1、第2章 矩阵第2章 矩阵2.1 矩阵的矩阵的运算运算2.2 逆逆矩阵矩阵2.3 矩阵的矩阵的初等变换初等变换2.4 分块分块矩阵矩阵2.5 矩阵的秩矩阵的秩总总复习题复习题第2章 矩阵2.1 矩矩 阵阵 的的 运运 算算线性方程组:第2章 矩阵其中,系数aij(i=1,2,m;j=1,2,n),常数项bi(i=1,2,m)按照原位置构成 数表:该数表可以决定上述方程组是否有解,以及如果有解,解怎么表示,因此下面我们研究该数表.第2章 矩阵2.1.1 矩阵的概念矩阵的概念定义定义1 由mn 个数aij(i=1,2,m;j=1,2,n)排成一个m 行n 列的矩形数表:该数表称为一个mn 矩阵,其中
2、aij称为第i行第j列的元素.矩阵通常用大写字母A,B,C 等 表示.可简记为A=(aij)mn或Amn.第2章 矩阵若两个矩阵A,B 有相同的行数和相同的列数,且对应位置的元素相等,则称两个矩阵A 与 B 相等,记作A=B.即若A=(aij)mn,B=(bij)mn,且aij=bij,其中:i=1,2,m;j=1,2,n 则A=B.注意,行列式与矩阵的区别与联系:(1)行列式是计算式,结果是一个数,矩阵是一个数表;(2)行列式的行数与列数必须相等,但矩阵的行数与列数可等可不等;(3)行列式与矩阵都有行和列以及所在行与列的元素.第2章 矩阵2.1.2 常用的矩阵常用的矩阵 1.方阵方阵行数与列
3、数都等于n 的矩阵,称为n 阶矩阵或n 阶方阵,n 阶方阵A 也记作An简写为An=(aij)n.第2章 矩阵2.对角矩阵对角矩阵 主对角线以外全为零的方阵称为对角矩阵,即记作=diaga11,a22,ann.第2章 矩阵3.单位矩阵单位矩阵主对角线上都为1,其余位置都为零的方阵称为单位矩阵,记为En,即第2章 矩阵4.数量矩阵数量矩阵 主对角线上元素都相等的对角矩阵称为数量矩阵,记作E,即第2章 矩阵5.上上(下下)三角矩阵三角矩阵 主对角线以上(下)全为零的方阵称为下(上)三角矩阵.设A=(aij)nn,若aij=0(ij)(i,j=1,2,n),则称A 为n 阶上三角矩阵,即第2章 矩阵
4、设B=(bij)nn,若bij=0(ir,则有以下三种可能:(1)D 不含第i行的元素,此时D 也是A 的一个s阶子式,而sr,故D=0;(2)D 含i行的元素,也含j行的元素,则第2章 矩阵第2章 矩阵第2章 矩阵第2章 矩阵矩阵秩的基本性质如下:性质性质1 0R(Amn)minm,n;性质性质2 R(Amn)=R(ATmn);性质性质3 ABR(A)=R(B);性质性质4 maxR(A),R(B)R(A,B)R(A)+R(B);性质性质5 R(AB)R(A)+R(B);性质性质6 R(AB)minR(A),R(B);性质性质7 若AB=O,则R(A)+R(B)n.第2章 矩阵第2章 矩阵习题2.5 1.求下列矩阵的秩.第2章 矩阵总复习题总复习题第2章 矩阵第2章 矩阵第2章 矩阵第2章 矩阵第2章 矩阵第2章 矩阵第2章 矩阵第2章 矩阵
