馈顾客，该商家将此纪念品的价格不断下调，其销售单价z（元）与周数x（，且x取整数）之间成一次函数关系，且第一周的销售单价为68元，第二周的销售单价为66元另外，已知该纪念品每件的成本为30元（1）请观察题中的表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，直接写出y与x之间的函数关系式；根据题意，直接写出z与x之间满足的一次函数关系式；（2）求前十周哪一周的销
5、售利润最大，并求出此最大利润；（3）从十一周开始，其他商家陆续入驻园博园，因此该商店的销售情况不如从前该纪念品的销售量比十周下降，于是该商家将此纪念品的销售单价在十周的基础上提高1.4a%另外，随着园博园管理措施的逐步完善，该商家需每周交纳200元的各种费用这样，十一周的销售利润恰好与十周持平请参考以下数据，估算出a的整数值（参考数据：，）答案（1）由表格数据可得：（，且x取整数）；设，将点，代入可得：，解得：，故（，且x取整数）；（2）设前十周内第x周的销售利润为W（元），由题意知：，代入y，z解析式得：，抛物线开口向下，有最大值，当时，W取得最大值4500故前十周内第五周的销售利润最大，为
6、4500元；（3）十周的销售量由表知为200件十周的销售单价=（元），十周的销售利润=（元），由题意可得：第十一周的销售量为，第十一周的销售单价为，十一周的销售利润恰好与十周持平，根据题意列出方程式：，设，原方程可整理为：，解得232=529，242=576，而555更接近576，或，或，舍去，a=1a的整数值为1例4已知，等边中，D为BC上一点，DEAC交AB于E，M是AE上任意一点（M不与A、E重合），连接DM，作DN平分交AC于N（1）若BD=DC（如图4-1），求证：；（2）在（1）的条件下，如图4-2，作于F，若，连接MN，将沿MN翻折，翻折后的射线MD交AC于P，连接DP交MN于点
7、Q，求PQ的长 图4-1 图4-2答案（1）证明：延长AC至，使，连接，D为BC中点，又DE/AC，与都是等边三角形，在和中，DN平分，DE/AC，（2）过M作于R，延长MN交BC于点K，设，于F，D为BC中点，解得：，（舍去），在和中，MP/DK，是等边三角形，例5已知抛物线与x轴交于A、B，与y轴相交于点C，且点A在点B的左侧（1）若抛物线过点，求实数a的值（2）在（1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点E，使最小，求出点E的坐标（3）在第一象限内，抛物线上是否存在点M，使得以A、B、M为顶点的三角形与相似？若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由答案（1）抛物线过点，（2）如图1，点A，
8、B是抛物线与x轴的交点，点B是点A关于抛物线对称轴的对称点，连接BC交对称轴于点E，抛物线解析式为，点，对称轴，CD解析式为，；（3）如图2，由（2）有，抛物线解析式为，设；当时， ，此方程无解，此种情况不存在；当，即：，直线AC解析式为，或（由于点M在第一象限，所以舍去）综合上述，29全国初中数学教师群QQ173100552 全国初中数学资料群：QQ:344290074圆的综合题类型一与全等结合1. 如图，O的直径AB4，C为O上一点，AC2.过点C作O的切线DC，P点为优弧上一动点(不与A、C重合)(1)求APC与ACD的度数；(2)当点P移动到劣弧的中点时，求证：四边形OBPC是菱形；(
9、3)当PC为O的直径时，求证：APC与ABC全等第1题图(1)解：AC2，OAOBOCAB2，ACOAOC，ACO为等边三角形，AOCACOOAC60，APCAOC30，又DC与O相切于点C，OCDC，DCO90，ACDDCOACO906030；第1题解图(2)证明：如解图，连接PB，OP，AB为直径，AOC60，COB120，当点P移动到的中点时，COPPOB60，COP和BOP都为等边三角形，OCCPOBPB，四边形OBPC为菱形；(3)证明：CP与AB都为O的直径，CAPACB90，在RtABC与RtCPA中，RtABCRtCPA(HL)2. 如图，AB为O的直径，CA、CD分别切O于点
10、A、D，CO的延长线交O于点M，连接BD、DM.(1)求证：ACDC；(2)求证：BDCM；(3)若sinB，求cosBDM的值第2题图(1)证明：如解图，连接OD，CA、CD分别与O相切于点A、D，OAAC，ODCD，在RtOAC和RtODC中，RtOACRtODC(HL)，ACDC；(2)证明：由(1)知， OACODC，AOCDOC，AOD2AOC，AOD2OBD，AOCOBD，BDCM；(3)解：BDCM，BDMM，DOCODB，AOCB，ODOBOM，ODMOMD，ODBBDOC，DOC2DMO，DOC2BDM，B2BDM，如解图，作OE平分AOC，交AC于点E，作EFOC于点F，第
11、2题解图EFAE，在RtEAO和RtEFO中，RtEAORtEFO(HL)，OAOF，AOEAOC，点F在O上，又AOCB2BDM，AOEBDM，设AEEFy，sinB，在RtAOC中，sinAOC，设AC4x，OC5x，则OA3x，在RtEFC中，EC2EF2CF2，EC4xy，CF5x3x2x，(4xy)2y2(2x)2，解得yx，在RtOAE中，OEx，cosBDMcosAOE.3. 如图，O是ABC的外接圆，AC为直径，BEDC交DC的延长线于点E.(1)求证：1BCE；(2)求证：BE是O的切线；(3)若EC1，CD3，求cosDBA.第3题图(1)证明：如解图，过点B作BFAC于点
12、F，ABBD在ABF与DBE中，ABFDBE(AAS)，BFBE，BEDC，BFAC，1BCE；(2)证明：如解图，连接OB，AC是O的直径，ABC90，即1BAC90，BCEEBC90，且1BCE，BACEBC，OAOB，BACOBA，EBCOBA，EBCCBOOBACBO90，EBO90，又OB为O的半径，BE是O的切线；第3题解图(3)解：在EBC与FBC中，EBCFBC(AAS)，CECF1.由(1)可知：AFDE134，ACCFAF145，cosDBAcosDCA.类型二与相似结合4. 如图，ABC内接于O，ABAC，BAC36，过点A作ADBC，与ABC的平分线交于点D，BD与AC
13、交于点E，与O交于点F.(1)求DAF的度数；(2)求证：AE2EFED；(3)求证：AD是O的切线第4题图(1)解：ABAC，BAC36，ABCACB(18036)72，AFBACB72，BD平分ABC，DBC36，ADBC，DDBC36，DAFAFBD723636；(2)证明：EAFFBCD，AEFAED，EAFEDA，AE2EFED；(3)证明：如解图，过点A作BC的垂线，G为垂足，ABAC，AG垂直平分BC，AG过圆心O，ADBC ，ADAG ，AD是O的切线第4题解图5. 如图，AB为半圆的直径，O为圆心，OCAB，D为的中点，连接DA、DB、DC，过点C作DC的垂线交DA于点E，D
14、A交OC于点F.(1)求证：CED45；(2)求证：AEBD；(3)求的值第5题图(1)证明：CDACOA9045，又CEDC，DCE90，CED180904545；(2)解：如解图，连接AC，D为的中点，BADCAD4522.5，而CEDCAEACE45，CAEACE22.5，AECE，ECD90，CED45，CECD，又，CDBD，AECECDBD，AEBD；第5题解图(3)解：设BDCDx，AECEx，由勾股定理得，DEx，则ADxx，又AB是直径，则ADB90，AOFADB，1.6. 如图，AB为O的直径，P点为半径OA上异于点O和点A的一个点，过P点作与直径AB垂直的弦CD，连接AD
15、，作BEAB，OE/AD交BE于E点，连接AE、DE，AE交CD于点F.(1)求证：DE为O的切线；(2)若O的半径为3，sinADP，求AD；(3)请猜想PF与FD的数量关系，并加以证明第6题图(1)证明：如解图，连接OD，OAOD，OADODA，OEAD，OADBOE，DOEODA，BOEDOE，在BOE和DOE中，BOEDOE(SAS)，ODEOBE，BEAB，OBE90，ODE90，OD为O的半径，DE为O的切线；(2)解：如解图，连接BD，AB为O的直径，ADB90，ABDBAD90，ABCD，ADPBAD90，ABDADP，sinABDsinADP，O的半径为3，AB=6，ADAB
16、2；第6题解图(3)解：猜想PFFD，证明：CDAB，BEAB，CDBE，APFABE，PF，在APD和OBE中，APDOBE，PD，AB2OB，PFPD，PFFD.7. 如图，O是ABC的外接圆，AB是O的直径，ODAC，OD交O于点E，且CBDCOD.(1)求证：BD是O的切线；(2)若点E为线段OD的中点，求证：四边形OACE是菱形(3)如图，作CFAB于点F，连接AD交CF于点G，求的值第7题图(1)证明：AB是O的直径，BCA90，ABCBAC90，ODAC，ACOCOD.OAOC，BACACO，又CODCBD，CBDBAC，ABCCBD90，ABD90，即OBBD，又OB是O的半径，BD是O的切线；(2)证明：如解图，连接CE、BE，OEED，OBD90，BEOEED，OBE为等边三角形，BOE60，又ACOD，OAC60，又OAOC，OAC为等边三角形，ACOAOE，ACOE且ACOE，四边形OACE是平行四边形，而OAOE，四边形OACE是菱形；第7题解图(3)解：CFAB，AFCOBD90，而ACOD，CAFDOB，RtAFCRtOBD，即FC，又FGBD，AFGABD，
