1、抓“结构”，明“内涵”，自主建构运算模型苏教版四下“乘法分配律”教学实践研究乘法分配律是学生到了中学学习合并同类项和提取公因式这两大知识的基础，它与加法交换律、加法结合律、乘法交换律和乘法结合律被誉为“数学大厦的基石”，相较于其他四个运算律而言，学生对乘法分配律的领悟和融会贯通显得尤为困难。它沟通了乘法和加法这两种运算之间的联系，同时含有乘法和加法使算式形式变换更加多样复杂，外在形式相似而并非是这一运算模型又或者是外在形式不符合模型的“标准形式”但本质却是乘法分配律运算模型的算式结构往往有着强烈的干扰作用。另外，虽然学生之前接触过一些有关乘法分配律的算式，但是那时的学生对于乘法分配律处于无意识
2、状态，且乘法分配律的形式与原有的认知结构中的运算律模型差异较大，所以其实学生对于乘法分配律的学习缺少易同化的认知基础，知识链难以连接，这些都增加了抽象和概括出乘法分配律并应用的难度。那么，如何引导学生探索并发现概括出乘法分配律？怎样引导学生理解乘法分配律的本质内涵并应用？如何做才能充分发挥出运算律教学的潜在价值？基于上述的思考，展开了以下的尝试。一、解构重组，建构模型1.唤醒经验，感知规律。礼记学记中说：“故君子之教，喻也。道而弗牵，强而弗抑，开而弗达。”教育家第斯多惠也曾指出：“教学的艺术不在于传授本领，而在于激励、唤醒、鼓舞。”由于在学习乘法分配律之前，学生已经接触了一些关于乘法分配律的内
3、容，只是当时学生处于无意识状态，并没有专门地展开具体内容的教学。现在，摆在面前的问题是：如何利用好学生已有的知识经验，贴合学生的认知水平顺势而教？对此，教师在对执教学生实际情况调查的基础上，再结合教学的具体内容及其特点，采用了通过唤醒学生已有经验，在解构重组的基础上唤醒和促进学生对规律感知的教学方式展开教学。案例分析：核心问题：要知道篮球场的周长是多少米，可以通过怎样的方式列出综合的计算式？例如，篮球场长28米，宽15米，那么，篮球场的周长是多少米？教师先不直接给出解答方案，要求学生自主探索解答的途径，从学生解答的反馈结果来看，主要呈现出如下的两类不同的计算式子：据此，教师进一步追问：两种不同
4、的算式分别是怎样想的，每一步对应长方形的哪部分？如果这里把长方形的长改为30米，宽改为40米，你能列出两种不同的综合算式吗？学生在提供解答结果之后，教师趁热打铁，继续发问：如果长变为50米，宽变为75米呢？你还会列吗？在这几组不同的算式之间你有没有发现什么？（或者此时，学生已经有所察觉，从而得出两种算式之间可以用等号连接）即学生通过发现之后，得到：（2815）2=282152（3040）2=302402（5075）2=502752教师提问：谁能概括表达出这些算式？学生回答：（长+宽）2=长2宽2在此处，教师不停地变换长方形的长和宽的数值而没有急于把“（长宽）2=长2宽2”这一算式引出，其原因在
5、于是想让学生明白变中有不变，这两个算式相等其实与具体的数值是没有关系的，而与其形式结构有关。导致上述结果的原因主要在于其中隐含了一种规律，需要学生去进一步探索、发掘。因此，接着针对这一算式深入发问：谁能结合长方形的图形说说为什么左边的算式等于右边的算式？对算式相等合理性的解释说明利于学生后续对于模型的理解，另外在乘法分配律的应用过程中，发生（a+b）2=a+b2的错误并不偶然，恰恰相反，是教学过程中学生经常容易犯下的一种具有代表性的错误。在此处，借助于学生们所熟知的长方形周长公式及结合图形说理的过程，以先入为主的形象给学生指出了错误的原因。如此，便能够有助于学生展开后续的知识学习，提高解题的正
6、确率。在完成空格填写之后，要求学生陈说自己每一步是怎么计算的，并提问他们在这个过程中发现了什么规律？得到2522510=25（102）这个算式和长方形的周长算式正好一“正”一“反”，在不刻意中破除了关于乘法分配律结构上的思维定式，即不只是(a+b)2=a2+b2也可以是a2+b2=(a+b)2，进而突破了如何展开逆向性思维教学难点。杜威在对教育的定义时指出：“一切教育都是通过个人参与人类的社会意识而进行的。这个过程几乎是在出生时就在无意识中开始了。”据此结合笔者的实际教学经验，可以这么认为：利用学生熟悉的知识经验引入新课，从而使得教学的展开顺其自然，而无需刻意、强制性地给学生灌输知识，从而能够
7、让学生们在自然、熟悉、和谐的学习氛围中展开学习，乐于学习与接纳新的数学知识，从而能获得真实有效的学习技能和学习体验。2.举例观察，抽象模型。关于运算律的教学价值，其实从长远来看，通过部分个例获得一个发现，然后抽象出一般的数学规律的教学过程，我们可以帮助学生了解知识的发现和创生发展的过程，感知到可以从偶然的现象中发现必然的规律，学生一旦有了这样的意识和获得了发现的方法，也就会有创造和创新的可能。仍旧以前文的案例展开分析。向学生提问：基于以上规律的感知发现，你们会发现，上面这几组式子都有一个非常明显的相同之处，那么这到底是因为凑巧出现的还是包含着共同的规律呢？如果左边的式子是“（32）5”，那么右
8、边可以怎样写呢？如果可以写出来，右边的式子你又是根据规律什么写出来的？左右两个式子通过验证是否一定相等？学生通过口算的方式验证组成的等式。教师继续验证：再写几组类似的算式，通过验证等式一定是成立的吗?并要求学生以小组的形式展开交流，即用学生喜欢的方法将这个规律告诉小组成员。通过学生们的热烈讨论，教师再进一步地揭题如下，即这其中的规律正是乘法分配律。此运算规律可以从左往右看，也可以从右往左看，其意义是等同的。至此，学生们通过自己的思考、探讨的教学过程，同时也是经历了一个建构运算律数学模型的过程，显然，这一教学过程是有利于培养学生的思维能力的。同时，对于学生特别要强调的是，我们在引导学生发现规律的
9、过程中，要给足学生探索的空间，让学生得以利用已有的知识和经验，在探索和交流中，把感性认识发展为理性认知，合理建构知识框架。3.说理辨意，凸显本质。以上教学过程大体都是让学生通过计算解答后发现左右两个算式的结果相等，用算式解答的一致性来获得乘法分配律左右两部分的一致性。这样的话，学生更多关注的是乘法分配律的外在形式而不是它的本质内涵，也就是“几个几加几个几等于几个几”。那么接下来，教学重点就要放在理解意义促提升上，让学生对乘法分配律的认知更深刻，对乘法分配律的内在机理更清楚。出示教材例题。在学生列出左右相等的算式后，追问：你能根据实际问题说说为什么左右两边相等吗？这里没有利用例题引入新课而是把例
10、题放在了说理辨析这部分，是想让学生在结合具体情境时能将乘法分配律的内涵说清楚说明白，更想让学生利用这道例题理解乘法分配律的本质。二、多元表征，深化认知1.丰富情境，深化认知。接着在例题的基础上，对学生提出编题的要求，给学生算式1：（5+7）4和算式2：54+74，根据算式编一道实际问题。乘法分配律的建构需要基于丰富的素材，而这样的素材不仅可以由老师提供，学生自己也能创生出来，在把乘法分配律还原到学生自己熟悉的情境的过程中，他们就建立了乘法分配律的结构认知和意义认知，从而在理解本质的基础上建构了乘法分配律的模型。2.数形结合，直观感知。我国著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休
11、。”数形结合可以使得复杂的问题变得简单明了，抽象的问题变得具体清晰，实现解题途径得以优化的目的。这里利用形象直观的图形可以帮助学生更好地领悟乘法分配律的意义。从深层次理解数学建模的过程，透彻而深刻的理解乘法分配律的内涵。借助几何直观图形，通过数形结合思想有效帮助学生理解运算公式，加深对数学公式的理解。教学中引入学生生活中熟悉的几何图形，为学生学习乘法分配律架构起了方便的桥梁，使数形结合思想在教学中发挥真正效用，一方面拉近学习与现实的距离，一方面让学生掌握知识的内涵。因此，将几何直观引入乘法分配律教学过程中，可以使学生对乘法分配律的数学模型形成深刻认知。首先通过课件向学生呈现教材主题图，根据学生
12、熟悉的生活情境提出问题：小明家装修，要给卫生间贴瓷砖，左边墙壁需要贴6排瓷砖，每排贴5块，右边墙壁需要贴4排瓷砖，每排贴5块，贴完卫生间需要多少块瓷砖？在让学生解决问题之前，先引导学生画出图形，再列算式计算。预设学生有两种解答方式：第一种：（6+4）X5=50（块）；第二种：6X5+4X5=50（块）。师：请同学们仔细观察课件出示的图形，（如下图所示），然后在小组讨论两组算式为何相等。生：因为等号左边的小正方形个数是10个5相加，也就是50个，右边的小正方形个数是6个5和4个5相加，按照先乘后加的运算顺序，算出的结果也是50个，所以两组算式结果相等。在理解图形含义的过程中，学生还会回顾起长方形
13、的面积计算公式，不难看出，图形的引入有助于学生理解算理。同时学生在回答解决问题的过程时，还应要求学生使用数学语言表达，促进学生对乘法分配律的提炼和总结。所以，教师在开展课堂教学时，既要引导学生复习乘法的意义，同时还要借助数形结合思想，为学生认知活动提供丰富的表象素材，感受数与形的完美融合，进而理解知识的本质，为构建完整的数学模型奠定坚实基础。对同一个概念从不同的角度切入去进行表征和建构，既能加深对该概念的领悟，同时又能增强将这一概念迁移至其他领域的能力。在多元表征乘法分配律的过程中，不仅提升了学生对于这一运算律的认知，也增强了之后使用乘法运算律的能力。三、分层练习，活用模型练习需要体现层次性和
14、递进性，首先安排了符合乘法分配律基本模型的算式供学生填写，巩固对乘法分配律形式上的掌握；然后出示几组对比练习，需要根据意义灵活应用乘法分配律；最后拓展练习，提升对乘法分配律应用能力。1.基本练习，形成技能。填空：在里填上合适的数，里填上运算符号。这几组基础填空题，帮助学生巩固对乘法分配律形式上的掌握，难度也是逐题递增的，在不变换形式的基础上，对里面的数据进行调整，不断巩固学生对乘法分配律基本形式的掌握。2.对比练习，灵活应用。对于运算模型意义上的理解，其重要性要远远胜于对运算模型形式上的模仿，面对灵活多变的变式题，学生需要发现算式的本质内涵，从而寻找到这些变式与运算律之间的联系，这里将一些易混易错题组成题组，通过对比帮助学生掌握乘法分配律的本质。3.拓展练习，提升能力。拓展题型A：137177207=拓展题型B:35672567=拓展题型C:9（18-12）=在学生充分理解算理的基础上，适时安排了拓展练习，使学生对知识的掌握由浅入深、由表及里，实现了对乘法分配律有效的延伸和拓展，学生对乘法分配律的理解也由最初的借助图形形象理解上升为抽象层面的理解，在深入理解和透彻分析的层次上对乘法分配律进行了建构和融合。
