1、注：仅对数一要求的部分标有“*”，仅对数二，数三要求的部分相应标有“”，“”.目目录录第一讲 函数 极限 连续性(1)第二讲 导数与微分(7)第三讲 微分中值定理及导数的应用(11)第四讲 一元函数积分学(15)第五讲 微分方程(20)第六讲 多元函数微分学(23)第七讲 重积分(28)第八讲 曲线积分与曲面积分*(23)第九讲 无穷级数*(38)2015 考研数学基础班高等数学辅导讲义第一第一讲讲函数、极限、函数、极限、连续连续性性一、函数一、函数1.函数(1)函数的定义设数集 D R，则称映射 f:D R 为定义在 D 上的函数，简记为 y f(x),x D，其中 x称为自变量，y 称为因
2、变量，D 称为定义域，记为 Df，f(D)为值域，记为 Rf.(2)函数定义的两要素：定义域，对应法则.2.函数的特性(1)有界性：若 M 0，对于 x I，都有 f(x)M，则称 f(x)在 I 上有界.(2)单调性：设函数 f(x)的定义域为 D，区间 I D，若对于 x1,x2 I，当 x1 x2 时，有 f(x1)f(x2)(f(x1)f(x2)，则称 f(x)在区间 I 上单调增加(单调减少).(3)奇偶性：设函数的定义域为 I，对于x I，若 f(x)f(x)，则称 f(x)是奇函数；若 f(x)f(x)，则称 f(x)是偶函数.注注：任何一个定义域关于原点对称的函数都可以表示成一
3、个奇函数和一个偶函数的和的形 式，即：f(x)f(x)f(x)f(x)f(x).22(4)周期性：设 f(x)的定义域为 I，若T 0，对于x I，使得 f(x T)f(x)(x T I)，则称 f(x)为周期函数，T 为 f(x)的周期，通常周期是指最小正周期.3.反函数(1)反函数的定义设函数 f:D f(D)是单射，则它存在逆映射 f 1:f(D)D，则称映射 f 1 为函 数 f 的反函数.(2)结论：f 1 f(x)x，f f 1(x)x.12015 考研数学基础班高等数学辅导讲义(3)单调函数存在反函数，反之不成立.4.复合函数(1)复合函数的定义设函数 y f(x)的定义域为 D
4、f，函数 u g(x)的定义域为 Dg，且其值域 Rg Df，则函数 y f g(x),x Dg 称为由函数 u g(x)与函数 y f(u)构成的复合函数.(2)只有当函数 u (x)的值域与 y f(u)的定义域的交非空时，才能将它们复合成复合函 数.5.初等函数(1)基本初等函数：幂函数，指数函数，对数函数，三角函数，反三角函数.(2)初等函数：由常数和五类基本初等函数进行有限次的四则运算和复合构成的可用一个式子 表示的函数.(3)初等函数必须能用一个式子表示，不能用一个式子表示的函数不能称为初等函数，故分段 函 数 一般不是初 等 函 数.二、极限二、极限1.数列极限(1)数列极限的定
5、义设xn 为一数列，如果存在常数 a，对于任意给定的正数 ，总存在正整数 N，使得n当 n N 时，有 xn a 成立，则称数列xn 收敛于 a，记为 lim an a.n2(2)数列极限的基本性质：(唯一性)如果数列xn 收敛，那么它的极限唯一.(有界性)如果数列xn 收敛，那么数列 xn 一定有界，即：M 0，使得 n 有 xn M.(保号性)如果 lim xn a，且 a 0(或 a 0)，那么 N N ，当 n N 时，有 xn 0(或xn 0).(3)数列极限的四则运算法则设有数列xn，yn.如果 lim xn A，lim yn B，则：nn lim(xn yn)A B；lim xn
6、 yn A B；nn2015 考研数学基础班高等数学辅导讲义BxnAn yn当 yn 0 且 B 0 时，lim.(4)数列极限存在的判定(夹逼法则)如果数列xn，yn，zn 满足：1)yn xn zn(n 1,2,3)；2)lim yn a，lim zn a，nn那么数列xn的极限存在，且 lim xn a.n(单调有界准则)单调增加(或单调减少)且有上界(或有下界)的数列xn必定存在极限.2.函数极限(1)x x0 时，函数极限的定义o设函数 f(x)在U(x0)内有定义，如果存在常数 A，对于 0，总存在 0，使得当 x 满足 0 x x0 时，有 f(x)A ，那么常数 A 就叫做函数
7、 f(x)当 x x0 时 的极限，记作 lim f(x)A.x x0 xx0 xxxx00注注：lim f(x)A lim f(x)lim f(x)A.(2)x 时，函数极限的定义设函数 f(x)当|x|大于某一正数时有定义，如果存在常数 A，对于任意给定的正数 ，总存在正数 X，使得当 x 满足不等式 x X 时，有 f(x)A ，那么常数 A 就叫做函 数 f(x)当 x 时的极限，记作 lim f(x)A.x(3)函数极限的性质(唯一性)如果 lim f(x)存在，那么它的极限唯一，即：若 lim f(x)A，且 lim f(x)B，xx0 xx0 xx0则 A B.xx0(局部有界性
8、)如果 lim f(x)A，那么 M 0 和 0，使得当 0 x x0 时，有f(x)M.(局部 保号 性)如果 lim f(x)A，且 A 0(或 A 0)，那么 0，使 得当 xx00 x x0 时，有 f(x)0(或 f(x)0).32015 考研数学基础班高等数学辅导讲义(4)函数极限的四则运算法则如果 lim f(x)A，lim g(x)B，则xx0 xx0 lim f(x)g(x)A B；xx0 lim f(x)g(x)A Bxx0f(x)A limxx0 g(x)B(B 0)；lim f(x)g(x)AB(A 0).xx0推论 1：如果 lim f(x)存在，c 为常数，则 li
9、mcf(x)c lim f(x).xx0 xx0 xx0nxx0 xx0 xx0推论 2：如果 lim f(x)存在，而 n 是正整数，则 lim f(x)n lim f(x).(5)函数极限存在的判定准则(夹逼法则)如果函数 f(x)，g(x)，h(x)满足：xx0 xx01)当 x U(x0,)时，g(x)f(x)h(x)；2)lim g(x)A，lim h(x)A，那么 lim f(x)存在，且 lim f(x)A.xx0 xx0000(单调有界准则)设 f(x)在 x 的某左邻域内单调有界，则 f(x)在 x 的左极限 f(x)必定存在.(6)复合函 数的极限：设 y f g(x)是由
10、 函数 u g(x)和 y f(u)复合而成的，y f g(x)在 x0 的某去心邻域有定义，若 lim g(x)u0，lim f(u)A 且在 x0 的邻域内xx0uu0g(x)u0，则 lim f g(x)lim f(u)A.x x0uu0(7)两个重要极限xx0 lim sin x 1；1x0 x1 x x n1 4 n n lim(1 x)x e 或 lim 1 e(lim 1 e).3.无穷小与无穷大(1)无穷小量的定义如果当 x x0 时函数 f(x)极限为零，那么称函数 f(x)为当 x x0 时的无穷小.(2)无穷小的性质：2015 考研数学基础班高等数学辅导讲义有限个无穷小的
11、和仍是无穷小.有限个无穷小的乘积仍是无穷小.有界函数与无穷小的乘积是无穷小.(3)无穷小的比较：设,是在自变量的同一变化过程中的无穷小，且 0 则：如果 lim 0，称 是 的高阶无穷小，记作：o()；如果 lim ，称 是 的低阶无穷小.lim c 0，称 是 的同阶无穷小；k lim c 0，称 是 的 k 阶无穷小.lim 1，称 与 是等价无穷小，记作：.(4)等价无穷小替换定理：设在自变量 x 的同一变化过程中，1，2，1，2 都是无穷小，1152121而且1 2，1 2，如果 lim A，则 lim lim A.三、函数的三、函数的连续连续性性1.函数连续性的定义(1)函数 f(x
12、)在 x0 点连续的定义xx0设函数 f(x)在U(x0)内有定义，如果 lim f(x)f(x0)，那么称函数 f(x)在点 x0 连续.0000(2)函数 f(x)在 x 处连续 f(x)f(x)f(x).2.间断点及其分类(1)间断点的定义若函数 f(x)在点 x0 不连续，则点 x0 称为函数 f(x)的间断点.(2)间断点的分类：；间断点第二类间断点(左、右极限至少有一个 不存在)；跳跃间断点(左极限 右极限)可去间断点(左极限 右极限)第一类间断点(左、右极限都存在)2015 考研数学基础班高等数学辅导讲义3.闭区间上连续函数的性质：(1)有界最值定理若函数 f(x)在a,b 上连
13、续，则它在a,b 上有界且一定能取到最大值和最小值，即：K 0，使得 x a,b，有 f(x)K，以及在a,b 上有 1，2 使得 f(1)m，f(2)M，其中 m，M 分别为 f(x)在a,b 上的最大值和最小值.(2)零点定理设函数 f(x)在a,b 上连续，且 f(a)f(b)0，则 (a,b)使得 f()0.(3)介值定理设函数 f(x)在a,b 上连续，且 f(a)f(b)，c 是介于 f(a)和 f(b)间的一个常数，则 (a,b)使得 f()c.推推论论：若函数 f(x)在a,b 上连续，m，M 分别为 f(x)在a,b 上的最大值和最小值，m c M，则 a,b 使得 f()c
14、.第二第二讲讲导导数与微分数与微分一、一、导导数数1.导数定义(1)导数的定义设函数 y f(x)在U(x0)内有定义，当自变量 x 在点 x0 处取得增量 x ，相应的函数00 x0 x0 y取得增量 y f(x x)f(x)；如果 lim lim xf(x0 x)f(x0)x存在，则称函x x0数 y f(x)在点 x0 处可导，记为 f(x0)，或 y，dydf(x)dxdxx x0 x x0，.(2)导函数的定义若函数 y f(x)在开区间 I 内可导，对于 x I，都对应着 f(x)的一个确定的导数dxdx6值.这样就构成了一个新的函数，这个函数叫 y f(x)的导函数，记作 y，d
15、y 或 df(x).(3)左、右导数的定义2015 考研数学基础班高等数学辅导讲义0f(x0 x)f(x0)f(x)lim y lim x0 x x00 xf(x0 x)f(x0)f(x)lim y lim x0 x x0 x(4)函数在 x0 点可导的充要条件：f(x0)存在 f(x0)f(x0).(5)可导与连续性的关系：若函数 y f(x)在 x0 点可导，则它在 x0 点连续.(6)导数的几何意义函数 y f(x)在 x0 点处的导数 f(x0)在几何上表示曲线 y f(x)在点 M(x0,y0)处 的切线的斜率，即 f(x0)tan，其中 为切线的倾角.(7)切线方程与法线方程曲线
16、y f(x)在 M(x0,y0)处，1f(x0)切线方程为 y y0 f(x0)(x x0)，法线方程为 y y0 (x x0).v2(x)2.导数的计算(1)函数的和、差、积、商的求导法则如果函数 u u(x)及 v v(x)都在点 x 具有导数，那么它们的和、差、积、商(除分母 为零的点外)都在点 x 具有导数，且u(x)v(x)u(x)v(x)；u(x)v(x)u(x)v(x)u(x)v(x)；v(x)u(x)u(x)v(x)u(x)v(x)(v(x)0).(2)高阶导数的定义d n ydxn二阶及二阶以上的导数统称高阶导数.记为，n 2，3，.其中，x07d 2 yd dy f(x x
17、)f(x)xdx2 dx dx lim 00 .如果函数 f(x)在点 x 具有 n 阶导数，那么 f(x)在点 x 某邻域内必定具有一切低于 n 阶的 导数.2015 考研数学基础班高等数学辅导讲义和、差、积的 n 阶导数公式：nnCku(n k)v(k)u v(n)u(n)v(n)，(uv)(n)k 0.(3)反函数的求导法则1如果函数 x f(y)在区间 I y 内单调、可导且 f(y)0，则它的反函数 y f(x)在xy区间 I x x f(y),y I 11内可导，且 f(x)dxf(y)dxdy1或.dy(4)复合函数的求导法则设 y f(u)，而 u g(x)，且 f(u)及 g
18、(x)都可导，则复合函数 y f g(x)在点 x 可dydydy du导，且其导数为 f(u)g(x)或.dxdxdu dx(5)隐函数的求导隐函数的定义一般地，如果变量 x 和 y 满足一个方程 F(x,y)0，在一定条件下，当 x 取某区间内的任一值时，相应地总有满足这方程的唯一的 y 值存在，那么就说方程 F(x,y)0 在该区 间内确定了一个隐函数.隐函数的求导：对方程两边对 x 求导，将 y 视为 x 的函数，用复合函数的求导法则求导.(6)参数方程所确定的函数的导数参数方程所确定的函数的定义 x (t)若参数方程 y (t)确定 x 与 y 间的函数关系，则称此函数为参数方程所确
19、定的函数.参数方程所确定的函数的导数如果函数 x (t)具有单调连续反函数 t 1(x)，且此反函数能与函数 y (t)构成 复合函数.若 x (t)和 y (t)都可导，而且(t)0，则：dx dtdxdtdxdt(t)dx(t)8dy dy dt dy 1 (t)，即 dy (t).如果 x (t)和 y (t)二阶可导，则2015 考研数学基础班高等数学辅导讲义(t)(t)(t)(t)d 2 ydx23(t).(7)幂指函数的求导对于一般形式的幂指函数 y uv(u 0)，如果 u u(x),v v(x)都可导，则：vvu y uv ln u u .二、微分二、微分1.函数的微分(1)微
20、分的定义设 y f(x)在 U(x0)内 有 定 义，若 增 量 y f(x0 x)f(x0)可 表 示 为 y Ax o(x)其中 A 是不依赖于 x 的常数，则称函数 y f(x)在点 x0 是可微的，而Ax 叫做函数 y f(x)在点 x0 相应于增量 x 的微分，记作 dy，即 dy Ax.(2)函数连续、可导与可微之间的关系函数 y f(x)在点 x 处可微 f(x)在 x 处可导，此时 A f(x)，即 dy f(x)dx.函数 f(x)在 x x0 可导 f(x)在 x x0 可微 f(x)在x x0 连续.(3)微 分 的 几 何 意 义 ：y f(x0 x)f(x0)是 曲
21、线 y f(x)在 x x0 处对应于自变量的增量 x 的纵坐标的增量，而微分 dy是曲线 y f(x)在点(x,f(x)处的切线的纵坐标相应的增量.xx0002.复合函数的微分法则：设 y f(u)及 u g(x)都可导，则复合函数 y f g(x)的微分 为：dy yxdx f(u)g(x)dx.由于 g(x)dx du，所以复合函数 y f g(x)的微分也可以写为 dy f(u)du 或 dy yudu.因此，无论 u 是自变量还是中间变量，微分形 式dy f(u)du 保持不变，该性质称为一阶微分形式不变性.92015 考研数学基础班高等数学辅导讲义第三第三讲讲微分中微分中值值定理及
22、定理及导导数的数的应应用用一、微分中一、微分中值值定理定理 1.罗尔定理 如果函数 f(x)满足：(1)在闭区间a,b 上连续；(2)在开区间(a,b)内可导；(3)在区间端点处的函数值相等，f(a)f(b)；则在(a,b)内至少存在一点 (a b)，使得 f()0.2.拉格朗日中值定理如果函数 f(x)满足：(1)在闭区间a,b 上连续；(2)在开区间(a,b)内可导；那么在(a,b)内至少存在一点 (a b)，使得 f(b)f(a)f()(b a).3.柯西中值定理如果函数 f(x)及 g(x)满足(1)在闭区间a,b 上连续；(2)在开区间(a,b)内可导；(3)对任一 x(a,b)，g
23、(x)0；g(b)g(a)g()10那么在(a,b)内至少存在一点 (a b)，使得 f(b)f(a)f().二、洛比达法二、洛比达法则则1.x a 时的未定型 若函数 f(x)和 g(x)满足：(1)当 x a 时，函数 f(x)和 g(x)都趋于零；(2)在点 a 的某去心邻域内，f(x)和 g(x)都存在，且 g(x)0；2015 考研数学基础班高等数学辅导讲义(3)limf(x)xa g(x)存在(或为无穷大)，则 limf(x)f(x)limxa g(x)xa g(x).2.x 时的未定型 设函数 f(x)和 g(x)满足：(1)当 x 时，函数 f(x)和 g(x)都趋于零；(2)
24、当 x A 时，f(x)和 g(x)都存在，且 g(x)0；(3)limf(x)x g(x)存在(或为无穷大)，则 limf(x)f(x)limx g(x)x g(x).00注：注：仅当型或型才可以考虑用洛比达法则.对于 0 ，00，1，0 型的未00定型可以通过转化成为型或型后，再考虑使用洛比达法则.2!0000n!0n三、泰勒公式三、泰勒公式1.泰勒中值定理设 f(x)在含有 x0 的某开区间 I 内有直到(n 1)阶导数，则对于 x I，(n)f(x)f(x)f(x)(x x)f (x0)(x x)2 f(x0)(x x)n R(x)，n 0(n 1)!0其中 R(x)f(n 1)()(
25、x x)n1，介于 x 与 x 之间.2.麦克劳林公式设 f(x)在含有 x 0 的某开区间 I 内有直到(n 1)阶导数，则对于 x I，n112!n!(n)(n1)(0)f(x)xn1x (n 1)!f(x)f(0)f(0)x f(0)x2 f(0 1).四、函数的四、函数的单调单调性性1.设函数 y f(x)在a,b 上连续，在(a,b)内可导2015 考研数学基础班高等数学辅导讲义(1)如果在在(a,b)内 f(x)0，那么 y f(x)在a,b 内单调增加.(2)如果在在(a,b)内 f(x)0，那么 y f(x)在a,b 内单调减少.注：注：上述所给的只是判别单调性的充分条件，并非
26、必要条件，即 f(x)0 f(x)单调，而不能由 f(x)单调 f(x)0，只能得到 f(x)0.五、曲五、曲线线的凸凹性和拐点的凸凹性和拐点1.曲线的凸凹性(1)定义设 函 数 f(x)在 区 间 I 上 连 续，如 果 对 I 上 任 意 两 点 x1,x2 恒 有 f(x1 x2)f(x1)f(x2)，那么称 f(x)在 I 上的图形是(向上)凹的(或凹弧)；如果恒有22f(x1 x2)f(x1)f(x2)那么称 f(x)在 I 上的图形是(向上)凸的(或凸弧).22(2)判别法设函数 y f(x)在a,b 上连续，在(a,b)内具有一阶和二阶导数，则若在(a,b)内 f (x)0，则
27、f(x)在a,b 上图形是凹的；若在(a,b)内 f (x)0，则 f(x)在a,b 上图形是凸的.2.拐点(1)定义设 y f(x)在区间 I 上连续，如果点 x0 为 I 的内点，如果曲线 y f(x)在经过 x0,f(x0)时，曲线的凹凸性改变了，那么就称点 x0,f(x0)为曲线的拐点.(2)拐点的判定若 f (x0)0(或 f (x0)不存在但 f(x)在 x0 点连续)，当在 x0 点的左、右邻域内 f (x)异号时，x0,f(x0)是曲线的 y f(x)的一个拐点.3.渐近线(1)水平渐近线：若 lim f(x)c，则直线 y c 是曲线 y f(x)的一条水平渐近线.x12xx
28、0(2)垂直渐近线：如果 lim f(x)，则直线 x x0 是曲线 y f(x)的一条垂直渐近线.(3)斜渐近线：如果存在直线 L:y kx b 使得当 x (或 x ，x )时，曲线2015 考研数学基础班高等数学辅导讲义y f(x)上的动点 M(x,y)到直线 L 的距离 d(M,L)0，则称直线 L 为曲线 y f(x)的 渐近线.若直线 L 的斜率 k 0，则称 L 为斜渐近线.x13 x x(4)直线 L:y kx b 是曲线 y f(x)的渐近线，则 k limx x x f(x)，b lim f(x)kx.x六、函数的极六、函数的极值值与最与最值值 1.函数的极值 (1)函数极
29、值的定义o设 函 数f(x)在 U(x0)内 有 定 义 ，如 果 对 于 x U(x0)有f(x)f(x0)或f(x)f(x0)那么就称 f(x0)是函数 f(x)的一个极大值(或极小值).(2)函数的极大(小)值只是它的局部的最大(小)值，不一定是它的全局的最大(小)值.(3)必要条件：设函数 f(x)在 x0 点可导，且在 x0 处取得极值，则必有 f(x0)0.注：注：驻点不一定是极值点.极值点不一定是驻点，但在可导的条件下，极值点一定是驻点.2.判定极值充分条件(1)第一充分条件设函数 f(x)在 x0 处连续，且在 x0 的某去心邻域U(x0,)内可导，则若 x(x0 ,x0)时,
30、f(x)0；x(x0,x0 )时,f(x)0，则 f(x)在 x0 处取 得极大值.若 x(x0 ,x0)时,f(x)0;x(x0,x0 )时，f(x)0，则 f(x)在 x0 处取得极小值.(2)第二充分条件设函数 f(x)在 x0 处具有二阶导数且 f(x0)0，f(x0)0，则当 f (x0)0 时，函数 f(x)在 x0 处取得极大值；当 f (x0)0 时，函数 f(x)在 x0 处取得极小值.(3)函数的最大(小)值不一定是它的极大(小)值.2015 考研数学基础班高等数学辅导讲义第四第四讲讲一元函数一元函数积积分学分学一、不定一、不定积积分分1.原函数的定义如果在区间 I 上，可
31、导函数 F(x)的导函数为 f(x)，即对任一 x I，都有 F(x)f(x)那么函数 F(x)就称为 f(x)(或 f(x)dx)在区间 I 上的原函数.2.若函数 f(x)在区间 I 上连续，则它在区间 I 上存在原函数.3.不定积分的定义在区间 I 上，函数 f(x)的带有任意常数项的原函数称为 f(x)在区间 I 上的不定积分，记作 f(x)dx，其中 称为积分号，f(x)为被积函数，f(x)dx 为被积表达式，x 称为积 分变量.4.基本积分公式(1)kdx kx C(k 是常数)，1(2)x dx x 1 C 1，xdx(3)ln x C，dx(4)1 x2 arctan x C，
32、(5)dx141 x2 arcsin x C，(6)cos xdx sin x C，(7)sin xdx cos x C，cos2 x dx(8)sec2 xdx tan x C，dx(9)csc2 xdx cot x C，sin2 x10sec x tan xdx sec x C，11 csc x cot xdx csc x C2015 考研数学基础班高等数学辅导讲义(12)exdx ex C，x15x a ln a(13)a dx C.二、不定二、不定积积分的分的积积分法分法1.第一换元积分法(凑微分法)设 f(u)具有原函数，u (x)可导，则 f(x)(x)dx f(x)d(x)令u(
33、x)f(x)(x)dx f udu F(u)C F(x)C.2.第二换元积分法设 x (t)单调的可导函数，且(t)0，若 f(t)(t)dt G(t)C，则 令 x(t )f(x)dx f(t)(t)dt G(t)C G 1(x)C.3.分部积分法设 u u(x),v v(x)具有连续导数，则u(x)v(x)dx u(x)v(x)v(x)u(x)dx.四、定四、定积积分分1.定积分的定义设函数 f(x)在a,b 上有界，在a,b 中任意插入若干个分点把区间a,b 分成 n 个小区间 x0,x1 ，x1,x2 ，xn1,xn ，各个小 区间的长度 依次为 x1 x1 x0，x2 x2 x1，x
34、n xn xn1 在每个小区间 xi1,xi 上任取一点 i(xi1 i xi)，作 函 数 值 f(i)与 小 区 间 长 度 xi 的 乘 积 f(i)xi i 1,2,n，并 作 出 和 nS f(i)xi，记 max x1,x2,xn，如果不论对a,b 怎么样划分，也不论i1在小区间 xi1,xi 上 i 怎样选取，只要当 0 时，和 S 总趋于确定的极限 I，那么称这ba个极限 I 为函数 f(x)在a,b上的定积分，记作 f(x)dx.，即：nba 0 i1f(x)dx lim f(i)xi .其中，f(x)叫做被积函数，f(x)dx 称为被积表达式，x 称为积分变量，a 叫做积分
35、下限，2015 考研数学基础班高等数学辅导讲义b 叫做积分下限，a,b叫做积分区间.2.定积分的几何意义：函数 f(x)在a,b 上的定积分是曲线 y f(x)与直线 x a，x b，x 轴所围成的曲边梯形面积的代数和.3.定积分的性质(1)两条规定aba a f(x)dx 0；a f(x)dx b f(x)dx.(2)定积分的性质bbbbbbcbbbbb a f(x)g(x)dx a f(x)dx a g(x)dx.a kf(x)dx ka f(x)dx(k 是常数).设 a c b，则 a f(x)dx a f(x)dx c f(x)dx.如果在区间a,b 上 f(x)1，则 a f(x)
36、dx b a.如果在区间a,b 上，f(x)0，则 a f(x)dx 0(a b).推论 1:如果在区间上，f(x)g(x)，则 a f(x)dx a g(x)dx(a b).bb推论 2：a f(x)dx a16f(x)dx.设 M 和 m 是 函 数 f(x)在 区 间 a,b 上 最 大 值 及 最 小 值 ，bam(b a)f(x)dx M(b a).如果函数 f(x)在积分区间a,b 上连续，则在a,b 上至少存在一点 使得ba f(x)dx f()(b a).奇偶函数的积分性质：a af(x)dx 0(f(x)奇函数).2015 考研数学基础班高等数学辅导讲义0aa af(x)dx
37、 2 f(x)dx(f(x)偶函数).周期函数的积分性质:0TaaT 设 f(x)以 T 为周期，a 为常数，则f(x)dx f(x)dx.五、微五、微积积分基本公式分基本公式1.积分上限的函数及其导数(1)积分上限的函数的定义xa设函数 f(x)在区间a,b 上连续，则任取 x a,b，定积分 f(t)dt 有一个对应值，xa所以它在区间a,b 上定义了一个函数，记作：(x)f(t)dt a x b，称为积分上限函数.(2)积分上限的函数的导数xa如果函数 f(x)在积分区间a,b 上连续，则积分上限函数(x)f(t)dt 在a,b 上xad dx可导，且(x)f(t)dt f(x)(a x
38、 b).2(x)1(x)(3)(推广形式)设 F(x)f(t)dt，1(x),2(x)可导，f(x)连续，则2211F(x)f (x)(x)f (x)(x).xa注注：若函数 f(x)在区间a,b 上连续，则函数(x)f(t)dt 就是 f(x)在a,b 上的一个原函数.2.牛顿-莱布尼茨公式如 果 函 数 F(x)是 连 续 函 数 f(x)在 区 间 a,b 上 的 一 个 原 函 数，则 b17b af(x)dx F(x)a F(b)F(a).六、定六、定积积分的分的换换元元积积分法和分部分法和分部积积分法分法1.设函数 f(x)在区间a,b 上连续，函数 x (t)满足条件：()a，(
39、)b；(t)在,(或,)上具有连续导数，且其值域 R a,b，2015 考研数学基础班高等数学辅导讲义ba则有 f(x)dx f(t)(t)dt.bab abv(x)uxdx u(x)v(x)2.分部积分法u(x)vaxdx.1七、定七、定积积分的分的应应用用 1.平面图形的面积 (1)直角坐标系由 曲 线 y y1(x)，y y2(x)和 直 线 x a ，x b 围 成 的 图 形 的 面 积 为 ：baS y2(x)y1(x)dx.(2)极坐标系由曲线 1()，2()及射线 ，围成的图形的面积为：21812 2S 1 2()2()d .2.旋转体的体积(1)由曲线 y f(x)(f(x)
40、0)与直线 x a，x b 和 x 轴围成的平面图形2bxa绕 x 轴旋转一周的体积为：V f(x)dx.bya绕 y 轴旋转一周的体积为：V 2xf(x)dx.(2)由曲线 x g(y)(g(y)0)，与直线 y c，y d 和 y 轴围成的平面图形2dyc绕 y 轴旋转一周的体积为：V g x dy.dc绕 x 轴旋转一周的体积为：Vx 2 yg y dy.(3)平行截面面积为已知的立体的体积平面 x a，x b 之间的立体，若过点 x 且垂直与 x 轴的截面面积为 A(x)已知，则该立体b的体积为V a A(x)dx.3.平面曲线的弧长*(1)参数方程所表曲线的弧长2015 考研数学基础
41、班高等数学辅导讲义 x (t)设光滑曲线 L:y (t)t ，(t)，(t)在 ,上有连续的导数，则曲线22L 的弧长为 S (t)(t)dt.(2)直角坐标系设光滑曲 线 L:y f(x)，a x b,f(x)有连 续的导数，则曲线 L 的弧长 baS 1 y2 dx.(3)极坐标系设光滑曲线 L:r ()，()在 ,上有连续导数，则曲线 L 的弧长 S ()2 ()2 d.4.旋转体的侧面积*曲线 y f(x)(f(x)0)与直线 x a，x b 和 x 轴围成的曲边梯形绕 x 轴旋转一周b19ya得到的旋转体的侧面积为：V 2f(x)1 y2 dx.第五第五讲讲微分方程微分方程一、微分方
42、程的基本概念一、微分方程的基本概念1.微分方程的定义：凡表示未知函数、未知函数的导数及自变量之间关系的方程称为微分 方程.2.微分方程的阶：微分方程中未知函数的导数的最高阶数称为该微分方程的阶.3.微分方程的解(1)若将函数带入微分方程中能使方程变为恒等式，这样的函数称为微分方程的解.(2)微分方程的解中含有自由常数，且含有独立常数的个数等于方程的阶数，这样的解称为微 分方程的通解.(3)微分方程的不含有自由常数的解称为微分方程的特解.二、一二、一阶阶微分方程微分方程1.可分离变量的微分方程2015 考研数学基础班高等数学辅导讲义dx1122dy(1)方程形式：P(x)Q(y)(Q(y)0)或
43、 M(x)N(y)dx M (x)N(y)dy 0.M(x)N(y)M(x)N(y)(2)解法：先分离变量成1 dx 2dy，再两边积分1 dx 2dy C.M2(x)N1(y)M2(x)N1(y)2.齐次方程dxdy y x(1)方程形式：.xdxdxydydu(2)解法：u，则 u x(u)，两边积分得du(u)u xdx C.三、一三、一阶线阶线性微分方程性微分方程1.一阶线性微分方程dy(1)方程形式 P(x)y Q(x).dx(2)解法：常数变易法求得通解 y e P xdx Q x e P xdxdx C .2.贝努利方程*dxdy(1)方程形式：P x y Q x yn n 0,
44、1.1(2)解法：设 z y1n，则方程化成 dz P(x)z Q(x)，再用一阶线性微分方程的求解方1n dx法求解.3.全微分方程*(1)方程形式：P(x,y)dx Q(x,y)dy 0，满足条件 Q P.xy(2)解法：上述全微分方程通解为 u(x,y)C，求 u(x,y)的常用方法：00(x,y)(x0,y0)特殊路径积分法：u(x,y)u(x,y)P(x,y)dx Q(x,y)dy，xyx0y0 u(x0,y0)P(x,y0)dx Q(x,y)dy.xu不定积分法：由 P(x,y)得 u(x,y)P(x,y)dx C(y)，对 y 求导得20Q(x,y)P(x,y)dx C(y)，求
45、出 C(y)，然后积分即可.y 四、可降四、可降阶阶的高的高阶阶微分方程微分方程*1.y(n)f(x)型2015 考研数学基础班高等数学辅导讲义12n1n解法：用 n 次积分求解，通解 y f(x)(dx)n C xn1 C xn2 Cx C.,n次2.y f(x,y)型(方程中不显含 y)解法：设 y p，则 y p，原方程变为 p f(x,p)，该方程为一阶微分方程.设其解 为 p g(x,C1)，即 y g(x,C1)，则原方程的通解为 y g(x,C1)dx C2.3.y f(y,y)型(方程中不显含 x)解法：设 y p，把 p 看成 y 的函数，则 y dp dp dy p dp，
46、把 y,y 的表达式代dxdy dxdy211入原方程得 p f(y,p)，设其解为 p g(y,C),则原方程的通解为21g(y,C)dp dy x C.dy 五、二五、二阶线阶线性微分方程性微分方程解的性解的性质质与与结结构构 二阶齐次线性方程：y p(x)y q(x)y 0二阶非齐次线性方程：y p(x)y q(x)y f(x)1.若 y1(x),y2(x)为齐次方程的两个解，则它们的线性组合 C1 y1(x)C2 y2(x)仍为方程 的解.特 别 地，当 y1(x)与y2(x)线 性 无 关 时，则 齐 次 方 程 的通 解为 y C1 y1(x)C2 y2(x).2.若 y*(x)方
47、程的一个特解，而 C y(x)C y(x)为方程的通解，则非齐次方程的1 12 2通解为 y C y(x)C y(x)y*(x).1 12 23.若 y1(x),y2(x)为非齐次方程的两个解，则 C1 y1(x)C2 y2(x),(C1 C2 1)仍为的解；y1(x)y2(x)是齐次方程的解.4.设 y1(x)与y2(x)分别是 y p(x)y q(x)y f1(x)与 y p(x)y q(x)y f2(x)的 特解，则 y1(x)y2(x)是 y p(x)y q(x)y f1(x)f2(x)的特解.六、常系数六、常系数齐齐次次线线性微分方程性微分方程1.二阶常系数齐次线性微分方程(1)方程
48、形式：y py qy 0.(2)解法：先求其特征方程 2 p q 0 的根，其通解结构为当 p2 4q 0,特征方程有两个不同的实根 ,，则通解为 y C e1x C e2x.121211212 x当 p 2 4q 0，特征方程有二重根 ，则通解为 y C C xe.当 p2 4q 0,特 征 方 程 有 共 轭 复 根 i，则 通 解 为2015 考研数学基础班高等数学辅导讲义y ex(C cos x C sin x).122.n 阶常系数齐次线性方程*(1)y n p y n1 p y n2 py p y 0，其中 p(i 1,2,n)为常数.12n1ni(2)解法：由特征方程 n p n
49、1 p n2 p p 0 的根写出微分方程的通解12n1n中含有的对应项如下：若特征方程有 n 个不同的实根 ,，则通解 y C e1x C e2 x C enx.12n12n若 为特征方程的 k 重实根(k n)，则通解中含有(C C x C xk 1)e x.12k若 i 为特征方程的 k 重共轭复根(2k n)，则通解中含有e x(C C x C xk 1)cos x (D D x D xk 1)sin x.12k12k七、二七、二阶阶常系数非常系数非齐齐次次线线性方程性方程方程的形式：y py qy f(x)，其中 p,q 为常数，特征方程为 2 p q 0.1.f(x)P(x)e x
50、 其中 P(x)为 n 次多项式，为实常数，则方程的特解 y 的形式为：nn22n(1)若 不是特征根，则令 y R(x)e x，n(2)若 是特征方程单根，则令 y xR(x)e x，(3)若 是特征方程的重根，则令 y x2R(x)e x，其中 R(x)为 n 次多项式，将 y 代入原nn方程求出 Rn(x)的各系数得到原方程的特解.2.f(x)e xP(x)cos x P sin x，其中 P(x)，P(x)分别为 n，l 次多项式，则方nlnl程的特解 y 的形式为：mm x(1)(2)(1)若 i 不是特征方程的根，则令 y e R(x)cos x R(x)sin x，(2)若 i
