1、第四章第四章 一元函数积分学一元函数积分学l第一节 不定积分的概念与性质l第二节 不定积分法l第三节 定积分的概念与性质l第四节 牛顿-莱布尼兹公式l第五节 定积分的换元法与分部积分法l第六节 广义积分l第七节 数学实验四 用Mathematica计算积分第四章第四章 一元函数积分学一元函数积分学 微分和积分是高等数学中的两大基本运算.微分的基本问题是:已知一个函数,求它的导数.但是,在许多实际问题中往往会遇到反问题:已知一个函数的导数,求原来的函数.由此产生了积分学.积分学包括不定积分和定积分两大部分.第一节第一节 不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质一、原函数证二、不定积分证由导数与不
2、定积分定义，很容易得到如下规律：（微分运算与不定积分的运算是互逆的！）三、不定积分的几何意义由于不定积分是微分的逆运算，所以根据微分基本公式就得对应的积公式：四、基本的积分公式 以上13个公式是积分法的基础，必须熟记，不仅要记住等式右端的结果，还要熟悉左端被积函数的形式！由导数的运算法则和不定积分的定义，可以得到以下不定积分的运算法则.法则1对于有限个函数的代数和也是成立的!五、积分的基本运算法则解解解解解解解思考题答案答案答案课堂练习题答案答案第二节第二节 不定积分不定积分 利用直接积分法能计算的不定积分是非常有限的，因此有必要探索计算不定积分的新方法.本节介绍换元积分法与分部积法、换元积分
3、法可分为第一类换元法和第二类换元法.第一类换元积分法（又称凑微分法）是与微分分学中的复合函数微分法则相应的积分法.一、第一类换元积分法注：换元过程可以省略.一般地，若不定积分被积表达式能写成下面举例说明解解解解 以上几例都是直接用凑微分求积分的，下在介绍几个常用的凑微分的等式供参考解解解解解解法二解法一二、第二类换元积分法解解解图4-3 辅助直角三角形解图4-4 辅助直角三角形解图4-5 辅助直角三角形图4-3 辅助直角三角形图4-4 辅助直角三角形图4-5 辅助直角三角形 第二类换元法常用于被积函数中含有根式的情况，常用的变量替换可总结如下.在做三角替换时，可以利用直角三角形的边角关系确定有
4、关三角函数的关系，按图做代换及还原.本节一些例题的结果，可当作公式使用，为便于读者使用，将这些常用的积分公式列举如下.两类换元法就介绍这里，归纳起来看，它们的实质就是变量代换，变量代换是求不定积分的最基本的方法之一。因此，善于恰当地利用变量代换是掌握积技巧的关键.想要做到恰当,第一要熟悉基本积分公式,因为变量代换最终要化为积分公式中已有的形式;第二要熟悉微分表,因为变量代换(或凑微分)时经常用到它,同时要熟具体函数及其微分特征,这样才较好地掌握换元积分法.三、分部积分法解解解在此例中,两次用了分部积分法.解解解解法二解法一解法三 由例22可以看出,求不定积分,常有多种方法,比较灵活,各种解法都
5、有其特点,学习中要注意不断积累经验.思考题答案答案课堂练习题答案答案答案第三节 定积分的概念与性质1.曲边梯形的面积 在初等数学中，已经解决了圆、三角形、矩形及多边形等图形的面积问题，而对由任意曲线所围成的一般平面图形的面积计算问题还未解决，其原因是用初等数学方法是非常困难的.这里介绍计算曲边梯形的面积的方法，有了这种方法就可以解决一般封闭图形的面积问题.一、两个实例图4-7 求曲边梯形面积(见图47)2.变速直线运动的路程 以上的两个实例具有不同的实际意义,但计算这些量时使用的方法是相同的.抛开这些问题的具体意义,由表达式在数量关系上的共同特性,抽象出定积分的概念.二、定积分的定义关于定积分
6、的定义做以下三点说明.三、定积分的几何意义例1 用定积分表示图4-9中四个图形阴影部分的面积解4-9(a)4-9(b)4-9(c)4-9(c)(a)(b)(c)(d)解图4-10 例2图形 由定积分的定义，可以直接推证定积分具有下述性质，其中所涉及的函数在讨论的区间都是可积的.性质1 被积表达式中的常数因子可以提到积分号前，即性质2 两个函数代数和的积分等于各函数积分的代数和，即（这一结论可以推广到任意有限个多个函数代数和的情况！）四、定积分的性质 性质3 对任意点c，有性质4性质5性质6性质7证图4-11 积分中值定理解例4 比较下列各对积分值的大小解思考题答案答案答案课堂练习题答案答案第四
7、节第四节 牛顿牛顿-莱布尼兹公式莱布尼兹公式 定积分作为一种特定和式的极限，如果按定义计算定积分是很复杂、很困难的，所以本节将通过对定积分与原函数的讨论，寻找一种计算定积分简便而效的方法.一、积分上限函数图4-12 积分上限函数几何意义证 这个定理一方面肯定了连续函数的原函数是存在的，另一方面提供了在定积分与原函数之间建立联系的可能性！解解证二、牛顿莱布尼兹公式解解解解解解解思考题答案答案答案课堂练习题答案答案答案第五节第五节 定积分的换元法与分部积分法定积分的换元法与分部积分法 前面学习了使用换元积分法求已知函数的原函数，在某些条件下换元积分法也可以用计算定积分.式（4-9）称为定积分的换元
8、公式一、定积分的换元法在应用定积分的换元公式（4-9）时，应注意解 这一解法没有引入新的积分变量.计算时，原积分的上、下限不要改变.解解先把被积函数化简证 在计算对称区间上的定积分时，如果能判定被积函数的奇偶性，利用这一结果可使计算简化.解解解图4-14 例7几何意义 式（4-10）称为定积分的分部积分法，其方法与不定积分相类似，但其结果不相同.(定积分是一个数值，面不定积分是一类函数！)二、定积分的分部积分法解解解思考题答案答案答案课堂练习题答案答案第六节第六节 、广义积分、广义积分 前面曾提到，若被积函数在积分区间上有无穷不连续点时，不能应用牛顿-莱布尼兹公式计算.这是因为牛顿-莱布尼兹公
9、式的使用受到以下两个条件的限制.为了使定积分的应用更加广泛，将上述两个条件放宽，使得公式对积分区间为无穷区间，或被积函数在有限的积分区间上为无界函数的积分也能使用.这两种积分称为广义积分，相应地，前面讨论的积分称为常义积.本书仅讨论积分区间为无穷区间的广义积分.一般地，对于积分区间无限的情形，给出下面的定义.计算广义积分时，为了书写方便，实际计算中常常略去极限符号，形式上直接利用牛顿-莱布尼兹公式的计算式（注意是形式上）.解解证思考题答案答案课堂练习题答案答案第七节第七节 数学实验四数学实验四 用用MathematicaMathematica计算积分计算积分一、学习Mathematica命令二、求不定积分例1 计算下列不定积分：解三、求定积分及广义积分例2 计算下列积分解返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回
