1、第三章第三章 导数与微分导数与微分l第一节 导数概念l第二节 函数的和、差、积、商的求导法则l第三节 复合函数的求导法则l第四节 初等函数的求导法l第五节 隐函数及参数方程所确定函数的求导法l第六节 高阶导数l第七节 函数的微分l第八节 数学实验三 用Mathematica求极限和一元函数的导数1.变速运动的速度第一节第一节 导数的概念导数的概念一、变化率问题举例2.切线问题 上面两个例子分别属于不同领域,一为运动问题，一为几何问题,但都要求计算函数值的改变量与自变量的改变量之比,在当后者无限趋于零时的极限.此外,很多理论或实际问题,也要求计算这种类型的极限,这些量的具体意义，抓住它们在数量关
2、系上的共性,便得出函数导数的概念.二、导数的定义解三、求导举例解解解解四、导数的几何意义图3-2 导数几何意义解解五、函数的可导性与连续性的关系思考题答案答案答案课堂练习题答案答案第二节第二节 函数的和、差、积、商的求导法则函数的和、差、积、商的求导法则 第一根据导数的定义求出一些简单的导数，但对于比较复杂的函数，直接安定义来求它们的导数往往是很困难的.在本节和下节中将介绍求导的几个基本法则和基本初等函数的求导公式.解解解解解解思考题1.牢记函数的和、差、积、商的求导法则;答案答案课堂练习题答案答案第三节第三节 复合函数的求导法则复合函数的求导法则 上述定理又称链锁法则.即复合函数的导数等于复
3、合函数 对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数.该法则可推广到有限次复合形成的复合函数上去.如解解解解解例6 证明导数公式:证解答案答案答案思考题课堂练习题答案答案第四节第四节 初等函数的求导法初等函数的求导法一、反函数的导数为了求反三角函数的导数，先研究一般反函数的求导法.解例2 求下列函数的导数：解二、初等函数求导问题1.求导法则2.基本初等函数求导公式思考题答案答案答案课堂练习题答案答案第五节第五节 隐函数及参数方程所确定函数的求导法隐函数及参数方程所确定函数的求导法一、隐函数的导数 有的隐函数可以显化，有的则不能，不论隐函数是否能显化，可以直接由方程求出它所确定的隐函数的导数.解二
4、、幂指函数 的导数解 在导数运算中,仅有和的导数等于导数的和最简单,利用对数可以简化乘积和商及乘方的导数.如例3解三、由参数方程所确定函数的求导法解解思考题答案答案答案课堂练习题答案答案第六节第六节 高阶导数高阶导数 二阶和二阶以上导数统称称高阶导数，自然原来所说的导数就是一阶导数.由导数的定义，很容易写出二阶及二阶以上导数定义.如高阶导数也有许多实际背景.例如，加速度是速度的变化率，因而加速度是速度对时间的导数，但速度本身是路程对时间的导数，所以加速度是路程对时间的二阶导数，并把此说成二阶导数的一个物理模型.解解解解思考题答案答案课堂练习题答案答案第七节第七节 函数的微分函数的微分一、微分的
5、概念导数表示函数相对于自变量变化快慢的程度(导数绝对值大,函数y相对于自变量x变化的速度快;小则慢,导数值为零,几乎无改变),而不是改变量本身,然而在许多情形下,需要考察和估计函数的改变量.计算函数的改变量一般没有什么好窍门,只需两个函数值相减即可.一般来讲,一些复杂函数这样运算较麻烦,并且又不实际,因为世界上绝对精确的东西是没有的.所以当自变量的改变量 很小时,要对函数的改变量 进行估计.先看一个实例.解二、微分的运算 按照定义，一个函数的微分就等于它的导数乘以自变量的微分，所以由导数便可立刻写出微分公式，解解解解解三、近似计算解思考题答案答案答案课堂练习题答案答案*第八节第八节 数学实验三
6、数学实验三用用MathematicaMathematica求极限和一元函数的导数求极限和一元函数的导数一、求一元函数的极限1.学习Mathematica的命令Mathematica的求极限命令调用格式为2.理解函数极概念解解解3.求一元函数的极限例4 求下列函数的极限：解二、求一元函数的导数1.学习Mathemmatica命令Mathematica的求导数命令调用格式为2.导数概念根据导数的定义，利用Mathematica的求极限命令可以求出函数在任何一点处的导数.Limit(fx+h-fx)/h,h-0解 定义函数3.求一元函数的导数例6 求下列函数的导数；解解返回返回返回1.证明：返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回
