1、复变函数与积分变换复变函数与积分变换复变函数与积分变换复变函数与积分变换 复变函数是自变量为复数的函数它的理论和复变函数是自变量为复数的函数它的理论和运算方法已被广泛地应用在理论物理、弹性理论和运算方法已被广泛地应用在理论物理、弹性理论和天体力学等方面，与数学中其它分支的联系也日益天体力学等方面，与数学中其它分支的联系也日益密切密切第一章第一章 复数与复变函数复数与复变函数第一节第一节 复数复数复数与复变函数复数与复变函数第二节第二节 无穷远点与复球面无穷远点与复球面第三节第三节 复变函数复变函数复数引入复数引入求解二次方程实数范围内无解.实数域引入符号定义扩充复数域1.1 复数复数复数的基本
2、概念复数的基本概念称形如的数为复数复数其中 x 和 y 均为实数,i为虚数单位，x 和 y 分别称为的实部和虚部实部和虚部，记为当时，为实数 因此，实数全体可看成复数的一部分，复数则是实数的扩充，当时，称为纯虚数纯虚数1.1 复数复数复数的基本概念复数的基本概念注意注意v复数无大小之分；v对于两复数与及当且仅当时，才称这两复数相等，记作即1.1 复数复数2复数的表示法复数的表示法向量表示：1点的表示：3复数的模：复数的辐角：辐角主值：4O复平面或复平面或 z 平面平面实轴实轴虚轴虚轴以后将不区分点以后将不区分点 z、复数复数 z 和向量和向量 z1.1 复数复数复数的表示法复数的表示法由模的定
3、义易得不等式辐角的正负当正实轴按逆时针方向转至向量 z 时，当正实轴按顺时针方向转至向量 z 时，0没有辐角.1.1 复数复数辐角主值的计算：说明说明O1.1 复数复数求Arg(2-2i)及Arg(-3+4i).解：解：例例1 11.1 复数复数例例2 21.1 复数复数复数的运算复数的运算1复数相等：设2四则运算：加（乘）法：交换律、加（乘）法：交换律、结合律结合律乘法：分配律乘法：分配律乘除运算用三角式或乘除运算用三角式或指数式会更加简单指数式会更加简单1.1 复数复数复数的运算复数的运算复数的加减运算的几何意义复数的加减运算的几何意义OO三角不等式1.1 复数复数复数的运算复数的运算三角
4、式与指数式的乘除运算三角式与指数式的乘除运算由此可得 各表示什么含义？各表示什么含义？思考：思考：（除法运算大家自行推导）（除法运算大家自行推导）1.1 复数复数复数的运算复数的运算共轭共轭设z=x+iy，则z的共轭复数为：显然 这表明在复平面上，z与 关于实轴是对称点.O容易验证1.1 复数复数3乘幂：设复数的运算复数的运算若定义，则上式中当n为负整数时也成立，特别当r=1，引出德摩弗公式 1.1 复数复数4方根：设则复数的运算复数的运算1.1 复数复数计算例例3 3解：解：每隔 分布一个点.这四个值均匀其中的圆周上，地分布在半径为的辐角为四个值1.1 复数复数例例4 4计算 的所有的值解解
5、 因 故 当k=0时，当k=1时，当k=2时，1.1 复数复数例例4 4计算 的所有的值解解 因 故 注 在初等代数中，规定-8的三次方根为-2，即规定只相当与这里 k=1的情形.1.1 复数复数第一节第一节 复数复数复数与复变函数复数与复变函数第二节第二节 无穷远点与复球面无穷远点与复球面第三节第三节 复变函数复变函数1.2 无穷远点与复球面无穷远点与复球面为了使复数运算更具普遍性，将复数系统进行扩充增加一个无穷远点，记做 .设 A 为有限数，规定：设 B 为非零有限数，规定：以下几种未定式情况，不规定结果1.2 无穷远点与复球面无穷远点与复球面设想一个理想点与其对应，这个理想点就称为无穷远点，复平面上没有一个点与 相对应我们规定复平面上只有一个无穷远点复平面加上无穷远点称为扩充复平面，也叫闭平面不包括无穷远点的复平面称为开平面
