1、第九章 常微分方程典型习题解答与提示习 题 9-11（1）一阶；（2）二阶；（3）三阶；（4）一阶。2（1），因，将及代入微分方程有 恒成立，则函数是微分方程的解；（2），因，将及代入微分方程恒成立，则函数是微分方程的解；（3），因， 将，代入微分方程 方程不成立，则函数不是微分方程的解；（4），因， ，将，代入微分方程，有恒成立，则函数是微分方程的解。3（1）；（2）满足初始条件的特解为。4（1）因，则，又因，则，即；（2）因，则，得。5（1）；（2）据题意作图9-2，过P点的法线方程为，图9-2 习题9-1中5(2)示意令则，即；6因，则，又因，得，即运动规律为。习 题 9-21（1）；（
2、2）；（3）；（4）；（5），得；（6），则，又因，则，得；（7），则，又因， 则，得；（8）， 因，则，得。2设时间为自变量，物体的温度，冷却速度为温度关于时间的变化率，由冷却定理：，为比例系数，负号表示温度下降，初始条件， 则，得，因，得，又因，得，得冷却规律为取，得，于是经过60 min（再经过40 min）温度可降到30。3（1）；（2）；（3）提示，令，；（4），令， 则， 得，；（5），令，则，得，即，；（6）令，则，则，得，当，得，即；（7），令，则，则，( ! 表示积分常数，不是的导数。)故，当时，则，即。4依题意作图，如图9-3所示，有，图9-3 习题9-3中4示意则，即。令
3、，则，得，即，又因，则，即。5（1），令，则，得， ，即；（2）令，则，故， 故，即；（3）令， 则，即。6（1）提示，先求对应齐次方程的通解， 然后设为原方程的解，原方程的通解为；（2）提示，先求对应齐次方程的通解为， 然后设非齐次方程的解为，解之，原方程的通解为；（3）提示，先求对应齐次方程的通解， 再设为原方程的解，解之，原方程的通解为；（4）提示，先求对应齐次方程的通解， 再设为原方程的解，解之，原方程的通解为；（5），先求对应齐次方程的通解，则，设非齐次方程的通解为，将，代入原方程，则，原方程的通解为；（6）先求对应齐次方程的通解，则，设原方程的解为，( ! 表示积分常数，表示的导数
4、，以下同，不再说明。)将，代入原方程，故，即，即原方程的通解为，又因，则，即；（7）先求对应齐次方程的通解，因，故，。设为原方程的解，则，将，代入原方程，化简为，故，即原方程的通解为，当，则，即；（8）先求对应齐次方程的通解，因，则，。设原方程的通解为，则，将，代入原方程，化简为，则，故原方程的通解为，又因，得，即；（9）先求对应齐次方程的通解，因，则，设原方程的通解为，将，代入原方程化简为，故，即原方程的通解为，又因，得，即。7因，先求对应齐次方程的通解，又因，则，。设原方程的通解为，则，将及代入原方程，化简为，故，即原方程的通解为，又因，得，即所求曲线方程为。8（1）因，则，令，则（ *
5、）先求对应齐次方程的通解，又因，则，设为（*）式的解，将，代入（*）式，化简为，故，即原方程的通解为；（2）因，令，则（*）先求齐次方程的通解，则，得，设为（*）式的解，将，代入（*）式，化简得，得，即（*）式通解为，即原方程的通解为；（3），令，则（*）先求对应齐次方程的通解，因，则，设为（*）式的解，将，代入（*）式，化简得，得，（*）式的通解为,即原方程的通解为；（4），令，则（*）先求齐次方程的通解，显然为，设为（*）式的解，将，代入（*）式，化简得，故，（*）式通解为，即原方程的通解为。习 题 9-31（1）；（2）；（3）提示，设，则（*）先求对应齐次方程的通解，显然有，设为（*）
6、式的解，则原方程的通解为；（4）设，则，故，得，即；（5）设，则，即；得，或，或，方程，即，得，即，或；（6）设，则，即，即或，（*）或，（*）式即，则，即或；（7）设，则，故，即，。2（1）设，则，又因时，则，故，即，当，得，故，；（2）设，则，又因，得，故，即，又因，得，即。习 题 9-41（2），（4）线性相关；（1），（3），（5）线性无关。2原方程的通解为。3（1）原方程的通解为；（2）原方程的通解为；（3）原方程的通解为；（4）因特征方程为，则为重根， 即原方程的通解为；（5）因特征方程为，则， 即原方程的通解为；（6）因特征方程为则，为重根， 即原方程的通解为。4（1）提示，原方
7、程的通解为，故， 将初始条件代入可得特解为；（2）提示，原方程的通解为，故， 将初始条件代入可得特解为；（3）因，则，故原方程的通解为，将初始条件代入，有，则，即；（4）因，则，即原方程的通解为，故 将初始条件代入，有，即。5（1）提示，先求对应齐次方程的通解，再设为原方程的一个特解，解之，原方程的通解为；（2）提示，先求对应齐次方程的通解，再设为原方程的特解，解原方程的通解为；（3）因，则为重根，故对应齐次方程的通解为，设，则，将，代入原方程比较系数可得，则，即原方程的通解为；（4）因，则，则对应齐次方程的通解为，设为原方程的解特，则，将，代入原方程，有，故，则；即原方程的通解为；（5）因，
8、则，故对应齐次方程的通解为，设为原方程的特解，则，将，代入原方程，比较系数得，故，即原方程的通解为；（6）因，则，即与其对应的齐次方程为，设，将，代入原方程，比较系数得，故，即原方程的通解为；（7）因，则，即对应齐次方程的通解为，设，则，将，代入原方程 比较系数，则，故，即原方程的通解为；（8）因，则，与其对应的齐次方程的通解为，设为方程的特解，则，代入有，比较系数得，故，设，为方程的特解，将、代入，故，即原方程的通解为。6因，故，与其对应的齐次方程的通解为，设为原方程的一个特解，则，代入原方程，比较系数，可得，故，即原方程的通解为，将初始条件代入，即所求曲线方程为。复 习 题 九1（1）一阶
9、；（2）二阶；（3）三阶；（4）一阶。2（1）因，则，即已给函数是该微分方程的解；（2）因，则， ，即该函数是微分方程的解；（3），代入原方程，不恒成立，故该函数不是微分方程的解。3（1），为比例系数；（2），这里、是切线流动坐标，为切点，令，则，。4（1），则，即；（2），即；（3），即；（4），则，则；（5），则；（6），则，又因，故，即；（7），则，因，故，即；（8），则，因，则，即。5设下落速度为，在下降过程中，受重力和阻力（为比例系数）的共同作用，由牛顿第二定理：可得，故，则，当时，则，即，由上看出，随着的增加，速度为定数，即运动开始为加速，但随后愈来愈接近等速运动。6（1），令，则
10、，故，即；（2），令，则，即，可得；（3），令，则，故，可得；（4）设，则，故，即。7设为曲线上任意一点，过该点的切线方程为，这里，为切线流动坐标，令，则，故， 令，则，即，。8（1），先求的通解，则，故，设为原方程的解，则，将、代入原方程，则，即原方程的通解为；（2）先求对应齐次方程的通解，因，则，设为原方程的解，则，将、代入原方程，化简得，即原方程的通解为；（3）先求对应齐次方程的通解，因，则，设为原方程的解，则，将、代入原方程，化简得，即原方程的通解为；（4），先求对应齐次方程的通解，因，则，设为原方程的解，将、代入原方程，化简得，故，即原方程的通解为；（5）先求对应齐次方程的解，因，则
11、，设为原方程的解，则，将、代入原方程，化简得，即原方程的通解为；（6）先求对应齐次方程的通解，因，则，设为原方程的解，则，将、代入原方程，化简得，故，即原方程的通解为，又因，故，即；（7）先求对应齐次方程的通解，因，则，设为原方程的解，则，将、代入原方程，化简得，则，故原方程的通解为，则初始条件，则，即。9（1），则；（2），则；（3）设，则，故，即，即；（4）设，则，故（*）或，由（*）式得，可得，或；（5）设，则，故，即；（6）设，则，先求的解，设为的解，则，代入有，故，可得；（7）设，则，或，故（*），或，由（*）式得，即，或。10（1）线性相关；（2），（3），（4）线性无关。11，代入得，则是该方程的解，同理可验证也是该方程的解，因，线性无关，即原方程的通解为。12（1）因，则为重根，即原方程的通解为； （2）因，则，即原方程的通解为； （3）因，则，即原方程的通解为，又因，则，因，则，即； （4）因，则，即原方程的通解为，因，则，因，则，即；13（1）；（2）； （3）；（4）； （5）；（6）。
